Практические задания по математической логике высказывания и операции над ними. Значения истинности

Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.

Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".

Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3

Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.

Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания A и B .

1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".

Таблица истинности для конъюнкции:

A	B	A ∧ B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .

Таблица истинности для дизъюнкции:

A	B	A ∨ B
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".

Таблица истинности для следования (импликации):

A	B	A → B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

A	~ A
Л	И
И	Л

5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Связка	Обозначение	Название операции
не		отрицание
и		конъюнкция
или		дизъюнкция
если..., то...		импликация
тогда и только тогда		эквивалентность

Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15 ;

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;

4) Не("Сосна" = "Дуб") ;

5) (Не(15 20) ;

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";

2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";

Пример 5. Определите логическое значение выражения

(p → q ) ↔ (r → s ) ,

p = "278 > 5" ,

q = "Яблоко = Апельсин" ,

p = "0 = 9" ,

s = "Шапка покрывает голову" .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

~, ∧, ∨, →, ↔,

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

6) .

1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";

2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";

3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";

4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";

5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";

6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".

Пример 7. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".

p	q	r					f
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )

B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))

(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	И

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.

Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

А	В	С		А+		· С
0	1	1	0	0	1	1

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

Эквивалентность высказываний.

С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.

Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.

Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.

А	В	С	В С	А+В· С	А+В	А+С	(А+В)· (А+С)

Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.

Тавтология.

Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.

Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.

В		В+

Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное - 0. Закон исключенного третьего.
A· º 0
В+ º 1

Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.

Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.

Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F

X	Y	Z	X® Y	Y® Z	X® Z	F1Ù F2	(F1Ù F2) ® F3

Из таблицы видно, что исследуемое высказывание - тавтология, т.к. оно истинно постоянно.

Вопросы и задания.

1. Какому из ниже приведенных высказываний:

а) (A+C); б) +B; в) +C); г) A+ ;
эквивалентно высказывание (B+C)

2. Установите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул - тавтологии:
а) « ); б) ; в) ;

г) ; д) (X® Y)« (Y® X); е) (X® Y)« ;

ж) (X® Y)« .

3. Установить истинность высказывания

4. Эквивалентны ли высказывания:
и ?

5. Установить, является ли данное высказывание тавтологией:
а) ; б)

6. Для каждой формулы придумайте формализуемые ими предложения:
а) ; б) ; в) .

7. Из простых высказываний: “Виктор хороший пловец” - А; “Виктор хорошо ныряет” - В; “Виктор хорошо поет” - С, составлено сложное высказывание, формула которого имеет вид:
X=(A+C)· (A+B). Установить, эквивалентно ли высказывание Х высказыванию: “Виктор - хороший пловец и Виктор хорошо поет”.

8.
а) ; б) ;
в) ((X1® X2)® X3)Ù (X3« X1); г) ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z).

9. Установить истинность высказываний:
а) , , ;
б) , , ;
в) , , ;
г) , , .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики.
Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств.
Нарушения этих законов приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.
Перечислим наиболее важные из них:
1. Xº X Закон тождества
2. Закон противоречия
3. Закон исключенного третьего
4. Закон двойного отрицания
5. XÙ Xº X , XÚ Xº C Законы идемпотентности
6. C Ù U º U Ù C , C Ú U º U Ú C Законы коммутативности (переместительности)
7 . (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z) , (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - Законы ассоциативности (сочетательности)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z) , C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Ú Z) - Законы дистрибутивности (распределительности)
9. , Законы де Моргана
10. XÙ 1º C , C Ú 0 º C
11. C Ù 0 º 0 , C Ú 1 º 1
12. C Ù (C Ú U) º C , C Ú (C Ù U) º C Законы поглощения
13. (C Ú U) Ù ( Ú U) º U , (C Ù U) Ú ( Ú U) º U Законы склеивания

1-й закон сформулирован древнегреческим философом Аристотелем. Закон тождества утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует.

Закон противоречия говорит о том, что никакое предложение не может быть истинно одновременно со своим отрицанием.
“Это яблоко спелое” и “Это яблоко не спелое”.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно либо ложно. Третьего не дано. “Сегодня я получу 5 либо не получу”. Истинно либо суждение, либо его отрицание.

Закон двойного отрицания. Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание.
“ Неверно, что 2× 2¹ 4”

Законы идемпотентности. В алгебре логики нет показателей степеней и коэффициентов. Конъюнкция одинаковых “сомножителей” равносильна одному из них.

Законы коммутативности и ассоциативности. Конъюнкция и дизъюнкция аналогичны одноименным знакам умножения и сложения чисел.
В отличие от сложения и умножения чисел логическое сложение и умножение равноправны по отношению к дистрибутивности: не только конъюнкция дистрибутивна относительно дизъюнкции, но и дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции.

Смысл законов де Моргана (Август де Морган (1806-1871) - шотландский математик и логик) можно выразить в кратких словесных формулировках:
- отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей.
- отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых.

Доказать законы логики можно:
1) с помощью таблиц истинности;
2) с помощью равносильностей.
Докажем законы склеивания и поглощения с помощью равносильностей:
1) (C Ú U) Ù ( Ú U) º (C + U) × ( + U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × +U (1 + C) º U × + U º U ( + 1) º U (Закон склеивания)

2) C Ù (C Ú U) º C × C +C × U º C +C × U º C (1 + U) º C (Закон поглощения)

Задание. Доказать законы логики с помощью таблиц истинности.

Тождественные преобразования

Упрощение формул.

Пример 1. Упростить формулу (АÚВ)· (АÚС)
Решение.
а) Раскроем скобки (A Ú B) · (A ÚC) º A · A Ú A · C Ú B · A Ú B · C
б) По закону равносильности A · A º A , следовательно,
A · A Ú A · C ÚB · A Ú B · C º A ÚA · C Ú B · A Ú B · C
в) В высказываниях А и А· C вынесем за скобки А и используя свойство АÚ1º 1, получим АÚА· СÚ B · A Ú B · C º A ·(1 ÚС) Ú B · A Ú B · Сº A ÚB · A Ú B· С
г) Аналогично пункту в) вынесем за скобки высказывание А.
AÚB · A Ú B · Сº A (1ÚB)ÚB · Сº A Ú B · С
Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

2. Преобразования “поглощение” и “склеивание”

Пример 2. Упростить выражение АÚ A · B

Решение. A ÚA · B º A (1 Ú B) º A - поглощение

Пример 3. Упростить выражение A · B Ú A · - знаки логического сложения;
- знаки логического умножения.
А будут использованы:
- знаки отрицания и логического умножения;
- знаки отрицания и логического сложения.

Пример 5. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического сложения.
Решение. Воспользуемся законом двойного отрицания, а затем формулой де Моргана.

Пример 6. Преобразовать формулу так, чтобы в ней не использовались знаки логического умножения.
Решение. Используя формулы де Моргана и закон двойного отрицания получим:

В двух предыдущих лекциях мы определили логические операции — отрицание, конъюнкцию, два вида дизъюнкции, импликацию и эквиваленцию. Рассмотрим некоторые задачи на применение определений логических связок. Это задачи, где требуется выяснить значение истинности одного составного высказывания, если известно значение истинности другого составного высказывания, а также задачи, где требуется определить, существуют ли простые высказывания, если известны истинностные значения некоторых составных высказываний, образованных из этих высказываний.

Определить значение истинности высказывания, используя значения истинности других высказываний

Задача 6.1. Известно, что высказывание $ \displaystyle AB$ ложно, а высказывание $ \displaystyle A \to B $ истинно. Определить значение истинности высказывания $ \displaystyle B \to A’ $, если известно, что его можно однозначно определить, используя эти данные.

Решение. Предположим, что это высказывание ложно:

$ \displaystyle B \to A’=0 $.

Почему мы предположили ложность, а не истинность данной импликации? Причина очень проста: импликация ложна только в одном случае. Если это предположение не будет противоречить условию задачи, то оно верно, так как значение истинности всякого высказывания — это ложь или истина. Согласно определению импликации, она ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно:

$ \displaystyle B= 1$, $ \displaystyle A’=0 $.

В силу определения отрицания, оно ложно тогда и только тогда, когда само высказывание истинно:

$ \displaystyle A=1 $.

Но в этом случае, учитывая определения импликации и конъюнкции,

$ \displaystyle A \to B=1 $, $ \displaystyle A B=1 $.

Однако по условию задачи последнее высказывание имеет значение истинности «ложь». Получили противоречие. Значит, высказывание $ \displaystyle B \to A’ $ истинно.

Задачу можно решить и другим способом: используя условие, напрямую получить значение истинности импликации. Так как

$ \displaystyle AB=0 $,

то, согласно определению конъюнкции, возможны следующие варианты распределения истинностных значений высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

3) $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $.

Поскольку

$ \displaystyle A \to B=1 $,

то, согласно определению импликации, получаем, что значения истинности высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $ могут быть такими:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

2) $ \displaystyle A=0 $, $ \displaystyle B=1 $;

3) $ \displaystyle A=B=1 $.

Условия $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $ и $ \displaystyle A=B=1 $ несовместимы, так как любое высказывание либо истинно, либо ложно. Остаются первые два варианта. Проверим их, используя определения импликации и отрицания:

1) $ \displaystyle B \to A’=0 \to 0’=0 \to 1=1 $;

2) $ \displaystyle B \to A’=1 \to 0’=1 \to 1 =1 $.

В обоих случаях высказывание $ \displaystyle B \to A’ $ имеет значение истинности «истина».

Очевидно, что первый способ решения настоящей задачи гораздо короче, чем второй.

Выяснить, достаточно ли данных, чтобы определить значение истинности высказывания

Задача 6.2. Пусть высказывание $ \displaystyle A \to B $ ложно. Достаточно ли этого, чтобы определить значение истинности высказывания $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $? Если достаточно, то указать это значение. Если не достаточно, то показать на примерах, что возможны оба истинностных значения.

Решение. Поскольку

$ \displaystyle A \to B=0 $,

то, согласно определению импликации,

$ \displaystyle A=1$, $ \displaystyle B=0 $.

Значит, импликация $ \displaystyle B \to (A \to C) $ истинна, так как её посылка ложна (какими бы ни были значения истинности высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle C $). Следовательно, учитывая определение дизъюнкции, высказывание $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $ имеет значение истинности «истина».

Задача 6.3. Пусть известно, что высказывание $ \displaystyle AB $ истинно. Возможно ли, используя эти данные, определить значение истинности высказывания $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ ? Если возможно, то указать это значение. В противном случае показать на примерах, что высказывание может быть как истинным, так и ложным.

Решение. Поскольку конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба этих высказывания истинны, то

$ \displaystyle A=B=1 $.

Значит, импликация $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ истинна, если её заключение истинно, и ложна в противном случае (в силу определения данной логической связки). Рассмотрим дизъюнкцию $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $. Известно, что

$ \displaystyle A=B=1 $.

Тогда, согласно определению отрицания $ \displaystyle A’=0 $. Если $ \displaystyle C=0 $, то $ \displaystyle C’=1 $. Следовательно, согласно определению, конъюнкция $ \displaystyle ABC’ $ истинна, а конъюнкция $ \displaystyle A’BC $ ложна. Значит, дизъюнкция $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ истинна. Если $ \displaystyle C=1 $, то $ \displaystyle C’=0 $. Следовательно, высказывания $ \displaystyle ABC’ $ и $ \displaystyle A’BC $ ложны. Тогда и дизъюнкция $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ ложна. Итак, высказывание $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ имеет значение истинности «ложь» при

$ \displaystyle C=1 $

и «истина» при

$ \displaystyle C=0 $.

Получается, что нельзя однозначно определить значение истинности высказывания, используя условия задачи. Здесь нужно подчеркнуть, что это не означает, что значение истинности вообще нельзя определить. Просто здесь не хватает данных для этого.

Выяснить, существуют ли высказывания с данными значениями истинности

Задача 6.4. Пусть высказывание $ \displaystyle A \vee B’ $ и $ \displaystyle B \to (A \vee C) $ имеет значение истинности «ложь», а высказывание $ \displaystyle C’ \to B’ $ имеет значение истинности «истина». Существуют ли такие высказывания $ \displaystyle A $, $ \displaystyle B$ и $ \displaystyle C $?

Решение. Дизъюнкция двух высказываний, в силу определения, ложна только в одном случае: если ложны оба этих высказывания. Значит,

$ \displaystyle A=B’=0 $.

Следовательно, учитывая определения отрицания,

$ \displaystyle B=1 $.

Рассмотрим импликацию

$ \displaystyle B \to (A \vee C) $.

По условию задачи она ложна. Это возможно тогда и только тогда, когда

$ \displaystyle B=1 $, $ \displaystyle A \vee C =0 $.

Значит, в силу определения дизъюнкции,

$ \displaystyle A=C=0 $.

Следовательно,

$ \displaystyle C’ \to B’=0′ \to 1’=1 \to 0=0 $.

Но, согласно условию задачи, данная импликация истинна. Получили противоречие. Это означает, что не существует высказываний, удовлетворяющим таким условиям.

Урок №2

Алгебра высказываний. Логические операции.

(урок комбинированный, включающий повторение предыдущей темы,

введение нового материала и закрепление)

Цель урока: Сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические операции.

Задачи урока :

Повторить основные материалы 1 урока (формы человеческого мышления: понятие, суждение, умозаключение);

Познакомить с определением алгебры высказываний;

Познакомить с основными логическими операциями.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

Что изучает алгебра высказываний и что является объектом изучения алгебры высказываний;

Значения понятий: логическое высказывание, логические операции;

Таблицы истинности логических операций.

Учащиеся должны уметь:

Приводить примеры логических высказываний;

Определять значения логических высказываний;

Называть логические операции и строить для них таблицы истинности.

Этапы урока

I. Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.

II. Повторение. 7мин.

III. Проверка домашнего задания. 5 мин.

IV. Введение нового материала. 20 мин.

V. Закрепление. 7 мин.

VI. Подведение итогов урока. 3 мин.

VII. Постановка домашнего задания. 1 мин.

Ход урока

II. Повторение .

1) Повторение основных определений и понятий 1 урока:

· Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные признаки объектов.

o Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Привести примеры .

· Суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

o Форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей.

· Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения)

- Определите, какие из перечисленных фраз являются высказываниями и почему?

1. Как хорошо быть генералом!

2.

3. Познай самого себя.

4. Все медведи живут на севере.

5. Революция не может быть мирной и бескровной.

6.

7.

(Примеры 1 и 3 не являются высказываниями, т. к. являются восклицательным и побудительным предложениями соответственно).

- Теперь определите, простые или составные суждения даны .

(В 5 примере можно разбить на два простых утверждения, значит, оно составное.)

- Определите значения высказываний (истина или ложь).

На 6 примере убеждаемся, что содержание высказывания часто субъективная характеристика. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне науки логики. Например, опираясь на свой жизненный опыт, мы присваиваем определённое значение суждению 6.

Русские пословицы как в примере 4 будут всегда истинны, т. к. опираются на жизненный опыт целых поколений людей.

В примере 7 значение высказывания решается в курсе геометрии, а в 5 утверждении в курсе истории.

Результаты оформляются в виде следующей таблицы:

Фразы	Высказывания	Истина или ложь	Простые высказывания
1. Как хорошо быть генералом!
2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
3. Познай самого себя.
4. Все медведи живут на севере.
5. Революция не может быть мирной и бескровной.
6. Талант всегда пробьёт себе дорогу.
7. Сумма углов треугольника равна 1800.

На прошлом уроке мы говорили, что каждое высказывание состоит из трех элементов:
субъекта, предиката и связки . Субъект (S) - понятие о предмете. Предикат (P) - понятие о свойствах и отношениях предмета. Связка - отношение между субъектом и предикатом.

Определите, что в простых высказываниях является субъектом, предикатом и связкой.

Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

Все медведи живут на севере.

Талант всегда пробьёт себе дорогу.

Сумма углов треугольника равна 1800.

III. Проверка домашнего задания:

Карточка для домашней работы

1.Из приведенных простых высказываний составьте и запишите не менее 3-ёх составных высказываний: 1) Поедем на дачу. 2) Хорошая погода. 3) Плохая погода. 4) Мы поедем на пляж. 5) Антон приглашает нас в театр .

2. Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок: А) Все птицы – животные. Все воробьи – птицы. Б) Некоторые уроки трудны. Всё, что трудно, требует внимания. В) Ни один добрый поступок не является незаконным. Всё, что законно, можно делать без страха.

А) Тем, кто лыс, расчёска не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. Следовательно, ящерицам расчёска не нужна. Б) Всем, кто отлично закончит 3 четверть, подарят компьютер. Ты закончил 3 четверть без троек. Значит, готовься получить в подарок компьютер.

VI. Объяснение нового материала

Алгебра высказываний

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX веков, в том числе К. Гедель (австр.), Д. Гильберт (нем.), С. Клини (амер.), Э. Пост (амер.), А. Тьюринг (анг.), А. Чёрч (амер.), и многие другие.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Таким образом, объектами изучения алгебры логики являются высказывания.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывания будем большими латинскими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равно 180о» устанавливается геометрией, причём в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.

Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний. Её интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание. Такое суждение интересов даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами.

Логические операции

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них:

Дизъюнкция (логическое сложение) Импликация (логическое следование) Эквивалентность (логическое равенство)

1) Инверсия (логическое отрицание)

Инверсия (логическое отрицание) – это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание – ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.

Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью кругов Эйлера , названных в честь великого математика, физика и астронома Леонарда Эйлера ()

Обозначение инверсии: ; неА ; А; NOT А

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А

Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО...".

Пример: А = "На улице дождь"

= "Неверно, что на улице дождь"

Задание 1. Приведите пример высказывания и его отрицания.

Определите истинность каждого.

Итак, инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.

2) Конъюнкция (логическое умножение)

истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Обозначение конъюнкции: А &В , А andВ , А LВ , А В .

Таблица истинности:

		А &В

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И»

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А &В = "На улице дождь и небо голубое"

Задание 2. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку "И".

Итак, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

3) Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.

Обозначение дизъюнкции: А V В , А OR В , А +В .

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А V В

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А V В = "На улице дождь или небо голубое"

Задание 3. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку "ИЛИ".

Итак, дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.

4) Импликация (логическое следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.

Обозначение дизъюнкции: А ® В .

Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:

«ЕСЛИ …, ТО …»

Если клятва дана, то она должна выполняться.

Если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Пример: А = " На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А ® В = "Если на улице дождь, то небо голубое"

Задание 4 . а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание, используя связку "ЕСЛИ, ТО...".

б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

Итак, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.

5) Эквивалентность (логическое равенство) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Обозначение дизъюнкции: А « В, А = В, А≡В .

Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»

Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900

Все законы математики, физики, все определения – эквивалентность высказываний

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А « В = "На улице дождь тогда и только тогда, когда небо голубое"

Задание 5. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»

б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.

Итак, эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

VI. Закрепление изученного.

1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями :

· Какого цвета этот дом?

· Число Х не превосходит единицы.

· Посмотрите в окно.

· Пейте томатный сок!

· Эта тема скучна.

· Вы были в театре?

2. Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.

3. Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из математики, биологии, истории, информатики, литературы.

4. Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:

Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?» Как пройти в библиотеку? Картины Пикассо слишком абстрактны. Решение задачи – информационный процесс. Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.

5. Выбрать истинные высказывания:

· “Число 28 является совершенным числом”

· “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”

· “Талант всегда пробьёт себе дорогу”

· “Некоторые животные мыслят”

· “Информатика - наука об алгоритмах”

· “2+3*5=30”

· “Все ученики любят информатику”

6.

7. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

8. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

9. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

10. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

Итог урока:

Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики. Рассмотрели логические операции. Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности и проиллюстрировали ЛО с помощью кругов Эйлера.

2. Выучить все определения в тетради из конспекта урока .

3. Подобрать высказывания для каждой логической операциипримера)

Ложное и истинное высказывание часто употребляется в языковой практике. Первая оценка воспринимается как отрицание истинности (неистинности). В реальности используют и иные виды оценки: неопределенность, недоказуемость (доказуемость), неразрешимость. Рассуждая над тем, для какого числа x истинно высказывание, необходимо рассмотреть законы логики.

Возникновение «многозначной логики» привело к использованию неограниченного числа показателей истинности. Ситуация с элементами истинности запутана, усложнена, поэтому важно внести в нее ясность.

Принципы теории

Истинное высказывание - это значение свойства (признака), рассматривается всегда для определенного действия. Что такое истина? Схема следующая: «Высказывание Х обладает значением истинности Y в том случае, когда истинно высказывание Z».

Давайте рассмотрим пример. Нужно понять, для какого из приведенных истинно высказывание: «Предмет а имеет признак В». Это высказывание неверно в том, что у предмета есть признак В, и неверно в том, что а не обладает признаком в». Термин «неверно» в данном случае употребляется в качестве внешнего отрицания.

Определение истинности

Как определяется истинное высказывание? Вне зависимости от структуры высказывания Х допускается только следующее определение: «Высказывание Х истинно тогда, когда есть Х, только Х».

Данное определение дает возможность ввести в язык термин «истинно». Оно определяет акт принятия согласия или высказывания с тем, о чем говорится в нем.

Простые высказывания

В них истинное высказывание без определения. Можно ограничиться при высказывании «Не-Х» общим определением, если это высказывание не является истинным. Истинна конъюнкция "X и Y", если будут истинны X и Y.

Пример высказывания

Как понять, для каких x истинно высказывание? Чтобы ответить на этот вопрос, используем выражение: «Частица а находится в области пространства b». Рассмотрим для этого высказывания следующие случаи:

• невозможно наблюдать частицу;
• можно наблюдать частицу.

Второй вариант предполагает определенные возможности:

• частица реально находится в определенной области пространства;
• ее нет в предполагаемой части пространства;
• частица движется так, что сложно определить область ее расположения.

В данном случае можно использовать четыре термина значений истинности, которые соответствуют приведенным возможностям.

Для сложных структур уместно использование большего количества терминов. Это свидетельствует о неограниченности значений истинности. Для какого числа истинно высказывание, зависит от практической целесообразности.

Двузначности принцип

В соответствии с ним, любое высказывание либо ложно, либо истинно, то есть, характеризуется одним из двух вероятных истинностных значений - «ложно» и «истинно».

Данный принцип является основой классической логики, которую именуют двузначной теорией. Двузначности принцип использовался Аристотелем. Этот философ, рассуждая над тем, для какого числа х истинно высказывание, считал его неподходящим к тем высказываниям, которые касаются будущих случайных событий.

Он устанавливал логическую взаимосвязь между фатализмом и принципом двузначности, положением о предопределенности любых действий человека.

В последующие исторические эпохи ограничения, которые накладывались на данный принцип, объяснялись тем, что он существенно затрудняет анализ высказываний о планируемых событиях, а также о несуществующих (ненаблюдаемых) объектах.

Задумываясь о том, какие высказывания истинные, этим методом не всегда можно было найти однозначный ответ.

Появляющиеся сомнения в логических системах были развеяны только после того, как была разработана современная логика.

Чтобы понять, для какого из приведенных чисел истинно высказывание, подходит двухзначная логика.

Принцип многозначности

Если переформулировать вариант двухзначного высказывания для выявления истинности, можно превратить его в частный случай многозначности: любое высказывание будет иметь одно п значение истинности, если п равно либо больше 2, или же меньше бесконечности.

В качестве исключений дополнительных значений истинности (выше «ложно» и «истинно») выступают многие логические системы, базирующиеся на принципе многозначности. Двузначная классическая логика характеризует типичные варианты использования некоторых логически знаков: «или», «и», «не».

Многозначная логика, претендующая на их конкретизацию, не должна противоречить результатам двузначной системы.

Ошибочным считают то убеждение, согласно которому, принцип двузначности всегда приводит к констатации фатализма и детерминизма. Также неверна и мысль, согласно которой, многократную логику рассматривают в качестве необходимого средства осуществления индетерминистических рассуждений, что принятие ее соответствует отказу от использования строгого детерминизма.

Семантика логических знаков

Чтобы понять, для какого числа Х истинно высказывание, можно вооружиться таблицами истинности. Семантика логическая представляет раздел металогики, который исследует отношение к обозначаемым объектам, их содержанию разнообразных языковых выражений.

Данная проблема рассматривалась уже в античном мире, но в виде полноценной самостоятельной дисциплины она была сформулирована только на рубеже XIX—XX веков. Работы Г. Фреге, Ч. Пирса, Р. Карнапа, С. Крипке позволили выявить суть данной теории, ее реалистичность и целесообразность.

На протяжении длительного временного периода семантическая логика опиралась в основном на анализ формализованных языков. Только в последнее время большая часть исследований стала посвящаться естественному языку.

В данной методике выделяют две основные области:

• теорию обозначения (референции);
• теорию смысла.

Первая предполагает исследование отношения разнообразных языковых выражений к обозначаемым объектам. В качестве ее основных категорий можно представить: «обозначение», «имя», «модель», «интерпретация». Данная теория является основой для доказательств в современной логике.

Теория смысла занимается поиском ответа на вопрос относительно того, что представляет собой смысл языкового выражения. Она объясняет их тождественность по смыслу.

Существенную роль теория смысла имеет при обсуждении семантических парадоксов, при решении которых любой критерий приемлемости считается важным и актуальным.

Логическое уравнение

Данный термин используется в метаязыке. Под логическим уравнением можно представить запись F1=F2, в которой F1и F2 являются формулами расширенного языка логических высказываний. Решить такое уравнение означает, определить те наборы истинных значений переменных, которые будут входить в одну из формул F1 либо F2, при которых будет соблюдаться предложенное равенство.

Знак равенства в математике в некоторых ситуациях свидетельствует о равенстве исходных объектов, а в ряде случаев он ставится для демонстрации равенства их значений. Запись F1=F2 может свидетельствовать о том, что речь идет об одной и той же формуле.

В литературе довольно часто под формальной логикой подразумевают такой синоним, как «язык логических высказываний». В качестве «правильных слов» выступают формулы, служащие семантическими единицами, используемыми для построения рассуждений в неформальной (философской) логике.

Высказывание выступает в качестве предложения, которое выражает конкретное суждение. Иными словами, оно выражает мысль о присутствии некоего положения дел.

Данный факт стал основой пропозициональной логики. Существует подразделение высказываний на простые и сложные группы.

При формализации простых вариантов высказываний применяют элементарные формулы языка нулевого порядка. Описание сложных высказываний возможно только с применением формул языка.

Логические связки необходимы для обозначения союзов. При их применении простые высказывания превращаются в сложные виды:

• «не»,
• «неверно, что…»,
• «или».

Заключение

Формальная логика помогает выяснять, для какого имени истинно высказывание, предполагает конструирование и анализ правил преобразования определенных выражений, которые сохраняют их истинное значение независимо от содержания. В качестве отдельного раздела философской науки она появилась только в конце девятнадцатого века. Вторым направлением является неформальная логика.

Основной задачей этой науки является систематизация правил, которые позволяют выводить новые утверждения на основе доказанных утверждений.

Фундаментом логики является возможность получения каких-то идей в качестве логического следствия иных утверждений.

Подобный факт позволяет адекватно описывать не только определенную проблему в математической науке, но и переносить логику в художественное творчество.

Логическое исследование предполагает отношение, которое существует между посылками и заключениями, выводимыми из них.

Его можно отнести к числу исходных, фундаментальных понятий современной логики, которую часто именуют наукой «что из него следует».

Сложно представить себе без подобных рассуждений доказательство теорем в геометрии, объяснение физических явлений, пояснение механизмов протекания реакций в химии.