Как рассчитать математическое ожидание. Формула математического ожидания

Математическим ожиданием случайной величины X называется среднее значение .

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X) , где C = const

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Если случайные величины X и Y независимы, то M(XY) = M(X)·M(Y)

Дисперсия

Дисперсией случайной величины X называется

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X) .

Дисперсия представляет собой мерой отклонения значений случайной величины от своего среднего значения.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(СX) = C 2 D(X) , где C = const

4. Для независимых случайных величин

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется средним квадратичным отклонением .

@ Задача 3 : Пусть случайная величина X принимает всего два значения (0 или 1) с вероятностями q, p , где p + q = 1 . Найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение:

M(X) = 1·p + 0·q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.

@ Задача 4 : Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны 8. Найти математическое ожидание и дисперсия случайных величин: а) X – 4 ; б) 3X – 4 .

Решение: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ Задача 5 : Совокупность семей имеет следующее распределение по числу детей:

x i	x 1	x 2
p i	0,1	p 2	0,4	0,35

Определить x 1 , x 2 и p 2 , если известно, что M(X) = 2; D(X) = 0,9 .

Решение: Вероятность p 2 равна p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Неизвестные x находятся из уравнений: M(X) = x 1 ·0,1 + x 2 ·0,15 + 2·0,4 + 3·0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Генеральная совокупность и выборка. Оценки параметров

Выборочное наблюдение

Статистическое наблюдение можно организовать сплошное и не сплошное. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности (генеральной совокупности). Генеральная совокупность это множество физических или юридических лиц, которую исследователь изучает согласно своей задачи. Это часто экономически невыгодно, а иногда и невозможно. В связи с этим изучается только часть генеральной совокупности – выборочная совокупность .

Результаты, полученные на основе выборочной совокупности, можно распространить на генеральную совокупность, если следовать следующим принципам:

1. Выборочная совокупность должна определяться случайным образом.

2. Число единиц выборочной совокупности должно быть достаточным.

3. Должна обеспечиваться репрезентативность ( представительность) выборки. Репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру, но точную модель той генеральной совокупности, которую она должна отражать.

Типы выборок

В практике применяются следующие типы выборок:

а) собственно-случайная, б) механическая, в) типическая, г) серийная, д) комбинированная.

Собственно-случайная выборка

При собственно-случайной выборке отбор единиц выборочной совокупности производится случайным образом, например, посредством жеребьевки или генератора случайных чисел.

Выборки бывают повторные и бесповторные. При повторной выборке единица, попавшая в выборку, возвращается и сохраняет равную возможность снова попасть в выборку. При бесповторной выборке единица совокупности, попавшая в выборку, в дальнейшем в выборке не участвует.

Ошибкиприсущие выборочному наблюдению, возникающие в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную совокупность, называются стандартными ошибками . Они представляют собой среднее квадратичное расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими значениями показателей генеральной совокупности.

Расчетные формулы стандартной ошибки при случайном повторном отборе следующая: , а при случайном бесповторном отборе следующая: , где S 2 – дисперсия выборочной совокупности, n/N – доля выборки, n, N - количества единиц в выборочной и генеральной совокупности. При n = N стандартная ошибка m = 0.

Механическая выборка

При механической выборке генеральная совокупность разбивается на равные интервалы и из каждого интервала случайным образом отбирается по одной единице.

Например, при 2%-ной доли выборки из списка генеральной совокупности отбирается каждая 50-я единица.

Стандартная ошибка механической выборки определяется как ошибка собственно-случайной бесповторной выборки.

Типическая выборка

При типической выборке генеральная совокупность разбивается на однородные типические группы, затем из каждой группы случайным образом производится отбор единиц.

Типической выборкой пользуются в случае неоднородной генеральной совокупности. Типическая выборка дает более точные результаты, потому что обеспечивается репрезентативность.

Например, учителя, как генеральная совокупность, разбиваются на группы по следующим признакам: пол, стаж, квалификация, образование, городские и сельские школы и т.д.

Стандартные ошибки типической выборки определяются как ошибки собственно-случайной выборки, с той лишь разницей, что S 2 заменяется средней величиной от внутригрупповых дисперсий.

Серийная выборка

При серийной выборке генеральная совокупность разбивается на отдельные группы (серии), затем случайным образом выбранные группы подвергаются сплошному наблюдению.

Стандартные ошибки серийной выборки определяются как ошибки собственно-случайной выборки, с той лишь разницей, что S 2 заменяется средней величиной от межгрупповых дисперсий.

Комбинированная выборка

Комбинированная выборка является комбинацией двух или более типов выборок.

Точечная оценка

Конечной целью выборочного наблюдения является нахождение характеристик генеральной совокупности. Так как этого невозможно сделать непосредственно, то на генеральную совокупность распространяют характеристики выборочной совокупности.

Принципиальная возможность определения средней арифметической генеральной совокупности по данным средней выборки доказывается теоремой Чебышева . При неограниченном увеличении n вероятность того, что отличие выборочной средней от генеральной средней будет сколь угодно мало, стремится к 1.

Это означает, что характеристика генеральной совокупности с точностью . Такая оценка называется точечной .

Интервальная оценка

Базисом интервальной оценки является центральная предельная теорема .

Интервальная оценка позволяет ответить на вопрос: внутри какого интервала и с какой вероятностью находится неизвестное, искомое значение параметра генеральной совокупности?

Обычно говорят о доверительной вероятности p = 1 – a, с которой будет находиться в интервале – D < < + D, где D = t кр m > 0 предельная ошибка выборки, a - уровень значимости (вероятность того, что неравенство будет неверным), t кр - критическое значение, которое зависит от значений n и a. При малой выборке n < 30 t кр задается с помощью критического значения t-распределения Стъюдента для двустороннего критиерия с n – 1 степенями свободы с уровнем значимости a (t кр (n – 1, a) находится из таблицы «Критические значения t–распределения Стъюдента», приложение 2). При n > 30, t кр - это квантиль нормального закона распределения (t кр находится из таблицы значений функции Лапласа F(t) = (1 – a)/2 как аргумент). При p = 0,954 критическое значение t кр = 2 при p = 0,997 критическое значение t кр = 3. Это означает, что предельная ошибка обычно больше стандартной ошибки в 2-3 раза.

Таким образом, суть метода выборки заключается в том, что на основании статистических данных некоторой малой части генеральной совокупности удается найти интервал, в котором с доверительной вероятностью p находится искомая характеристика генеральной совокупности (средняя численность рабочих, средний балл, средняя урожайность, среднее квадратичное отклонение и т.д.).

@ Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням ( = 22) со стандартным отклонением 6 дней (S = 6). С вероятностью p = 0,954 определить предельнуюошибку выборочной средней и доверительный интервал средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.

Решение: Предельнаяошибка выборочной средней согласно (1) равна D = 2· 0,6 = 1,2, а доверительный интервал определяется как (22 – 1,2; 22 + 1,2), т.е. (20,8; 23,2).

§6.5 Корреляция и регрессия

Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.

1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
   Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.

Пример №1 .

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероят-ности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла

при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).

Пример 1 . Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона . По определению

или обозначим

,

Значит, параметр , определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.

Пример 2 . Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения , математическое ожидание равно

():

(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f (x) отлична от нуля только при положительных x).

Пример 3 . Случайнаявеличина, распределенная по закону распределения Коши , не имеет среднего значения. Действительно

Свойства математического ожидания .

Свойство 1 . Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.

Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С

Свойство 2 . Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что

Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями

По определению

где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. . Аналогично . Окончательно имеем

Свойство 3 . Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

У			…
Q			…
Х			…
Р			…

Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.

Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения

Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда

Следствие . Постоянныймножитель можно выносить за знак матема-тического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Пример . Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, ве-роятность появления события в каждом из которых равна Р. Чис-ло появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).

Р	1-р	р

Поэтому

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Понятие математического ожидания можно рассмотреть на примере с бросанием игрального кубика. При каждом броске фиксируются выпавшие очки. Для их выражения используются натуральные значения в диапазоне 1 – 6.

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

• среднее значение;
• средняя величина;
• показатель центральной тенденции;
• первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.

В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.

Оно может рассматриваться как:

• средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
• возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
• процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Свойства математического ожидания

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

• находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• полученную сумму делим на количество гномов:
  6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Рабочая формула — М(х)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Этот параметр широко применяется для оценки рисков, особенно если речь идет о финансовых вложениях.
Так, в предпринимательстве расчет математического ожидания выступает в качестве метода для оценивания риска при расчете цен.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов. Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели. Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете. В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется. В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

• наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
• наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

• тактика управления капиталом;
• стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия .

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w) , находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей Р Х величины X :

где - множество всех возможных значений X .

Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение Р Х . Например , если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная борелевская функция Х , то:

Если F(x) - функция распределения X , то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):

при этом интегрируемость X в смысле (* ) соответствует конечности интеграла

В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями х k , k=1, 2 , . , и вероятностями , то

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х) , то

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

Свойства математического ожидания случайной величины.

• Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

C - постоянная;

• M=C.M[X]

• Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:

• Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:

M=M[X]+M[Y]

если X и Y независимы.

если сходится ряд:

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

1. По очереди перемножаем пары: x i на p i .

2. Складываем произведение каждой пары x i p i .

Напрмер , для n = 4 :

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле.