الأعداد الحقيقية، التعريف، الأمثلة. أعداد. الأعداد الحقيقية هي أمثلة حقيقية ولكنها ليست عقلانية

يتم تعريف الأعداد الطبيعية على أنها أعداد صحيحة موجبة. تُستخدم الأعداد الطبيعية لحساب الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. وهنا الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
الصفر عدد طبيعي؟ لا، الصفر ليس عدداً طبيعياً.
كم عدد الأعداد الطبيعية الموجودة؟ هناك مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ ولا يمكن تحديده، لأن هناك مجموعة لا حصر لها من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن جمع الأعداد الطبيعية a و b:

حاصل ضرب الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن حاصل ضرب العددين الطبيعيين a وb:

ج هو دائما عدد طبيعي.

الفرق بين الأعداد الطبيعية ليس هناك دائما عدد طبيعي. فإذا كان الطرح أكبر من المطروح فإن الفرق بين الأعداد الطبيعية يكون عددا طبيعيا، وإلا فلا يكون.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية ليس هناك دائما عدد طبيعي. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث c عدد طبيعي، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b. في هذا المثال، a هو المقسوم، b هو المقسوم عليه، c هو حاصل القسمة.

المقسوم على عدد طبيعي هو العدد الطبيعي الذي يكون الرقم الأول قابلاً للقسمة بالتساوي.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية البسيطة لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. ونقصد هنا الانقسام التام. مثال، أرقام 2؛ 3؛ 5؛ 7 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. هذه أرقام طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددا أوليا.

تسمى الأرقام الأكبر من الواحد وغير الأولية أرقامًا مركبة. أمثلة على الأعداد المركبة:

واحد لا يعتبر رقما مركبا.

تتكون مجموعة الأعداد الطبيعية من رقم واحد وأعداد أولية وأعداد مركبة.

يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N.

خواص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

الخاصية النقابية للإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)؛

الخاصية التبادلية للضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أ)ج = أ(قبل الميلاد)؛

خاصية التوزيع للضرب

أ (ب + ج) = أب + أس؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي أعداد طبيعية، وهي صفر وعكس الأعداد الطبيعية.

الأعداد المقابلة للأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة سالبة، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;…

يُشار إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد النسبية هي أعداد صحيحة وكسور.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي ككسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

يتبين من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري دورته صفر.

يمكن تمثيل أي رقم نسبي على شكل كسر m/n، حيث m عدد صحيح وn عدد طبيعي. لنمثل الرقم 3,(6) من المثال السابق على هذا النحو الكسر:

مثال آخر: يمكن تمثيل الرقم المنطقي 9 ككسر بسيط مثل 18/2 أو 36/4.

مثال آخر: يمكن تمثيل الرقم المنطقي -9 ككسر بسيط مثل -18/2 أو -72/8.

تحتوي هذه المقالة على معلومات أساسية عنها أرقام حقيقية. أولا، يتم إعطاء تعريف الأعداد الحقيقية وإعطاء الأمثلة. يتم عرض موضع الأعداد الحقيقية على خط الإحداثيات بعد ذلك. وفي الختام، يتم تحليل كيفية إعطاء الأعداد الحقيقية في شكل تعبيرات عددية.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة على الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية كتعبيرات

ومن تعريف الأعداد الحقيقية يتضح أن الأعداد الحقيقية هي:

• أي عدد طبيعي
• أي عدد صحيح
• أي جزء عادي (سواء الإيجابية والسلبية)؛
• أي عدد مختلط؛
• أي كسر عشري (موجب، سالب، محدود، دوري لا نهائي، لا نهائي غير دوري).

ولكن في كثير من الأحيان يمكن رؤية الأعداد الحقيقية في النموذج، وما إلى ذلك. علاوة على ذلك، فإن مجموع الأعداد الحقيقية وفرقها وحاصل ضربها وحاصلها هي أيضًا أعداد حقيقية (انظر العمليات مع الأعداد الحقيقية). على سبيل المثال، هذه أرقام حقيقية.

وإذا ذهبت أبعد من ذلك، فمن الأعداد الحقيقية باستخدام العلامات الحسابية، وعلامات الجذر، والدرجات، واللوغاريتمية، والدوال المثلثية، وما إلى ذلك. يمكنك إنشاء جميع أنواع التعبيرات الرقمية، والتي ستكون قيمها أيضًا أرقامًا حقيقية. على سبيل المثال، قيم التعبير و هي أرقام حقيقية.

وفي ختام هذا المقال نلاحظ أن الخطوة التالية في توسيع مفهوم العدد هي الانتقال من الأعداد الحقيقية إلى ارقام مركبة.

فهرس.

• فيلينكين ن.يا. إلخ الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.
• ماكاريتشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي.، نيشكوف كي.آي.، سوفوروفا إس.بي. الجبر: كتاب مدرسي لـ 8 خلايا. المؤسسات التعليمية.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للمتقدمين إلى المدارس الفنية).

حقوق الطبع والنشر من قبل الطلاب الأذكياء

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

مفهوم العدد الحقيقي: عدد حقيقي- (الرقم الحقيقي) أي عدد غير سالب أو سالب أو صفر. بمساعدة الأعداد الحقيقية، قم بالتعبير عن قياسات كل منها الكمية المادية.

حقيقي، أو عدد حقيقينشأت من الحاجة إلى قياس الكميات الهندسية والفيزيائية للعالم. بالإضافة إلى إجراء عمليات استخراج الجذر وحساب اللوغاريتم والحل المعادلات الجبريةإلخ.

الأعداد الصحيحةتشكلت مع تطور العد، وعقلانية مع الحاجة إلى إدارة أجزاء من الكل، ثم تستخدم الأعداد الحقيقية (الحقيقية) لقياس الكميات المستمرة. وهكذا فإن التوسع في مخزون الأعداد محل النظر أدى إلى مجموعة الأعداد الحقيقية التي تتكون بالإضافة إلى الأعداد النسبية من عناصر أخرى تسمى أرقام غير منطقية.

مجموعة الأعداد الحقيقية(يعني ر) هي مجموعات من الأعداد العقلانية وغير العقلانية مجتمعة.

الأعداد الحقيقية مقسمة علىعاقِلو غير منطقي.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية وغالبًا ما يتم استدعاؤها حقيقيأو رقم الخط. تتكون الأعداد الحقيقية من أشياء بسيطة: جميعو أرقام نسبية.

رقم يمكن كتابته على شكل نسبة، حيثمهو عدد صحيح، و نهو عدد طبيعيرقم منطقي.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي بسهولة الكسر النهائيأو كسر عشري دوري لا نهائي.

مثال,

عشري لانهائي، هو كسر عشري يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد العلامة العشرية.

الأرقام التي لا يمكن تمثيلها كما هي أرقام غير منطقية.

مثال:

من السهل تمثيل أي رقم غير منطقي ككسر عشري غير دوري لا نهائي.

مثال,

إنشاء أرقام عقلانية وغير عقلانية مجموعة من الأعداد الحقيقيةتتوافق جميع الأعداد الحقيقية مع نقطة واحدة على خط الإحداثيات تسمى رقم الخط.

بالنسبة للمجموعات الرقمية، يتم استخدام الترميز التالي:

• ن- مجموعة من الأعداد الطبيعية.
• ز- مجموعة من الأعداد الصحيحة.
• س- تعيين الأرقام المنطقية؛
• رهي مجموعة الأعداد الحقيقية

نظرية الكسور العشرية اللانهائية.

يتم تعريف الرقم الحقيقي على أنه عشري لانهائي، أي.:

±أ 0 ,أ 1 أ 2 …أ ن …

حيث ± هو أحد الرموز + أو −، علامة الرقم،

0 هو عدد صحيح موجب،

a 1 ,a 2 ,…a n ,… عبارة عن سلسلة من المنازل العشرية، أي. عناصر المجموعة العددية {0,1,…9}.

يمكن تفسير الكسر العشري اللانهائي على أنه رقم يقع على خط الأعداد بين النقاط المنطقية مثل:

±أ 0 ,أ 1 أ 2 …أ نو ±(أ 0 ,أ 1 أ 2 …أ ن +10 −ن)للجميع ن=0,1,2,…

تتم مقارنة الأعداد الحقيقية على شكل كسور عشرية لا نهائية شيئًا فشيئًا. على سبيل المثال، لنفترض أنه تم إعطاء رقمين موجبين:

α =+أ 0 ,أ 1 أ 2 …أ ن …

β =+ب 0 ,ب 1 ب 2 …ب ن …

لو أ 0 0,الذي - التي α<β ; لو أ0 > ب0الذي - التي α>β . متى أ 0 = ب 0دعنا ننتقل إلى مقارنة المستوى التالي. إلخ. متى α≠β لذلك بعد عدد محدود من الخطوات سيتم العثور على الرقم الأول ن، مثل ذلك أ ن ≠ ب ن. لو ن ن، الذي - التي α<β ; لو أ ن > ب نالذي - التي α>β .

ولكن في الوقت نفسه، من الممل الانتباه إلى حقيقة أن هذا الرقم أ 0 ,أ 1 أ 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 أ 2 …a n +10 −n .لذلك، إذا كان سجل أحد الأرقام المقارنة، بدءًا من رقم معين، عبارة عن كسر عشري دوري، يحتوي على 9 في الفترة، فيجب استبداله بسجل مكافئ، مع صفر في الفترة.

العمليات الحسابية ذات الكسور العشرية اللانهائية هي استمرار مستمر للعمليات المقابلة ذات الأعداد النسبية. على سبيل المثال، مجموع الأعداد الحقيقية α و β هو عدد حقيقي α+β ، والتي تتوفر فيها الشروط التالية:

∀ أ',أ'',ب',ب''∈ س(أ'⩽ α ⩽ أ'')∧ (ب'⩽ β ⩽ ب'')⇒ (أ'+ب'⩽ α + β ⩽ أ ''+ ب'')

يحدد بالمثل العملية عمليه الضربأعداد عشرية لا نهائية.