تحديد ما إذا كانت المتجهات تعتمد خطيا أم لا. الاعتماد الخطي لنظام المتجهات. المتجهات الخطية

في هذه المقالة سوف نغطي:

• ما هي المتجهات الخطية؟
• ما هي شروط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات؟
• ما هي خصائص المتجهات الخطية الموجودة؟
• ما هو الاعتماد الخطي للمتجهات الخطية المتداخلة.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

المتجهات الخطية المتسامتة هي متجهات موازية لخط واحد أو تقع على خط واحد.

مثال 1

شروط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات

يكون المتجهان على خط واحد إذا تحقق أي من الشروط التالية:

• الحالة 1 . يكون المتجهان a وb على خط واحد إذا كان هناك رقم lect بحيث يكون a = lectb؛
• الحالة 2 . المتجهان a وb على خط واحد مع نسب إحداثيات متساوية:

أ = (أ 1 ; أ 2) , ب = (ب 1 ; ب 2) ⇒ أ ∥ ب ⇔ أ 1 ب 1 = أ 2 ب 2

• الحالة 3 . المتجهان a وb متعامدان على خط واحد بشرط أن يكون حاصل الضرب الاتجاهي والمتجه الصفري متساويين:

أ ∥ ب ⇔ أ، ب = 0

ملاحظة 1

الحالة 2 لا ينطبق إذا كان أحد إحداثيات المتجهات صفرًا.

ملاحظة 2

الحالة 3 ينطبق فقط على تلك المتجهات المحددة في الفضاء.

أمثلة على المسائل المتعلقة بدراسة العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات

مثال 1

نحن نفحص المتجهات a = (1; 3) و b = (2; 1) لمعرفة العلاقة الخطية المتداخلة.

كيفية حل؟

في هذه الحالة، من الضروري استخدام شرط العلاقة الخطية المتداخلة الثاني. بالنسبة للمتجهات المحددة يبدو الأمر كما يلي:

المساواة كاذبة من هذا يمكننا أن نستنتج أن المتجهين a و b غير خطيين.

إجابة : أ | | ب

مثال 2

ما هي قيمة m للمتجه a = (1؛ 2) وb = (- 1؛ m) اللازمة لكي تكون المتجهات على خط واحد؟

كيفية حل؟

باستخدام شرط العلاقة الخطية المتداخلة الثاني، ستكون المتجهات على خط واحد إذا كانت إحداثياتها متناسبة:

وهذا يدل على أن م = - 2.

إجابة: م = - 2 .

معايير الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأنظمة المتجهات

نظرية

يعتمد نظام المتجهات في الفضاء المتجه خطيًا فقط إذا كان من الممكن التعبير عن أحد متجهات النظام بدلالة المتجهات المتبقية لهذا النظام.

دليل

دع النظام ه 1 , ه 2 , . . . ، e n يعتمد خطيا. دعونا نكتب تركيبة خطية من هذا النظام تساوي المتجه الصفري:

أ 1 ه 1 + أ 2 ه 2 + . . . + أ ن ه ن = 0

حيث واحد على الأقل من المعاملات المجمعة لا يساوي الصفر.

افترض أ ≠ 0 ك ∈ 1 , 2 , . . . ، ن.

نقسم طرفي المساواة على معامل غير الصفر:

أ ك - 1 (أ ك - 1 أ 1) ه 1 + (أ ك - 1 أ ك) ه ك + . . . + (أ ك - 1 أ ن) ه ن = 0

دعنا نشير إلى:

أ ك - 1 أ م , حيث م ∈ 1 , 2 , . . . , ك - 1 , ك + 1 , ن

في هذه الحالة:

β 1 ه 1 + . . . + β ك - 1 ه ك - 1 + β ك + 1 ه ك + 1 + . . . + β ن ه ن = 0

أو ه ك = (- β 1) ه 1 + . . . + (- β ك - 1) ه ك - 1 + (- β ك + 1) ه ك + 1 + . . . + (- β ن) ه ن

ويترتب على ذلك أنه يتم التعبير عن أحد متجهات النظام من خلال جميع المتجهات الأخرى للنظام. وهو ما يحتاج إلى إثبات (إلخ).

قدرة

دع أحد المتجهات يتم التعبير عنه خطيًا من خلال جميع المتجهات الأخرى للنظام:

ه ك = γ 1 ه 1 + . . . + γ ك - 1 ه ك - 1 + γ ك + 1 ه ك + 1 + . . . + γ ن ه ن

نقوم بنقل المتجه e k إلى الجانب الأيمن من هذه المساواة:

0 = γ 1 ه 1 + . . . + γ ك - 1 ه ك - 1 - ه ك + γ ك + 1 ه ك + 1 + . . . + γ ن ه ن

بما أن معامل المتجه e k يساوي - 1 ≠ 0، فإننا نحصل على تمثيل غير تافه للصفر بواسطة نظام من المتجهات e 1, e 2, . . . ، e n ، وهذا بدوره يعني أن نظام المتجهات هذا يعتمد خطيًا. وهو ما يحتاج إلى إثبات (إلخ).

عاقبة:

• يكون نظام المتجهات مستقلاً خطيًا عندما لا يمكن التعبير عن أي من متجهاته بدلالة جميع المتجهات الأخرى للنظام.
• نظام المتجهات الذي يحتوي على ناقل صفري أو متجهين متساويين يعتمد خطيًا.

خصائص المتجهات المعتمدة خطيا

1. بالنسبة للمتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد، يتم استيفاء الشرط التالي: يكون المتجهان المعتمدان خطيًا على خط واحد. هناك متجهان خطيان يعتمدان خطيًا.
2. بالنسبة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، يتم استيفاء الشرط التالي: ثلاثة نواقل تابعة خطيًا تكون مستوية. (3 نواقل مستوية تعتمد خطيا).
3. بالنسبة للمتجهات ذات الأبعاد n، يتم استيفاء الشرط التالي: تكون المتجهات n + 1 دائمًا معتمدة خطيًا.

أمثلة على حل المسائل التي تتضمن الاعتماد الخطي أو الاستقلال الخطي للمتجهات

مثال 3

دعونا نتحقق من المتجهات أ = 3، 4، 5، ب = - 3، 0، 5، ج = 4، 4، 4، د = 3، 4، 0 من أجل الاستقلال الخطي.

حل. تعتمد المتجهات خطيًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 4

دعونا نتحقق من المتجهات a = 1، 1، 1، b = 1، 2، 0، c = 0، - 1، 1 من أجل الاستقلال الخطي.

حل. نجد قيم المعاملات التي عندها تساوي التركيبة الخطية المتجه الصفري:

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ج 1 = 0

نكتب المعادلة المتجهة بالشكل الخطي:

س 1 + س 2 = 0 × 1 + 2 × 2 - س 3 = 0 × 1 + × 3 = 0

نقوم بحل هذا النظام باستخدام طريقة غاوس:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

من السطر الثاني نطرح الأول من الثالث - الأول:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

من السطر الأول نطرح الثاني، إلى الثالث نضيف الثاني:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

ويترتب على الحل أن النظام لديه العديد من الحلول. هذا يعني أن هناك مجموعة غير صفرية من قيم هذه الأرقام x 1، x 2، x 3 والتي يكون فيها المزيج الخطي من a، b، c يساوي المتجه الصفري. لذلك، فإن المتجهات a، b، c هي تعتمد خطيا.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

يسمى نظام المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك أرقام يختلف واحد منها على الأقل عن الصفر، بحيث تكون المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

إذا تم استيفاء هذه المساواة فقط في حالة الكل، فسيتم استدعاء نظام المتجهات مستقل خطيا.

نظرية.سوف يقوم نظام المتجهات تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد متجهاته على الأقل عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى.

مثال 1.متعدد الحدود عبارة عن مزيج خطي من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلاً خطيًا، نظرًا لأن https متعدد الحدود: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

مثال 2.نظام المصفوفة، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> مستقل خطيًا، نظرًا لأن المجموعة الخطية تساوي مصفوفة صفرية فقط في حالة https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> يعتمد خطياً.

حل.

لنقم بعمل مزيج خطي من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" الارتفاع = "22">.

وبمساواة نفس الإحداثيات للمتجهات المتساوية، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

أخيرا وصلنا

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد من نوعه، لذا فإن المجموعة الخطية من هذه المتجهات تساوي الصفر فقط في الحالة التي تكون فيها جميع المعاملات مساوية للصفر. لذلك، فإن نظام المتجهات هذا مستقل خطيًا.

مثال 4.المتجهات مستقلة خطياً. كيف ستكون أنظمة المتجهات؟

أ).;

ب).?

حل.

أ).لنقم بعمل تركيبة خطية ونساويها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في الفضاء الخطي، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا، فإن المعاملات عند يجب أن تكون مساوية للصفر، على سبيل المثال..gif" width="12" height="23 src=">

نظام المعادلات الناتج لديه حل تافه فريد من نوعه .

منذ المساواة (*) يتم تنفيذه فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - مستقل خطياً؛

ب).دعونا نجعل المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

وبتطبيق المنطق نفسه نحصل على

حل نظام المعادلات بطريقة غاوس نحصل عليه

أو

النظام الأخير لديه عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. وبالتالي، لا يوجد مجموعة صفر من المعاملات التي تحمل المساواة (**) . وبالتالي فإن نظام المتجهات - تعتمد خطيا.

مثال 5نظام المتجهات مستقل خطيًا، ونظام المتجهات مستقل خطيًا..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع، عند ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دعونا نشير .

نحن نحصل

مشاكل للحل المستقل (في الفصول الدراسية)

1. النظام الذي يحتوي على ناقل صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام يتكون من ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا، أ = 0.

3. يعتمد النظام الذي يتكون من متجهين خطيًا فقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي يتم الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق الضرب برقم).

4. إذا قمت بإضافة متجه إلى نظام يعتمد خطيا، فستحصل على نظام يعتمد خطيا.

5. إذا تمت إزالة متجه من نظام مستقل خطيا، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلا خطيا.

6. إذا كان النظام سمستقلة خطيًا، ولكنها تصبح معتمدة خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بيتم التعبير عنها خطيًا من خلال ناقلات النظام س.

ج).نظام المصفوفات في فضاء المصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام المتجهات أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيا. إثبات الاستقلال الخطي لأنظمة المتجهات التالية:

أ).أ+ب، ب، ج.

ب).أ+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–عدد التعسفي

ج).أ+ب، أ+ج، ب+ج.

11. يترك أ،ب،ج– ثلاثة نواقل على المستوى يمكن أن يتكون منها المثلث . هل ستكون هذه المتجهات معتمدة خطيًا؟

12. يتم إعطاء ناقلين أ1=(1، 2، 3، 4)،أ2=(0، 0، 0، 1). أوجد متجهين آخرين رباعيي الأبعاد a3 وa4حتى يتمكن النظام أ1,أ2,a3,a4كانت مستقلة خطيا .

مهمة 1.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا. سيتم تحديد نظام المتجهات بواسطة مصفوفة النظام التي تتكون أعمدتها من إحداثيات المتجهات.

.

حل.دع التركيبة الخطية يساوي الصفر. وبكتابة هذه المساواة بالإحداثيات نحصل على نظام المعادلات التالي:

.

ويسمى هذا النظام من المعادلات الثلاثي. ليس لديها سوى حل واحد . ولذلك فإن المتجهات مستقل خطيا.

المهمة 2.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلاً خطيًا.

.

حل.ثلاثة أبعاد مستقلة خطيًا (انظر المشكلة 1). دعونا نثبت أن المتجه عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات . معاملات التوسع المتجهات يتم تحديدها من نظام المعادلات

.

هذا النظام، مثل النظام الثلاثي، لديه حل فريد من نوعه.

وبالتالي فإن نظام المتجهات تعتمد خطيا.

تعليق. يتم استدعاء المصفوفات من نفس النوع كما في المشكلة 1 الثلاثي ، وفي المشكلة 2 - صعدت الثلاثي . يمكن حل مسألة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات بسهولة إذا كانت المصفوفة المكونة من إحداثيات هذه المتجهات ثلاثية الخطوة. إذا لم يكن للمصفوفة شكل خاص، ثم استخدام تحويلات السلسلة الأولية مع الحفاظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة، يمكن اختزالها إلى شكل مثلثي متدرج.

تحويلات السلسلة الأوليةالمصفوفات (EPS) تسمى العمليات التالية على المصفوفة:

1) إعادة ترتيب الخطوط؛

2) ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛

3) إضافة سلسلة أخرى إلى سلسلة مضروبة في رقم عشوائي.

المهمة 3.أوجد الحد الأقصى للنظام الفرعي المستقل خطيًا واحسب رتبة نظام المتجهات

.

حل.دعونا نختصر مصفوفة النظام باستخدام EPS إلى شكل مثلثي. لشرح الإجراء، نشير إلى السطر الذي يحتوي على رقم المصفوفة المراد تحويلها بالرمز. يشير العمود الموجود بعد السهم إلى الإجراءات التي يجب تنفيذها على صفوف المصفوفة الجاري تحويلها للحصول على صفوف المصفوفة الجديدة.

.

من الواضح أن العمودين الأولين من المصفوفة الناتجة مستقلان خطيًا، والعمود الثالث هو مجموعتهما الخطية، والرابع لا يعتمد على العمودين الأولين. ثلاثة أبعاد تسمى الأساسية. إنها تشكل نظامًا فرعيًا مستقلاً خطيًا أقصى للنظام ، ورتبة النظام ثلاث.

الأساس والإحداثيات

المهمة 4.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات على هذا الأساس على مجموعة المتجهات الهندسية التي تحقق إحداثياتها الشرط .

حل. المجموعة عبارة عن طائرة تمر عبر الأصل. يتكون الأساس التعسفي على المستوى من متجهين غير خطيين. يتم تحديد إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المقابل.

هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة، حيث يمكنك العثور على الأساس باستخدام الإحداثيات.

الإحداثيات المسافات ليست إحداثيات على المستوى، لأنها مرتبطة بالعلاقة أي أنهم ليسوا مستقلين. المتغيرات المستقلة (وتسمى بالمتغيرات الحرة) تحدد بشكل فريد المتجه على المستوى، وبالتالي، يمكن اختيارها كإحداثيات في . ثم الأساس يتكون من ناقلات تقع في مجموعات من المتغيرات الحرة وتتوافق معها و ، إنه .

المهمة 5.أوجد أساس المتجهات وإحداثياتها في هذا الأساس على مجموعة جميع المتجهات في الفضاء التي تتساوى إحداثياتها الفردية مع بعضها البعض.

حل. دعونا نختار، كما في المسألة السابقة، الإحداثيات في الفضاء.

لأن ثم المتغيرات الحرة تحديد المتجه بشكل فريد وبالتالي إحداثياته. الأساس المقابل يتكون من المتجهات.

المهمة 6.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات على هذا الأساس في مجموعة جميع مصفوفات النموذج ، أين - أرقام تعسفية.

حل. كل مصفوفة من يمكن تمثيلها بشكل فريد في النموذج:

هذه العلاقة هي تمدد المتجه بالنسبة للأساس
مع الإحداثيات .

المهمة 7.أوجد البعد وأساس الهيكل الخطي لنظام المتجهات

.

حل.باستخدام EPS، نقوم بتحويل المصفوفة من إحداثيات متجهات النظام إلى شكل مثلثي.

.

أعمدة المصفوفات الأخيرة مستقلة خطيا، والأعمدة أعرب خطيا من خلالهم. ولذلك فإن المتجهات تشكل الأساس ، و .

تعليق. أساس في يتم اختياره بشكل غامض. على سبيل المثال، المتجهات تشكل أيضا الأساس .

تعريف. مزيج خطي من المتجهات a 1 , ..., n مع المعاملات x 1 , ..., x n يسمى المتجه

س 1 أ 1 + ... + س ن أ ن .

تافه، إذا كانت جميع المعاملات x 1 , ..., x n تساوي الصفر.

تعريف. المجموعة الخطية x 1 a 1 + ... + x n a n تسمى غير تافهة، إذا كان أحد المعاملات على الأقل x 1, ..., x n لا يساوي الصفر.

مستقل خطيا، إذا لم يكن هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

أي أن المتجهات a 1, ..., a n مستقلة خطيًا إذا كان x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 إذا وفقط إذا كان x 1 = 0، ..., x n = 0.

تعريف. تسمى المتجهات a 1، ...، a n تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

خصائص المتجهات المعتمدة خطياً:

للمتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد.

هناك متجهان يعتمدان خطيًا على خط واحد. (المتجهات الخطية تعتمد خطيا.)

لنواقل ثلاثية الأبعاد.

ثلاثة نواقل تعتمد خطيا هي متحدة المستوى. (ثلاثة متجهات متحدة المستوى تعتمد خطيًا.)

• بالنسبة للمتجهات ذات الأبعاد n.

  متجهات n + 1 تعتمد دائمًا خطيًا.

أمثلة على المشاكل المتعلقة بالاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للمتجهات:

مثال 1. تحقق مما إذا كانت المتجهات a = (3؛ 4؛ 5)، b = (-3؛ 0؛ 5)، c = (4؛ 4؛ 4)، d = (3؛ 4؛ 0) مستقلة خطيًا .

حل:

ستكون المتجهات معتمدة خطيًا، نظرًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 2. تحقق مما إذا كانت المتجهات a = (1؛ 1؛ 1)، b = (1؛ 2؛ 0)، c = (0؛ -1؛ 1) مستقلة خطيًا.

حل:

	س 1 + س 2 = 0
	س 1 + 2س 2 - س 3 = 0
	س 1 + س 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

اطرح الثاني من السطر الأول؛ أضف سطرًا ثانيًا إلى السطر الثالث:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

يوضح هذا الحل أن النظام لديه العديد من الحلول، أي أن هناك مجموعة غير صفرية من قيم الأعداد x 1، x 2، x 3 بحيث يكون الجمع الخطي للمتجهات a، b، c يساوي المتجه الصفري، على سبيل المثال:

أ + ب + ج = 0

مما يعني أن المتجهات a، b، c تعتمد خطيًا.

إجابة:المتجهات a، b، c تعتمد خطيًا.

مثال 3. تحقق مما إذا كانت المتجهات a = (1؛ 1؛ 1)، b = (1؛ 2؛ 0)، c = (0؛ -1؛ 2) مستقلة خطيًا.

حل:دعونا نجد قيم المعاملات التي يكون عندها الجمع الخطي لهذه المتجهات مساوياً للمتجه الصفري.

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ج 1 = 0

يمكن كتابة هذه المعادلة المتجهة كنظام من المعادلات الخطية

	س 1 + س 2 = 0
	س 1 + 2س 2 - س 3 = 0
	× 1 + 2 × 3 = 0

دعونا نحل هذا النظام باستخدام طريقة غاوس

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

اطرح الأول من السطر الثاني؛ اطرح الأول من السطر الثالث:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

اطرح الثاني من السطر الأول؛ أضف ثانية إلى السطر الثالث.

المقدمة من قبلنا العمليات الخطية على المتجهاتتجعل من الممكن إنشاء تعبيرات مختلفة ل كميات ناقلاتوتحويلها باستخدام الخصائص المحددة لهذه العمليات.

استنادًا إلى مجموعة معينة من المتجهات a 1، ...، a n، يمكنك إنشاء تعبير عن النموذج

حيث أن 1 و... وn هي أرقام حقيقية عشوائية. ويسمى هذا التعبير مزيج خطي من المتجهاتأ 1، ...، ن. تمثل الأرقام α i، i = 1، n معاملات الجمع الخطية. وتسمى أيضًا مجموعة من المتجهات نظام المتجهات.

فيما يتعلق بالمفهوم المقدم حول مجموعة خطية من المتجهات، تنشأ مشكلة وصف مجموعة من المتجهات التي يمكن كتابتها كمجموعة خطية لنظام معين من المتجهات a 1، ...، a n. بالإضافة إلى ذلك، هناك أسئلة طبيعية حول الشروط التي يتم بموجبها تمثيل المتجه في شكل مجموعة خطية، وحول تفرد هذا التمثيل.

التعريف 2.1.يتم استدعاء المتجهات a 1 و... وn تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة من المعاملات α 1 , ... , α n هكذا

α 1 أ 1 + ... + α ن а ن = 0 (2.2)

وواحد على الأقل من هذه المعاملات ليس صفرًا. إذا كانت مجموعة المعاملات المحددة غير موجودة، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

إذا كانت α 1 = ... = α n = 0، فمن الواضح أن α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. ومع أخذ ذلك في الاعتبار، يمكننا أن نقول هذا: المتجهات a 1، ...، و n مستقلة خطيًا إذا كان من المساواة (2.2) أن جميع المعاملات α 1 , ... , α n تساوي الصفر.

تشرح النظرية التالية سبب تسمية المفهوم الجديد بمصطلح "الاعتماد" (أو "الاستقلال")، وتوفر معيارًا بسيطًا للاعتماد الخطي.

نظرية 2.1.لكي تكون المتجهات a 1، ...، و n، n > 1، معتمدة خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحدهما عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

◄ الضرورة. لنفترض أن المتجهات a 1 و... وn تعتمد خطيًا. وفقًا للتعريف 2.1 للاعتماد الخطي، في المساواة (2.2) على اليسار يوجد معامل واحد غير صفري على الأقل، على سبيل المثال α 1. مع ترك الحد الأول على الجانب الأيسر من المساواة، ننقل الباقي إلى الجانب الأيمن، مع تغيير علاماتهم، كالعادة. بقسمة المساواة الناتجة على α 1، نحصل على

أ 1 =-α 2 /α 1 ⋅ أ 2 - ... - α n /α 1 ⋅ أ n

أولئك. تمثيل المتجه a 1 كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية a 2، ...، a n.

قدرة. لنفترض، على سبيل المثال، أن المتجه الأول a 1 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. بنقل جميع الحدود من الجانب الأيمن إلى اليسار نحصل على 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0، أي. مجموعة خطية من المتجهات a 1، ...، n مع المعاملات α 1 = 1، α 2 = - β 2، ...، α n = - β n، يساوي ناقل صفر.في هذه المجموعة الخطية، ليست كل المعاملات صفرًا. وفقا للتعريف 2.1، فإن المتجهات a 1 و... وn تعتمد خطيا.

تمت صياغة تعريف ومعيار الاعتماد الخطي على نحو يتضمن وجود ناقلين أو أكثر. ومع ذلك، يمكننا أيضًا التحدث عن الاعتماد الخطي لمتجه واحد. لتحقيق هذا الاحتمال، بدلًا من عبارة "المتجهات تعتمد خطيًا"، عليك أن تقول "نظام المتجهات يعتمد خطيًا". من السهل أن نرى أن عبارة "نظام ذو متجه واحد يعتمد خطيًا" تعني أن هذا المتجه الفردي يساوي صفرًا (في المجموعة الخطية يوجد معامل واحد فقط، ويجب ألا يساوي الصفر).

مفهوم الاعتماد الخطي له تفسير هندسي بسيط. والبيانات الثلاثة التالية توضح هذا التفسير.

نظرية 2.2.يكون المتجهان معتمدين خطيًا إذا وفقط إذا كانا على استطراد.

◄ إذا كان المتجهان a وb يعتمدان خطيًا، فسيتم التعبير عن أحدهما، على سبيل المثال، من خلال الآخر، أي. a = b لبعض الأعداد الحقيقية . وفقا للتعريف 1.7 يعملالمتجهات لكل رقم، المتجهات a و b على خط واحد.

دع الآن المتجهين a و b يكونان على خط واحد. إذا كان كلاهما صفرًا، فمن الواضح أنهما يعتمدان خطيًا، لأن أي مجموعة خطية منهما تساوي المتجه الصفري. دع أحد هذه المتجهات لا يساوي 0، على سبيل المثال المتجه b. دعونا نشير بـ lect إلى نسبة أطوال المتجهات: lect = |a|/|b|. يمكن أن تكون المتجهات الخطية أحادي الاتجاهأو موجهة بشكل معاكس. وفي الحالة الأخيرة، نغير إشارة α. بعد ذلك، وبالتحقق من التعريف 1.7، أصبحنا مقتنعين بأن a = lectb. وفقاً للنظرية 2.1، فإن المتجهين a وb يعتمدان خطياً.

ملاحظة 2.1.في حالة وجود متجهين، مع الأخذ في الاعتبار معيار الاعتماد الخطي، يمكن إعادة صياغة النظرية المثبتة على النحو التالي: يكون المتجهان على خط واحد فقط إذا تم تمثيل أحدهما على أنه حاصل ضرب الآخر برقم. وهذا معيار مناسب للعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين.

نظرية 2.3.ثلاثة ناقلات تعتمد خطيا إذا وفقط إذا كانت متحد المستوى.

◄ إذا كانت هناك ثلاثة نواقل a وb وc تعتمد خطيًا، فوفقًا للنظرية 2.1، يكون أحدها، على سبيل المثال a، عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى: a = βb + γс. دعونا نجمع أصول المتجهين b وc عند النقطة A. ثم سيكون للمتجهين βb وγс أصل مشترك عند النقطة A وعلى طول وفقا لقاعدة متوازي الأضلاع، مجموعهم هوأولئك. المتجه a سيكون متجهًا ذو الأصل A و النهاية، وهو قمة متوازي الأضلاع المبني على ناقلات المكونات. وبالتالي، فإن جميع المتجهات تقع في نفس المستوى، أي متحدة المستوى.

دع المتجهات a، b، c تكون مستوية. إذا كان أحد هذه المتجهات يساوي صفرًا، فمن الواضح أنه سيكون مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى. يكفي أن تأخذ جميع معاملات المجموعة الخطية التي تساوي الصفر. ومن ثم، يمكننا أن نفترض أن المتجهات الثلاثة جميعها ليست صفرًا. متناسق بدأتمن هذه المتجهات عند نقطة مشتركة O. دع نهاياتها تكون النقاط A، B، C، على التوالي (الشكل 2.1). من خلال النقطة C نرسم خطوطًا موازية للخطوط التي تمر عبر أزواج من النقاط O وA وO وB. وبتحديد نقاط التقاطع كـ A" وB"، نحصل على متوازي الأضلاع OA"CB"، وبالتالي، OC" = OA" + OB". المتجه OA" والمتجه غير الصفري a = OA هما خطيان على خط واحد، وبالتالي يمكن الحصول على أولهما بضرب الثاني في رقم حقيقي α:OA" = αOA. وبالمثل، OB" = βOB، β ∈ R. ونتيجة لذلك، حصلنا على أن OC" = α OA + βOB، أي أن المتجه c عبارة عن مزيج خطي من المتجهات a وb. وفقًا للنظرية 2.1، فإن المتجهات a وb وc تعتمد خطيًا.

نظرية 2.4.أي أربعة ناقلات تعتمد خطيا.

◄ نقوم بإجراء البرهان بنفس المخطط كما في النظرية 2.3. النظر في أربعة ناقلات تعسفية أ، ب، ج، د. إذا كان أحد المتجهات الأربعة صفرًا، أو كان بينهم متجهان على خط واحد، أو كانت ثلاثة من المتجهات الأربعة متحدة المستوى، فإن هذه المتجهات الأربعة تعتمد خطيًا. على سبيل المثال، إذا كان المتجهان a وb على خط واحد، فيمكننا أن نجعل تركيبتهما الخطية αa + βb = 0 بمعاملات غير صفرية، ثم نضيف المتجهين المتبقيين إلى هذه المجموعة، مع أخذ الأصفار كمعاملات. نحصل على مجموعة خطية من أربعة ناقلات تساوي 0، حيث توجد معاملات غير الصفر.

وبالتالي، يمكننا أن نفترض أنه من بين المتجهات الأربعة المختارة، لا توجد متجهات تساوي صفرًا، ولا يوجد متجهان على خط واحد، ولا يوجد ثلاثة متجهات متحدة المستوى. دعونا نختار النقطة O كبداية مشتركة بينهما، ثم ستكون نهايات المتجهات a، b، c، d بعض النقاط A، B، C، D (الشكل 2.2). من خلال النقطة D نرسم ثلاث مستويات موازية للمستويات OBC، OCA، OAB، ولنجعل A، B، C هي نقاط تقاطع هذه المستويات مع الخطوط المستقيمة OA، OB، OS، على التوالي. متوازي السطوح OA" C "B" C" B"DA"، والمتجهات a، b، c تقع على حوافها الخارجة من الرأس O. بما أن الشكل الرباعي OC"DC" هو متوازي أضلاع، فإن OD = OC" + OC". في المقابل، فإن القطعة OC" هي متوازي أضلاع قطري OA"C"B"، لذلك OC" = OA" + OB" و OD = OA" + OB" + OC" .

يبقى أن نلاحظ أن أزواج المتجهات OA ≠ 0 و OA" , OB ≠ 0 و OB" , OC ≠ 0 و OC" هي على خط واحد، وبالتالي، من الممكن تحديد المعاملات α، β، γ بحيث OA" = αOA، OB" = βOB وOC" = γOC. أخيرًا نحصل على OD = αOA + βOB + γOC. وبالتالي، يتم التعبير عن متجه OD من خلال المتجهات الثلاثة الأخرى، وجميع المتجهات الأربعة، وفقًا للنظرية 2.1، تعتمد خطيًا.