المبالغة القياسية. القطع الزائد ومعادلته القانونية

التعريف 7.2.يسمى موضع النقاط في المستوى الذي يكون فيه الفرق بين المسافات إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا مقارنة مبالغ فيها.

ملاحظة 7.2.عند الحديث عن اختلاف المسافات، فإنهم يقصدون أنه يتم طرح مسافة أصغر من مسافة أكبر. وهذا يعني أنه في الواقع، بالنسبة للقطع الزائد، يكون معامل الفرق في المسافات من أي نقطة من نقاطه إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا. #

تعريف القطع الزائد يشبه التعريف الشكل البيضاوي. الفرق بينهما هو فقط أنه بالنسبة للقطع الزائد يكون فرق المسافات إلى النقاط الثابتة ثابتًا، وبالنسبة للقطع الناقص - مجموع نفس المسافات. ولذلك فمن الطبيعي أن تشترك هذه المنحنيات كثيرًا في الخصائص وفي المصطلحات المستخدمة.

تسمى النقاط الثابتة في تعريف القطع الزائد (نشير إليها بـ F 1 و F 2). بؤر المبالغة. تسمى المسافة بينهما (نشير إليها بـ 2s). البعد البؤري، والقطاعات F 1 M و F 2 M، التي تربط نقطة تعسفية M على القطع الزائد ببؤرتها، - نصف القطر البؤري.

يتم تحديد شكل القطع الزائد بالكامل بواسطة البعد البؤري |F 1 F 2 | = 2с وقيمة القيمة الثابتة 2а، تساوي الفرق بين نصف القطر البؤري وموقعه على المستوى - موضع البؤرتين F 1 و F 2 .

من تعريف القطع الزائد، يتبع ذلك، مثل القطع الناقص، فهو متماثل حول خط مستقيم يمر عبر البؤر، وكذلك حول خط مستقيم يقسم القطعة F 1 F 2 إلى النصف ويكون عموديًا عليها ( الشكل 7.7). يسمى أول محاور التماثل هذه المحور الحقيقي للقطع الزائدوالثاني - لها محور وهمي. يسمى الثابت a المتضمن في تعريف القطع الزائد نصف المحور الحقيقي للقطع الزائد.

يقع منتصف القطعة F 1 F 2 التي تربط بؤرتي القطع الزائد عند تقاطع محاور تماثلها وبالتالي يكون مركز تماثل القطع الزائد والذي يسمى ببساطة مركز القطع الزائد.

بالنسبة للقطع الزائد، يجب ألا يكون المحور الحقيقي 2a أكبر من المسافة البؤرية 2c، لأنه بالنسبة للمثلث F 1 MF 2 (انظر الشكل 7.7) فإن عدم المساواة ||F 1 M| - |ف2م| | ≥ |F 1 F 2 |. المساواة a = c تنطبق فقط على تلك النقاط M التي تقع على المحور الحقيقي لتناظر القطع الزائد خارج الفاصل الزمني F 1 F 2 . وبغض النظر عن هذه الحالة المنحطة، فإننا نفترض أيضًا أن أ

معادلة القطع الزائد. دعونا نفكر في بعض القطع الزائدة على المستوى مع البؤر عند النقطتين F 1 و F 2 والمحور الحقيقي 2 أ. دع 2c هو البعد البؤري، 2c = |F 1 F 2 | > 2 أ. وفقًا للملاحظة 7.2، يتكون القطع الزائد من تلك النقاط M(x; y) التي يمثلها | |ف ١ م| - - |ف2م| | = 2 أ. دعنا نختار نظام الإحداثيات المستطيلةأوكسي بحيث يكون مركز القطع الزائد عند أصل، وكانت البؤر موجودة الإحداثي السيني(الشكل 7.8). يسمى هذا النظام الإحداثي للقطع الزائد المدروس العنوان الأساسيوالمتغيرات المقابلة - العنوان الأساسي.

في نظام الإحداثيات الكنسي، توجد بؤر القطع الزائد الإحداثيات F 1 (ج؛ 0) وF 2 (-ج؛ 0). باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، نكتب الشرط ||F 1 M| - |ف2م|| = 2أ في الإحداثيات |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| \u003d 2a، حيث (x; y) هي إحداثيات النقطة M. لتبسيط هذه المعادلة، نتخلص من علامة المعامل: √ ((x - c) 2 + y 2) - √ ((x + c ) 2 + y 2) \u003d ±2a، انقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن وقم بتربيعه: (x - c) 2 + y 2 \u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a √ ((x + ج) 2 + ص 2) + 4أ 2 . بعد التبسيط، نحصل على -εx - a \u003d ± √ ((x + c) 2 + y 2)، أو

√((س + ج) 2 + ص 2) = |εx + أ| (7.7)

حيث ε = ج/أ. نقوم بالتربيع مرة ثانية ونأتي مرة أخرى بمصطلحات مماثلة: (ε 2 - 1) x 2 - y 2 \u003d c 2 - a 2، أو بالنظر إلى المساواة ε \u003d c / a والإعداد b 2 \u003d c 2 - 2,

س 2 / أ 2 - ص 2 / ب 2 \u003d 1 (7.8)

يتم استدعاء القيمة b > 0 نصف محور وهمي للقطع الزائد.

لذلك، أثبتنا أن أي نقطة على القطع الزائد مع البؤرتين F 1 (c; 0) و F 2 (-c; 0) وشبه المحور الحقيقي ترضي المعادلة (7.8). لكن يجب علينا أيضًا أن نوضح أن إحداثيات النقاط خارج القطع الزائد لا تحقق هذه المعادلة. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار عائلة جميع القطع الزائدة ذات البؤرتين المعطاتين F 1 و F 2 . تحتوي هذه العائلة من القطوع الزائدة على محاور تناظر مشتركة. يتضح من الاعتبارات الهندسية أن كل نقطة من المستوى (باستثناء النقاط الواقعة على محور التماثل الحقيقي خارج المجال F1F2 والنقاط الواقعة على المحور التخيلي للتماثل) تنتمي إلى بعض القطع الزائد من العائلة، وواحدة فقط لأن الفرق في المسافات من النقطة إلى البؤرتين F 1 و F 2 يتغير من غلو إلى غلو. دع إحداثيات النقطة M(x; y) تحقق المعادلة (7.8)، ودع النقطة نفسها تنتمي إلى القطع الزائد من العائلة مع بعض القيمة ÷ لنصف المحور الحقيقي. وبعد ذلك، كما أوضحنا، فإن إحداثياتها تحقق المعادلة لذلك، نظام من معادلتين مع مجهولين

لديه حل واحد على الأقل. من خلال التحقق المباشر، نتأكد من أن هذا مستحيل بالنسبة لـ き a. وبالفعل، فإن حذف x على سبيل المثال من المعادلة الأولى:

بعد التحولات نحصل على المعادلة

والتي، بالنسبة لـ ㉠ a، ليس لها حلول، منذ . إذن (7.8) هي معادلة قطع زائد مع نصف محور حقيقي a > 0 ونصف محور وهمي b = √ (с 2 - a 2) > 0. ويطلق عليها اسم المعادلة القانونية للقطع الزائد.

نوع القطع الزائد.في شكله، القطع الزائد (7.8) يختلف بشكل ملحوظ عن القطع الناقص. مع الأخذ في الاعتبار وجود محوري تناظر القطع الزائد، يكفي بناء ذلك الجزء منه الموجود في الربع الأول من نظام الإحداثيات الكنسي. في الربع الأول أي. بالنسبة لـ x ≥ 0، y ≥ 0، يتم حل المعادلة القانونية للقطع الزائد بشكل فريد فيما يتعلق بـ y:

ص \u003d ب / أ √ (س 2 - أ 2). (7.9)

دراسة هذه الدالة y(x) تعطي النتائج التالية.

مجال الدالة هو (x: x ≥ a) وفي هذا المجال تكون متصلة كدالة معقدة، وعند النقطة x = a تكون متصلة على اليمين. الصفر الوحيد للدالة هو النقطة x = a.

دعونا نجد مشتق الدالة y (x): y "(x) \u003d bx / a √ (x 2 - a 2). من هذا نستنتج أنه بالنسبة لـ x> a فإن الدالة تتزايد بشكل رتيب. بالإضافة إلى ذلك، مما يعني أنه عند النقطة x = a من تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور x يوجد مماس رأسي. الدالة y(x) لها مشتق ثان y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 لـ x> a، وهذا المشتق سلبي. لذلك، الرسم البياني للدالة محدب للأعلى، وهناك لا توجد نقاط انعطاف.

الوظيفة المحددة لديها الخط المقاربفهذا يترتب على وجود حدين:

يوصف الخط المقارب المائل بالمعادلة y = (b/a)x.

تسمح لنا دراسة الدالة (7.9) ببناء الرسم البياني الخاص بها (الشكل 7.9)، والذي يتزامن مع جزء القطع الزائد (7.8) الموجود في الربع الأول.

وبما أن القطع الزائد متماثل حول محاوره، فإن المنحنى بأكمله يأخذ الشكل الموضح في الشكل. 7.10. يتكون القطع الزائد من فرعين متماثلين يقعان في مكانين مختلفين

جانب محور التماثل الوهمي. هذه الفروع غير محدودة من كلا الجانبين، والخطوط y = ±(b/a)x هي في نفس الوقت خطوط مقاربة لكل من الفروع اليمنى واليسرى للقطع الزائد.

تختلف محاور التماثل للقطع الزائد من حيث أن المحور الحقيقي يتقاطع مع القطع الزائد، والمحور التخيلي، كونه موضع النقاط المتساوية البعد عن البؤر، لا يتقاطع (ولهذا السبب يطلق عليه اسم وهمي). تسمى نقطتا تقاطع محور التماثل الحقيقي مع القطع الزائد برؤوس القطع الزائد (النقطتان A (a؛ 0) و B (-a؛ 0) في الشكل 7.10).

يجب أن يبدأ بناء القطع الزائد على طول محوريه الحقيقي (2أ) والخيالي (2ب) بمستطيل متمركز في نقطة الأصل والجوانب 2أ و2ب موازية، على التوالي، للمحاور الحقيقية والتخيلية لتناظر القطع الزائد (الشكل 7.11) ). الخطوط المقاربة للقطع الزائد هي استمرارية لأقطار هذا المستطيل، ورؤوس القطع الزائد هي نقاط تقاطع أضلاع المستطيل مع محور التماثل الحقيقي. لاحظ أن المستطيل وموضعه على المستوى يحددان بشكل فريد شكل القطع الزائد وموضعه. تحدد النسبة b/a لجوانب المستطيل درجة ضغط القطع الزائد، ولكن بدلاً من هذه المعلمة، عادةً ما يتم استخدام الانحراف المركزي للقطع الزائد. غريب الأطوار من القطع الزائدتسمى نسبة البعد البؤري إلى المحور الحقيقي. يتم الإشارة إلى الانحراف بواسطة ε. بالنسبة للقطع الزائد الموصوف بالمعادلة (7.8)، ε = c/a. لاحظ أنه إذا القطع الناقص الانحرافيمكن أن تأخذ القيم من نصف الفاصل الزمني)