التوزيع ذو الحدين للمتغيرات العشوائية وخصائصها. التوزيع ذو الحدين لمتغير عشوائي. نواصل حل المشاكل معا

التوزيع ذو الحدين هو أحد أهم التوزيعات الاحتمالية لمتغير عشوائي متغير. التوزيع ذو الحدين هو التوزيع الاحتمالي لرقم محدث أالخامس نملاحظات مستقلة بشكل متبادل. في كثير من الأحيان حدث أيسمى "نجاح" الملاحظة ، والحدث المعاكس - "الفشل" ، لكن هذا التعيين مشروط للغاية.

شروط التوزيع ذي الحدين:

• نفذت في المجموع نالمحاكمات التي الحدث أقد يحدث أو لا يحدث ؛
• حدث أفي كل من التجارب يمكن أن تحدث بنفس الاحتمال ص;
• الاختبارات مستقلة بشكل متبادل.

الاحتمال أن في نحدث الاختبار أبالضبط ممرات ، يمكن حسابها باستخدام معادلة برنولي:

أين ص- احتمال وقوع الحدث أ;

ف = 1 - صهو احتمال وقوع الحدث المعاكس.

دعونا نفهم ذلك لماذا يرتبط التوزيع ذي الحدين بصيغة برنولي بالطريقة الموضحة أعلاه . الحدث - عدد مرات النجاح في نتنقسم الاختبارات إلى عدد من الخيارات ، يتم تحقيق النجاح في كل منها مالمحاكمات والفشل - في ن - مالاختبارات. فكر في أحد هذه الخيارات - ب1 . وفقًا لقاعدة إضافة الاحتمالات ، نضرب احتمالات الأحداث المعاكسة:

,

وإذا أشرنا ف = 1 - ص، الذي - التي

.

نفس الاحتمال سيكون له أي خيار آخر فيه مالنجاح و ن - مالفشل. عدد هذه الخيارات يساوي عدد الطرق التي يمكن من خلالها نالحصول على اختبار منجاح.

مجموع احتمالات الكل مرقم الحدث أ(الأرقام من 0 إلى ن) يساوي واحدًا:

حيث كل مصطلح هو مصطلح من ذات الحدين نيوتن. لذلك ، يسمى التوزيع المدروس بالتوزيع ذي الحدين.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري حساب الاحتمالات "على الأكثر مالنجاح في نالاختبارات "أو" على الأقل مالنجاح في نالاختبارات ". لهذا ، يتم استخدام الصيغ التالية.

وظيفة التكامل ، وهذا هو احتمالا F(م) أنه في نحدث المراقبة ألن يأتي أكثر ممرة واحدة، يمكن حسابها باستخدام الصيغة:

بدوره احتمالا F(≥م) أنه في نحدث المراقبة أتعال على الأقل ممرة واحدة، بواسطة الصيغة:

في بعض الأحيان يكون من الأنسب حساب احتمالية ذلك في نحدث المراقبة ألن يأتي أكثر ممرات ، من خلال احتمال وقوع حدث معاكس:

.

يعتمد استخدام الصيغ على أي منها يحتوي على عدد أقل من المصطلحات.

يتم حساب خصائص التوزيع ذي الحدين باستخدام الصيغ التالية .

القيمة المتوقعة: .

تشتت: .

الانحراف المعياري: .

التوزيع ذو الحدين والحسابات في MS Excel

احتمالية التوزيع ذي الحدين صن ( م) وقيمة الدالة المتكاملة F(م) باستخدام دالة MS Excel BINOM.DIST. يتم عرض نافذة الحساب المقابل أدناه (انقر فوق زر الماوس الأيسر للتكبير).

يتطلب MS Excel إدخال البيانات التالية:

• عدد النجاحات
• عدد الاختبارات
• احتمال النجاح
• متكامل - القيمة المنطقية: 0 - إذا كنت بحاجة إلى حساب الاحتمال صن ( م) و 1 - إذا كان الاحتمال F(م).

مثال 1لخص مدير الشركة معلومات عن عدد الكاميرات المباعة على مدار المائة يوم الماضية. يلخص الجدول المعلومات ويحسب احتمالات بيع عدد معين من الكاميرات يوميًا.

ينتهي اليوم بربح إذا تم بيع 13 كاميرا أو أكثر. احتمال أن يتم تحقيق ربح في اليوم:

احتمال أن يعمل اليوم بدون ربح:

دع احتمالية أن يتم تحقيق ربح في اليوم ثابتًا ويساوي 0.61 ، ولا يعتمد عدد الكاميرات المباعة يوميًا على اليوم. ثم يمكنك استخدام التوزيع ذي الحدين ، حيث يقع الحدث أ- سيتم احتساب اليوم بربح - بدون ربح.

احتمال أن يتم تحقيق ربح خلال 6 أيام:

.

نحصل على نفس النتيجة باستخدام دالة MS Excel BINOM.DIST (قيمة القيمة التكاملية هي 0):

ص 6 (6 ) = BINOM.DIST (6 ؛ 6 ؛ 0.61 ؛ 0) = 0.052.

احتمال أن يتم تحقيق ربح لمدة 4 أيام أو أكثر من 6 أيام:

أين ,

,

باستخدام دالة MS Excel BINOM.DIST ، نحسب احتمال أنه من 6 أيام لن تكتمل أكثر من 3 أيام مع ربح (قيمة القيمة المتكاملة هي 1):

ص 6 (≤3 ) = BINOM.DIST (3، 6، 0.61، 1) = 0.435.

احتمال أن يتم التعامل مع الخسائر من خلال 6 أيام:

,

نحسب نفس المؤشر باستخدام دالة MS Excel BINOM.DIST:

ص 6 (0 ) = BINOM.DIST (0 ؛ 6 ؛ 0.61 ؛ 0) = 0.0035.

قم بحل المشكلة بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 2تحتوي الجرة على 2 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء. يتم إخراج الكرة من الجرة ، ويتم ضبط اللون وإعادته مرة أخرى. المحاولة تتكرر 5 مرات. عدد ظهور الكرات البيضاء هو متغير عشوائي منفصل Xتوزع وفق قانون الحدين. يؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي. تحديد الوضع والتوقع الرياضي والتباين.

نواصل حل المشاكل معا

مثال 3من خدمة البريد السريع ذهب إلى الأشياء ن= 5 سعاة. كل ساعي مع احتمال ص= 0.3 متأخر بالنسبة للكائن بغض النظر عن الأشياء الأخرى. المتغير العشوائي المنفصل X- عدد السعاة المتأخرين. أنشئ سلسلة توزيع لهذا المتغير العشوائي. ابحث عن توقعها الرياضي ، والتباين ، والانحراف المعياري. أوجد احتمالية تأخر اثنين على الأقل من الناقلين عن الأشياء.

مرحبًا! نحن نعلم بالفعل ما هو التوزيع الاحتمالي. يمكن أن تكون منفصلة أو مستمرة ، وقد تعلمنا أنها تسمى توزيع الكثافة الاحتمالية. لنستكشف الآن توزيعتين أكثر شيوعًا. لنفترض أن لدي عملة معدنية ، والعملة الصحيحة ، وسأقوم بقلبها 5 مرات. سأحدد أيضًا متغيرًا عشوائيًا X ، وأشير إليه بحرف كبير X ، وسيكون مساويًا لعدد "النسور" في 5 رميات. ربما لدي 5 عملات معدنية ، سأرميهم جميعًا مرة واحدة وأحسب عدد الرؤوس التي حصلت عليها. أو يمكنني الحصول على عملة واحدة ، يمكنني قلبها 5 مرات وإحصاء عدد المرات التي حصلت فيها على صورة. لا يهم حقًا. ولكن لنفترض أن لدي عملة واحدة وقلبتها 5 مرات. ثم لن يكون لدينا عدم اليقين. إذن هذا هو تعريف المتغير العشوائي الخاص بي. كما نعلم ، يختلف المتغير العشوائي قليلاً عن المتغير العادي ، فهو أشبه بالدالة. يخصص بعض القيمة للتجربة. وهذا المتغير العشوائي بسيط للغاية. نحن فقط نحسب عدد المرات التي سقط فيها "النسر" بعد 5 رميات - هذا هو المتغير العشوائي X. دعنا نفكر في ما قد تكون عليه احتمالات القيم المختلفة في حالتنا؟ إذن ، ما هو احتمال أن تكون X (كبيرة X) تساوي 0؟ أولئك. ما هو احتمال أنه بعد 5 رميات لن يظهر رأسه أبدًا؟ حسنًا ، هذا ، في الواقع ، هو نفس احتمال الحصول على بعض "ذيول" (هذا صحيح ، نظرة عامة صغيرة على نظرية الاحتمالات). يجب أن تحصل على بعض "ذيول". ما هو احتمال كل من هذه "ذيول"؟ هذا 1/2. أولئك. يجب أن يكون 1/2 مرة 1/2 و 1/2 و 1/2 و 1/2 مرة أخرى. أولئك. (1/2) ⁵. 1⁵ = 1 ، اقسم على 2⁵ ، أي في 32. منطقي تماما. لذا ... سأكرر قليلاً ما مررنا به في نظرية الاحتمال. هذا مهم لفهم أين نتحرك الآن وكيف ، في الواقع ، يتم تشكيل التوزيع الاحتمالي المنفصل. إذن ، ما هو احتمال أن نحصل على الرؤوس مرة واحدة بالضبط؟ حسنًا ، ربما تكون الرؤوس قد ظهرت عند أول رمى. أولئك. يمكن أن يكون مثل هذا: "نسر" ، "ذيول" ، "ذيول" ، "ذيول" ، "ذيول". أو يمكن أن تظهر الرؤوس في القرعة الثانية. أولئك. يمكن أن يكون هناك مثل هذا المزيج: "ذيول" ، "رؤوس" ، "ذيول" ، "ذيول" ، "ذيول" وما إلى ذلك. يمكن أن يسقط "نسر" واحد بعد أي من القذفات الخمس. ما هو احتمال كل من هذه المواقف؟ احتمال الحصول على رؤوس هو 1/2. ثم يتم ضرب احتمال الحصول على "ذيول" ، التي تساوي 1/2 ، في 1/2 ، في 1/2 ، في 1/2. أولئك. احتمال كل من هذه المواقف هو 1/32. فضلا عن احتمال الموقف حيث X = 0. في الواقع ، فإن احتمال أي ترتيب خاص للرؤوس والذيل سيكون 1/32. لذا فإن احتمال هذا هو 1/32. واحتمال هذا هو 1/32. وتحدث مثل هذه المواقف لأن "النسر" يمكن أن يسقط على أي من الرميات الخمس. لذلك ، فإن احتمال سقوط "نسر" واحد بالضبط يساوي 5 * 1/32 ، أي 5/32. منطقي تماما. الآن يبدأ الأمر المثير للاهتمام. ما هو الاحتمال ... (سأكتب كل مثال بلون مختلف) ... ما هو احتمال أن يكون المتغير العشوائي 2؟ أولئك. سأرمى قطعة نقود 5 مرات ، وما هو احتمال أن تهبط وجهًا لوجه مرتين؟ هذا أكثر إثارة للاهتمام ، أليس كذلك؟ ما هي المجموعات الممكنة؟ يمكن أن تكون رؤوسًا ، رؤوسًا ، ذيولاً ، ذيولاً ، وذيولاً. يمكن أن يكون أيضًا رؤوسًا ، وذيولًا ، ورؤوسًا ، وذيولًا ، وذيولًا. وإذا كنت تعتقد أن هذين "النسران" يمكنهما الوقوف في أماكن مختلفة من المجموعة ، عندها يمكنك الخلط قليلاً. لم يعد بإمكانك التفكير في المواضع بالطريقة التي فعلناها هنا أعلاه. على الرغم من ... يمكنك ذلك ، فأنت تخاطر فقط بالارتباك. يجب أن تفهم شيئًا واحدًا. لكل من هذه المجموعات ، يكون الاحتمال 1/32. ½ * ½ * ½ * ½ * ½. أولئك. احتمال كل من هذه المجموعات هو 1/32. وعلينا أن نفكر في عدد هذه التركيبات الموجودة التي ترضي حالتنا (2 "نسور")؟ أولئك. في الواقع ، عليك أن تتخيل أن هناك 5 رميات للقطع النقدية ، وتحتاج إلى اختيار 2 منهم ، حيث يسقط "النسر". لنتخيل أن رمياتنا الخمس في دائرة ، تخيل أيضًا أن لدينا كرسيين فقط. ونقول: "حسنًا ، أي واحد منكم سيجلس على هذه الكراسي من أجل النسور؟ أولئك. من منكم سيكون "النسر"؟ ولسنا مهتمين بالترتيب الذي يجلسون به. أعطي مثل هذا المثال ، آمل أن يكون أوضح لك. وقد ترغب في مشاهدة بعض دروس نظرية الاحتمالات حول هذا الموضوع عندما أتحدث عن نيوتن ذات الحدين. لأنني هناك سوف أتعمق في كل هذا بمزيد من التفصيل. لكن إذا فكرت بهذه الطريقة ، فسوف تفهم ما هو المعامل ذي الحدين. لأنه إذا كنت تفكر على هذا النحو: حسنًا ، لدي 5 رميات ، أي رمية ستهبط بالرؤوس الأولى؟ حسنًا ، إليك 5 احتمالات والتي من خلالها سيصيب الوجه الرؤوس الأولى. وكم عدد فرص "النسر" الثاني؟ حسنًا ، القرعة الأولى التي استخدمناها بالفعل سلبت فرصة واحدة للرؤوس. أولئك. موقع رأس واحد في التحرير والسرد مشغول بالفعل بإحدى الرميات. الآن هناك 4 رميات متبقية ، مما يعني أن "النسر" الثاني يمكن أن يسقط على واحدة من 4 رميات. ورأيته هنا. لقد اخترت أن يكون رأسي في الرمية الأولى ، وافترضت أنه في واحدة من 4 رميات متبقية ، يجب أن تظهر الرؤوس أيضًا. لذلك هناك 4 احتمالات فقط هنا. كل ما أقوله هو أنه بالنسبة للرأس الأول لديك 5 مواقع مختلفة يمكنه الهبوط عليها. وللحالة الثانية ، لم يتبق سوى 4 وظائف. فكر في الأمر. عندما نحسب مثل هذا ، يتم أخذ الترتيب في الاعتبار. لكن بالنسبة لنا الآن ، لا يهم بأي ترتيب تتساقط "الرؤوس" و "الذيل". لا نقول إنه "نسر 1" أو "نسر 2". في كلتا الحالتين ، إنه مجرد "نسر". يمكننا أن نفترض أن هذا هو الرأس 1 وهذا هو الرأس 2. أو يمكن أن يكون العكس: يمكن أن يكون "النسر" الثاني ، وهذا هو "الأول". وأقول هذا لأنه من المهم فهم مكان استخدام المواضع وأين يتم استخدام المجموعات. نحن لسنا مهتمين بالتسلسل. لذلك ، في الواقع ، هناك طريقتان فقط لأصل حدثنا. لذلك دعونا نقسم ذلك على 2. وكما سترى لاحقًا ، فهو 2! طرق منشأ حدثنا. إذا كان هناك 3 رؤوس ، فسيكون هناك 3! وسأوضح لك السبب. سيكون ذلك ... 5 * 4 = 20 مقسومًا على 2 يساوي 10. لذلك هناك 10 مجموعات مختلفة من 32 حيث سيكون لديك رأسان بالتأكيد. إذن 10 * (1/32) تساوي 10/32 ، فماذا يساوي ذلك؟ 5/16. سأكتب من خلال معامل ذات الحدين. هذه هي القيمة الموجودة هنا في الأعلى. إذا فكرت في الأمر ، فهذا هو نفس 5! مقسومًا على ... ماذا يعني هذا 5 * 4؟ 5! هو 5 * 4 * 3 * 2 * 1. أولئك. إذا كنت بحاجة فقط إلى 5 * 4 هنا ، فيمكنني تقسيم 5! ل 3! هذا يساوي 5 * 4 * 3 * 2 * 1 مقسومًا على 3 * 2 * 1. ويبقى 5 * 4 فقط. إذن فهو نفس هذا البسط. وبعد ذلك بسبب لسنا مهتمين بالتسلسل ، نحتاج هنا 2. في الواقع ، 2 !. اضرب ب 1/32. سيكون هذا هو احتمال ضرب رأسين بالضبط. ما هو احتمال أن نحصل على رؤوس بالضبط 3 مرات؟ أولئك. احتمال أن x = 3. لذلك ، وفقًا لنفس المنطق ، قد يحدث الظهور الأول للرؤوس في 1 من 5 تقلبات. قد يحدث التكرار الثاني للرؤوس في 1 من 4 رميات متبقية. وقد يحدث التكرار الثالث للرؤوس في 1 من 3 رميات متبقية. كم عدد الطرق المختلفة المتوفرة لترتيب 3 رميات؟ بشكل عام ، كم عدد الطرق المتاحة لترتيب 3 أشياء في أماكنها؟ إنها 3! ويمكنك معرفة ذلك ، أو قد ترغب في إعادة زيارة البرامج التعليمية حيث شرحتها بمزيد من التفصيل. ولكن إذا أخذت الحروف A و B و C ، على سبيل المثال ، فهناك 6 طرق يمكنك من خلالها ترتيبها. يمكنك التفكير في هذه كعناوين. هنا يمكن أن يكون ACB ، CAB. يمكن أن يكون BAC و BCA و ... ما هو الخيار الأخير الذي لم أسميه؟ CBA. هناك 6 طرق لترتيب 3 عناصر مختلفة. نقسم على 6 لأننا لا نريد حساب هذه الطرق الست المختلفة مرة أخرى لأننا نتعامل معها على أنها متكافئة. نحن هنا لسنا مهتمين بعدد الرميات التي ستؤدي إلى ظهور الرؤوس. 5 * 4 * 3 ... يمكن إعادة كتابة هذا كـ 5! / 2 !. وقسمها على 3 أكثر !. هذا ما هو عليه. 3! يساوي 3 * 2 * 1. الثلاثيات تتقلص. يصبح هذا 2. هذا يصبح 1. مرة أخرى ، 5 * 2 ، أي هي 10. لكل حالة احتمال 1/32 ، لذلك هذا مرة أخرى 5/16. وهذا مثير للاهتمام. احتمال حصولك على 3 رؤوس هو نفس احتمال حصولك على رأسين. والسبب في ذلك ... حسنًا ، هناك العديد من الأسباب لحدوث ذلك. ولكن إذا فكرت في الأمر ، فإن احتمال الحصول على 3 رؤوس هو نفس احتمال الحصول على ذيولتين. ويجب أن يكون احتمال الحصول على 3 ذيول هو نفسه احتمال الحصول على رأسين. ومن الجيد أن تعمل القيم على هذا النحو. بخير. ما هو احتمال أن X = 4؟ يمكننا استخدام نفس الصيغة التي استخدمناها من قبل. يمكن أن يكون 5 * 4 * 3 * 2. إذن ، نكتب هنا 5 * 4 * 3 * 2 ... كم عدد الطرق المختلفة الموجودة لترتيب 4 كائنات؟ إنها 4 !. 4! - هذا ، في الواقع ، هذا الجزء ، هنا. هذا 4 * 3 * 2 * 1. إذن ، هذا يلغي ، مع ترك 5. ثم ، كل مجموعة لها احتمال 1/32. أولئك. هذا يساوي 5/32. مرة أخرى ، لاحظ أن احتمال ظهور الصورة 4 مرات يساوي احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة. وهذا منطقي ، لأن. 4 رؤوس هي نفس ذيول واحدة. ستقول: حسنًا ، وفي أي نوع من القذف سيسقط هذا "ذيول"؟ نعم ، هناك 5 مجموعات مختلفة لذلك. ولكل منهم احتمال 1/32. وأخيرًا ، ما هو احتمال أن X = 5؟ أولئك. يرأس 5 مرات على التوالي. يجب أن يكون مثل هذا: "نسر" ، "نسر" ، "نسر" ، "نسر" ، "نسر". كل رأس لديه احتمال 1/2. اضربهم لتحصل على 1/32. يمكنك الذهاب في الاتجاه الآخر. إذا كانت هناك 32 طريقة يمكنك من خلالها الحصول على الرؤوس والذيل في هذه التجارب ، فهذه واحدة منها فقط. يوجد هنا 5 طرق من 32. هنا - 10 من 32. ومع ذلك ، قمنا بإجراء الحسابات ، والآن نحن على استعداد لرسم توزيع الاحتمالات. لكن وقتي انتهى. اسمحوا لي أن أكمل في الدرس التالي. وإذا كنت في حالة مزاجية ، فربما ترسم قبل مشاهدة الدرس التالي؟ اراك قريبا!

في هذه الملاحظات والملاحظات القليلة التالية ، سننظر في النماذج الرياضية للأحداث العشوائية. نموذج رياضيهو تعبير رياضي يمثل متغير عشوائي. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المنفصلة ، يُعرف هذا التعبير الرياضي باسم دالة التوزيع.

إذا كانت المشكلة تسمح لك بكتابة تعبير رياضي بشكل صريح يمثل متغيرًا عشوائيًا ، فيمكنك حساب الاحتمال الدقيق لأي من قيمه. في هذه الحالة ، يمكنك حساب وسرد كافة قيم دالة التوزيع. في التطبيقات التجارية والاجتماعية والطبية ، هناك توزيعات مختلفة للمتغيرات العشوائية. واحدة من أكثر التوزيعات فائدة هي ذات الحدين.

توزيع ثنائييستخدم لنمذجة المواقف التي تتميز بالميزات التالية.

• تتكون العينة من عدد ثابت من العناصر نتمثل نتيجة بعض الاختبارات.
• ينتمي كل عنصر عينة إلى واحدة من فئتين متنافيتين تغطيان مساحة العينة بأكملها. عادةً ما تسمى هاتان الفئتان بالنجاح والفشل.
• احتمالية النجاح صثابت. لذلك ، فإن احتمال الفشل 1 - ص.
• تكون نتيجة أي تجربة (أي نجاح أو فشل) مستقلة عن نتيجة تجربة أخرى. لضمان استقلالية النتائج ، يتم الحصول على عناصر العينة عادةً باستخدام طريقتين مختلفتين. يتم سحب كل عنصر من عناصر العينة بشكل عشوائي من مجموعة لا نهائية دون استبدال أو من مجموعة محدودة مع الاستبدال.

قم بتنزيل الملاحظة أو التنسيق ، أمثلة في التنسيق

يتم استخدام التوزيع ذي الحدين لتقدير عدد النجاحات في عينة تتكون من نالملاحظات. لنأخذ الطلب كمثال. يمكن لعملاء شركة Saxon استخدام نموذج إلكتروني تفاعلي لتقديم طلب وإرساله إلى الشركة. ثم يقوم نظام المعلومات بالتحقق مما إذا كانت هناك أي أخطاء في الطلبات ، وكذلك معلومات غير كاملة أو غير دقيقة. يتم وضع علامة على أي أمر مشكوك فيه وإدراجه في تقرير الاستثناء اليومي. تشير البيانات التي جمعتها الشركة إلى أن احتمال حدوث أخطاء في الطلبات هو 0.1. تود الشركة معرفة ما هو احتمال العثور على عدد معين من الطلبات الخاطئة في عينة معينة. على سبيل المثال ، افترض أن العملاء قد أكملوا أربعة نماذج إلكترونية. ما هو احتمال أن تكون جميع الطلبات خالية من الأخطاء؟ كيف تحسب هذا الاحتمال؟ نعني بالنجاح حدوث خطأ عند ملء النموذج ، وسنعتبر جميع النتائج الأخرى بمثابة فشل. تذكر أننا مهتمون بعدد الطلبات الخاطئة في عينة معينة.

ما هي النتائج التي يمكن أن نلاحظها؟ إذا كانت العينة تتكون من أربعة أوامر ، فقد يكون واحدًا أو اثنان أو ثلاثة أو الأربعة كلها خاطئة ، بالإضافة إلى ذلك ، قد يتم ملؤها جميعًا بشكل صحيح. هل يمكن للمتغير العشوائي الذي يصف عدد النماذج المكتملة بشكل غير صحيح أن يأخذ أي قيمة أخرى؟ هذا غير ممكن لأن عدد النماذج المكتملة بشكل غير صحيح لا يمكن أن يتجاوز حجم العينة نأو كن سالب. وبالتالي ، فإن المتغير العشوائي الذي يخضع لقانون التوزيع ذي الحدين يأخذ القيم من 0 إلى ن.

افترض أنه في عينة من أربعة أوامر ، لوحظت النتائج التالية:

ما هو احتمال العثور على ثلاثة أوامر خاطئة في عينة من أربعة أوامر ، وبالترتيب المحدد؟ بما أن الدراسات الأولية أظهرت أن احتمال حدوث خطأ في إكمال النموذج هو 0.10 ، فإن احتمالات النتائج المذكورة أعلاه تُحسب على النحو التالي:

نظرًا لأن النتائج مستقلة عن بعضها البعض ، فإن احتمال تسلسل النتائج المشار إليه يساوي: p * p * (1-p) * p = 0.1 * 0.1 * 0.9 * 0.1 = 0.0009. إذا كان من الضروري حساب عدد الخيارات X نالعناصر ، يجب عليك استخدام الصيغة المركبة (1):

أين ن! \ u003d n * (n -1) * (n - 2) * ... * 2 * 1 - مضروب الرقم نو 0! = 1 و 1! = 1 بالتعريف.

غالبًا ما يشار إلى هذا التعبير باسم. وبالتالي ، إذا كانت n = 4 و X = 3 ، فإن عدد التسلسلات المكونة من ثلاثة عناصر مستخرجة من عينة بالحجم 4 تُعطى بالصيغة التالية:

لذلك ، يتم حساب احتمال العثور على ثلاثة أوامر خاطئة على النحو التالي:

(عدد التسلسلات الممكنة) *
(احتمال تسلسل معين) = 4 * 0.0009 = 0.0036

وبالمثل ، يمكننا حساب احتمال خطأ واحد أو اثنين من بين أربعة أوامر ، وكذلك احتمال أن تكون جميع الطلبات خاطئة أو كلها صحيحة. ومع ذلك ، مع زيادة حجم العينة نيصبح من الصعب تحديد احتمال سلسلة معينة من النتائج. في هذه الحالة ، يجب تطبيق نموذج رياضي مناسب يصف التوزيع ذي الحدين لعدد الخيارات Xكائنات من عينة تحتوي على نعناصر.

توزيع ثنائي

أين ف (X)- احتمالا Xالنجاح لحجم عينة معين نواحتمال النجاح ص, X = 0, 1, … ن.

انتبه إلى حقيقة أن الصيغة (2) هي إضفاء الطابع الرسمي على الاستنتاجات البديهية. قيمة عشوائية X، مع الامتثال للتوزيع ذي الحدين ، يمكن أن يأخذ أي قيمة عدد صحيح في النطاق من 0 إلى ن. عمل صX(1 - ع)ن – Xهو احتمال تسلسل معين يتكون من Xنجاحات في العينة ، حجمها يساوي ن. تحدد القيمة عدد التوليفات الممكنة المكونة من Xالنجاح في نالاختبارات. لذلك ، لعدد معين من التجارب نواحتمال النجاح صاحتمال تسلسل يتكون من Xالنجاح يساوي

P (X) = (عدد التسلسلات الممكنة) * (احتمال تسلسل معين) =

ضع في اعتبارك أمثلة توضح تطبيق الصيغة (2).

1. لنفترض أن احتمال ملء النموذج بشكل غير صحيح هو 0.1. ما هو احتمال أن تكون ثلاثة من النماذج الأربعة المكتملة خاطئة؟ باستخدام الصيغة (2) ، نحصل على أن احتمال العثور على ثلاثة أوامر خاطئة في عينة من أربعة أوامر يساوي

2. افترض أن احتمال إكمال النموذج بشكل غير صحيح هو 0.1. ما هو احتمال أن تكون ثلاثة نماذج مكتملة على الأقل خاطئة؟ كما هو موضح في المثال السابق ، فإن احتمال أن تكون ثلاثة من النماذج الأربعة المكتملة ستكون خاطئة هو 0.0036. لحساب احتمال اكتمال ثلاثة على الأقل من النماذج الأربعة المكتملة بشكل غير صحيح ، يجب عليك إضافة احتمال أن تكون ثلاثة من بين النماذج الأربعة المكتملة خاطئة ، واحتمال أن تكون جميعها خاطئة من بين النماذج الأربعة المكتملة. احتمالية الحدث الثاني هو

وبالتالي ، فإن احتمال أن تكون ثلاثة نماذج خاطئة على الأقل من بين النماذج الأربعة المكتملة يساوي

P (X> 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0.0036 + 0.0001 = 0.0037

3. افترض أن احتمال إكمال النموذج بشكل غير صحيح هو 0.1. ما هو احتمال أن يكون أقل من ثلاثة من أصل أربعة نماذج مكتملة خطأ؟ احتمالية هذا الحدث

ص (X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

باستخدام الصيغة (2) ، نحسب كل من هذه الاحتمالات:

لذلك ، P (X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

الاحتمالية P (X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. ثم P (X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

كلما زاد حجم العينة نالحسابات المشابهة لتلك التي تم إجراؤها في المثال 3 تصبح صعبة. لتجنب هذه المضاعفات ، تم جدولة العديد من الاحتمالات ذات الحدين مسبقًا. بعض هذه الاحتمالات مبينة في الشكل. 1. على سبيل المثال ، للحصول على احتمال أن X= 2 في ن= 4 و ص= 0.1 ، يجب أن تستخرج من الجدول الرقم عند تقاطع الخط X= 2 وأعمدة ص = 0,1.

أرز. 1. الاحتمال ذو الحدين عند ن = 4, X= 2 و ص = 0,1

يمكن حساب التوزيع ذي الحدين باستخدام دالة Excel = BINOM.DIST () (الشكل 2) ، والتي تحتوي على 4 معلمات: عدد حالات النجاح - X، عدد التجارب (أو حجم العينة) - ن، احتمال النجاح ص، معامل أساسي، والتي تأخذ القيم TRUE (في هذه الحالة ، يتم حساب الاحتمال على الأقل Xأحداث) أو FALSE (في هذه الحالة ، احتمال بالضبط Xأحداث).

أرز. 2. معلمات الوظيفة = BINOM.DIST ()

بالنسبة للأمثلة الثلاثة المذكورة أعلاه ، تظهر الحسابات في الشكل. 3 (انظر أيضًا ملف Excel). يحتوي كل عمود على صيغة واحدة. توضح الأرقام الإجابات على أمثلة الرقم المقابل).

أرز. 3. حساب التوزيع ذي الحدين في Excel لـ ن= 4 و ص = 0,1

خصائص التوزيع ذي الحدين

التوزيع ذو الحدين يعتمد على المعلمات نو ص. يمكن أن يكون التوزيع ذو الحدين إما متماثلًا أو غير متماثل. إذا كانت p = 0.05 ، يكون التوزيع ذو الحدين متماثلًا بغض النظر عن قيمة المعلمة ن. ومع ذلك ، إذا كانت p 0.05 ، يصبح التوزيع منحرفًا. كلما اقتربت قيمة المعلمة صإلى 0.05 وكلما زاد حجم العينة ن، الأضعف هو عدم تناسق التوزيع. وبالتالي ، يتم تحويل توزيع عدد النماذج المكتملة بشكل غير صحيح إلى اليمين ، منذ ذلك الحين ص= 0.1 (الشكل 4).

أرز. 4. رسم بياني للتوزيع ذي الحدين لـ ن= 4 و ص = 0,1

التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدينيساوي منتج حجم العينة نحول احتمالية النجاح ص:

(3) M = E (X) =np

في المتوسط ​​، مع سلسلة طويلة من الاختبارات في عينة من أربعة أوامر ، قد يكون هناك p \ u003d E (X) \ u003d 4 × 0.1 \ u003d 0.4 نماذج مكتملة بشكل غير صحيح.

الانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين

على سبيل المثال ، الانحراف المعياري لعدد النماذج المكتملة بشكل غير صحيح في نظام المعلومات المحاسبية هو:

تم استخدام مواد من كتاب Levin et al. إحصاءات المديرين. - م: ويليامز ، 2004. - ص. 307 - 313

- (التوزيع ذو الحدين) توزيع يسمح لك بحساب احتمالية وقوع أي حدث عشوائي تم الحصول عليه نتيجة مراقبة عدد من الأحداث المستقلة ، إذا كان احتمال حدوث العنصر الأساسي المكون له ... ... القاموس الاقتصادي

- (توزيع برنولي) التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث ما في تجارب مستقلة متكررة ، إذا كان احتمال حدوث هذا الحدث في كل تجربة يساوي p (0 ص 1). بالضبط ، الرقم؟ هناك تكرارات لهذا الحدث ... ... قاموس موسوعي كبير

توزيع ثنائي- - موضوعات الاتصالات والمفاهيم الأساسية EN التوزيع ذي الحدين ...

- (توزيع برنولي) ، التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث ما في تجارب مستقلة متكررة ، إذا كان احتمال حدوث هذا الحدث في كل تجربة هو p (0≤p≤1). وهي عدد تكرارات هذا الحدث ... ... قاموس موسوعي

توزيع ثنائي- 1.49. التوزيع ذو الحدين التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي X منفصل ، مع أخذ أي قيم عدد صحيح من 0 إلى n ، مثل أن x = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، n والمعلمات n = 1 ، 2 ، ... و 0< p < 1, где Источник … قاموس - كتاب مرجعي للمصطلحات المعيارية والتقنية

توزيع برنولي ، التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي X ، والذي يأخذ قيمًا صحيحة مع الاحتمالات ، على التوالي (معامل ذو الحدين ؛ p المعلمة B. R. ، يسمى احتمال نتيجة إيجابية ، والذي يأخذ القيم ... موسوعة رياضية

التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات بعض الأحداث في التجارب المستقلة المتكررة. إذا كان احتمال حدوث حدث في كل تجربة يساوي p و 0 p ≤ 1 ، فإن عدد μ من تكرارات هذا الحدث مع n مستقل ... ... الموسوعة السوفيتية العظمى

- (توزيع برنولي) ، التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث معين في التجارب المستقلة المتكررة ، إذا كان احتمال حدوث هذا الحدث في كل تجربة هو p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … علم الطبيعة. قاموس موسوعي

التوزيع الاحتمالي ذي الحدين- (التوزيع ذو الحدين) التوزيع الملاحظ في الحالات التي تأخذ فيها نتيجة كل تجربة مستقلة (ملاحظة إحصائية) إحدى القيمتين المحتملتين: النصر أو الهزيمة ، التضمين أو الاستبعاد ، زائد أو ... قاموس اقتصادي ورياضي

التوزيع الاحتمالي ذي الحدين- التوزيع الذي يتم ملاحظته في الحالات التي تكون فيها نتيجة كل تجربة مستقلة (ملاحظة إحصائية) تأخذ إحدى القيمتين المحتملتين: النصر أو الهزيمة ، التضمين أو الاستبعاد ، زائد أو ناقص ، 0 أو 1. أي ... ... دليل المترجم الفني

كتب

• نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في المسائل. أكثر من 360 مهمة وتمرين ، د. أ. بورزيخ. يحتوي الدليل المقترح على مهام بمستويات مختلفة من التعقيد. ومع ذلك ، يتم التركيز بشكل رئيسي على المهام ذات التعقيد المتوسط. يتم القيام بذلك عن قصد لتشجيع الطلاب على ...
• نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في المسائل أكثر من 360 مسألة وتمارين ، يحتوي الدليل المقترح على مشاكل ذات مستويات مختلفة من التعقيد. ومع ذلك ، يتم التركيز بشكل رئيسي على المهام ذات التعقيد المتوسط. يتم القيام بذلك عن قصد لتشجيع الطلاب على ...

ضع في اعتبارك التوزيع ذي الحدين ، واحسب توقعاته الرياضية ، والتباين ، والوضع. باستخدام دالة MS EXCEL BINOM.DIST () ، سنرسم دالة التوزيع والرسوم البيانية لكثافة الاحتمال. دعونا نقدر معامل التوزيع p ، والتوقع الرياضي للتوزيع ، والانحراف المعياري. ضع في اعتبارك أيضًا توزيع برنولي.

تعريف. دعهم يعقدون نالاختبارات ، يمكن أن يحدث في كل منها حدثان فقط: حدث "نجاح" مع احتمال ص أو حدث "فشل" مع الاحتمال ف = 1-p (ما يسمى ب مخطط برنولي ،برنوليمحاكمات).

احتمالية الحصول بالضبط x النجاح في هذه ن الاختبارات تساوي:

عدد النجاحات في العينة x هو متغير عشوائي له توزيع ثنائي(إنجليزي) ذات الحدينتوزيع) صو ن – معلمات هذا التوزيع.

أذكر ذلك من أجل التقديم مخططات برنوليوفي المقابل توزيع ثنائي،يجب استيفاء الشروط التالية:

• يجب أن يكون لكل تجربة نتيجتان بالضبط ، يطلق عليهما "نجاح" و "فشل".
• يجب ألا تعتمد نتيجة كل اختبار على نتائج الاختبارات السابقة (اختبار الاستقلال).
• معدل النجاح ص يجب أن تكون ثابتة لجميع الاختبارات.

التوزيع ذو الحدين في MS EXCEL

في MS EXCEL ، بدءًا من الإصدار 2010 ، لـ هناك دالة BINOM.DIST () ، والاسم الإنجليزي هو BINOM.DIST () ، مما يسمح لك بحساب الاحتمال الذي ستحصل عليه العينة بالضبط X"النجاحات" (أي دالة كثافة الاحتمال p (x) ، انظر الصيغة أعلاه) ، و دالة التوزيع المتكاملة(احتمال وجود العينة xأو أقل "نجاحات" ، بما في ذلك 0).

قبل MS EXCEL 2010 ، كان لدى EXCEL وظيفة BINOMDIST () ، والتي تتيح لك أيضًا حساب دالة التوزيعو كثافة الاحتمالص (خ). تم ترك BINOMDIST () في MS EXCEL 2010 للتوافق.

يحتوي ملف المثال على رسوم بيانية كثافة التوزيع الاحتماليةو .

توزيع ثنائيلديه التعيين ب (ن ; ص) .

ملحوظة: للبناء دالة التوزيع المتكاملةنوع مخطط مناسب تمامًا جدول، ل كثافة التوزيع – رسم بياني مع التجميع. لمزيد من المعلومات حول إنشاء المخططات ، اقرأ مقال الأنواع الرئيسية للمخططات.

ملحوظة: لتسهيل كتابة المعادلات في ملف المثال ، تم إنشاء أسماء للمعلمات توزيع ثنائي: ن و ص.

يُظهر ملف المثال حسابات احتمالية مختلفة باستخدام وظائف MS EXCEL:

كما هو موضح في الصورة أعلاه ، من المفترض أن:

• تحتوي المجموعة اللانهائية التي تتكون منها العينة على 10٪ (أو 0.1) عناصر جيدة (معلمة ص، وسيطة الوظيفة الثالثة = BINOM.DIST ())
• لحساب احتمال أن عينة من 10 عناصر (المعلمة ن، الوسيطة الثانية للدالة) سيكون هناك بالضبط 5 عناصر صالحة (الوسيطة الأولى) ، تحتاج إلى كتابة الصيغة: = BINOM.DIST (5، 10، 0.1، FALSE)
• تم تعيين العنصر الأخير الرابع = FALSE ، أي يتم إرجاع قيمة الوظيفة كثافة التوزيع .

إذا كانت قيمة الوسيطة الرابعة = TRUE ، فتُرجع الدالة BINOM.DIST () القيمة دالة التوزيع المتكاملةأو ببساطة دالة التوزيع. في هذه الحالة ، يمكنك حساب احتمال أن يكون عدد العناصر الجيدة في العينة من نطاق معين ، على سبيل المثال ، 2 أو أقل (بما في ذلك 0).

للقيام بذلك ، اكتب الصيغة: = قائمة BINOM.DIST (2، 10، 0.1، TRUE)

ملحوظة: للحصول على قيمة غير صحيحة لـ x،. على سبيل المثال ، ستُرجع الصيغ التالية نفس القيمة: = BINOM.DIST ( 2 ؛ 10 ؛ 0.1 ؛ حقيقي)= BINOM.DIST ( 2,9 ؛ 10 ؛ 0.1 ؛ حقيقي)

ملحوظة: في ملف المثال كثافة الاحتمالو دالة التوزيعتم حسابها أيضًا باستخدام التعريف ووظيفة COMBIN ().

مؤشرات التوزيع

في مثال على ورقة مثالتوجد معادلات لحساب بعض مؤشرات التوزيع:

• = ن * ع ؛
• (الانحراف المعياري التربيعي) = n * p * (1-p) ؛
• = (ن + 1) * ص ؛
• = (1-2 * p) * ROOT (n * p * (1-p)).

نشتق الصيغة توقع رياضيتوزيع ثنائياستخدام مخطط برنولي .

بحكم التعريف ، متغير عشوائي X في مخطط برنولي(متغير برنولي العشوائي) له دالة التوزيع :

هذا التوزيع يسمى توزيع برنولي .

ملحوظة : توزيع برنولي- حالة خاصة توزيع ثنائيمع المعلمة ن = 1.

دعونا ننشئ 3 مصفوفات من 100 رقم باحتمالات مختلفة للنجاح: 0.1 ؛ 0.5 و 0.9. للقيام بذلك ، في النافذة توليد عدد عشوائيقم بتعيين المعلمات التالية لكل احتمال ص:

ملحوظة: إذا قمت بتعيين الخيار نثر عشوائي (البذور عشوائي) ، ثم يمكنك اختيار مجموعة عشوائية معينة من الأرقام المولدة. على سبيل المثال ، من خلال تعيين هذا الخيار = 25 ، يمكنك إنشاء نفس مجموعات الأرقام العشوائية على أجهزة كمبيوتر مختلفة (إذا كانت ، بالطبع ، معلمات التوزيع الأخرى هي نفسها). يمكن أن تأخذ قيمة الخيار قيم عدد صحيح من 1 إلى 32767. اسم الخيار نثر عشوائييمكن أن تربك. سيكون من الأفضل ترجمتها كـ قم بتعيين رقم بأرقام عشوائية .

نتيجة لذلك ، سيكون لدينا 3 أعمدة من 100 رقم ، بناءً على ذلك ، على سبيل المثال ، يمكننا تقدير احتمالية النجاح صحسب الصيغة: عدد النجاحات / 100(سم. مثال على ورقة ملف توليد برنولي).

ملحوظة: ل توزيعات برنوليمع p = 0.5 ، يمكنك استخدام الصيغة = RANDBETWEEN (0 ؛ 1) ، والتي تتوافق مع.

توليد عدد عشوائي. توزيع ثنائي

افترض أن هناك 7 عناصر معيبة في العينة. وهذا يعني أنه من "المحتمل جدًا" أن تكون نسبة المنتجات المعيبة قد تغيرت. ص، وهي سمة من سمات عملية الإنتاج لدينا. على الرغم من أن هذا الموقف "محتمل جدًا" ، إلا أن هناك احتمالًا (خطر ألفا ، خطأ من النوع 1 ، "إنذار كاذب") صبقيت على حالها ، وكان العدد المتزايد من المنتجات المعيبة بسبب أخذ العينات العشوائية.

كما يتضح من الشكل أدناه ، 7 هو عدد المنتجات المعيبة المقبولة لعملية مع p = 0.21 بنفس القيمة ألفا. يوضح هذا أنه عند تجاوز عتبة العناصر المعيبة في العينة ، صزاد "على الأرجح". تعني عبارة "على الأرجح" أن هناك فرصة بنسبة 10٪ فقط (100٪ -90٪) أن الانحراف في النسبة المئوية للمنتجات المعيبة التي تتجاوز الحد الأدنى يرجع إلى أسباب عشوائية فقط.

وبالتالي ، فإن تجاوز الحد الأدنى لعدد المنتجات المعيبة في العينة قد يكون بمثابة إشارة إلى أن العملية قد أصبحت مضطربة وبدأت في إنتاج ب انسبة أعلى من المنتجات المعيبة.

ملحوظة: قبل MS EXCEL 2010 ، كان لدى EXCEL وظيفة CRITBINOM () ، والتي تعادل BINOM.INV (). تم ترك CRITBINOM () في MS EXCEL 2010 والإصدارات الأحدث للتوافق.

علاقة التوزيع ذي الحدين بالتوزيعات الأخرى

إذا كانت المعلمة نتوزيع ثنائييميل إلى اللانهاية و صيميل إلى 0 ، ثم في هذه الحالة توزيع ثنائييمكن تقريبه. من الممكن صياغة الشروط عند التقريب توزيع السميعمل بشكل جيد:

• ص(الأقل صو اكثر ن، كلما كان التقريب أكثر دقة) ؛
• ص >0,9 (معتبرا أن ف =1- ص، يجب إجراء الحسابات في هذه الحالة باستخدام ف(أ Xيحتاج إلى استبداله بـ ن - x). لذلك ، أقل فو اكثر ن، كلما كان التقريب أكثر دقة).

عند 0.110 توزيع ثنائييمكن تقريبه.

بدوره ، توزيع ثنائييمكن أن يكون بمثابة تقدير تقريبي جيد عندما يكون حجم السكان هو N التوزيع الهندسي المفرطأكبر بكثير من حجم العينة n (على سبيل المثال ، N >> n أو n / N يمكنك قراءة المزيد حول العلاقة بين التوزيعات المذكورة أعلاه في المقالة. كما يتم تقديم أمثلة تقريبية هناك ، ويتم شرح الشروط عندما يكون ذلك ممكنًا و بأية دقة.

نصيحة: يمكنك أن تقرأ عن التوزيعات الأخرى لـ MS EXCEL في المقالة.