أمثلة على الحلول المنطقية بطريقة لاغرانج المتغيرة. طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. التحولات الاجتماعية. الدولة والكنيسة

تم الأخذ بعين الاعتبار طريقة لحل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الرتب الأعلى ذات المعاملات الثابتة بطريقة تغيير ثوابت لاجرانج. طريقة لاغرانج قابلة للتطبيق أيضًا في حل أي معادلات خطية غير متجانسة إذا كان النظام الأساسي لحلول المعادلة المتجانسة معروفًا.

محتوى

أنظر أيضا:

طريقة لاغرانج (اختلاف الثوابت)

ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة ذات معاملات ثابتة بترتيب تعسفي ن:
(1) .
طريقة التباين الثابت ، التي أخذناها في الاعتبار لمعادلة الدرجة الأولى ، تنطبق أيضًا على معادلات الطلبات الأعلى.

يتم تنفيذ الحل على مرحلتين. في المرحلة الأولى ، نتجاهل الجانب الأيمن ونحل المعادلة المتجانسة. نتيجة لذلك ، نحصل على حل يحتوي على n من الثوابت التعسفية. في الخطوة الثانية ، نغير الثوابت. أي أننا نعتبر أن هذه الثوابت هي دوال للمتغير المستقل x ونجد شكل هذه الدوال.

على الرغم من أننا نفكر في المعادلات ذات المعاملات الثابتة هنا ، ولكن طريقة لاغرانج قابلة للتطبيق أيضًا في حل أي معادلات خطية غير متجانسة. لهذا ، ومع ذلك ، يجب معرفة النظام الأساسي لحلول المعادلة المتجانسة.

الخطوة 1. حل المعادلة المتجانسة

كما في حالة المعادلات من الدرجة الأولى ، نبحث أولاً عن الحل العام للمعادلة المتجانسة ، معادلة الجزء غير المتجانس الصحيح بالصفر:
(2) .
الحل العام لهذه المعادلة له الشكل:
(3) .
هنا ثوابت اعتباطية. - ن الحلول المستقلة خطيًا للمعادلة المتجانسة (2) ، والتي تشكل النظام الأساسي للحلول لهذه المعادلة.

الخطوة 2. تباين الثوابت - استبدال الدوال بالثوابت

في الخطوة الثانية ، سنتعامل مع تباين الثوابت. بمعنى آخر ، سنستبدل الثوابت بوظائف المتغير المستقل x:
.
أي أننا نبحث عن حل للمعادلة الأصلية (1) بالشكل التالي:
(4) .

إذا استبدلنا (4) في (1) ، فسنحصل على معادلة تفاضلية واحدة لدالة n. في هذه الحالة ، يمكننا ربط هذه الوظائف بمعادلات إضافية. ثم تحصل على معادلات n ، والتي يمكنك من خلالها تحديد دالة n. يمكن كتابة المعادلات الإضافية بطرق مختلفة. لكننا سنفعل ذلك بأبسط صورة للحل. للقيام بذلك ، عند الاشتقاق ، تحتاج إلى مساواة الحدود الصفرية التي تحتوي على مشتقات الدوال. دعنا نوضح هذا.

لتعويض الحل المقترح (4) في المعادلة الأصلية (1) ، نحتاج إلى إيجاد مشتقات أول n من أوامر الدالة المكتوبة بالصيغة (4). ميّز (4) بتطبيق قواعد التفريق بين المجموع والمنتج:
.
دعونا نجمع الأعضاء. أولاً ، نكتب المصطلحات باستخدام مشتقات ، ثم المصطلحات التي بها مشتقات:

.
نفرض الشرط الأول على الوظائف:
(5.1) .
إذن ، سيكون التعبير الخاص بالمشتق الأول فيما يتعلق بـ شكل أبسط:
(6.1) .

بالطريقة نفسها ، نجد المشتق الثاني:

.
نفرض الشرط الثاني على الوظائف:
(5.2) .
ثم
(6.2) .
وما إلى ذلك وهلم جرا. في ظل ظروف إضافية ، نساوي المصطلحات التي تحتوي على مشتقات الوظائف بالصفر.

وبالتالي ، إذا اخترنا المعادلات الإضافية التالية للوظائف:
(5.k) ,
إذن ، فإن المشتقات الأولى فيما يتعلق بـ سيكون لها أبسط صورة:
(6.k) .
هنا .

نجد المشتق n:
(6.n)
.

نعوض بالمعادلة الأصلية (1):
(1) ;






.
نأخذ في الاعتبار أن جميع الوظائف تحقق المعادلة (2):
.
ثم يعطي مجموع المصطلحات التي تحتوي على صفر. نتيجة لذلك ، نحصل على:
(7) .

نتيجة لذلك ، حصلنا على نظام المعادلات الخطية للمشتقات:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ′) .

لحل هذا النظام ، نجد مقادير مشتقات كوظائف في المتغير x. التكامل ، نحصل على:
.
هنا ، ثوابت لم تعد تعتمد على x. بالتعويض في (4) ، نحصل على الحل العام للمعادلة الأصلية.

لاحظ أننا لم نستخدم أبدًا حقيقة أن المعاملات a i ثابتة لتحديد قيم المشتقات. لهذا طريقة لاغرانج قابلة للتطبيق لحل أي معادلات خطية غير متجانسة، إذا كان النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة (2) معروفًا.

أمثلة

يحل المعادلات بطريقة اختلاف الثوابت (لاجرانج).


حل الأمثلة>>>

أنظر أيضا: حل المعادلات من الدرجة الأولى بطريقة التباين الثابت (لاجرانج)
حل المعادلات ذات الترتيب الأعلى بطريقة برنولي
حل المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الرتبة العالية ذات المعاملات الثابتة بالتعويض الخطي

محاضرة 44. معادلات خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية. طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة. (الجانب الأيمن الخاص).

التحولات الاجتماعية. الدولة والكنيسة.

كانت السياسة الاجتماعية للبلاشفة تمليها إلى حد كبير نهجهم الطبقي.بموجب مرسوم صادر في 10 نوفمبر 1917 ، تم إلغاء نظام التركة ، وألغيت الرتب والألقاب والجوائز قبل الثورة. تم تحديد انتخاب القضاة ؛ تم تنفيذ علمنة الدول المدنية. إنشاء تعليم ورعاية طبية مجانيين (مرسوم بتاريخ 31 أكتوبر 1918). كانت المرأة متساوية في الحقوق مع الرجل (المراسيم الصادرة في 16 و 18 ديسمبر 1917). أدخل المرسوم الخاص بالزواج مؤسسة الزواج المدني.

بموجب مرسوم صادر عن مجلس مفوضي الشعب في 20 يناير 1918 ، تم فصل الكنيسة عن الدولة وعن نظام التعليم. تمت مصادرة الكثير من ممتلكات الكنيسة. بطريرك موسكو تيخون وآل روس (انتخب في 5 نوفمبر 1917) في 19 يناير 1918 ، حرم السلطة السوفيتية ودعا إلى القتال ضد البلاشفة.

ضع في اعتبارك معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الثانية

يتم تحديد بنية الحل العام لمثل هذه المعادلة من خلال النظرية التالية:

نظرية 1.يتم تمثيل الحل العام للمعادلة غير المتجانسة (1) كمجموع لبعض الحلول المعينة لهذه المعادلة والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة

دليل. نحن بحاجة إلى إثبات أن المجموع

هو الحل العام للمعادلة (1). دعنا نثبت أولاً أن الوظيفة (3) هي حل المعادلة (1).

استبدال المجموع بالمعادلة (1) بدلاً من في، سوف نحصل على

نظرًا لوجود حل للمعادلة (2) ، فإن التعبير الموجود بين الأقواس الأولى يساوي صفرًا بشكل مماثل. نظرًا لوجود حل للمعادلة (1) ، فإن التعبير بين الأقواس الثانية يساوي و (خ). لذلك فإن المساواة (4) هي هوية. وهكذا ، تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

دعونا نثبت التأكيد الثاني: التعبير (3) هو عامحل المعادلة (1). يجب أن نثبت أن الثوابت التعسفية المتضمنة في هذا التعبير يمكن اختيارها بحيث تتحقق الشروط الأولية:

مهما كانت الأرقام س 0 ، ص 0و (فقط لو × 0تم أخذها من المنطقة التي توجد بها الوظائف أ 1 ، أ 2و و (خ)مستمر).

لاحظ أنه من الممكن التمثيل في النموذج. ثم ، بناءً على الشروط (5) ، لدينا

دعونا نحل هذا النظام ونجد من 1و من 2. دعنا نعيد كتابة النظام على النحو التالي:

لاحظ أن محدد هذا النظام هو المحدد الخاطئ للوظائف 1و في 2في هذه النقطة س = س 0. نظرًا لأن هذه الوظائف مستقلة خطيًا عن طريق الافتراض ، فإن المحدد الخاطئ لا يساوي الصفر ؛ ومن ثم فإن النظام (6) لديه حل محدد من 1و من 2، أي. هناك مثل هذه القيم من 1و من 2، لأي صيغة (3) تحدد حل المعادلة (1) الذي يفي بالشروط الأولية المحددة. Q.E.D.

دعونا ننتقل إلى الطريقة العامة لإيجاد حلول معينة لمعادلة غير متجانسة.

دعونا نكتب الحل العام للمعادلة المتجانسة (2)

سنبحث عن حل معين للمعادلة غير المتجانسة (1) بالصيغة (7) ، مع مراعاة من 1و من 2كما أن بعض الميزات غير المعروفة من X.

دعونا نفرق المساواة (7):

نختار الوظائف المطلوبة من 1و من 2بحيث المساواة

إذا تم أخذ هذا الشرط الإضافي في الاعتبار ، فإن المشتق الأول يأخذ الشكل

الآن بالتفريق بين هذا التعبير نجد:

بالتعويض في المعادلة (1) ، نحصل عليها

تختفي التعبيرات الموجودة في القوسين الأولين بسبب ص 1و y2هي حلول لمعادلة متجانسة. لذلك ، تأخذ المساواة الأخيرة الشكل

وبالتالي ، فإن الوظيفة (7) ستكون حلاً للمعادلة غير المتجانسة (1) إذا كانت الوظائف من 1و من 2استيفاء المعادلتين (8) و (9). دعونا نؤلف نظام المعادلات من المعادلتين (8) و (9).

نظرًا لأن محدد هذا النظام هو محدد Vronsky للحلول المستقلة خطيًا ص 1و y2المعادلة (2) فلا تساوي الصفر. لذلك ، عند حل النظام ، سنجد كلتا الوظيفتين المعينتين لـ X:

حل هذا النظام نجد ، من أين نحصل عليه نتيجة التكامل. بعد ذلك ، نستبدل الدوال الموجودة في الصيغة ، نحصل على الحل العام للمعادلة غير المتجانسة ، حيث توجد ثوابت عشوائية.

الحد الأدنى النظري

في نظرية المعادلات التفاضلية ، هناك طريقة تدعي أن لديها درجة عالية بما فيه الكفاية من العالمية لهذه النظرية.
نحن نتحدث عن طريقة تغيير ثابت تعسفي ، ينطبق على حل فئات مختلفة من المعادلات التفاضلية و
الأنظمة. هذا هو الحال تمامًا عندما تكون النظرية - إذا أخذت إثبات العبارات من الأقواس - ضئيلة ، ولكنها تتيح لك تحقيق
نتائج مهمة ، لذلك سيكون التركيز الرئيسي على الأمثلة.

الفكرة العامة للطريقة سهلة الصياغة. دع المعادلة المعطاة (نظام المعادلات) يصعب حلها أو حتى غير مفهومة ،
كيف حلها. ومع ذلك ، يمكن ملاحظة أنه عند استبعاد بعض المصطلحات من المعادلة ، يتم حلها. ثم يقومون بحل مثل هذا المبسط
المعادلة (النظام) ، احصل على حل يحتوي على عدد معين من الثوابت التعسفية - اعتمادًا على ترتيب المعادلة (الرقم
المعادلات في النظام). ثم يُفترض أن الثوابت في الحل الموجود ليست ثوابت فعلاً ، الحل الموجود
يتم استبداله في المعادلة الأصلية (النظام) ، يتم الحصول على معادلة تفاضلية (أو نظام المعادلات) لتحديد "الثوابت".
هناك خصوصية معينة في تطبيق طريقة اختلاف الثابت التعسفي على مشاكل مختلفة ، ولكن هذه بالفعل تفاصيل ستكون
معروض مع الأمثلة.

دعونا نفكر بشكل منفصل في حل المعادلات الخطية غير المتجانسة للأوامر العليا ، أي معادلات النموذج
.
الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة هو مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة والحل الخاص
معادلة معينة. لنفترض أنه تم بالفعل العثور على الحل العام للمعادلة المتجانسة ، أي أنه تم إنشاء النظام الأساسي للحلول (FSR)
. ثم الحل العام للمعادلة المتجانسة.
من الضروري إيجاد أي حل معين للمعادلة غير المتجانسة. لهذا ، تعتبر الثوابت معتمدة على المتغير.
بعد ذلك ، تحتاج إلى حل نظام المعادلات
.
تضمن النظرية أن هذا النظام من المعادلات الجبرية فيما يتعلق بمشتقات الوظائف له حل فريد.
عند إيجاد الوظائف نفسها ، لا تظهر ثوابت التكامل: بعد كل شيء ، يتم البحث عن أي حل واحد.

في حالة حل أنظمة المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الأولى من النموذج

تظل الخوارزمية دون تغيير تقريبًا. تحتاج أولاً إلى إيجاد FSR لنظام المعادلات المتجانس المقابل ، قم بتكوين المصفوفة الأساسية
النظام ، والأعمدة التي هي عناصر FSR. بعد ذلك ، المعادلة
.
لحل النظام ، نحدد الوظائف ، وبالتالي نجد حلًا خاصًا للنظام الأصلي
(يتم ضرب المصفوفة الأساسية في عمود الميزة الموجود).
نضيفه إلى الحل العام لنظام المعادلات المتجانسة المقابل ، والذي تم بناؤه على أساس FSR الموجود بالفعل.
يتم الحصول على الحل العام للنظام الأصلي.

أمثلة.

مثال 1 المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الأولى.

دعونا نفكر في المعادلة المتجانسة المقابلة (نشير إلى الوظيفة المطلوبة من خلال):
.
يتم حل هذه المعادلة بسهولة عن طريق فصل المتغيرات:

.
الآن نمثل حل المعادلة الأصلية في الصورة ، حيث الوظيفة لم يتم العثور عليها بعد.
نستبدل هذا النوع من الحل في المعادلة الأصلية:
.
كما ترى ، فإن المصطلحين الثاني والثالث على الجانب الأيسر يلغي كل منهما الآخر - وهذه سمة مميزة لطريقة تغيير الثابت التعسفي.

هنا بالفعل - في الواقع ، ثابت تعسفي. هكذا،
.

مثال 2 معادلة برنولي.

نحن نتصرف بشكل مشابه للمثال الأول - نحن نحل المعادلة

طريقة فصل المتغيرات. سيظهر ذلك ، لذلك نحن نبحث عن حل المعادلة الأصلية في الصورة
.
نستبدل هذه الوظيفة في المعادلة الأصلية:
.
ومرة أخرى هناك تخفيضات:
.
هنا عليك أن تتذكر أن تتأكد من عدم فقد الحل عند القسمة على. والحالة تتوافق مع الحل الأصلي
المعادلات. دعونا نتذكره. لذا،
.
دعنا نكتب .
هذا هو الحل. عند كتابة الإجابة ، يجب أن تشير أيضًا إلى الحل الذي تم العثور عليه مسبقًا ، لأنه لا يتوافق مع أي قيمة نهائية
الثوابت.

مثال 3 المعادلات الخطية غير المتجانسة ذات الرتب الأعلى.

نلاحظ على الفور أنه يمكن حل هذه المعادلة بشكل أكثر بساطة ، ولكن من الملائم إظهار الطريقة عليها. على الرغم من بعض المزايا
طريقة تغيير الثابت التعسفي لها أيضًا في هذا المثال.
لذلك ، عليك أن تبدأ بـ FSR للمعادلة المتجانسة المقابلة. تذكر أنه من أجل إيجاد FSR ، الخاصية
المعادلة
.
وهكذا ، الحل العام للمعادلة المتجانسة
.
الثوابت المدرجة هنا يجب أن تكون متنوعة. تجميع النظام

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لبناء حل لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة

أ ن (ر)ض (ن) (ر) + أ ن − 1 (ر)ض (ن − 1) (ر) + ... + أ 1 (ر)ض"(ر) + أ 0 (ر)ض(ر) = F(ر)

يتكون في تغيير الثوابت التعسفية ج كفي القرار العام

ض(ر) = ج 1 ض 1 (ر) + ج 2 ض 2 (ر) + ... + ج ن ض ن (ر)

المعادلة المتجانسة المقابلة

أ ن (ر)ض (ن) (ر) + أ ن − 1 (ر)ض (ن − 1) (ر) + ... + أ 1 (ر)ض"(ر) + أ 0 (ر)ض(ر) = 0

وظائف المساعدة ج ك (ر) ، التي تلبي مشتقاتها النظام الجبري الخطي

محدد النظام (1) هو Wronskian للوظائف ض 1 ,ض 2 ,...,ض ن ، مما يضمن قابليتها الفريدة للحل فيما يتعلق.

إذا كانت المشتقات العكسية مأخوذة بقيم ثابتة لثوابت التكامل ، فإن الوظيفة

هو حل للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة الأصلية. وبالتالي ، يتم تقليل تكامل معادلة غير متجانسة في وجود حل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة إلى تربيعات.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لإنشاء حلول لنظام المعادلات التفاضلية الخطية في الشكل العادي المتجه

يتكون في بناء حل معين (1) في النموذج

أين ض(ر) هو أساس حلول المعادلة المتجانسة المقابلة ، المكتوبة على شكل مصفوفة ، ويتم تعريف دالة المتجه ، التي حلت محل متجه الثوابت التعسفية ، من خلال العلاقة. الحل المطلوب المطلوب (بقيم أولية صفرية عند ر = ر 0 لديه الشكل

بالنسبة لنظام ذي معاملات ثابتة ، يتم تبسيط التعبير الأخير:

مصفوفة ض(ر)ض- 1 (τ)مُسَمًّى مصفوفة كوشيالمشغل أو العامل إل = أ(ر) .

يتم استخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لحل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة. هذا الدرس مخصص للطلاب الذين هم بالفعل على دراية بالموضوع بشكل أو بآخر. إذا كنت قد بدأت للتو في التعرف على جهاز التحكم عن بعد ، أي إذا كنت من إبريق الشاي ، فإنني أوصي بالبدء بالدرس الأول: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة الحل. وإذا كنت قد انتهيت بالفعل ، فيرجى تجاهل الفكرة المسبقة المحتملة بأن الطريقة صعبة. لأنه بسيط.

في أي حالات يتم استخدام طريقة اختلاف الثوابت التعسفية؟

1) يمكن استخدام طريقة تغيير الثابت التعسفي لحلها خطي غير متجانس من الدرجة الأولى. نظرًا لأن المعادلة من الدرجة الأولى ، فإن الثابت (الثابت) هو أيضًا واحد.

2) يستخدم أسلوب اختلاف الثوابت التعسفية في حل بعضها المعادلات الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية. هنا ، يختلف اثنان من الثوابت (الثوابت).

من المنطقي أن نفترض أن الدرس سيتكون من فقرتين .... لقد كتبت هذا الاقتراح ، ولمدة 10 دقائق كنت أفكر بشكل مؤلم في ما يجب إضافته من حماقات ذكية أخرى من أجل الانتقال السلس إلى الأمثلة العملية. لكن لسبب ما ، لا توجد أفكار بعد الأعياد ، رغم أنه يبدو أنني لم أسيء استخدام أي شيء. لذلك دعنا ننتقل مباشرة إلى الفقرة الأولى.

طريقة التباين الثابت التعسفي
لمعادلة الدرجة الأولى الخطية غير المتجانسة

قبل النظر في طريقة تغيير الثابت التعسفي ، من المستحسن أن تكون على دراية بالمقال المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى. في هذا الدرس ، تدربنا أول طريقة لحلها DE غير متجانسة من الدرجة الأولى. هذا الحل الأول ، أذكرك ، يسمى طريقة الاستبدالأو طريقة برنولي(لا ينبغي الخلط بينه وبين معادلة برنولي!!!)

سننظر الآن الطريقة الثانية لحلها- طريقة تغيير ثابت اعتباطي. سأقدم ثلاثة أمثلة فقط ، وسوف آخذها من الدرس أعلاه. لماذا قليل جدا؟ لأنه في الواقع سيكون الحل بالطريقة الثانية مشابهًا جدًا للحل في الطريقة الأولى. بالإضافة إلى ذلك ، وفقًا لملاحظاتي ، يتم استخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية في كثير من الأحيان أقل من طريقة الاستبدال.

مثال 1

(يختلف من المثال رقم 2 من الدرس خطي غير متجانس من الدرجة الأولى)

حل:هذه المعادلة خطية غير متجانسة ولها شكل مألوف:

الخطوة الأولى هي حل معادلة أبسط:
أي أننا نعيد ضبط الجانب الأيمن بغباء - بدلاً من ذلك نكتب صفرًا.
المعادلة ساتصل معادلة مساعدة.

في هذا المثال ، تحتاج إلى حل المعادلة المساعدة التالية:

قبلنا معادلة قابلة للفصلالتي لم يعد حلها (آمل) صعبًا عليك:

هكذا:
هو الحل العام للمعادلة المساعدة.

في الخطوة الثانية يستبدلثابت للبعض حتى الآنوظيفة غير معروفة تعتمد على "x":

ومن هنا اسم الطريقة - نغير الثابت. بدلاً من ذلك ، يمكن أن يكون الثابت عبارة عن دالة علينا إيجادها الآن.

في أوليمعادلة غير متجانسة لنستبدل:

البديل و في المعادلة :

لحظة التحكم - إلغاء الحدين على الجانب الأيسر. إذا لم يحدث هذا ، يجب أن تبحث عن الخطأ أعلاه.

نتيجة للاستبدال ، يتم الحصول على معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. افصل بين المتغيرات ودمجها.

يا لها من نعمة ، يتقلص الدعاة أيضًا:

نضيف ثابت "عادي" للدالة التي تم العثور عليها:

في المرحلة النهائية ، نذكر بديلنا:

وجدت الوظيفة للتو!

لذا فإن الحل العام هو:

إجابة:قرار مشترك:

إذا قمت بطباعة الحلين ، فستلاحظ بسهولة أنه في كلتا الحالتين وجدنا نفس التكاملات. الاختلاف الوحيد في خوارزمية الحل.

الآن شيء أكثر تعقيدًا ، سأعلق أيضًا على المثال الثاني:

مثال 2

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية
(يختلف من المثال رقم 8 من الدرس خطي غير متجانس من الدرجة الأولى)

حل:نأتي بالمعادلة إلى النموذج :

اضبط الجانب الأيمن على الصفر وحل المعادلة المساعدة:

الحل العام للمعادلة المساعدة:

في المعادلة غير المتجانسة ، سنقوم بالاستبدال:

وفقًا لقاعدة تمايز المنتج:

البديل و في المعادلة الأصلية غير المتجانسة:

يُلغى المصطلحان الموجودان على الجانب الأيسر ، مما يعني أننا على المسار الصحيح:

نتكامل بالأجزاء. يتم بالفعل تضمين حرف لذيذ من صيغة التكامل حسب الأجزاء في الحل ، لذلك نستخدم ، على سبيل المثال ، الحرفين "a" و "be":

الآن دعونا نلقي نظرة على البديل:

إجابة:قرار مشترك:

ومثال واحد للحل الذاتي:

مثال 3

أوجد حلًا معينًا للمعادلة التفاضلية المطابقة للشرط الأولي المحدد.

,
(الاختلاف من مثال الدرس 4 خطي غير متجانس من الدرجة الأولى)
حل:
هذا DE خطي غير متجانس. نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. لنحل المعادلة المساعدة:

نفصل المتغيرات وندمج:

قرار مشترك:
في المعادلة غير المتجانسة ، سنقوم بالاستبدال:

لنقم بالاستبدال:

لذا فإن الحل العام هو:

ابحث عن حل معين يتوافق مع الشرط الأولي المحدد:

إجابة:حل خاص:

يمكن أن يكون الحل في نهاية الدرس بمثابة نموذج تقريبي لإنهاء المهمة.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية
لمعادلة الدرجة الثانية الخطية غير المتجانسة
مع معاملات ثابتة

غالبًا ما سمع المرء الرأي القائل بأن طريقة اختلاف الثوابت التعسفية لمعادلة من الدرجة الثانية ليست بالأمر السهل. لكني أعتقد ما يلي: على الأرجح ، تبدو الطريقة صعبة للكثيرين ، لأنها ليست شائعة جدًا. لكن في الواقع ، لا توجد صعوبات معينة - مسار القرار واضح وشفاف ومفهوم. و جميل.

لإتقان الطريقة ، من المستحسن أن تكون قادرًا على حل المعادلات غير المتجانسة من الدرجة الثانية عن طريق اختيار حل معين وفقًا لشكل الجانب الأيمن. تمت مناقشة هذه الطريقة بالتفصيل في المقالة. DE غير متجانسة من الدرجة الثانية. نتذكر أن المعادلة الخطية غير المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة لها الشكل:

طريقة الاختيار ، التي تم أخذها في الاعتبار في الدرس أعلاه ، تعمل فقط في عدد محدود من الحالات ، عندما تكون كثيرة الحدود ، الأس ، الجيب ، جيب التمام على الجانب الأيمن. ولكن ماذا تفعل عندما تكون على اليمين ، على سبيل المثال ، كسر ، لوغاريتم ، ظل؟ في مثل هذه الحالة ، تأتي طريقة اختلاف الثوابت في الإنقاذ.

مثال 4

أوجد الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية

حل:يوجد كسر في الجانب الأيمن من هذه المعادلة ، لذا يمكننا أن نقول على الفور أن طريقة اختيار حل معين لا تعمل. نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

لا شيء ينذر بعاصفة رعدية ، بداية الحل عادية تمامًا:

لنجد قرار مشتركمناسب متجانسالمعادلات:

نؤلف ونحل المعادلة المميزة:


- يتم الحصول على جذور معقدة مقترنة ، لذا فإن الحل العام هو:

انتبه إلى سجل الحل العام - إذا كانت هناك أقواس ، فافتحها.

الآن نقوم بنفس الحيلة تقريبًا كما في المعادلة من الدرجة الأولى: نغير الثوابت ، ونستبدلها بوظائف غير معروفة. إنه، الحل العام للغير متجانسسنبحث عن المعادلات بالصيغة:

أين - حتى الآنوظائف غير معروفة.

يبدو وكأنه مكب نفايات ، لكننا سنقوم الآن بفرز كل شيء.

مشتقات الوظائف تعمل كمجهول. هدفنا هو إيجاد المشتقات ، ويجب أن تحقق المشتقات الموجودة المعادلتين الأولى والثانية للنظام.

من أين تأتي "الألعاب"؟ اللقلق يجلبهم. ننظر إلى الحل العام الذي تم الحصول عليه مسبقًا ونكتب:

لنجد المشتقات:

تعامل مع الجانب الأيسر. ماذا يوجد على اليمين؟

هو الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية ، في هذه الحالة:

المعامل هو المعامل عند المشتق الثاني:

من الناحية العملية ، دائمًا تقريبًا ، ومثالنا ليس استثناءً.

تم توضيح كل شيء ، يمكنك الآن إنشاء نظام:

عادة ما يتم حل النظام وفقًا لصيغ كرامرباستخدام الخوارزمية القياسية. الاختلاف الوحيد هو أنه بدلاً من الأرقام لدينا وظائف.

ابحث عن المحدد الرئيسي للنظام:

إذا نسيت كيف يتم الكشف عن المحدد "اثنان في اثنين" ، فارجع إلى الدرس كيف تحسب المحدد؟الرابط يؤدي إلى مجلس العار =)

إذن ، فإن النظام لديه حل فريد.

نجد المشتق:

لكن هذا ليس كل شيء ، فقد وجدنا حتى الآن المشتق فقط.
يتم استعادة الوظيفة نفسها عن طريق التكامل:

لنلقِ نظرة على الوظيفة الثانية:

هنا نضيف ثابت "عادي"

في المرحلة الأخيرة من الحل ، نتذكر في أي شكل كنا نبحث عن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة؟ في مثل:

الميزات التي تحتاجها تم العثور عليها للتو!

يبقى إجراء التبديل وكتابة الإجابة:

إجابة:قرار مشترك:

من حيث المبدأ ، يمكن أن تفتح الإجابة الأقواس.

يتم إجراء فحص كامل للإجابة وفقًا للمخطط القياسي ، والذي تم اعتباره في الدرس. DE غير متجانسة من الدرجة الثانية. لكن التحقق لن يكون سهلاً ، حيث يتعين علينا إيجاد مشتقات ثقيلة إلى حد ما وإجراء استبدال مرهق. هذه ميزة سيئة عندما تحل فرقًا كهذه.

مثال 5

يحل المعادلة التفاضلية بطريقة تغيير الثوابت التعسفية

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". في الواقع ، الجانب الأيمن أيضًا كسر. بالمناسبة ، نتذكر الصيغة المثلثية ، يجب تطبيقها على طول الطريق.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية هي الطريقة الأكثر عالمية. يمكنهم حل أي معادلة يمكن حلها طريقة اختيار حل معين حسب شكل الجانب الأيمن. السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا لا تستخدم طريقة الاختلاف التعسفي للثوابت هناك أيضا؟ الجواب واضح: اختيار حل معين ، والذي تم النظر فيه في الدرس المعادلات غير المتجانسة من الدرجة الثانية، يسرع الحل بشكل كبير ويقصر التدوين - لا يعبث بالمحددات والتكاملات.

النظر في مثالين مع مشكلة كوشي.

مثال 6

أوجد حلًا معينًا للمعادلة التفاضلية المطابقة لشروط أولية معينة

,

حل:مرة أخرى ، الكسر والأس في مكان مثير للاهتمام.
نستخدم طريقة اختلاف الثوابت التعسفية.

لنجد قرار مشتركمناسب متجانسالمعادلات:



- يتم الحصول على جذور حقيقية مختلفة ، فالحل العام هو:

الحل العام للغير متجانسنبحث عن معادلات بالصيغة: أين - حتى الآنوظائف غير معروفة.

لنقم بإنشاء نظام:

في هذه الحالة:
,
إيجاد المشتقات:
,

هكذا:

نحل النظام باستخدام معادلات كرامر:
، لذلك فإن النظام لديه حل فريد.

نستعيد الوظيفة بالتكامل:

تستخدم هنا طريقة إحضار دالة تحت علامة تفاضلية.

نستعيد الوظيفة الثانية بالتكامل:

يتم حل هذا التكامل طريقة الاستبدال المتغير:

من الاستبدال نفسه ، نعبر عن:

هكذا:

يمكن إيجاد هذا التكامل طريقة اختيار المربع الكامل، لكن في الأمثلة التي تحتوي على فرق ، أفضل توسيع الكسر طريقة المعاملات غير المؤكدة:

تم العثور على كلتا الوظيفتين:

نتيجة لذلك ، فإن الحل العام للمعادلة غير المتجانسة هو:

ابحث عن حل معين يلبي الشروط الأولية .

من الناحية الفنية ، يتم البحث عن حل بطريقة قياسية ، والتي تمت مناقشتها في المقالة. المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية.

انتظر ، الآن سنجد مشتق الحل العام الموجود:

هنا مثل هذا العار. ليس من الضروري تبسيطها ، فمن الأسهل تكوين نظام معادلات على الفور. حسب الشروط الاولية :

عوّض بالقيم التي تم إيجادها للثوابت في حل عام:

في الإجابة ، يمكن تعبئة اللوغاريتمات قليلاً.

إجابة:حل خاص:

كما ترى ، يمكن أن تنشأ الصعوبات في التكاملات والمشتقات ، ولكن ليس في خوارزمية طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. لم أكن أنا من أرهبك ، هذه كلها مجموعة من كوزنتسوف!

للاسترخاء ، مثال أخير ، أبسط ، يحل نفسه بنفسه:

مثال 7

حل مشكلة كوشي

,

المثال بسيط ، ولكنه مبدع ، عندما تنشئ نظامًا ، انظر إليه بعناية قبل أن تقرر ؛-) ،




نتيجة لذلك ، الحل العام هو:

ابحث عن حل معين يتوافق مع الشروط الأولية .



نستبدل القيم التي تم العثور عليها من الثوابت في الحل العام:

إجابة:حل خاص: