الأعداد الحقيقية والتعريف والأمثلة. أعداد. الأعداد الحقيقية هي أمثلة حقيقية ولكنها ليست أمثلة منطقية

يتم تعريف الأعداد الطبيعية على أنها أعداد صحيحة موجبة. تستخدم الأعداد الطبيعية لعد الأشياء ولأغراض أخرى كثيرة. ها هي الأرقام:

هذه سلسلة طبيعية من الأرقام.
الصفر رقم طبيعي؟ لا ، الصفر ليس عددًا طبيعيًا.
كم عدد الأعداد الطبيعية هناك؟ هناك مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية.
ما هو أصغر عدد طبيعي؟ واحد هو أصغر عدد طبيعي.
ما هو أكبر عدد طبيعي؟ لا يمكن تحديده ، لأن هناك مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية.

مجموع الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن ، جمع الأعداد الطبيعية أ وب:

ناتج الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي. إذن ، حاصل ضرب الأعداد الطبيعية أ و ب:

c دائمًا رقم طبيعي.

اختلاف الأعداد الطبيعية لا يوجد دائمًا عدد طبيعي. إذا كان الحد الأدنى أكبر من المطروح ، فإن الفرق في الأعداد الطبيعية هو عدد طبيعي ، وإلا فهو ليس كذلك.

حاصل قسمة الأعداد الطبيعية لا يوجد دائمًا عدد طبيعي. إذا كان للأعداد الطبيعية أ و ب

حيث c عدد طبيعي ، فهذا يعني أن a يقبل القسمة على b بالتساوي. في هذا المثال ، a هو المقسوم ، b هو القاسم ، c هو حاصل القسمة.

المقسوم على العدد الطبيعي هو الرقم الطبيعي الذي يقبل القسمة على الرقم الأول بالتساوي.

كل عدد طبيعي يقبل القسمة على 1 وعلى نفسه.

الأعداد الطبيعية البسيطة لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. هنا نقصد الانقسام التام. مثال ، الأرقام 2 ؛ 3 ؛ 5 ؛ 7 يقبل القسمة على 1 وعلى نفسها. هذه أرقام طبيعية بسيطة.

واحد لا يعتبر عددًا أوليًا.

تسمى الأعداد الأكبر من واحد والتي ليست أولية بالأرقام المركبة. أمثلة على الأرقام المركبة:

واحد لا يعتبر رقمًا مركبًا.

تتكون مجموعة الأعداد الطبيعية من واحد ، أعداد أولية وأرقام مركبة.

يُشار إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N.

خصائص جمع وضرب الأعداد الطبيعية:

خاصية التبديل من إضافة

الملكية الترابطية للإضافة

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) ؛

خاصية تبادلية الضرب

الخاصية الترابطية للضرب

(أب) ج = أ (قبل الميلاد) ؛

خاصية التوزيع الضرب

أ (ب + ج) = أب + ج ؛

الأعداد الكلية

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية ، صفر وعكس الأعداد الطبيعية.

الأعداد المقابلة للأرقام الطبيعية هي أعداد صحيحة سالبة ، على سبيل المثال:

1; -2; -3; -4;…

يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف اللاتيني Z.

أرقام نسبية

الأعداد النسبية هي أعداد صحيحة وكسور.

يمكن تمثيل أي رقم كسري في صورة كسر دوري. أمثلة:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

يمكن أن نرى من الأمثلة أن أي عدد صحيح هو كسر دوري بفترة صفر.

يمكن تمثيل أي عدد نسبي في صورة كسر m / n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. دعنا نمثل الرقم 3 ، (6) من المثال السابق ككسر:

مثال آخر: يمكن تمثيل الرقم المنطقي 9 ككسر بسيط في صورة 18/2 أو 36/4.

مثال آخر: يمكن تمثيل الرقم المنطقي -9 ككسر بسيط مثل -18/2 أو -72/8.

تحتوي هذه المقالة على معلومات أساسية حول أرقام حقيقية. أولاً ، تم تقديم تعريف الأعداد الحقيقية وإعطاء أمثلة. يتم عرض موضع الأرقام الحقيقية على خط الإحداثيات بعد ذلك. وفي الختام ، يتم تحليل كيفية إعطاء الأعداد الحقيقية في شكل تعبيرات عددية.

التنقل في الصفحة.

تعريف وأمثلة من الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية كتعبيرات

من تعريف الأعداد الحقيقية ، يتضح أن الأعداد الحقيقية هي:

• أي رقم طبيعي
• أي عدد صحيح
• أي جزء عادي (موجب وسالب) ؛
• أي عدد مختلط
• أي كسر عشري (موجب ، سالب ، محدود ، دوري لانهائي ، لانهائي غير دوري).

ولكن في كثير من الأحيان يمكن رؤية الأرقام الحقيقية في الشكل ، وما إلى ذلك. علاوة على ذلك ، فإن مجموع الأعداد الحقيقية وفرقها وحاصل ضربها وحاصل قسمةها هي أيضًا أرقام حقيقية (انظر عمليات بأرقام حقيقية). على سبيل المثال ، هذه أرقام حقيقية.

وإذا ذهبت إلى أبعد من ذلك ، فمن الأعداد الحقيقية باستخدام العلامات الحسابية ، وعلامات الجذر ، والدرجات ، والدوال اللوغاريتمية ، والدوال المثلثية ، إلخ. يمكنك تكوين جميع أنواع التعبيرات العددية ، والتي ستكون قيمها أيضًا أرقامًا حقيقية. على سبيل المثال ، قيم التعبير و هي أرقام حقيقية.

في ختام هذه المقالة ، نلاحظ أن الخطوة التالية في توسيع مفهوم العدد هي الانتقال من الأعداد الحقيقية إلى ارقام مركبة.

فهرس.

• فيلينكين ن. إلخ الرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية.
• ماكاريشيف يو إن ، مينديوك نج ، نيشكوف كي ، سوفوروفا إس بي. الجبر: كتاب مدرسي لثماني خلايا. المؤسسات التعليمية.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

حقوق التأليف والنشر من قبل الطلاب الأذكياء

كل الحقوق محفوظة.
محمي بقانون حقوق التأليف والنشر. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع ، بما في ذلك المواد الداخلية والتصميم الخارجي ، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

مفهوم الرقم الحقيقي: عدد حقيقي- (رقم حقيقي) ، أي رقم غير سالب أو سالب أو صفر. بمساعدة الأرقام الحقيقية ، عبر عن قياسات كل منها الكمية المادية.

حقيقي، أو عدد حقيقينشأت من الحاجة إلى قياس الكميات الهندسية والفيزيائية للعالم. بالإضافة إلى ذلك ، لإجراء عمليات استخراج الجذر ، وحساب اللوغاريتم ، والحل المعادلات الجبريةإلخ.

عدد صحيحتشكلت مع تطور العد ، والعقلانية مع الحاجة إلى إدارة أجزاء من الكل ، ثم الأعداد الحقيقية (الحقيقية) تستخدم لقياس الكميات المستمرة. وبالتالي ، أدى التوسع في مخزون الأرقام التي يتم النظر فيها إلى مجموعة الأرقام الحقيقية ، والتي تتكون ، بالإضافة إلى الأرقام المنطقية ، من عناصر أخرى تسمى أرقام غير منطقية.

مجموعة الأعداد الحقيقية(يعني ر) هي مجموعات الأعداد المنطقية وغير المنطقية مجتمعة.

الأعداد الحقيقية مقسومة علىعاقِلو غير منطقي.

يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام الحقيقية وغالبًا ما يتم استدعاؤها حقيقيأو رقم الخط. الأعداد الحقيقية تتكون من أشياء بسيطة: جميعو أرقام نسبية.

رقم يمكن كتابته على شكل نسبة ، أينمهو عدد صحيح و نهو رقم طبيعيرقم منطقي.

يمكن تمثيل أي رقم منطقي بسهولة كـ الكسر الأخيرأو كسر عشري دوري لانهائي.

مثال,

عشري لانهائي، هو كسر عشري يحتوي على عدد لا نهائي من الأرقام بعد الفاصلة العشرية.

الأرقام التي لا يمكن تمثيلها كما هي أرقام غير منطقية.

مثال:

من السهل تمثيل أي رقم غير نسبي ككسر عشري غير متناهٍ وغير دوري.

مثال,

الأعداد المنطقية وغير المنطقية تخلق مجموعة من الأعداد الحقيقية.جميع الأرقام الحقيقية تتوافق مع نقطة واحدة على خط الإحداثيات ، وهو ما يسمى رقم الخط.

بالنسبة للمجموعات العددية ، يتم استخدام الترميز التالي:

• ن- مجموعة الأعداد الطبيعية ؛
• ض- مجموعة من الأعداد الصحيحة.
• س- تعيين الأرقام المنطقية؛
• رهي مجموعة الأعداد الحقيقية.

نظرية الكسور العشرية اللانهائية.

يتم تعريف الرقم الحقيقي على أنه عشري لانهائي، أي.:

± أ 0 ، أ 1 أ 2 ... أ ن ...

حيث ± هي أحد الرموز + أو - ، علامة الرقم ،

0 هو عدد صحيح موجب ،

أ 1 ، أ 2 ، ... أ ن ، ... هي سلسلة من المنازل العشرية ، أي عناصر مجموعة عددية {0,1,…9}.

يمكن تفسير الكسر العشري اللانهائي كرقم موجود على خط الأعداد بين النقاط المنطقية مثل:

± أ 0 ، أ 1 أ 2 ... أ نو ± (أ 0 ، أ 1 أ 2 ... أ ن +10 n)للجميع ن = 0،1،2 ، ...

مقارنة الأعداد الحقيقية مثل الكسور العشرية اللانهائية تحدث شيئًا فشيئًا. على سبيل المثال، افترض أنه تم إعطاء رقمين موجبين:

α = + أ 0 ، أ 1 أ 2 ... أ ن ...

β = + ب 0 ، ب 1 ب 2 ... ب ن ...

لو أ 0 0 ،الذي - التي α<β ؛ لو a0> b0الذي - التي α>β . متى أ 0 = ب 0دعنا ننتقل إلى مقارنة المستوى التالي. إلخ. متى α≠β ، لذلك بعد عدد محدود من الخطوات سيتم العثور على الرقم الأول ن، مثل ذلك أ ن ≠ ب ن. لو أ ن ن، الذي - التي α<β ؛ لو أ ن> ب نالذي - التي α>β .

لكن في الوقت نفسه ، من الممل الانتباه إلى حقيقة أن الرقم أ 0 ، أ 1 أ 2 ... أ ن (9) = أ 0 ، أ 1 أ 2 ... أ ن +10 −n.لذلك ، إذا كان سجل أحد الأرقام المقارنة ، بدءًا من رقم معين ، هو كسر عشري دوري ، له 9 في الفترة ، فيجب استبداله بسجل مكافئ ، مع صفر في الفترة.

العمليات الحسابية ذات الكسور العشرية اللانهائية هي استمرار مستمر للعمليات المقابلة بأرقام منطقية. على سبيل المثال، مجموع الأعداد الحقيقية α و β هو رقم حقيقي α+β والتي تستوفي الشروط التالية:

∀ أ ′ ، أ ′ ′ ، ب ′ ، ب ′ ′∈ س (أ ′⩽ α ⩽ أ'')∧ (ب'⩽ β ⩽ ب'')⇒ (أ ′ + ب ′⩽ α + β ⩽ أ ′ ′ + ب ′ ′)

يحدد بالمثل العملية عمليه الضربالكسور العشرية اللانهائية.