Fsr مستنقع متجانس. حل أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية

الطريقة الغوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات اللازمة في الطريقة الغوسية؛ طريقة غاوس غير مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

دعونا نفكر في طرق أخرى لحل الأنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتختصر حل أي نظام ثابت لحل النظام الذي تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1.أوجد حلاً عاماً لنظام المعادلات الخطية التالي باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل خاص للنظام غير المتجانس.

1. صنع مصفوفة أومصفوفة النظام الموسعة (1)

2. اكتشف النظام (1) من أجل العمل الجماعي. للقيام بذلك، نجد صفوف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width = "17" height = "26 src = ">). إذا تبين ذلك، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك إذن هذا النظام ثابت وسنقوم بحله. (تعتمد دراسة التوافق على نظرية كرونيكر-كابيلي).

أ. نجد را.

لايجاد را، سننظر بالتتابع إلى العناصر الثانوية غير الصفرية للأوامر الأولى والثانية وما إلى ذلك من المصفوفة أوالقاصرين المحيطين بهم.

م1=1≠0 (نأخذ 1 من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة أ).

نحن الحدود م1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م1السطر الثاني والعمود الثالث..gif" width="37" height="20 src=">. الآن نحدد الحدود الثانوية غير الصفرية م2′الدرجة الثانية.

لدينا: (نظرًا لأن العمودين الأولين متماثلان)

(لأن السطرين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك ص = 2، a هو الأساس الثانوي للمصفوفة أ.

ب. نجد.

قاصر الأساسية إلى حد ما م2′المصفوفات أحدود بعمود من المصطلحات المجانية وجميع الصفوف (لدينا الصف الأخير فقط).

. إنه يتبع هذا م3 ''يبقى القاصر الأساسي للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

لأن م2′- أساس ثانوي للمصفوفة أأنظمة (2) فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (ل م2′موجود في أول صفين من المصفوفة A).

(3)

منذ الثانوية الأساسية https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

يوجد في هذا النظام نوعان من المجهولين الحرين ( ×2 و ×4 ). لهذا FSR أنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم، نقوم بتعيين مجهولين مجانيين في (4) القيم أولا ×2=1 , ×4=0 ، وثم - س2=0 , ×4=1 .

في ×2=1 , ×4=0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن العثور عليه باستخدام قاعدة كرامر أو أي طريقة أخرى). وبطرح الأولى من المعادلة الثانية نحصل على:

سيكون الحل لها ×1= -1 , س3=0 . نظرا للقيم ×2 و ×4 ، الذي قدمناه، نحصل على الأول الحل الأساسيأنظمة (2) : .

الآن نحن نؤمن (4) س2=0 , ×4=1 . نحن نحصل:

.

نحن نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR أنظمة (2) . ثم سيكون الحل العام لها

γ= ج1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

هنا ج1 , ج2 - الثوابت التعسفية.

4. دعونا نجد واحدة خاص حل نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 ، بدلاً من النظام (1) دعونا نفكر في نظام مكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن ×2و ×4.

(6)

دعونا نعطي المجهول مجانا ×2 و ×4 القيم التعسفية، على سبيل المثال، س2=2 , ×4=1 ووضعهم فيها (6) . دعونا الحصول على النظام

هذا النظام لديه القرار الوحيد( بما أنه محدد M2′0). وبحلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس)، نحصل عليها س1=3 , س3=3 . نظرا لقيم المجهولة الحرة ×2 و ×4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1=(3,2,3,1).

5. الآن كل ما تبقى هو كتابته الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المبلغ حل خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) استبدال في (1) . إذا تحولت كل معادلة إلى الهوية ( ج1 و ج2 يجب تدميرها)، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال، فقط المعادلة الأخيرة للنظام (1) (س1 + س2 + س3 ‑9 س4 =‑1) .

نحصل على: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

حيث -1=-1. لقد حصلنا على هوية. نحن نفعل هذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون الفحص مرهقًا جدًا. يمكن التوصية بـ "الفحص الجزئي" التالي: في الحل العام للنظام (1) قم بتعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدل الحل الجزئي الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) ، والتي لم تكن مدرجة في (5) ). إذا حصلت على هويات، ثم اكثر اعجابا، حل النظام (1) تم العثور عليه بشكل صحيح (ولكن مثل هذا الفحص لا يوفر ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال، إذا كان في (7) يضع ج2=- 1 , ج1=1، فنحصل على: x1=-3، x2=3، x3=-1، x4=0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) نحصل على: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، أي –1=–1. لقد حصلنا على هوية.

مثال 2.إيجاد حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معبراً عن المجهولات الأساسية من حيث المجهولات الحرة.

حل.كما في مثال 1، إنشاء المصفوفات أوhttps://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام تلك (1) التي تدخل معاملاتها في هذا القاصر الأساسي (أي لدينا المعادلتين الأوليين) ونعتبر نظامًا يتكون منهما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

نظام (9) نحن نحل المشكلة باستخدام طريقة غاوس، مع اعتبار الأطراف اليمنى حدودًا حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width = "192" height = "106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

النظام المتجانس يكون دائمًا متسقًا وله حل تافه
. لكي يوجد حل غير بديهي، من الضروري أن تكون رتبة المصفوفة كان أقل من عدد المجهولين:

.

النظام الأساسي للحلول نظام متجانس
استدعاء نظام من الحلول في شكل ناقلات الأعمدة
، والتي تتوافق مع الأساس القانوني، أي. الأساس الذي الثوابت التعسفية
يتم ضبطها بالتناوب على واحد، في حين يتم ضبط الباقي على الصفر.

ثم الحل العام للنظام المتجانس له الشكل:

أين
- الثوابت التعسفية. بمعنى آخر، الحل الشامل هو مزيج خطي من نظام الحلول الأساسي.

وبالتالي، يمكن الحصول على الحلول الأساسية من الحل العام إذا أعطيت المجهولات الحرة قيمة واحد على التوالي، مع جعل جميع الآخرين يساوي الصفر.

مثال. دعونا نجد حلا للنظام

لنقبل، ثم نحصل على الحل في الصورة:

دعونا الآن نبني نظامًا أساسيًا للحلول:

.

سيتم كتابة الحل العام على النحو التالي:

تتميز حلول نظام المعادلات الخطية المتجانسة بالخصائص التالية:

بمعنى آخر، أي مجموعة خطية من الحلول لنظام متجانس هي مرة أخرى حل.

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

لقد أثار حل أنظمة المعادلات الخطية اهتمام علماء الرياضيات لعدة قرون. تم الحصول على النتائج الأولى في القرن الثامن عشر. في عام 1750، نشر ج. كرامر (1704-1752) أعماله حول محددات المصفوفات المربعة واقترح خوارزمية للعثور على المصفوفة العكسية. في عام 1809، أوضح غاوس طريقة حل جديدة تُعرف باسم طريقة الحذف.

تتمثل طريقة غاوس، أو طريقة الحذف المتسلسل للمجهول، في حقيقة أنه باستخدام التحويلات الأولية، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئ لشكل خطوة (أو ثلاثي). تتيح مثل هذه الأنظمة العثور على جميع الأشياء المجهولة بالتسلسل وبترتيب معين.

لنفترض أنه في النظام (1)
(وهو أمر ممكن دائما).

(1)

ضرب المعادلة الأولى واحدة تلو الأخرى بما يسمى أرقام مناسبة

وبجمع نتيجة الضرب مع معادلات النظام المقابلة نحصل على نظام مكافئ لن يكون فيه مجهول في جميع المعادلات باستثناء الأولى X 1

(2)

دعونا الآن نضرب المعادلة الثانية للنظام (2) في الأعداد المناسبة، بافتراض ذلك

,

وإضافتها إلى العناصر السفلية نحذف المتغير من جميع المعادلات ابتداء من الثالثة.

مواصلة هذه العملية بعد
الخطوة التي نحصل عليها:

(3)

إذا كان واحدا على الأقل من الأرقام
لا يساوي الصفر، فإن المساواة المقابلة متناقضة والنظام (1) غير متسق. على العكس من ذلك، لأي نظام رقم مشترك
تساوي الصفر. رقم ليس أكثر من رتبة مصفوفة النظام (1).

يسمى الانتقال من النظام (1) إلى (3). إلى الأمام بشكل مستقيم طريقة جاوس وإيجاد المجهولات من (3) – إلى الوراء .

تعليق : من الملائم إجراء التحويلات ليس باستخدام المعادلات نفسها، ولكن باستخدام المصفوفة الموسعة للنظام (1).

مثال. دعونا نجد حلا للنظام

.

لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام:

.

دعونا نضيف أول واحد إلى الأسطر 2،3،4، مضروبًا في (-2)، (-3)، (-2) على التوالي:

.

لنقم بتبديل الصفين 2 و 3، ثم في المصفوفة الناتجة أضف الصف 2 إلى الصف 4، مضروبًا في :

.

أضف إلى السطر 4 السطر 3 مضروبًا في
:

.

من الواضح أن
وبالتالي فإن النظام متسق. من نظام المعادلات الناتج

نجد الحل بالتعويض العكسي :

,
,
,
.

مثال 2.البحث عن حل للنظام:

.

ومن الواضح أن النظام غير متناسق، لأنه
، أ
.

مزايا طريقة غاوس :

أقل كثافة في العمالة من طريقة كريمر.

يحدد بشكل لا لبس فيه توافق النظام ويسمح لك بإيجاد حل.

يجعل من الممكن تحديد رتبة أي مصفوفات.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك!!!

لفهم ما هو عليه نظام القرار الأساسييمكنك مشاهدة فيديو تعليمي لنفس المثال بالنقر فوق. الآن دعنا ننتقل إلى وصف الكل العمل الضروري. سيساعدك هذا على فهم جوهر هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

كيفية العثور على النظام الأساسي للحلول لمعادلة خطية؟

لنأخذ على سبيل المثال نظام المعادلات الخطية التالي:

دعونا نجد حلا لهذا النظام الخطيالمعادلات بادئ ذي بدء، نحن تحتاج إلى كتابة مصفوفة المعاملات للنظام.

دعونا نحول هذه المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة.نعيد كتابة السطر الأول دون تغيير. وجميع العناصر الموجودة تحت $a_(11)$ يجب أن تكون أصفارًا. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(21)$، عليك طرح الأول من السطر الثاني، وكتابة الفرق في السطر الثاني. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(31)$، عليك طرح الأول من السطر الثالث وكتابة الفرق في السطر الثالث. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(41)$، عليك طرح الأول مضروبًا في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(31)$، عليك طرح الأول مضروبًا في 2 من السطر الخامس وكتابة الفرق في السطر الخامس.

نعيد كتابة السطرين الأول والثاني دون تغيير. وجميع العناصر الموجودة تحت $a_(22)$ يجب أن تكون أصفارًا. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(32)$، عليك طرح العنصر الثاني مضروبًا في 2 من السطر الثالث وكتابة الفرق في السطر الثالث. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(42)$، عليك طرح الثانية مضروبة في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لإنشاء صفر بدلاً من العنصر $a_(52)$، عليك طرح الثانية مضروبة في 3 من السطر الخامس وكتابة الفرق في السطر الخامس.

نحن نرى ذلك الأسطر الثلاثة الأخيرة هي نفسهافإذا طرحت الثالث من الرابع والخامس أصبحا صفراً.

وفقا لهذه المصفوفة اكتب نظام جديدالمعادلات.

نلاحظ أن لدينا فقط ثلاث معادلات مستقلة خطيًا، وخمسة مجاهيل، وبالتالي فإن نظام الحلول الأساسي يتكون من متجهين. لذلك نحن نحن بحاجة إلى نقل المجهولين الأخيرين إلى اليمين.

والآن، نبدأ في التعبير عن المجهولات الموجودة على الجانب الأيسر من خلال المجهولات الموجودة على الجانب الأيمن. نبدأ بالمعادلة الأخيرة، أولا نعبر عن $x_3$، ثم نعوض النتيجة الناتجة في المعادلة الثانية ونعبر عن $x_2$، ثم في المعادلة الأولى وهنا نعبر عن $x_1$. وبذلك عبرنا عن جميع المجهولات التي على الجانب الأيسر من خلال المجهولات التي على الجانب الأيمن.

ثم بدلاً من $x_4$ و$x_5$، يمكننا استبدال أي أرقام والعثور على $x_1$ و$x_2$ و$x_3$. كل خمسة من هذه الأعداد ستكون جذور نظام المعادلات الأصلي. للعثور على المتجهات المضمنة في FSRنحتاج إلى استبدال 1 بدلاً من $x_4$، واستبدال 0 بدلاً من $x_5$، والعثور على $x_1$، و$x_2$، و$x_3$، ثم العكس بالعكس $x_4=0$ و$x_5=1$.

نظام متجانس من المعادلات الخطية على المجال

تعريف. النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات (1) هو نظام مستقل خطيًا غير فارغ لحلوله، ويتزامن نطاقه الخطي مع مجموعة جميع الحلول للنظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي له حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي من الحلول.

الاقتراح 3.11. أي نظامين أساسيين من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية يتكونان من نفس عدد الحلول.

دليل. في الواقع، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك، بموجب الاقتراح 1.12، فإن رتبهم متساوية. وبالتالي فإن عدد الحلول المتضمنة في نظام أساسي واحد يساوي عدد الحلول المتضمنة في أي نظام أساسي آخر من الحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A لنظام المعادلات المتجانس (1) تساوي صفرًا، فإن أي متجه منها هو حل للنظام (1)؛ في هذه الحالة، أي مجموعة خطية ناقلات مستقلة of هو نظام أساسي للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A تساوي، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر؛ ولذلك، في هذه الحالة، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي من الحلول.

النظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات، فإن النظام (1) لديه نظام حل أساسي يتكون من حلول.

دليل. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفر أو فقد تبين أعلاه أن النظرية صحيحة. لذلك، من المفترض أدناه أنه بافتراض أننا سنفترض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة، المصفوفة A تعادل مصفوفة تدريجية مختزلة، والنظام (1) يعادل نظام المعادلات التدريجي المختزل التالي:

من السهل التحقق من أن أي نظام لقيم المتغيرات الحرة للنظام (2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2) وبالتالي النظام (1). على وجه الخصوص، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) فقط هو الذي يتوافق مع نظام ذي قيم صفرية.

في النظام (2) سنخصص لأحد المتغيرات الحرة قيمة تساوي 1، والمتغيرات المتبقية - قيم صفر. وبالنتيجة نحصل على حلول نظام المعادلات (2) الذي نكتبه على شكل صفوف من المصفوفة C التالية:

نظام الصف لهذه المصفوفة مستقل خطياً. في الواقع، لأي العددية من المساواة

يلي ذلك المساواة

وبالتالي المساواة

دعونا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتزامن مع مجموعة جميع الحلول للنظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضا حل للنظام (1)، و

المصفوفات المعطاة

البحث عن: 1) أأ - ب ب،

حل: 1) نجدها بالتسلسل باستخدام قواعد ضرب المصفوفة في عدد وإضافة المصفوفات..

2. ابحث عن A*B إذا

حل: نستخدم قاعدة ضرب المصفوفات

إجابة:

3. لمصفوفة معينة، أوجد الصغرى M 31 واحسب المحدد.

حل: Minor M 31 هو محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها من A

بعد شطب السطر 3 والعمود 1. نجد

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

لنقم بتحويل المصفوفة A دون تغيير محددها (لنضع أصفارًا في الصف 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

الآن نحسب محدد المصفوفة A عن طريق التوسع على طول الصف 1

الجواب: م 31 = 0، ديتا = 0

حل باستخدام طريقة غاوس وطريقة كرامر.

2س 1 + س 2 + س 3 = 2

× 1 + × 2 + 3 × 3 = 6

2س 1 + س 2 + 2 س 3 = 5

حل: دعونا تحقق

يمكنك استخدام طريقة كريمر

حل النظام: x 1 = D 1 / D = 2، x 2 = D 2 / D = -5، x 3 = D 3 / D = 3

دعونا نطبق الطريقة الغوسية.

دعونا نختصر المصفوفة الموسعة للنظام إلى الشكل الثلاثي.

لسهولة الحساب، دعونا نبدل الأسطر:

اضرب السطر الثاني في (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) وأضف إلى الثالث:

	1 / 2		7 / 2

اضرب السطر الأول بـ (k = -2 / 2 = -1 ) وأضف إلى الثاني:

الآن يمكن كتابة النظام الأصلي على النحو التالي:

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

× 2 = 13 - (6×3)

من السطر الثاني نعبر

من السطر الأول نعبر

الحل هو نفسه.

الجواب: (2؛ -5؛ 3)

أوجد الحل العام للنظام وFSR

13×1 – 4×2 – × 3 – 4× 4 – 6× 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + س 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

حل: دعونا نطبق الطريقة الغوسية. دعونا نختصر المصفوفة الموسعة للنظام إلى الشكل الثلاثي.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
× 1	× 2	× 3	× 4	× 5

اضرب السطر الأول بـ (-11). اضرب السطر الثاني في (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى الأول:

	-2		-2	-3

اضرب السطر الثاني بـ (-5). دعونا نضرب السطر الثالث في (11). دعنا نضيف السطر الثالث إلى الثاني:

اضرب السطر الثالث بـ (-7). دعونا نضرب السطر الرابع في (5). دعنا نضيف السطر الرابع إلى الثالث:

المعادلة الثانية هي مزيج خطي من الآخرين

دعونا نجد رتبة المصفوفة.

	-18	-24	-18	-27
× 1	× 2	× 3	× 4	× 5

القاصر المحدد لديه أعلى ترتيب (من القاصرين المحتملين) وهو غير صفر (هو يساوي منتج العناصر على القطر العكسي)، وبالتالي رن (A) = 2.

هذا القاصر أساسي. يتضمن معاملات للمجهول x 1 , x 2 , مما يعني أن المجهولات x 1 , x 2 تابعة (أساسية) و x 3 , x 4 , x 5 مجانية.

النظام ذو معاملات هذه المصفوفة مكافئ النظام الأصليولها النموذج:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

باستخدام طريقة القضاء على المجهولين نجد قرار مشترك:

س 2 = - 4 / 3 × 3 - س 4 - 3 / 2 × 5

× 1 = - 1 / 3 × 3

نجد نظام الحلول الأساسي (FSD) والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا، n=5، r=2، فإن النظام الأساسي للحلول يتكون من 3 حلول، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.

لكي تكون الصفوف مستقلة خطيا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصف مساوية لعدد الصفوف، أي 3.

يكفي إعطاء القيم الحرة المجهولة x 3 , x 4 , x 5 من سطور المحدد الثالث غير الصفر وحساب x 1 , x 2 .

أبسط محدد غير الصفر هو مصفوفة الهوية.

لكن الأمر أكثر ملاءمة لأخذه هنا

نجد باستخدام الحل العام :

أ) × 3 = 6، × 4 = 0، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1 / 3 × 3 = -2، × 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5 = - 4 ص

قرار FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

ب) × 3 = 0، × 4 = 6، × 5 = 0 Þ × 1 = - 1 / 3 × 3 = 0، × 2 = - 4 / 3 × 3 - × 4 - 3 / 2 × 5 = - 6 ذ

حل FSR الثاني: (0; -6; 0; 6;0)

ج) × 3 = 0، × 4 = 0، × 5 = 6 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = -9 ذ

القرار الثالث لـ FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. بالنظر إلى: z 1 = -4 + 5i، z 2 = 2 – 4i. أوجد: أ) ض 1 – 2 ض 2 ب) ض 1 ض 2 ج) ض 1 /ض 2

حل: أ) ض 1 - 2ض 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

ب) ض 1 ض 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

الإجابة: أ) -3i ب) 12+26i ج) -1.4 - 0.3i