توسيع الوظائف الأولية إلى سلسلة الطاقة. توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة

في نظرية المتسلسلة الوظيفية، يحتل المكان المركزي القسم المخصص لتوسيع الدالة إلى سلسلة.

وبالتالي، يتم تعيين المهمة: لوظيفة معينة نحن بحاجة إلى العثور على مثل هذه السلسلة من القوى

والتي تقاربت في فترة معينة وكان مجموعها يساوي
, أولئك.

= ..

تسمى هذه المهمة مشكلة توسيع الدالة إلى سلسلة قوى.

شرط ضروري لتحلل وظيفة في سلسلة الطاقةهي قابلية تفاضلها لعدد لا حصر له من المرات - وهذا يتبع من خصائص سلسلة القوى المتقاربة. يتم استيفاء هذا الشرط، كقاعدة عامة، للوظائف الأولية في مجال تعريفها.

لذلك دعونا نفترض أن الوظيفة
لديه مشتقات من أي أمر. فهل يمكن توسيعها إلى متسلسلة قوى، وإذا كان الأمر كذلك، فكيف يمكننا العثور على هذه المتسلسلة؟ الجزء الثاني من المشكلة أسهل في الحل، فلنبدأ به.

لنفترض أن الدالة
يمكن تمثيلها كمجموع متسلسلة قوى متقاربة في الفترة التي تحتوي على النقطة X 0 :

= .. (*)

أين أ 0 ،أ 1 ،أ 2 ،...،أ ص ,... - معاملات غير معروفة (حتى الآن).

دعونا نضع القيمة على قدم المساواة (*). س = س 0 , ثم نحصل

.

دعونا نفرق بين مصطلحات سلسلة القوى (*) حسب المصطلح

= ..

والاعتقاد هنا س = س 0 , نحن نحصل

.

مع التمايز التالي نحصل على السلسلة

= ..

الاعتقاد س = س 0 , نحن نحصل
، أين
.

بعد ص-التمايز المتعدد الذي نحصل عليه

على افتراض المساواة الأخيرة س = س 0 , نحن نحصل
، أين

لذلك تم العثور على المعاملات

,
,
, …,
,….,

استبدال أي في السلسلة (*)، نحصل على

السلسلة الناتجة تسمى بجوار تايلورللوظيفة
.

وهكذا أثبتنا ذلك إذا كان من الممكن توسيع الدالة إلى سلسلة قوى في القوى (x - x 0 )، فإن هذا التوسع فريد والسلسلة الناتجة هي بالضرورة سلسلة تايلور.

لاحظ أنه يمكن الحصول على متسلسلة تايلور لأي دالة لها مشتقات من أي رتبة عند هذه النقطة س = س 0 . ولكن هذا لا يعني أنه يمكن وضع علامة المساواة بين الدالة والمتسلسلة الناتجة، أي. أن مجموع المتسلسلة يساوي الدالة الأصلية. أولاً، لا يمكن لمثل هذه المساواة أن تكون منطقية إلا في منطقة التقارب، وقد تتباعد سلسلة تايلور التي تم الحصول عليها للدالة، وثانيًا، إذا تقاربت سلسلة تايلور، فقد لا يتطابق مجموعها مع الوظيفة الأصلية.

3.2. الشروط الكافية لتحلل دالة في سلسلة تايلور

دعونا نقوم بصياغة بيان سيتم من خلاله حل المهمة.

إذا كانت الوظيفة
في بعض المناطق المجاورة للنقطة x 0 لديه مشتقات تصل إلى (ن+ 1) من النظام الشامل، ففي هذا الحي لدينامعادلةتايلور

أينر ن (X)- الحد المتبقي من صيغة تايلور – له الشكل (شكل لاغرانج)

أين نقطةξ تقع بين x وx 0 .

لاحظ أن هناك فرقًا بين متسلسلة تايلور وصيغة تايلور: صيغة تايلور عبارة عن مجموع محدود، أي. ف -عدد ثابت.

أذكر أن مجموع هذه السلسلة س(س) يمكن تعريفها على أنها نهاية التسلسل الوظيفي للمبالغ الجزئية س ص (س) في فترة ما X:

.

وفقًا لهذا، فإن توسيع دالة إلى سلسلة تايلور يعني العثور على سلسلة من هذا القبيل لأي منها XX

دعونا نكتب صيغة تايلور في النموذج حيث

لاحظ أن
يحدد الخطأ الذي حصلنا عليه، واستبدال الوظيفة F(س) متعدد الحدود س ن (س).

لو
، الذي - التي
،أولئك. يتم توسيع الوظيفة إلى سلسلة تايلور. والعكس صحيح إذا
، الذي - التي
.

وهكذا أثبتنا معيار تحلل دالة في سلسلة تايلور.

من أجل الوظيفةF(x) تتوسع إلى سلسلة تايلور، فمن الضروري والكافي أن يتم ذلك في هذه الفترة
، أينر ن (س) هو الحد المتبقي من سلسلة تايلور.

باستخدام المعيار المصاغ، يمكن الحصول عليه كافٍشروط تحلل دالة في سلسلة تايلور.

إذا كان فيبعض المناطق المجاورة للنقطة x 0 تقتصر القيم المطلقة لجميع مشتقات الدالة على نفس الرقم M≥ 0، أي.

، تo في هذا الحي تتوسع الدالة إلى سلسلة تايلور.

مما سبق يتبع خوارزميةتوسيع الوظيفةF(س) في سلسلة تايلورفي محيط نقطة ما X 0 :

1. إيجاد مشتقات الدوال F(س):

و(x)، f’(x)، f”(x)، f’”(x)، f (ن) (x)،...

2. احسب قيمة الدالة وقيم مشتقاتها عند النقطة X 0

و(س 0 ) ، و '(خ 0 )، و"(x 0 ) ، و '"(خ 0 )، F (ن) (x 0 ),…

3. نكتب متسلسلة تايلور رسميًا ونجد منطقة التقارب لمتسلسلات القوى الناتجة.

4. نتحقق من استيفاء الشروط الكافية، أي. نحن نؤسس لذلك Xمن منطقة التقارب، المدة المتبقية ر ن (س) يميل إلى الصفر عند
أو
.

يسمى توسيع الوظائف إلى سلسلة تايلور باستخدام هذه الخوارزمية توسيع الدالة إلى سلسلة تايلور حسب التعريفأو التحلل المباشر.

16.1. توسيع الوظائف الأولية في سلسلة تايلور وماكلورين

دعونا نبين أنه إذا تم تعريف وظيفة تعسفية على مجموعة
، بالقرب من النقطة
له العديد من المشتقات وهو مجموع سلسلة القوى:

ثم يمكنك العثور على معاملات هذه السلسلة.

لنعوض في متسلسلة القوى
. ثم
.

دعونا نجد المشتقة الأولى للدالة
:

في
:
.

بالنسبة للمشتق الثاني نحصل على:

في
:
.

الاستمرار في هذا الإجراء نبمجرد أن نحصل على:
.

وهكذا حصلنا على متسلسلة قوى على الشكل:

,

من اتصل بجوار تايلورللوظيفة
في محيط النقطة
.

وهناك حالة خاصة من سلسلة تايلور سلسلة ماكلورينفي
:

يتم الحصول على ما تبقى من سلسلة تايلور (ماكلورين) عن طريق التخلص من السلسلة الرئيسية نالأعضاء الأوائل ويشار إليه باسم
. ثم الوظيفة
يمكن كتابتها كمجموع نأول أعضاء السلسلة
والباقي
:,

.

والباقي عادة
أعرب في صيغ مختلفة.

واحد منهم في شكل لاغرانج:

، أين
.
.

لاحظ أنه في الممارسة العملية يتم استخدام سلسلة ماكلورين في كثير من الأحيان. وهكذا، من أجل كتابة الدالة
في شكل مجموع متسلسلة القوى من الضروري:

1) أوجد معاملات متسلسلة ماكلورين (تايلور)؛

2) أوجد منطقة التقارب لمتسلسلة القوى الناتجة؛

3) إثبات أن هذه المتسلسلة متقاربة مع الدالة
.

النظرية 1 (الشرط الضروري والكافي لتقارب متسلسلة ماكلورين). دع نصف قطر التقارب للسلسلة
. لكي تتقارب هذه المتسلسلة في الفترة
لتعمل
، فمن الضروري والكافي لتحقيق الشرط:
في الفاصل الزمني المحدد.

النظرية 2. إذا كانت المشتقات من أي ترتيب للدالة
في فترة ما
محدودة في القيمة المطلقة لنفس العدد م، إنه
، ثم في هذه الفترة الدالة
يمكن توسيعها إلى سلسلة ماكلورين.

مثال 1. قم بالتوسيع في سلسلة تايلور حول النقطة
وظيفة.

حل.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

منطقة التقارب
.

مثال 2. قم بتوسيع وظيفة في متسلسلة تايلور حول نقطة ما
.

حل:

أوجد قيمة الدالة ومشتقاتها في
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

دعونا نضع هذه القيم على التوالي. نحن نحصل:

أو
.

دعونا نجد منطقة التقارب لهذه السلسلة. وفقا لاختبار دالمبيرت، فإن المتسلسلة تتقارب إذا

.

لذلك، لأي وهذا الحد أقل من 1، وبالتالي فإن مدى تقارب المتسلسلة سيكون:
.

دعونا نفكر في عدة أمثلة لتوسيع سلسلة ماكلورين للوظائف الأولية الأساسية. أذكر أن متسلسلة ماكلورين:

.

يتقارب على الفاصل الزمني
لتعمل
.

لاحظ أنه لتوسيع دالة إلى سلسلة فمن الضروري:

أ) أوجد معاملات متسلسلة ماكلورين لهذه الدالة؛

ب) حساب نصف قطر التقارب للسلسلة الناتجة؛

ج) إثبات أن المتسلسلة الناتجة تتقارب مع الدالة
.

مثال 3. النظر في الوظيفة
.

حل.

دعونا نحسب قيمة الدالة ومشتقاتها في
.

ثم المعاملات العددية للسلسلة لها الشكل:

لأي احد ن.لنعوض بالمعاملات الموجودة في متسلسلة ماكلورين ونحصل على:

دعونا نجد نصف قطر التقارب للمتسلسلة الناتجة، وهي:

.

ولذلك فإن المتسلسلة تتقارب على الفترة
.

هذه السلسلة تتقارب مع الوظيفة لأية قيم لأنه في أي فترة
وظيفة ومشتقاتها ذات القيمة المطلقة محدودة العدد .

مثال 4. النظر في الوظيفة
.

حل.

:

فمن السهل أن نرى أن المشتقات ذات الترتيب الزوجي
، والمشتقات ذات ترتيب فردي. دعونا نستبدل المعاملات الموجودة في متسلسلة ماكلورين ونحصل على المفكوك:

دعونا نجد فترة التقارب هذه السلسلة. وفقًا لعلامة دالمبيرت:

لأي احد . ولذلك فإن المتسلسلة تتقارب على الفترة
.

هذه السلسلة تتقارب مع الوظيفة
لأن جميع مشتقاته تنحصر في الوحدة.

مثال 5.
.

حل.

دعونا نجد قيمة الدالة ومشتقاتها في
:

وبالتالي فإن معاملات هذه السلسلة:
و
، لذلك:

على غرار الصف السابق، منطقة التقارب
. تتقارب السلسلة مع الوظيفة
لأن جميع مشتقاته تنحصر في الوحدة.

يرجى ملاحظة أن الوظيفة
التوسع الفردي والمتسلسل في القوى الفردية والوظيفة
- حتى والتوسع في سلسلة في القوى حتى.

مثال 6. سلسلة ذات الحدين:
.

حل.

دعونا نجد قيمة الدالة ومشتقاتها في
:

ومن هذا يتبين أن:

دعونا نستبدل قيم المعاملات هذه في متسلسلة ماكلورين ونحصل على توسيع هذه الدالة إلى متسلسلة قوى:

دعونا نجد نصف قطر التقارب لهذه السلسلة:

ولذلك فإن المتسلسلة تتقارب على الفترة
. عند نقاط الحد في
و
قد تتقارب السلسلة أو لا تتقارب اعتمادًا على الأس
.

المتسلسلة المدروسة تتقارب على الفترة
لتعمل
، أي مجموع المتسلسلة
في
.

مثال 7. دعونا نوسع الدالة في سلسلة ماكلورين
.

حل.

لتوسيع هذه الدالة إلى سلسلة، نستخدم السلسلة ذات الحدين في
. نحن نحصل:

بناءً على خاصية متسلسلة القوى (يمكن تكامل متسلسلة القوى في منطقة تقاربها)، نجد تكامل الجانبين الأيسر والأيمن لهذه المتسلسلة:

فلنجد مساحة التقارب لهذه المتسلسلة:
,

أي أن مساحة التقارب لهذه المتسلسلة هي الفترة
. دعونا نحدد تقارب المتسلسلة عند طرفي الفترة. في

. وهذه السلسلة هي سلسلة متناغمة، أي أنها متباعدة. في
نحصل على سلسلة أرقام مع مصطلح مشترك
.

تتقارب المتسلسلة حسب اختبار لايبنتز. ومن ثم، فإن منطقة التقارب لهذه المتسلسلة هي الفترة
.

16.2. تطبيق متسلسلة القوى في الحسابات التقريبية

في الحسابات التقريبية، تلعب متسلسلة القوى دورًا مهمًا للغاية. وبمساعدتهم، تم تجميع جداول الدوال المثلثية، وجداول اللوغاريتمات، وجداول قيم الدوال الأخرى، والتي تستخدم في مختلف مجالات المعرفة، على سبيل المثال، في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. بالإضافة إلى ذلك، فإن توسيع الدوال إلى متسلسلة قوى مفيد لدراستهم النظرية. المشكلة الأساسية عند استخدام متسلسلة القوى في الحسابات التقريبية هي مسألة تقدير الخطأ عند استبدال مجموع المتسلسلة بمجموع أولها نأعضاء.

دعونا نفكر في حالتين:

يتم توسيع الوظيفة إلى سلسلة تبادل الإشارات؛

يتم توسيع الوظيفة إلى سلسلة من العلامات الثابتة.

الحساب باستخدام المتسلسلة المتناوبة

دع الوظيفة
توسعت إلى سلسلة الطاقة المتناوبة. ثم عند حساب هذه الدالة لقيمة محددة نحصل على سلسلة أرقام يمكننا تطبيق معيار لايبنيز عليها. ووفقاً لهذا المعيار، إذا تم استبدال مجموع السلسلة بمجموع أولها نحيث أن الخطأ المطلق لا يتجاوز الحد الأول من بقية هذه السلسلة، وهو:
.

مثال 8. احسب
بدقة 0.0001.

حل.

سوف نستخدم سلسلة ماكلورين ل
، استبدال قيمة الزاوية بالراديان:

إذا قارنا الحدين الأول والثاني من السلسلة بدقة معينة، فإن: .

الفصل الثالث من التوسعة:

أقل من دقة الحساب المحددة. لذلك، لحساب
فيكفي أن نترك فترتين من المتسلسلة، أي

.

هكذا
.

مثال 9. احسب
بدقة 0.001.

حل.

سوف نستخدم صيغة المتسلسلة ذات الحدين. للقيام بذلك، دعونا نكتب
مثل:
.

في هذا التعبير
,

دعونا نقارن كل حد من حدود السلسلة بالدقة المحددة. انه واضح
. لذلك، لحساب
ويكفي أن نترك ثلاثة حدود من السلسلة.

أو
.

الحساب باستخدام سلسلة إيجابية

مثال 10. احسب الرقم بدقة 0.001.

حل.

على التوالي لوظيفة
دعونا نستبدل
. نحن نحصل:

دعونا نقدر الخطأ الذي ينشأ عند استبدال مجموع السلسلة بمجموع السلسلة الأولى أعضاء. دعونا نكتب عدم المساواة الواضحة:

هذا هو 2 ما لا نهاية. إذا كان موجودًا، فإن الدالة f(x) فيه يجب أن تتطابق مع مجموع متسلسلة ماكلورين.

دعونا الآن نتناول متسلسلة ماكلورين للدوال الفردية.

1. إذن، الأول سيكون f(x) = e x. بالطبع، وفقًا لخصائصها، فإن مثل هذه الدالة لها مشتقات ذات ترتيبات مختلفة جدًا، وf (k) (x) = e x حيث k يساوي الكل. استبدل x = 0. نحصل على f (k) (0) = e 0 =1، k = 1,2... وبناءً على ما سبق، فإن المتسلسلة e x ستبدو بالشكل التالي:

2. متسلسلة ماكلورين للدالة f(x) = sin x. دعونا نوضح على الفور أن الدالة لجميع المجهولات سيكون لها مشتقات، بالإضافة إلى ذلك، f "(x) = cos x = sin(x+n/2)، f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2)، حيث k يساوي أي عدد طبيعي. أي أنه بعد إجراء حسابات بسيطة، يمكننا التوصل إلى استنتاج مفاده أن المتسلسلة الخاصة بـ f(x) = sin x ستكون بالشكل التالي:

3. الآن دعونا نحاول النظر في الدالة f(x) = cos x. لجميع المجهولات لديها مشتقات ترتيب تعسفي، و |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|