الخصائص المقاربة للتناظر ومعايير الاتفاق على أساس التوصيفات. سلوك مقارب للوظائف. مقارنة بين الوظائف المتناهية الصغر معايير الاختيار المقاربة

موضوع البحث وأهمية الموضوع. في نظرية التحليل الإحصائي للتسلسلات المنفصلة ، يتم شغل مكان خاص باختبارات جودة الملاءمة لاختبار الفرضية الصفرية المعقدة المحتملة ، وهي تلك الخاصة بالتسلسل العشوائي مثل ذلك

Xi e hi ، i = 1 ، ، n ، حيث hi = (0،1،.

Xi = k) لا تعتمد على r وهذا يعني أن التسلسل ثابت إلى حد ما.

في عدد من المشكلات المطبقة ، يعتبر التسلسل (Xr-) ™ = 1 هو تسلسل ألوان الكرات عند الاختيار دون العودة إلى الإرهاق من جرة تحتوي على u - 1> 0 كرات من اللون k، k € 1m. دع الجرة تحتوي على ن - 1 كرات ، م ك = 0

دلالة بواسطة r (k) (fc) Jk) rw - Г! و. . . ، تسلسل أعداد الكرات من اللون أ ؛ في العينة. ضع في اعتبارك التسلسل حيث ك)

Kk-p-GPk1.

يتم تعريف التسلسل h ^ باستخدام المسافات بين أماكن الكرات المجاورة ذات اللون k بهذه الطريقة

PK Kf \ u003d ص 1> \ u003d 1

تحدد مجموعة التسلسلات h (fc) لكل k £ 1m التسلسل بشكل فريد. تعتمد التسلسلات hk لـ k المختلفة بشكل متبادل. على وجه الخصوص ، يتم تحديد أي منهم بشكل فريد من قبل الآخرين. إذا كانت العلاقة الأساسية للمجموعة 1m تساوي 2 ، فسيتم تحديد تسلسل ألوان الكرات بشكل فريد من خلال تسلسل المسافات بين أماكن الكرات المتجاورة من نفس اللون الثابت. دع جرة تحتوي على n - 1 كرات من لونين مختلفين تحتوي على كرات N - 1 من اللون 0. يمكن للمرء إنشاء تطابق واحد إلى واحد بين المجموعة ffl (N - l ، n - N) والمجموعة 9 \ n ، N من المتجهات h (n ، N) = (hi ،. ، hjf) مع مكونات عدد صحيح موجب مثل K = P. (0.1)

تتوافق المجموعة 9p) dz مع مجموعة الأقسام المختلفة من عدد صحيح موجب n في حاصل N المرتبة.

بعد إعطاء بعض التوزيع الاحتمالي على مجموعة المتجهات £ Hn ، dz ، نحصل على توزيع الاحتمال المقابل على المجموعة Wl (N - 1، n - N). المجموعة هي مجموعة فرعية من مجموعة المتجهات مع مكونات عدد صحيح غير سالب مرضية (0.1). كتوزيعات احتمالية على مجموعة من النواقل في عمل الرسالة ، توزيعات النموذج

P (t، N) = (n،.، rN)) = P (tn = ru، v = l،.، N \ jr ^ = n)، (0.2) أين. ، £ dz - المتغيرات العشوائية المستقلة غير السالبة.

توزيعات النموذج (0.2) في / 24 / تسمى مخططات معممة لوضع n جزيئات في خلايا N. على وجه الخصوص ، إذا كانت المتغيرات العشوائية £ ب. ، £ n في (0.2) موزعة وفقًا لقوانين بواسون مع المعلمات Ai ،. ، λ ، على التوالي ، ثم المتجه h (n ، N) له توزيع متعدد الحدود مع احتمالات النتائج

Ri =. ، أ "، ف = \ ،. ، ن.

L \ +. . . + AN

إذا كانت المتغيرات العشوائية £ b> & v في (0-2) موزعة بالتساوي وفقًا للقانون الهندسي حيث p هي أي في الفترة 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

كما هو مذكور في / 14 / ، / 38 / ، مكان خاص في اختبار الفرضيات حول توزيع نواقل التردد h (n ، N) = (hi،.

LN (ح (ن ، ن)) = Zfv (hv)

الجبهة الوطنية \ u003d و (-T7 ، فلق مرحبا II-

0.4) حيث fu ، v = 1،2 ،. و φ هي بعض الوظائف ذات القيمة الحقيقية ، N

السيد = E = r) ، r = 0.1 ،. 1 / = 1

القيم الموجودة في / 27 / كانت تسمى عدد الخلايا التي تحتوي على جسيمات r بالضبط.

إحصائيات النموذج (0.3) في / 30 / تسمى إحصائيات قابلة للفصل (قابلة للفصل بشكل إضافي). إذا كانت الدوال / "في (0.3) لا تعتمد على u ، فإن هذه الإحصائيات تم استدعاؤها في / 31 / إحصائيات قابلة للفصل المتماثل.

لأي r ، الإحصاء / xr هي إحصائية متماثلة قابلة للفصل. من المساواة

E DM = E DFg (0.5) يتبع ذلك أن فئة الإحصائيات المتماثلة القابلة للفصل في hv تتطابق مع فئة الوظائف الخطية في التنوب. علاوة على ذلك ، فإن فئة وظائف النموذج (0.4) أوسع من فئة الإحصائيات المتماثلة القابلة للفصل.

لكن = (#o (n ، N)) عبارة عن سلسلة من الفرضيات الصفرية البسيطة بأن توزيع المتجه h (n ، N) هو (0.2) ، حيث المتغيرات العشوائية ،. في (0.2) موزعة بشكل مماثل و k) = pk ، k = 0،1،2 ،. ، تختلف المعلمات n و N في المنطقة الوسطى.

دعونا نفكر في بعض Р £ (0،1) وسلسلة من البدائل المعقدة بشكل عام

H = (H (n، N)) الموجود هو أقصى عدد له ، لأي فرضية بسيطة ، H \ ∈ H (n ، N) ، عدم المساواة

РШ> أن ، N (P))> Р

سوف نرفض الفرضية Hq (ti، N) إذا fm> awm ((3). إذا كان هناك حد

Wn ~ lnP (0lg> an ، N (P)) = u (p ، H) ، حيث يتم حساب احتمال كل N وفقًا للفرضية Hc (n ، N) ، ثم القيمة ^ ​​(/ 3 ، H) تسمى في / 38 / فهرس المعيار φ عند النقطة (j3 ، H). قد لا يكون الحد الأخير ، بشكل عام ، موجودًا. لذلك ، في عمل الرسالة ، بالإضافة إلى فهرس المعيار ، القيمة

العش (~ 1pR (fm> al (/؟)))

JV-> oo N-oo تعني على التوالي الحدود الدنيا والعليا للتسلسل (odr) عندما N -> oo ،

إذا كان فهرس المعيار موجودًا ، فإن الرمز السفلي للمعيار يطابقه. يوجد دائمًا رمز منخفض للمعيار. كلما زادت قيمة مؤشر المعيار (مؤشر المعيار الأدنى) ، كان المعيار الإحصائي أفضل بالمعنى المدروس. في / 38 / ، تم حل مشكلة بناء معايير الجودة الملائمة لخطط التخصيص المعمم ذات القيمة الأعلى لمؤشر المعيار في فئة المعايير التي ترفض الفرضية Ho (n، N) لـ / MO Ml Mf HF iV "iV" "" "~ yv" "^".

يتم تحديد مؤشرات المعايير من خلال احتمالات الانحرافات الكبيرة. كما هو موضح في / 38 / ، يتم تحديد التقارب التقريبي (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصاءات القابلة للفصل في ظل حالة Cramer للمتغير العشوائي / (£) من خلال مسافة معلومات Kullback-Leibler-Sanov المقابلة (المتغير العشوائي rj يفي بشرط Cramer إذا كانت وظيفة الفاصل الزمني في Metr بالنسبة لبعض R> 0 هي دالة التوليد] للحظات المحددة.< Н /28/).

ظلت مسألة احتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصاءات عن عدد غير محدود من التنوب ، فضلاً عن الإحصاءات التعسفية القابلة للفصل التي لا تفي بشرط كرامر ، مفتوحة. هذا لم يجعل من الممكن أخيرًا حل مشكلة بناء معايير لاختبار الفرضيات في مخططات التخصيص المعمم مع أعلى معدل تقارب إلى الصفر لاحتمال الخطأ من النوع الأول مع الاقتراب من البدائل في فئة المعايير بناءً على إحصائيات النموذج (0.4). يتم تحديد أهمية بحث الأطروحة من خلال الحاجة إلى إكمال حل هذه المشكلة.

الغرض من عمل الأطروحة هو بناء معايير جودة الملاءمة بأعلى قيمة لمؤشر المعيار (مؤشر أقل للمعيار) لاختبار الفرضيات في مخطط الاختيار دون تكرار في فئة المعايير التي ترفض الفرضية W (n ، N) عند $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

ووفقًا لغرض الدراسة تم تحديد المهام التالية:

التحقيق في خصائص الانتروبيا ومسافة معلومات Kullback - Leibler - Sanov للتوزيعات المنفصلة مع عدد قابل للعد من النتائج ؛

التحقيق في احتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصاءات من النموذج (0.4) ؛

التحقيق في احتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصاءات المتماثلة القابلة للفصل (0.3) التي لا تفي بشرط كرامر ؛

ابحث عن إحصائية بحيث يكون للمعيار الملائم الذي تم إنشاؤه على أساسه لاختبار الفرضيات في مخططات التخصيص المعمم أكبر قيمة مؤشر في فئة معايير النموذج (0.7).

الحداثة العلمية:

القيمة العلمية والعملية. في الورقة ، تم حل عدد من الأسئلة حول سلوك احتمالات الانحراف الكبيرة في مخططات التخصيص المعمم. يمكن استخدام النتائج التي تم الحصول عليها في العملية التعليمية في تخصصات الإحصاء الرياضي ونظرية المعلومات ، في دراسة الإجراءات الإحصائية لتحليل المتتاليات المنفصلة واستخدمت في / 3 / ، / 21 / عند تبرير أمن فئة واحدة من أنظمة المعلومات. أحكام الدفاع:

الحد من مشكلة التحقق ، بتسلسل واحد من ألوان كرات الفرضية ، من حقيقة أن هذا التسلسل يتم الحصول عليه كنتيجة للاختيار دون استبدال حتى استنفاد الكرات من الجرة التي تحتوي على كرات من لونين ، ولكل اختيار من هذا القبيل نفس الاحتمال ، إلى بناء معايير الجودة الملائمة لاختبار الفرضيات في مخطط التخصيص المعمم المقابل ؛

استمرارية وظائف الانتروبيا و Kullback - Leibler - Sanov مسافة المعلومات على البسيط اللانهائي الأبعاد مع المقياس اللوغاريتمي المعمم المقدم ؛

نظرية حول التقاربات التقريبية (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصاءات المتماثلة القابلة للفصل التي لا تفي بشرط كرامر في مخطط التخصيص المعمم في الحالة الخارجية السبعة ؛

نظرية حول التقارب الخام (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالات الانحرافات الكبيرة لإحصاءات النموذج (0.4) ؛

بناء معيار حسن الملاءمة لاختبار الفرضيات في التخطيطات المعممة بأكبر قيمة مؤشر في فئة المعايير بالشكل (0.7).

استحسان العمل. تم الإبلاغ عن النتائج في ندوات قسم الرياضيات المتقطعة في المعهد الرياضي. V. A. Steklov RAS ، قسم أمن المعلومات ITMiVT لهم. S. A. Lebedev RAS وفي:

الندوة الخامسة لعموم روسيا حول الرياضيات التطبيقية والصناعية. جلسة الربيع ، كيسلوفودسك ، 2-8 مايو 2004 ؛

مؤتمر بتروزافودسك الدولي السادس "الطرق الاحتمالية في الرياضيات المتقطعة" 10-16 يونيو 2004 ؛

المؤتمر الدولي الثاني "نظم وتقنيات المعلومات (IST" 2004) "، مينسك ، 8-10 تشرين الثاني (نوفمبر) 2004 ؛

المؤتمر الدولي "المشاكل الحديثة والاتجاهات الجديدة في نظرية الاحتمالات" ، تشيرنيفتسي ، أوكرانيا ، 19-26 يونيو 2005.

تم استخدام النتائج الرئيسية للعمل في العمل البحثي "Apologia" الذي تم تنفيذه بواسطة ITMiVT RAS. S. A. Lebedev لصالح الخدمة الفيدرالية للرقابة الفنية والصادرات للاتحاد الروسي ، وتم تضمينها في التقرير الخاص بتنفيذ مرحلة البحث / 21 /. تم تضمين نتائج منفصلة للأطروحة في تقرير البحث "تطوير المشاكل الرياضية للتشفير" لأكاديمية التشفير في الاتحاد الروسي لعام 2004/22 /.

يعرب المؤلف عن امتنانه العميق للمستشار العلمي ، دكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية رونزين أ.

هيكل ومحتوى العمل.

يبحث الفصل الأول في خصائص الانتروبيا ومسافة المعلومات للتوزيعات على مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة.

في الفقرة الأولى من الفصل الأول ، تم تقديم الترميز وإعطاء التعريفات اللازمة. على وجه الخصوص ، يتم استخدام الترميز التالي: x = (xq، x \،.) هو متجه لا نهائي الأبعاد مع عدد قابل للعد من المكونات ؛

H (x) - -Ex ^ oXvlnx، -، truncm (x) = (x0، x1،.، xm، 0،0 ،.)] f2 * = (x، xi> 0، zy = 0.1،.، o< 1}; Q = {х, х, >0، u = 0،1،.، o xv = 1)؛ = (x G 0، £ £ L0 = 7) ؛

Ml = o Ue> 1 | 5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

إذا كان y 6 E Π ، فإن e> 0 Oe (y) سيشير إلى المجموعة

أو (ص) - (س ^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

في الفقرة الثانية من الفصل الأول ، نثبت نظرية حول حدود إنتروبيا التوزيعات المنفصلة مع توقع رياضي محدد.

النظرية 1. حول حدود إنتروبيا التوزيعات المنفصلة مع التوقعات الرياضية المحدودة.

لأي f 6 P7

ح (x)

إذا كانت x € fly تتوافق مع توزيع هندسي بتعريف رياضي 7 ، أي 7

1 + 7 ثم المساواة

ح (س) = و (<7).

يمكن النظر إلى تأكيد النظرية كنتيجة للتطبيق الرسمي لطريقة مضاعفات لاجرانج الشرطية في حالة وجود عدد لا حصر له من المتغيرات. النظرية القائلة بأن التوزيع الوحيد على المجموعة (ك ، ك + 1 ، ك + 2 ،.) مع توقع رياضي معين وأقصى إنتروبيا هو توزيع هندسي مع توقع رياضي معطى (بدون دليل) في / 47 /. ومع ذلك ، قدم المؤلف دليلا صارما.

في الفقرة الثالثة من الفصل الأول ، تم تقديم تعريف للمقياس المعمم - وهو مقياس يقبل القيم اللانهائية.

بالنسبة إلى x ، y ∈ Q ، تُعرَّف الوظيفة p (x ، y) على أنها الحد الأدنى e> 0 مع الخاصية<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

ثبت أن الوظيفة p (x ، y) هي مقياس معمم لعائلة التوزيعات على مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة ، وكذلك على المجموعة الكاملة Cl *. بدلاً من e في تعريف المقياس p (x ، y) ، يمكنك استخدام أي رقم موجب آخر بخلاف 1. ستختلف المقاييس الناتجة عن طريق ثابت الضرب. قم بالإشارة بواسطة J (x ، y) مسافة المعلومات

00 £ J (x، y) = E In-.

هنا وأدناه ، يُفترض أن 0 في 0 = 0.0 في jj = 0. يتم تحديد مسافة المعلومات لمثل هذه x ، y ، أن xn = 0 للجميع وهكذا yi = 0. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فسنفترض أن J (x ، ij) = oo. دع L SP. ثم سنشير

J (A Y) = | nf J (x، y).

في القسم الرابع من الفصل الأول ، تم تقديم تعريف لاكتمال الوظائف المحددة في المجموعة Q *. يعني انضغاط دالة مع عدد قابل للعد من الوسائط أنه ، مع أي درجة من الدقة ، يمكن تقريب قيمة الوظيفة بواسطة قيم هذه الوظيفة عند نقاط لا يكون فيها سوى عدد محدود من الوسيطات غير صفرية. تم إثبات تماسك الانتروبيا ووظائف مسافة المعلومات.

1. لأي 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. إذا لبعض 0< 70 < оо

ف ه ثم لأي 0<7<оо,г>0 الدالة χ) = J (x، p) مضغوطة

في الفقرة الخامسة من الفصل الأول ، يتم النظر في خصائص مسافة المعلومات المعطاة على مساحة لا نهائية الأبعاد. مقارنة بالحالة ذات الأبعاد المحدودة ، يتغير الوضع مع استمرارية وظيفة مسافة المعلومات نوعياً. يتضح أن وظيفة مسافة المعلومات ليست مستمرة على المجموعة في أي من المقاييس

Pl & V) = E \ Xu ~ Y "\، u = 0

E (xv - Yi) 2 v \ u003d Q

Pz (x، y) = 8Up \ xu-yv \. الخامس

تم إثبات صحة التفاوتات التالية لوظائف الانتروبيا H (x) ومسافة المعلومات J (x ، p):

1. لأي x ، x "€ fi

ح (س) - ح (س ") \< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. إذا كان هناك بالنسبة لبعض x ، p e e> 0 بحيث x 6 0 £ (p) ، إذن لأي x "£ Q J (x، p) - J (x"، p) |< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

من هذه التفاوتات ، مع الأخذ في الاعتبار النظرية 1 ، يترتب على ذلك أن وظائف الانتروبيا ومسافة المعلومات مستمرة بشكل موحد على المجموعات الفرعية المقابلة Q في المتري p (x ، y) t ، أي ،

1. لأي 7 مثل هذا 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. إذا لبعض 70 ، 0< 70 < оо

TO لأي 0<7<оои£>0 وظيفة

A p (x) = J (x، p) مستمر بشكل منتظم على المجموعة Π Oe (p) في المقياس p (x، y).

يتم إعطاء تعريف عدم التطرف للوظيفة. تعني الحالة غير المتطرفة أن الوظيفة لا تحتوي على قيمة قصوى محلية ، أو أن الوظيفة تأخذ نفس القيم في الحدود الدنيا المحلية (الحد الأقصى المحلي). تضعف حالة عدم التطرف من شرط عدم وجود قيمة قصوى محلية. على سبيل المثال ، الدالة sin x في مجموعة الأعداد الحقيقية لها قيمة قصوى محلية ، لكنها تفي بالشرط غير المتطرف.

دعنا نحصل على 7> 0 ، تُعطى المنطقة أ بالشرط

A = (x € VLv4> (x)> a) ، (0.9) حيث φ (x) دالة ذات قيمة حقيقية ، a ثابت حقيقي ، inf φ (x)< а < inf ф(х).

تمت دراسة السؤال تحت أي ظروف على الوظيفة φ عند تغيير المعلمات n ، N في المنطقة الوسطى ، ^ - ؛ 7 ، لجميع قيمها الكبيرة بما فيه الكفاية توجد أعداد صحيحة غير سالبة ko، k \،.، kn مثل k0 + ki +. + كن = N ، ك \ + 2 ك 2. + pkp - N و

F (ko k \ kp

- جنيه إسترليني ، 0،0 ،.)> أ.

ثبت أنه من أجل هذا يكفي اشتراط أن تكون الوظيفة φ غير متطرفة ومضغوطة ومستمرة في المقياس p (x ، y) ، وأيضًا أنه بالنسبة لنقطة واحدة على الأقل x مرضية (0.9) ، بالنسبة لبعض e> 0 ، توجد لحظة محدودة من الدرجة 1 + e و xn> 0 لأي v = 0،1 ،.

في الفصل الثاني ، ندرس المقاربات التقريبية (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالية الانحرافات الكبيرة للوظائف من D = (^ 0) ■) t "n ، 0 ،.) - عدد الخلايا التي تحتوي على ملء معين في المنطقة المركزية لتباين المعلمات N ، n. المقاربة التقريبية لاحتمالات الانحرافات الكبيرة كافية لدراسة المؤشرات الجيدة.

دع المتغيرات العشوائية ^ في (0.2) توزع بشكل مماثل و

P (z) - توليد دالة لمتغير عشوائي - تتقارب في دائرة نصف قطرها 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml + £ = £ i1 + ex „< 00.

0.10) ك] = باك ، ك = 0.1 ،.

دل

إذا كان هناك حل للمعادلة m Z (z) = ъ ، فهو فريد / 38 /. في كل مكان أدناه سنفترض أن pk> 0، A ؛ = 0.1 ،.

في الفقرة الأولى من الفقرة الأولى من الفصل الثاني ، توجد مقاربات لوغاريتمات احتمالات النموذج

npP (/ x0 = ko،.، cp = kn).

تم إثبات النظرية التالية.

النظرية 2. نظرية محلية تقريبية عن احتمالات الانحرافات الكبيرة. لنفترض أن n ، N - »oo حتى أن jj -> 7،0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

lnP (A = k) = JftpK)) + O (^ lniV).

بيان النظرية يتبع مباشرة من صيغة التوزيع المشترك fii ،. Fin in / 26 / والتقدير التالي: إذا كانت قيم الأعداد الصحيحة غير سالبة ، Нп تفي بالشرط

مرحبًا + 2d2 + + PNp = n ، فإن عدد القيم غير الصفرية بينهم هو 0 (l / n). هذا تقدير تقريبي لا يدعي أنه جديد. لا يتجاوز عدد zg غير الصفري في التخطيطات المعممة قيمة الحد الأقصى لملء الخلايا ، والتي لا تتجاوز القيمة O (lnn) / 25 / ، / 27 / في المنطقة الوسطى مع احتمال يميل إلى 1. ومع ذلك ، فإن التقدير الناتج 0 (y / n) راضٍ عن الاحتمال 1 ، وهو كافٍ للحصول على مقارب تقريبي.

في الفقرة الثانية من الفقرة الأولى من الفصل الثاني ، تم العثور على قيمة الحد حيث تكون adz عبارة عن سلسلة من الأرقام الحقيقية المتقاربة مع بعض G R ، φ (x) هي دالة ذات قيمة حقيقية. تم إثبات النظرية التالية.

النظرية 3. نظرية تكاملية تقريبية حول احتمالات الانحرافات الكبيرة. دع شروط النظرية 2 تتحقق ، بالنسبة لبعض r> 0 ، C> 0 ، تكون الوظيفة الحقيقية φ (x) مضغوطة ومستمرة بشكل موحد في المقياس p في المجموعة

أ = 0 ص +<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф (ra)> أ و ي (( (x)> a، xe n7)، p (2؛ 7)) = 7 (pa، p (* y)) mo لأي تسلسل a ^ متقارب إلى a ،