الدوران حول حجم المحور y. حساب أحجام الأجسام الدورانية باستخدام تكامل محدد. حساب مساحة سطح الثورة المعطاة بالإحداثيات المستطيلة

خذ بعين الاعتبار أمثلة لتطبيق الصيغة التي تم الحصول عليها، والتي تسمح لك بحساب مساحات الأشكال التي تحدها خطوط محددة حدوديا.

مثال.

احسب مساحة الشكل الذي يحده خط تبدو معادلاته البارامترية .

حل.

في مثالنا، الخط المحدد بارامتريًا هو شكل بيضاوي ذو أنصاف محاور مكونة من 2 و3 وحدات. دعونا نبنيها.

أوجد مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. تقع هذه المنطقة في الفاصل الزمني . نحسب مساحة الشكل بأكمله بضرب القيمة الناتجة في أربعة.

ما لدينا:

ل ك = 0 نحصل على الفاصل الزمني . في هذه الفترة، الدالة يتناقص بشكل رتيب (انظر القسم ). نطبق الصيغة لحساب المساحة وإيجاد التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

إذن مساحة الشكل الأصلي هي .

تعليق.

يطرح سؤال منطقي: لماذا أخذنا ربع القطع الناقص وليس نصفه؟ كان من الممكن النظر في النصف العلوي (أو السفلي) من الشكل. هي في المدى . في هذه الحالة، سيكون لدينا

أي أنه بالنسبة لـ k = 0 نحصل على الفاصل الزمني. في هذه الفترة، الدالة يتناقص بشكل رتيب.

ثم يتم إعطاء مساحة نصف القطع الناقص بواسطة

ولكن لا يمكن أخذ النصف الأيمن أو الأيسر من الشكل الناقص.

التمثيل البارامتري للقطع الناقص المتمركز في نقطة الأصل وأنصاف المحاور a وb له الشكل . إذا تصرفنا بنفس الطريقة كما في المثال الذي تم تحليله، فسنحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص .

يتم إعطاء دائرة تتمحور حول أصل إحداثيات نصف القطر R بواسطة نظام المعادلات من خلال المعلمة t. إذا استخدمنا الصيغة التي تم الحصول عليها لمنطقة القطع الناقص، فيمكننا الكتابة على الفور صيغة للعثور على مساحة الدائرةنصف القطر R : .

دعونا نحل مثالا آخر.

مثال.

احسب مساحة الشكل الذي يحده منحنى معطى بارامتريًا.

حل.

بالنظر إلى الأمام قليلاً، فإن المنحنى عبارة عن كويكب "ممدود". (يحتوي الكويكب على التمثيل البارامتري التالي).

دعونا نتناول بالتفصيل بناء منحنى يحد الشكل. وسوف نبنيها نقطة نقطة. عادة ما يكون هذا البناء كافيا لحل معظم المشاكل. في الحالات الأكثر تعقيدًا، بلا شك، ستكون هناك حاجة إلى دراسة تفصيلية لدالة معينة حدوديًا بمساعدة حساب التفاضل والتكامل.

في مثالنا .

يتم تعريف هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية للمعلمة t، ومن خصائص الجيب وجيب التمام، نعلم أنها دورية بفترة 2 pi. وبالتالي حساب قيم الدوال للبعض (على سبيل المثال )، نحصل على مجموعة من النقاط .

للسهولة، سنقوم بإدخال القيم في الجدول:

نحدد النقاط على المستوى ونربطها بالتسلسل بخط.

لنحسب مساحة المنطقة الواقعة في الربع الإحداثي الأول. لهذه المنطقة .

في ك = 0 نحصل على الفاصل الزمني ، التي عليها الدالة يتناقص رتابة. نستخدم الصيغة للعثور على المنطقة:

نحسب التكاملات المحددة التي تم الحصول عليها باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز، ونجد المشتقات العكسية لصيغة نيوتن-لايبنتز باستخدام صيغة متكررة من النموذج ، أين .

وبالتالي فإن مساحة ربع الشكل هي ، فإن مساحة الشكل بأكمله تساوي .

وبالمثل، يمكن للمرء أن يظهر ذلك منطقة الكويكباتتقع على النحو ، ويتم حساب مساحة الشكل الذي يحده الخط بالصيغة.

عندما اكتشفنا المعنى الهندسي لتكامل معين، حصلنا على صيغة يمكنك من خلالها العثور على مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها محور الإحداثي السيني، خطوط مستقيمة س = أ، س = بوكذلك وظيفة مستمرة (غير سلبية أو غير إيجابية). ص = و(س) .في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر تعيين الدالة التي تحد الشكل في شكل حدودي، أي. التعبير عن الاعتماد الوظيفي من حيث المعلمة t . في إطار هذه المادة، سنوضح كيف يمكنك العثور على مساحة الشكل إذا كانت محدودة بمنحنى محدد حدوديًا.

بعد شرح النظرية واستخلاص الصيغة، سنقوم بتحليل عدة أمثلة نموذجية لإيجاد مساحة هذه الأشكال.

الصيغة الأساسية للحساب

لنفترض أن لدينا شبه منحرف منحني الأضلاع، وحدوده هي الخطوط x = a، x = b، والمحور O x والمنحنى المحدد حدوديًا x = φ (t) y = ψ (t) والدوال x = φ (t) و y = ψ (t) مستمرتان على الفاصل الزمني α ؛ ب، ألفا< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

التعريف 1

لحساب مساحة شبه منحرف في مثل هذه الظروف، تحتاج إلى استخدام الصيغة S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .

لقد اشتقناها من صيغة مساحة شبه منحرف منحني S (G) = ∫ a b f (x) d x باستخدام طريقة الاستبدال x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ أ ب و (س) د س = ∫ α β ψ (t) د (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) د t

التعريف 2

بالنظر إلى النقصان الرتيب للدالة x = φ (t) على الفاصل الزمني β؛ أ، ب< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

إذا كانت الدالة x = φ (t) لا تنتمي إلى الدالة الأساسية، فنحن بحاجة إلى تذكر القواعد الأساسية لزيادة وتناقص الدالة على فترة زمنية من أجل تحديد ما إذا كانت ستتزايد أم تتناقص.

في هذه الفقرة، سنقوم بتحليل العديد من المشاكل لتطبيق الصيغة المشتقة أعلاه.

مثال 1

حالة: أوجد مساحة الشكل الذي يتكون من الخط المعطى بمعادلات الصيغة x = 2 cos t y = 3 sin t .

حل

لدينا خط محدد حدوديا. بيانياً، يمكن عرضه على شكل قطع ناقص بنصف محورين 2 و 3 . انظر الرسم التوضيحي:

دعونا نحاول إيجاد المساحة 1 4 من الشكل الناتج، الذي يشغل الربع الأول. المنطقة تقع في الفترة x ∈ a ; ب = 0 2. بعد ذلك، اضرب القيمة الناتجة في 4 وابحث عن مساحة الشكل بأكمله.

هنا هو مسار حساباتنا:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

عندما تكون k تساوي 0، نحصل على الفاصل الزمني β؛ α = 0 ; بي 2 . الدالة x = φ (t) = 2 cos t ستنخفض عليها بشكل رتيب (لمزيد من التفاصيل، راجع المقالة حول الوظائف الأولية الأساسية وخصائصها). لذا، يمكنك تطبيق صيغة المساحة وإيجاد تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - الخطيئة 2 π 2 2 - 0 - الخطيئة 2 0 2 \u003d 3 π 2

وهذا يعني أن مساحة الشكل المعطى بواسطة المنحنى الأصلي ستكون مساوية لـ S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

الجواب: S (G) = 6 π

دعونا نوضح أنه عند حل المشكلة أعلاه، كان من الممكن أن تأخذ ليس فقط ربع القطع الناقص، ولكن أيضا نصفه - العلوي أو السفلي. سيتم وضع النصف على الفاصل الزمني x ∈ a ; ب = - 2 ; 2. في هذه الحالة سيكون لدينا:

φ (α) = أ ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

وهكذا، مع k يساوي 0 ، حصلنا على β ؛ α = 0 ; π . الدالة x = φ (t) = 2 cos t ستنخفض بشكل رتيب خلال هذه الفترة.

بعد ذلك نحسب مساحة نصف القطع الناقص:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - خطيئة 2 π 2 - 0 - خطيئة 2 0 2 = 3 π

من المهم ملاحظة أنه يمكنك فقط أخذ الجزء العلوي أو السفلي، وليس اليمين أو اليسار.

يمكنك كتابة معادلة بارامترية لهذا القطع الناقص، حيث يقع مركزه عند نقطة الأصل. سيبدو مثل x = a cos t y = b sin t . يتصرف بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه، نحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص S e l و p مع \u003d πab.

يمكنك تحديد دائرة يقع مركزها عند نقطة الأصل باستخدام المعادلة x = R cos t y = R sin t ، حيث t هو معامل وR هو نصف قطر الدائرة المحددة. إذا استخدمنا على الفور صيغة مساحة القطع الناقص، فسنحصل على صيغة يمكننا من خلالها حساب مساحة دائرة نصف قطرها R: S round a = πR 2.

دعونا نفكر في مشكلة أخرى.

مثال 2

حالة: أوجد مساحة الشكل الذي يحده منحنى محدد حدوديًا x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

حل

دعونا نوضح على الفور أن هذا المنحنى له شكل كويكب ممدود. عادةً ما يتم التعبير عن النجم باستخدام معادلة بالشكل x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

الآن سوف نحلل بالتفصيل كيفية بناء مثل هذا المنحنى. دعونا نبني على النقاط الفردية. هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا وتنطبق على معظم المهام. تتطلب الأمثلة الأكثر تعقيدًا حساب التفاضل والتكامل للكشف عن دالة محددة حدوديًا.

لدينا x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t، y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

يتم تعريف هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية لـ t . بالنسبة لـ sin وcos، فمن المعروف أنهما دوريتان ودورتهما 2pi. حساب قيم الدوال x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t لبعض t = t 0 ∈ 0 ; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , نحصل على النقاط x 0 ; ص 0 = (φ (ر 0) ; ψ (ر 0)) .

لنقم بعمل جدول بالقيم الإجمالية:

ر0	0	بي 8	بي 4	3 ط 8	بي 2	5 ط 8	3 ط 4	7 ط 8	π
س 0 \u003d φ (ر 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
ص 0 = ψ (ر 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

ر0	9 ط 8	5 ط 4	11 بي 8	3 ط 2	13 ط 8	7 ط 4	15 ط 8	2 بي
س 0 \u003d φ (ر 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
ص 0 = ψ (ر 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

بعد ذلك، حدد النقاط المطلوبة على المستوى وربطها بخط واحد.

نحتاج الآن إلى إيجاد مساحة ذلك الجزء من الشكل الموجود في الربع الإحداثي الأول. لها x ∈ a ; ب = 0 3:

φ (α) = أ ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

إذا كانت k تساوي 0، فإننا نحصل على الفاصل الزمني β؛ α = 0 ; π 2 والدالة x = φ (t) = 3 cos 3 t ستنخفض عليها بشكل رتيب. الآن نأخذ صيغة المنطقة ونحسب:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 خطيئة 4 ر د ر - ∫ 0 π 2 خطيئة 6 ر د ر

لقد حصلنا على تكاملات معينة يمكن حسابها باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز. يمكن العثور على العناصر الأولية لهذه الصيغة باستخدام الصيغة العودية J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) حيث J n (x) = ∫ الخطيئة ن × د × .

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin t 2 + 1 2 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

لقد حسبنا مساحة ربع الشكل. وهو يساوي 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

إذا ضربنا هذه القيمة بـ 4، نحصل على مساحة الشكل بأكمله - 9 π 4.

بنفس الطريقة تمامًا، يمكننا إثبات أن مساحة الكويكب المعطاة بالمعادلات x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t يمكن إيجادها بالصيغة المحدودة بالخط x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , يتم حسابه بالصيغة S = 3 πab 8 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، يرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

محاضرات 8. تطبيقات التكامل المحدد.

يعتمد تطبيق التكامل على المسائل الفيزيائية على خاصية جمع التكامل على مجموعة. لذلك، بمساعدة التكامل، يمكن حساب هذه الكميات التي هي في حد ذاتها مضافة في المجموعة. على سبيل المثال، مساحة شكل ما تساوي مجموع مساحات أجزائه، وطول القوس ومساحة السطح وحجم الجسم وكتلة الجسم لها نفس الخاصية. لذلك، يمكن حساب كل هذه الكميات باستخدام تكامل محدد.

هناك طريقتان لحل المشاكل: طريقة المجاميع التكاملية وطريقة التفاضل.

تكرر طريقة المجاميع المتكاملة بناء تكامل محدد: يتم إنشاء قسم، ويتم وضع علامة على النقاط، ويتم حساب دالة فيها، ويتم حساب مجموع متكامل، ويتم تنفيذ المرور إلى الحد. في هذه الطريقة، تتمثل الصعوبة الرئيسية في إثبات أنه في الحد سيتم الحصول على ما هو مطلوب بالضبط في المشكلة.

تستخدم الطريقة التفاضلية التكامل غير المحدد وصيغة نيوتن-لايبنتز. يتم حساب تفاضل القيمة المراد تحديدها، ومن ثم، بدمج هذا التفاضل، يتم الحصول على القيمة المطلوبة باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز. في هذه الطريقة، تتمثل الصعوبة الرئيسية في إثبات أن تفاضل القيمة المطلوبة هو الذي يتم حسابه، وليس شيئًا آخر.

حساب مساحات الأشكال المستوية.

1. يقتصر هذا الرقم على الرسم البياني للدالة الواردة في نظام الإحداثيات الديكارتية.

وصلنا إلى مفهوم التكامل المحدد من مشكلة مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع (في الواقع، باستخدام طريقة المجاميع التكاملية). إذا كانت الدالة تأخذ قيمًا غير سالبة فقط، فيمكن حساب المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة على المقطع باستخدام التكامل المحدد. لاحظ أن حتى هنا يمكنك أن ترى طريقة التفاضل.

لكن يمكن للدالة أيضًا أن تأخذ قيمًا سالبة على قطعة معينة، فإن التكامل على هذه القطعة سيعطي مساحة سالبة، وهو ما يتناقض مع تعريف المساحة.

يمكنك حساب المنطقة باستخدام الصيغةس=. وهذا يعادل تغيير إشارة الدالة في تلك المناطق التي تأخذ فيها قيمًا سالبة.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة الشكل المحدود من الأعلى بالرسم البياني للوظيفة، ومن الأسفل بالرسم البياني للوظيفة، إذن يمكنك استخدام الصيغةس= ، لأن .

مثال. احسب مساحة الشكل المحدود بالخطوط المستقيمة x=0, x=2 والرسوم البيانية للدوال y=x 2 , y=x 3 .

لاحظ أنه في الفترة (0,1) تكون المتباينة x 2 > x 3 محققة، وبالنسبة لـ x >1 تكون المتباينة x 3 > x 2 محققة. لهذا

2. يقتصر الشكل على الرسم البياني للدالة الواردة في نظام الإحداثيات القطبية.

لنفترض أن الرسم البياني للدالة معطى في نظام الإحداثيات القطبية ونريد حساب مساحة القطاع المنحني الذي يحده شعاعان والرسم البياني للدالة في نظام الإحداثيات القطبية.

هنا يمكنك استخدام طريقة المجاميع التكاملية، وحساب مساحة القطاع المنحني كحد مجموع مساحات القطاعات الأولية التي يتم فيها استبدال الرسم البياني للدالة بقوس دائرة .

يمكنك أيضًا استخدام الطريقة التفاضلية: .

يمكنك السبب مثل هذا. باستبدال القطاع المنحني الأولي المقابل للزاوية المركزية بقطاع دائري، نحصل على النسبة. من هنا . وبدمج واستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز نحصل على .

مثال. احسب مساحة الدائرة (تحقق من الصيغة). نعتقد . مساحة الدائرة هي .

مثال. احسب المساحة التي يحدها القلب .

3 يقتصر الشكل على الرسم البياني لوظيفة محددة حدوديًا.

يمكن تحديد الوظيفة بارامتريًا في النموذج . نحن نستخدم الصيغة س= مع استبدال حدود التكامل بالنسبة للمتغير الجديد . . عادة، عند حساب التكامل، يتم تمييز تلك المناطق حيث يكون للتكامل علامة معينة ويتم أخذ المنطقة المقابلة بعلامة أو أخرى في الاعتبار.

مثال. احسب المساحة المحاطة بالقطع الناقص.

وباستخدام تماثل القطع الناقص نحسب مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. في هذا الربع. لهذا .

حساب أحجام الأجسام.

1. حساب أحجام الأجسام من مناطق المقاطع المتوازية.

ليكن مطلوبًا حساب حجم جسم ما V من المساحات المعروفة لأجزاء هذا الجسم بواسطة مستويات متعامدة مع الخط OX، المرسوم عبر أي نقطة x من القطعة المستقيمة OX.

نحن نطبق طريقة التفاضل. بالنظر إلى الحجم الأولي، فوق القطعة كحجم أسطوانة دائرية قائمة بمساحة القاعدة والارتفاع، نحصل عليها . بدمج وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز، نحصل على

2. حساب أحجام أجسام الثورة.

فليكن مطلوبا لحساب ثور.

ثم .

على نفس المنوال، حجم جسم ثورة حول محورأويإذا كانت الدالة معطاة في النموذج، فيمكن حسابها باستخدام الصيغة.

إذا كانت الدالة معطاة في النموذج وكان مطلوبا تحديد حجم جسم الثورة حول المحورأوي، فيمكن الحصول على صيغة حساب الحجم على النحو التالي.

بالانتقال إلى التفاضل وإهمال الحدود التربيعية، لدينا . بدمج وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز، لدينا.

مثال. احسب حجم الكرة.

مثال. احسب حجم المخروط الدائري القائم الذي يحده سطح ومستوي.

دعونا نحسب الحجم كحجم جسم دوران يتكون من الدوران حول محور OZ لمثلث قائم الزاوية في مستوى OXZ، والذي تقع أرجله على محور OZ والخط z \u003d H، و الوتر يقع على الخط.

بالتعبير عن x بدلالة z نحصل على .

حساب طول القوس.

من أجل الحصول على صيغ لحساب طول القوس، دعونا نتذكر الصيغ التفاضلية لطول القوس المشتقة في الفصل الدراسي الأول.

إذا كان القوس عبارة عن رسم بياني لوظيفة قابلة للتمييز بشكل مستمر، يمكن حساب فرق طول القوس بواسطة الصيغة

. لهذا

إذا تم تحديد قوس سلس حدوديا، الذي - التي

. لهذا .

إذا كان القوس في الإحداثيات القطبية، الذي - التي

. لهذا .

مثال. احسب طول قوس الرسم البياني للدالة. .

كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (نظرًا لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنية الرسوم البيانية المختصة والسريعة بمساعدة المواد المنهجية والتحولات الهندسية للرسوم البيانية. ولكن، في الواقع، لقد تحدثت مرارا وتكرارا عن أهمية الرسومات في الدرس.

بشكل عام، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل، بمساعدة تكامل محدد، يمكنك حساب مساحة الشكل، وحجم جسم الدوران، وطول القوس، ومساحة السطح التناوب، وأكثر من ذلك بكثير. لذا سيكون الأمر ممتعًا، يرجى أن تكون متفائلًا!

تخيل شكلًا مسطحًا على المستوى الإحداثي. ممثلة؟ ... وأتساءل من قدم ماذا ... =))) لقد وجدنا بالفعل مساحتها. ولكن، بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تدوير هذا الشكل، وتدويره بطريقتين:

- حول محور الإحداثي السيني؛
- حول المحور ص.

وفي هذه المقالة سيتم مناقشة كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص، فهي تسبب أكبر الصعوبات، ولكن في الواقع الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. على سبيل المكافأة، سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكلوأخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. ولا حتى مكافأة كبيرة لأن المادة تتناسب جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التناوب.

شكل مسطح حول محور

مثال 1

احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير الشكل المحدود بخطوط حول المحور.

حل: كما هو الحال في مشكلة المنطقة، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محدد بخطوط، مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأوليةو تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. هذا تذكير صيني ولا أتوقف عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط جدًا:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق، وهذا الشكل هو الذي يدور حول المحور، ونتيجة للدوران، يتم الحصول على طبق طائر على شكل بيضة قليلاً، وهو متماثل حول المحور. في الواقع، الجسم له اسم رياضي، لكنه كسول جدًا لتحديد شيء ما في الكتاب المرجعي، لذلك نمضي قدمًا.

كيفية حساب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك - كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و "be" من الرسم المكتمل.

الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المسطح يحده الرسم البياني للقطع المكافئ من الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - يتم تربيع التكامل في الصيغة: وهكذا التكامل دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابة:

في الإجابة لا بد من الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسمنا الدوراني ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة، وربما أمتار مكعبة، وربما كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الصغار الذين يمكن أن يتناسب خيالك مع طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المحدود بالخطوط , ,

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و

حل: ارسم في الرسم شكلاً مسطحاً محاطاً بالخطوط , , , مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور:

الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما تدور حول المحور، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية بأربعة زوايا.

يتم حساب حجم جسم الثورة على النحو التالي اختلاف حجم الجسم.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع كـ .

خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:

3) حجم جسم الثورة المطلوب :

إجابة:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يتم اتخاذ القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا:

الآن دعونا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، وهو ما لاحظه بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلًا بحجم غرفة تبلغ مساحتها 18 مترًا مربعًا، والذي، على العكس من ذلك، يبدو حجمه صغيرًا جدًا.

بشكل عام، كان نظام التعليم في الاتحاد السوفياتي هو الأفضل حقا. نفس كتاب بيرلمان، الذي نشر في عام 1950، يتطور بشكل جيد للغاية، كما قال الفكاهي، ويعلمك البحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشاكل. لقد قمت مؤخرًا بإعادة قراءة بعض الفصول باهتمام كبير، وأوصي بها، فهي متاحة حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن يكون قضاء الوقت وسعة الاطلاع والنظرة الواسعة في التواصل أمرًا رائعًا.

بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". لاحظ أن كل الأشياء تحدث في النطاق، بمعنى آخر، حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح، وسأذكرك بمواد الدرس التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا كانت الوسيطة قابلة للقسمة على اثنين:، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. من المستحسن العثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.

حساب حجم الجسم الناتج عن الدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم دوراني حول المحور y هي أيضًا زائر متكرر إلى حد ما في الاختبارات. في المرور سيتم النظر فيها مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية - التكامل على طول المحور، لن تسمح لك بتحسين مهاراتك فحسب، بل ستعلمك أيضًا كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عملي! كما تذكرت معلمتي في طرق تدريس الرياضيات بابتسامة، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "موضوعك ساعدنا كثيرًا، والآن نحن مديرون فعالون وندير موظفينا على النحو الأمثل". وأغتنم هذه الفرصة، كما أعرب عن امتناني الكبير لها، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود =).

أنصح الجميع بقراءته، حتى الكتب الكاملة. علاوة على ذلك، فإن المواد المشتقة من الفقرة الثانية ستكون ذات فائدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.

مثال 5

نظرا لشكل مسطح تحده الخطوط , .

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح محدد بهذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط، أولاً بالضرورةقراءة أول واحد!

حل: المهمة تتكون من جزأين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

من السهل أن نرى أن الدالة تحدد الفرع العلوي من القطع المكافئ، والدالة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه "يقع على جانبه".

الشكل المطلوب الذي سيتم العثور على مساحته مظلل باللون الأزرق.

كيفية العثور على مساحة الشكل؟ ويمكن العثور عليها بالطريقة "العادية" التي تم تناولها في الدرس. تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المساحات:
- على الجزء ;
- على الجزء.

لهذا السبب:

ما هو الخطأ في الحل المعتاد في هذه الحالة؟ أولاً، هناك تكاملان. ثانيا، الجذور تحت التكاملات، والجذور في التكاملات ليست هدية، علاوة على ذلك، يمكن الخلط بين استبدال حدود التكامل. في الواقع، التكاملات، بالطبع، ليست مميتة، ولكن في الممارسة العملية، كل شيء أكثر حزنا، لقد التقطت للتو وظائف "أفضل" لهذه المهمة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الدوال العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية تمرير إلى وظائف عكسية؟ بشكل تقريبي، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولاً، دعونا نتعامل مع القطع المكافئ:

هذا يكفي، ولكن دعونا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

مع الخط المستقيم، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: من فضلك قم بإمالة رأسك بشكل دوري إلى اليمين بمقدار 90 درجة كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على القطعة، والتي يشار إليها بالخط الأحمر المنقط. علاوة على ذلك، في المقطع، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ مجرد رسالة، لا أكثر.

! ملحوظة: يجب وضع حدود التكامل على طول المحور بدقة من الأسفل إلى الأعلى!

إيجاد المنطقة:

على الجزء ، لذلك:

انتبه إلى الطريقة التي قمت بها بالتكامل، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون السبب واضحًا.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل، سأجد المشتقات:

تم الحصول على التكامل الأصلي، مما يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح.

إجابة:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

إذن، الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم الثورة، سنتكامل على طول المحور. نحتاج أولاً إلى الانتقال إلى الوظائف العكسية. وقد تم ذلك بالفعل ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أنه ينبغي إيجاد حجم جسد الثورة على أنه الفرق بين الحجومين.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى هذا الحجم بواسطة .

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونشير إليه من خلال حجم جسم الثورة الناتج.

حجم الفراشة يساوي الفرق في الحجوم.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

وكيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وهنا ميزة التكامل، التي تحدثت عنها مؤخرًا، أسهل بكثير في العثور عليها بدلاً من رفع التكامل إلى القوة الرابعة.

إجابة:

ومع ذلك، فراشة مريضة.

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور، فسيظهر جسم دوران مختلف تمامًا، بحجم مختلف بشكل طبيعي.

مثال 6

إعطاء شكل مسطح تحده الخطوط، ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط عن طريق التكامل على المتغير.
2) احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح يحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". يمكن لأولئك الذين يرغبون أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة" وبالتالي إكمال اختبار النقطة 1). ولكن إذا، أكرر، قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا بحجم مختلف، بالمناسبة، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون الحل).

الحل الكامل للبندين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

ولا تنس أن تميل رأسك إلى اليمين لفهم الأجسام الدورانية وضمن التكامل!

دعونا نوجد حجم الجسم الناتج عن دوران القوس الدائري حول قاعدته. وقد اكتشفه روبرفال عن طريق تقسيم الجسم الناتج على شكل بيضة (الشكل ٥.١) إلى طبقات رفيعة للغاية، ونقش أسطوانات في هذه الطبقات وإضافة أحجامها. والدليل طويل وممل وغير صارم تمامًا. لذلك، لحساب ذلك، ننتقل إلى الرياضيات العليا. دعونا نضع المعادلة الدائرية حدوديا.

في حساب التكامل، عند دراسة المجلدات، يستخدم الملاحظة التالية:

إذا تم إعطاء المنحنى المحيط بشبه المنحرف المنحني بواسطة معادلات بارامترية وكانت الدوال في هذه المعادلات تحقق شروط نظرية تغير المتغير في تكامل معين، فإن حجم جسم دوران شبه المنحرف حول محور الثور سيكون يتم حسابها بواسطة الصيغة:

دعونا نستخدم هذه الصيغة للعثور على الحجم الذي نحتاجه.

بنفس الطريقة، نحسب سطح هذا الجسم.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - التكلفة), 0 ? t ? 2r)

في حساب التكامل، توجد الصيغة التالية لإيجاد مساحة سطح جسم دوران حول المحور السيني لمنحنى محدد على مقطع بارامتريًا (t 0 ?t ?t 1):

وبتطبيق هذه الصيغة على المعادلة الدائرية نحصل على:

خذ بعين الاعتبار أيضًا سطحًا آخر تم إنشاؤه بواسطة دوران القوس الدائري. للقيام بذلك، سنقوم ببناء انعكاس مرآة للقوس الدائري نسبة إلى قاعدته، وسنقوم بتدوير الشكل البيضاوي الذي يتكون من الشكل الدائري وانعكاسه حول محور KT (الشكل 5.2).

أولًا، دعونا نوجد حجم الجسم الذي يتكون من دوران القوس الدائري حول محور KT. سيتم حساب حجمه بالصيغة (*):

وهكذا قمنا بحساب حجم نصف جسم اللفت هذا. ثم سيكون الحجم الإجمالي