7 هو عدد أولي أو 9 هو عدد أولي. كيفية تحديد عدد أولي

عرف الناس قديماً أن هناك أرقاماً لا تقبل القسمة على أي رقم آخر. التبعية الأعداد الأوليةيبدو مثل هذا:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

تم أيضًا تقديم الدليل على وجود عدد لا نهائي من هذه الأرقام بواسطة إقليدسالذي عاش سنة 300 قبل الميلاد. وفي نفس السنوات تقريبًا، اكتشف عالم رياضيات يوناني آخر، إراتوستينس، توصل إلى خوارزمية بسيطة إلى حد ما للحصول على الأعداد الأولية، وكان جوهرها هو شطب الأرقام من الجدول بالتتابع. أما الأعداد المتبقية التي لم تكن قابلة للقسمة على أي شيء فهي أعداد أولية. تُسمى الخوارزمية "غربال إراتوستينس"، ونظرًا لبساطتها (لا توجد عمليات ضرب أو قسمة، بل إضافة فقط)، لا تزال تُستخدم في تكنولوجيا الكمبيوتر.

على ما يبدو، بالفعل في زمن إراتوستينس، أصبح من الواضح أنه لم يكن هناك معيار واضح لما إذا كان الرقم أوليًا أم لا - ولا يمكن التحقق من ذلك إلا تجريبيًا. يخرج طرق مختلفةلتبسيط العملية (على سبيل المثال، من الواضح أن الرقم لا ينبغي أن يكون زوجي)، ولكن لم يتم العثور على خوارزمية تحقق بسيطة بعد، وعلى الأرجح لن يتم العثور عليها: لمعرفة ما إذا كان الرقم أوليًا أم لا، يجب أن تحاول تقسيمها إلى أعداد أصغر وأصغر.

هل تخضع الأعداد الأولية لأي قوانين؟ نعم، وهم فضوليون للغاية.

على سبيل المثال، عالم الرياضيات الفرنسي ميرسيناكتشف في القرن السادس عشر أن العديد من الأعداد الأولية لها الشكل 2^N - 1، وتسمى هذه الأرقام أرقام ميرسين. قبل ذلك بوقت قصير، في عام 1588، عالم الرياضيات الإيطالي كاتالدياكتشف العدد الأولي 2 19 - 1 = 524287 (حسب تصنيف ميرسن يسمى M19). اليوم يبدو هذا الرقم قصيرًا جدًا، ولكن حتى الآن باستخدام الآلة الحاسبة، سيستغرق التحقق من بساطته أكثر من يوم واحد، وفي القرن السادس عشر كان هذا عملاً ضخمًا حقًا.

وبعد 200 سنة عالم الرياضيات أويلرتم العثور على رقم أولي آخر 2 31 - 1 = 2147483647. مرة أخرى، يمكن للجميع تخيل المبلغ المطلوب من الحسابات لنفسه. كما طرح فرضية (أطلق عليها فيما بعد "مشكلة أويلر" أو "مشكلة غولدباخ الثنائية")، وجوهرها بسيط: كل رقم زوجي أكبر من اثنين يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين.

على سبيل المثال، يمكنك أخذ أي رقمين زوجيين: 123456 و888777888.

باستخدام الكمبيوتر، يمكنك العثور على مجموعهما في شكل رقمين أوليين: 123456 = 61813 + 61643 و 888777888 = 444388979 + 444388909. ومن المثير للاهتمام هنا أنه لم يتم العثور على دليل دقيق لهذه النظرية حتى الآن، على الرغم من وجود بمساعدة أجهزة الكمبيوتر تم التحقق من الأرقام التي تحتوي على 18 صفراً.

هناك نظرية أخرى لعالم الرياضيات بيير فيرما، تم اكتشافه عام 1640، والذي ينص على أنه إذا كان الرقم الأولي له الشكل 4*k+1، فيمكن تمثيله كمجموع مربعات الأرقام الأخرى. لذلك، على سبيل المثال، في مثالنا، الرقم الأولي 444388909 = 4*111097227 + 1. وبالفعل، باستخدام جهاز كمبيوتر، يمكنك أن تجد أن 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710.

تم إثبات النظرية بواسطة أويلر بعد 100 عام فقط.

وأخيرا برنهارد ريمانوفي عام 1859 تم طرح ما يسمى بـ”فرضية ريمان” حول عدم تجاوز عدد توزيعات الأعداد الأولية لرقم معين. ولم يتم إثبات هذه الفرضية بعد، فهي مدرجة في قائمة "مسائل الألفية" السبعة، التي أبدى معهد كلاي للرياضيات في كامبريدج استعداده لدفع مكافأة قدرها مليون دولار أمريكي لحل كل واحدة منها.

لذا فالأمر ليس بهذه البساطة مع الأعداد الأولية. هناك أيضا حقائق مدهشة. على سبيل المثال، في عام 1883 عالم الرياضيات الروسي هم. بيرفوشينمن منطقة بيرم أثبتت أولوية الرقم 2 61 - 1 = 2305843009213693951 . حتى الآن، لا يمكن للآلات الحاسبة المنزلية العمل مع مثل هذه الأرقام الطويلة، ولكن في ذلك الوقت كان عملاً هائلاً حقًا، وكيف تم القيام به ليس واضحًا جدًا حتى يومنا هذا. على الرغم من أن هناك بالفعل أشخاصًا لديهم قدرات دماغية فريدة - على سبيل المثال، من المعروف أن الأشخاص المصابين بالتوحد قادرون على العثور (!) على أعداد أولية مكونة من 8 أرقام في أذهانهم. كيف يفعلون هذا غير واضح.

الحداثة

هل لا تزال الأعداد الأولية ذات صلة اليوم؟ وكيف! الأعداد الأولية هي أساس التشفير الحديث، لذلك يستخدمها معظم الناس يوميًا دون التفكير في الأمر. تتطلب أي عملية مصادقة، على سبيل المثال، تسجيل الهاتف على الشبكة، والمدفوعات المصرفية، وما إلى ذلك، خوارزميات تشفير.

جوهر الفكرة هنا بسيط للغاية ويقع في قلب الخوارزمية آر إس إيه، تم اقتراحه مرة أخرى في عام 1975. يقوم المرسل والمستلم بشكل مشترك باختيار ما يسمى "المفتاح الخاص"، والذي يتم تخزينه في مكان آمن. هذا المفتاح، كما خمن القراء على الأرجح، هو عدد أولي. الجزء الثاني هو "المفتاح العام"، وهو أيضًا رقم بسيط، ينشئه المرسل وينقل كعمل مع الرسالة بنص واضح، بل ويمكن نشره في إحدى الصحف. جوهر الخوارزمية هو أنه بدون معرفة "الجزء المغلق"، من المستحيل الحصول على النص المصدر.

على سبيل المثال، إذا أخذنا رقمين أوليين 444388979 و444388909، فسيكون "المفتاح الخاص" هو 444388979، وسيتم نقل المنتج 197481533549433911 (444388979*444388909) علنًا. فقط بمعرفة نصفك الآخر يمكنك حساب الرقم المفقود وفك النص به.

ما هي الحيلة هنا؟ والحقيقة هي أن المنتج من رقمين أوليين ليس من الصعب حسابه، لكن العملية العكسية غير موجودة - إذا كنت لا تعرف الجزء الأول، فلا يمكن تنفيذ هذا الإجراء إلا بالقوة الغاشمة. وإذا كنت تأخذ أعدادا أولية كبيرة حقا (على سبيل المثال، 2000 حرفا)، فإن فك تشفير منتجاتها سيستغرق عدة سنوات حتى على جهاز كمبيوتر حديث (بحلول ذلك الوقت ستكون الرسالة غير ذات صلة منذ فترة طويلة).

تكمن عبقرية هذا المخطط في أنه لا يوجد شيء سري في الخوارزمية نفسها - فهي مفتوحة وجميع البيانات موجودة على السطح (كل من الخوارزمية وجداول الأعداد الأولية الكبيرة معروفة). التشفير نفسه، جنبا إلى جنب مع المفتاح العمومييمكن أن تنتقل بأي شكل من الأشكال، بأي شكل من الأشكال شكل مفتوح. لكن من دون معرفة الجزء السري من المفتاح الذي اختاره المرسل، لن نستقبل النص المشفر. على سبيل المثال، يمكننا القول أنه تم نشر وصف لخوارزمية RSA في إحدى المجلات في عام 1977، كما تم تقديم مثال للتشفير هناك أيضًا. فقط في عام 1993، وبمساعدة الحوسبة الموزعة على أجهزة كمبيوتر 600 متطوع، تم الحصول على الإجابة الصحيحة.

لذلك تبين أن الأعداد الأولية ليست بهذه البساطة على الإطلاق، ومن الواضح أن قصتها لا تنتهي عند هذا الحد.

إجابة إيليا صحيحة، ولكنها ليست مفصلة للغاية. بالمناسبة، في القرن الثامن عشر، كان الرقم الواحد لا يزال يعتبر عددًا أوليًا. على سبيل المثال، علماء الرياضيات العظماء مثل أويلر وغولدباخ. غولدباخ هو مؤلف إحدى مشاكل الألفية السبعة - فرضية غولدباخ. تنص الصيغة الأصلية على أنه يمكن تمثيل كل رقم زوجي كمجموع رقمين أوليين. علاوة على ذلك، في البداية تم أخذ 1 في الاعتبار كرقم أولي، ونحن نرى هذا: 2 = 1+1. هذا أصغر مثال، تلبية الصياغة الأصلية للفرضية. وقد تم تصحيحه فيما بعد، وأصبحت الصياغة نظرة حديثة: "كل رقم زوجي، بدءًا من الرقم 4، يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين."

دعونا نتذكر التعريف. بسيط هو عدد طبيعي p، له مقسومان طبيعيان مختلفان فقط: p نفسه و1. النتيجة الطبيعية من التعريف: العدد الأولي p له مقسوم أولي واحد فقط - p نفسه.

الآن لنفترض أن 1 هو عدد أولي. حسب التعريف، العدد الأولي له قاسم أولي واحد فقط - وهو نفسه. ثم يتبين أن أي عدد أولي أكبر من 1 يقبل القسمة على عدد أولي مختلف عنه (على 1). لكن عددين أوليين مختلفين لا يمكن قسمتهما على بعضهما البعض، لأن وإلا فهي ليست أعدادا أولية، بل أعدادا مركبة، وهذا يخالف التعريف. مع هذا النهج، اتضح أن هناك رقمًا أوليًا واحدًا فقط - الوحدة نفسها. لكن هذا أمر سخيف. وبالتالي فإن 1 ليس عددًا أوليًا.

1، وكذلك 0، يشكلان فئة أخرى من الأرقام - فئة العناصر المحايدة فيما يتعلق بالعمليات n-ary في بعض المجموعات الفرعية من المجال الجبري. علاوة على ذلك، فيما يتعلق بعملية الجمع، فإن 1 هو أيضًا عنصر توليد لحلقة الأعداد الصحيحة.

مع هذا الاعتبار، ليس من الصعب اكتشاف نظائرها من الأعداد الأولية في الهياكل الجبرية الأخرى. لنفترض أن لدينا مجموعة ضربية مكونة من قوى العدد 2، بدءًا من 1: 2، 4، 8، 16، ... إلخ. 2 يعمل كعنصر تكويني هنا. العدد الأولي في هذه المجموعة هو رقم أكبر من أصغر عنصر ولا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى أصغر عنصر. في مجموعتنا، 4 فقط لديهم مثل هذه الخصائص. لم تعد هناك أعداد أولية في مجموعتنا.

إذا كان 2 أيضًا رقمًا أوليًا في مجموعتنا، فراجع الفقرة الأولى - مرة أخرى سيتبين أن 2 فقط هو رقم أولي.

تتناول المقالة مفاهيم الأعداد الأولية والمركبة. وترد تعريفات هذه الأرقام مع الأمثلة. ونقدم برهاناً على أن عدد الأعداد الأولية غير محدود وسنقوم بتسجيله في جدول الأعداد الأولية باستخدام طريقة إراتوستينس. سيتم تقديم الأدلة لتحديد ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

الأعداد الأولية والمركبة - التعاريف والأمثلة

يتم تصنيف الأعداد الأولية والمركبة كأعداد صحيحة موجبة. ويجب أن يكونوا أكبر من واحد. وتنقسم المقسومات أيضا إلى بسيطة ومركبة. لفهم مفهوم الأعداد المركبة، عليك أولاً دراسة مفاهيم المقسومات والمضاعفات.

التعريف 1

الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة أكبر من الواحد ولها قاسمتان موجبتان، هما نفسها والواحد.

التعريف 2

الأعداد المركبة هي أعداد صحيحة أكبر من الواحد ولها على الأقل ثلاثة قواسم موجبة.

الواحد ليس عددًا أوليًا ولا عددًا مركبًا. له مقسوم موجب واحد فقط، لذا فهو يختلف عن جميع الأعداد الموجبة الأخرى. تسمى جميع الأعداد الصحيحة الموجبة بالأرقام الطبيعية، أي أنها تستخدم في العد.

التعريف 3

الأعداد الأوليةهي أعداد طبيعية لها قاسمتان موجبتان فقط.

التعريف 4

عدد مركبهو عدد طبيعي له أكثر من قسمتين موجبتين.

أي رقم أكبر من 1 هو إما أولي أو مركب. من خاصية قابلية القسمة نجد أن 1 والرقم a سيكونان دائمًا مقسومين على أي عدد a، أي أنه سيكون قابلاً للقسمة على نفسه وعلى 1. نعطي تعريف الأعداد الصحيحة.

التعريف 5

تسمى الأعداد الطبيعية غير الأولية الأعداد المركبة.

الأعداد الأولية: 2، 3، 11، 17، 131، 523. وهي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى 1. الأعداد المركبة: 6، 63، 121، 6697. أي أن الرقم 6 يمكن تحلله إلى 2 و3، و63 إلى 1، 3، 7، 9، 21، 63، و121 إلى 11، 11، أي أن قواسمه ستكون 1، 11، 121. الرقم 6697 مقسم إلى 37 و 181. لاحظ أن مفهومي الأعداد الأولية والأعداد الأولية هما مفهومان مختلفان.

لتسهيل استخدام الأعداد الأولية، تحتاج إلى استخدام الجدول:

إن جدول جميع الأعداد الطبيعية الموجودة غير واقعي، حيث يوجد عدد لا نهائي منها. عندما تصل الأرقام إلى أحجام 10000 أو 1000000000، فيجب عليك التفكير في استخدام غربال إراتوستينس.

دعونا نفكر في النظرية التي تشرح العبارة الأخيرة.

النظرية 1

أصغر مقسوم موجب غير 1 لعدد طبيعي أكبر من الواحد هو عدد أولي.

الدليل 1

لنفترض أن a هو عدد طبيعي أكبر من 1، وأن b هو أصغر مقسوم على a. من الضروري إثبات أن b عدد أولي باستخدام طريقة التناقض.

لنفترض أن ب- عدد مركب. من هنا يتبين لنا أن هناك مقسوماً على b، وهو يختلف عن 1 وكذلك عن b. يُشار إلى هذا المقسوم عليه بالرمز b 1. فمن الضروري أن الشرط 1< b 1 < b اكتمل.

يتضح من الشرط أن أ مقسومة على ب، ب مقسومة على ب 1، مما يعني أن مفهوم قابلية القسمة يعبر عنه على النحو التالي: أ = ب فو ب = ب 1 · س 1 , من حيث أ = ب 1 · (ف 1 · ف) , حيث ف و س 1هي أعداد صحيحة. وفقا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة، لدينا أن حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح مساو له على الصورة a = b 1 · (q 1 · q) . ويمكن ملاحظة أن ب 1 هو المقسوم على الرقم أ. عدم المساواة 1< b 1 < b لايتوافق، لأننا نجد أن b هو أصغر مقسوم موجب وغير 1 لـ a.

النظرية 2

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

الدليل 2

من المفترض أننا نأخذ عددًا محدودًا من الأعداد الطبيعية n ونشير إليها على أنها p 1، p 2، …، p n. لنفكر في خيار العثور على رقم أولي مختلف عن العدد المشار إليه.

لنأخذ بعين الاعتبار الرقم p، الذي يساوي p 1، p 2، ...، p n + 1. لا يساوي كل من الأرقام المقابلة للأعداد الأولية من النموذج ص 1، ص 2، ...، ص ن. العدد p أولي. ثم تعتبر النظرية مثبتة. إذا كان مركبًا، فأنت بحاجة إلى تدوين p n + 1 وإظهار أن المقسوم عليه لا يتطابق مع أي من ص 1، ص 2، ...، ص ن.

إذا لم يكن الأمر كذلك، إذن، بناءً على خاصية قابلية القسمة للمنتج ص 1، ص 2، ...، ص ن , نجد أنه سيكون قابلاً للقسمة على pn+1. لاحظ أن التعبير p n + 1 قسمة الرقم p يساوي مجموع p 1، p 2، ...، p n + 1. نحصل على أن التعبير p n + 1 ويجب قسمة الحد الثاني من هذا المجموع الذي يساوي 1، لكن هذا مستحيل.

يمكن أن نرى أنه يمكن العثور على أي عدد أولي بين أي عدد من الأعداد الأولية المعطاة. ويترتب على ذلك أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.

وبما أن هناك الكثير من الأعداد الأولية، فإن الجداول تقتصر على الأرقام 100، 1000، 10000، وهكذا.

عند تجميع جدول الأعداد الأولية، يجب أن تأخذ في الاعتبار أن مثل هذه المهمة تتطلب فحصًا تسلسليًا للأرقام، بدءًا من 2 إلى 100. إذا لم يكن هناك مقسوم عليه، فإنه يسجل في الجدول، وإذا كان مركبا، فلا يدخل في الجدول.

دعونا ننظر في الأمر خطوة بخطوة.

إذا بدأت بالرقم 2، فسيكون له مقسومان فقط: 2 و1، مما يعني أنه يمكن إدخاله في الجدول. نفس الشيء مع الرقم 3 الرقم 4 مركب، ويجب أن ينقسم إلى 2 و 2. الرقم 5 هو عدد أولي، مما يعني أنه يمكن تسجيله في الجدول. افعل ذلك حتى الرقم 100.

هذه الطريقة غير مريحة وتستغرق وقتا طويلا. يمكنك إنشاء جدول، ولكن عليك أن تنفق عدد كبير منوقت. من الضروري استخدام معايير القسمة، والتي سوف تسرع عملية العثور على المقسومات.

تعتبر الطريقة الأكثر ملاءمة باستخدام غربال إراتوستينس. دعونا نلقي نظرة على الجداول أدناه كمثال. للبدء، يتم كتابة الأرقام 2، 3، 4، ...، 50.

أنت الآن بحاجة إلى شطب جميع الأرقام التي هي مضاعفات الرقم 2. تنفيذ خط متتابع. نحصل على جدول مثل:

ننتقل إلى شطب الأعداد التي هي مضاعفات العدد 5. نحن نحصل:

شطب الأعداد التي هي من مضاعفات 7، 11. في نهاية المطاف يبدو الجدول

دعنا ننتقل إلى صياغة النظرية.

النظرية 3

أصغر مقسوم موجب وغير 1 للرقم الأساسي a لا يتجاوز a، حيث a هو الجذر الحسابي للرقم المحدد.

الدليل 3

يجب تعيين ب المقسوم عليه الأقلالعدد المركب أ يوجد عدد صحيح q، حيث a = b · q، ولدينا ذلك b ≥ q. عدم المساواة في الشكل غير مقبولة ب > ف،لأن الشرط مخالف. يجب ضرب طرفي المتراجحة b ≥ q بأي رقم موجب b لا يساوي 1. لقد حصلنا على b · b ≥ b · q، حيث b 2 ≥ a و b ≥ a.

يتضح من النظرية المثبتة أن شطب الأرقام في الجدول يؤدي إلى حقيقة أنه من الضروري البدء برقم يساوي b 2 ويرضي عدم المساواة b 2 ≥ a. أي أنك إذا قمت بشطب أرقام من مضاعفات الرقم 2، فإن العملية تبدأ بـ 4، ومضاعفات 3 بـ 9، وهكذا حتى 100.

تجميع مثل هذا الجدول باستخدام نظرية إراتوستينس يشير إلى أنه عند شطب جميع الأعداد المركبة، ستبقى الأعداد الأولية لا تتجاوز n. في المثال حيث n = 50، لدينا أن n = 50. ومن هذا نحصل على أن منخل إراتوستينس يغربل كل الأعداد المركبة التي لا تزيد قيمتها عن قيمة جذر 50. يتم البحث عن الأرقام عن طريق الشطب.

قبل الحل، عليك معرفة ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا. غالبا ما تستخدم معايير القسمة. دعونا ننظر إلى هذا في المثال أدناه.

مثال 1

أثبت أن الرقم 898989898989898989 مركب.

حل

مجموع أرقام عدد معين هو 9 8 + 9 9 = 9 17. هذا يعني أن الرقم 9 · 17 يقبل القسمة على 9، بناءً على اختبار القسمة على 9. ويترتب على ذلك أنه مركب.

مثل هذه العلامات غير قادرة على إثبات أولية الرقم. إذا كان التحقق مطلوبًا، فيجب اتخاذ إجراءات أخرى. الطريقة الأنسب هي تعداد الأرقام. خلال هذه العملية، يمكن العثور على الأعداد الأولية والمركبة. أي أن الأرقام يجب ألا تتجاوز قيمتها. أي أن العدد a يجب أن يتم تحليله إلى عوامل أولية. إذا تم استيفاء ذلك، فيمكن اعتبار الرقم a أوليًا.

مثال 2

تحديد الرقم المركب أو الأولي 11723.

حل

أنت الآن بحاجة إلى العثور على جميع المقسومات على الرقم 11723. بحاجة لتقييم 11723 .

ومن هنا نرى أن 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 و 11723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

للمزيد من تقييم دقيقالرقم 11723، عليك أن تكتب التعبير 108 2 = 11 664، و 109 2 = 11 881 ، الذي - التي 108 2 < 11 723 < 109 2 . ويترتب على ذلك 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

عند التوسيع نجد أن 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107 كلها أعداد أولية. الجميع هذه العمليةيمكن تصويرها على أنها قسمة على عمود. أي قسمة 11723 على 19. والعدد 19 هو أحد عوامله، لأننا نحصل على القسمة بدون باقي. لنمثل القسمة كعمود:

ويترتب على ذلك أن 11723 هو رقم مركب، لأنه بالإضافة إلى نفسه والرقم 1 يكون له القاسم على 19.

إجابة: 11723 هو رقم مركب.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تعداد المقسومات.حسب التعريف، العدد نيكون أوليًا فقط إذا لم يكن قابلاً للقسمة بالتساوي على 2 والأعداد الصحيحة الأخرى باستثناء 1 ونفسه. تزيل الصيغة المذكورة أعلاه الخطوات غير الضرورية وتوفر الوقت: على سبيل المثال، بعد التحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3، ليست هناك حاجة للتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 9.

• تقوم الدالة Floor(x) بتقريب x إلى أقرب عدد صحيح أقل من أو يساوي x.

تعرف على الحساب المعياري.العملية هي "x mod y" (mod اختصار لـ كلمة لاتينية"modulo" تعني "تقسيم x على y والعثور على الباقي." وبعبارة أخرى، في الحساب المعياري، عند الوصول إلى قيمة معينة، وهو ما يسمى وحدة، "تتحول" الأرقام إلى الصفر مرة أخرى. على سبيل المثال، تحافظ الساعة على الوقت بمعامل 12: فهي تعرض الساعات 10 و11 و12 ثم تعود إلى 1.

• تحتوي العديد من الآلات الحاسبة على مفتاح تعديل. توضح نهاية هذا القسم كيفية تقييم هذه الدالة يدويًا للأعداد الكبيرة.

تعرف على مخاطر نظرية فيرما الصغيرة.جميع الأرقام التي لم تتوفر فيها شروط الاختبار هي أرقام مركبة، أما الأرقام المتبقية فهي فقط من المحتملتصنف على أنها بسيطة. إذا كنت تريد تجنب النتائج غير الصحيحة، فابحث عن نفي قائمة "أرقام كارمايكل" ​​(الأرقام المركبة التي تستوفي هذا الاختبار) و"أرقام الفرمات الأولية الزائفة" (هذه الأرقام تستوفي شروط الاختبار لبعض القيم فقط أ).

إذا كان ذلك مناسبًا، استخدم اختبار ميلر رابين.بالرغم من هذه الطريقةمرهقة للغاية عند إجراء العمليات الحسابية يدويًا، وغالبًا ما يتم استخدامها في برامج الحاسوب. إنها توفر سرعة مقبولة وتنتج أخطاء أقل من طريقة فيرما. لن يتم قبول الرقم المركب كرقم أولي إذا تم إجراء الحسابات لأكثر من ربع القيم أ. إذا قمت بتحديد قيم مختلفة بشكل عشوائي أوبالنسبة لهم جميعًا، سيعطي الاختبار نتيجة إيجابية، يمكننا أن نفترض ذلك بدرجة عالية من الثقة نهو عدد أولي.

بالنسبة للأعداد الكبيرة، استخدم الحساب المعياري.إذا لم يكن لديك آلة حاسبة بها وظيفة تعديل في متناول اليد أو أن الآلة الحاسبة غير مصممة للعمليات بهذه الوظيفة أعداد كبيرة، استخدم خصائص القوى والحساب المعياري لتسهيل العمليات الحسابية. فيما يلي مثال ل 3 50 (\displaystyle 3^(50))وزارة الدفاع 50:

• أعد كتابة التعبير في شكل أكثر ملاءمة: mod 50. عند إجراء الحسابات اليدوية، قد يكون من الضروري إجراء المزيد من التبسيط.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. هنا أخذنا بعين الاعتبار خاصية الضرب المعياري.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25))مود 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))مود 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25))مود 50) مود 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))مود 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849)مود 50.
• = 49 (\displaystyle =49).

في هذه المقالة سوف نستكشف الأعداد الأولية والمركبة. أولاً، سنقدم تعريفات للأعداد الأولية والمركبة، ونعطي أمثلة أيضًا. وبعد ذلك سوف نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. بعد ذلك، سوف نقوم بكتابة جدول الأعداد الأولية، وننظر في طرق تجميع جدول الأعداد الأولية، مع إيلاء اهتمام خاص للطريقة التي تسمى غربال إراتوستينس. وفي الختام، سنسلط الضوء على النقاط الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار عند إثبات أن رقمًا معينًا أولي أو مركب.

التنقل في الصفحة.

الأعداد الأولية والمركبة - التعاريف والأمثلة

تشير مفاهيم الأعداد الأولية والأعداد المركبة إلى الأعداد الأكبر من الواحد. يتم تقسيم هذه الأعداد الصحيحة، اعتمادًا على عدد قواسمها الإيجابية، إلى أرقام أولية ومركبة. حتى نفهم تعريفات الأعداد الأولية والمركبة، يجب أن يكون لديك فهم جيد للمقسومات والمضاعفات.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي أعداد صحيحة، وهي وحدات كبيرة، لها قاسمتان موجبتان فقط، وهما نفسها و1.

تعريف.

الأرقام المركبةهي الأعداد الصحيحة، الكبيرة، التي تحتوي على ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

بشكل منفصل، نلاحظ أن الرقم 1 لا ينطبق على الأعداد الأولية أو المركبة. الوحدة لها مقسوم موجب واحد فقط، وهو الرقم 1 نفسه. وهذا ما يميز الرقم 1 عن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأخرى التي تحتوي على قاسمين موجبين على الأقل.

مع الأخذ في الاعتبار أن الأعداد الصحيحة الموجبة هي، وأن الوحدة لها قاسم موجب واحد فقط، يمكن إعطاء صيغ أخرى للتعريفات السليمة للأعداد الأولية والمركبة.

تعريف.

الأعداد الأوليةهي أعداد طبيعية لها قاسمتان موجبتان فقط.

تعريف.

الأرقام المركبةهي الأعداد الطبيعية التي لها أكثر من قاسمتين موجبتين.

لاحظ أن كل عدد صحيح موجب أكبر من الواحد هو إما عدد أولي أو عدد مركب. بمعنى آخر، لا يوجد عدد صحيح واحد ليس أوليًا ولا مركبًا. يأتي هذا من خاصية قابلية القسمة، والتي تنص على أن الرقمين 1 وa هما دائمًا مقسومان على أي عدد صحيح.

بناءً على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة، يمكننا تقديم التعريف التالي للأرقام المركبة.

تعريف.

يتم استدعاء الأعداد الطبيعية التي ليست أولية المقوم، مكون، جزء من.

هيا نعطي أمثلة على الأعداد الأولية والمركبة.

تتضمن أمثلة الأرقام المركبة 6 و63 و121 و6697. هذا البيان يحتاج أيضا إلى توضيح. الرقم 6، بالإضافة إلى المقسومين الموجبين 1 و 6، لديه أيضًا المقسومان 2 و 3، نظرًا لأن 6 = 2 3، وبالتالي فإن 6 هو حقًا رقم مركب. العوامل الإيجابية للعدد 63 هي الأرقام 1، 3، 7، 9، 21 و63. الرقم 121 يساوي حاصل الضرب 11·11، لذا فإن قواسمه الموجبة هي 1 و11 و121. والعدد 6697 مركب، لأن قواسمه الموجبة بالإضافة إلى 1 و6697 هي أيضا الرقمين 37 و181.

في ختام هذه اللحظة، أود أيضًا أن ألفت الانتباه إلى حقيقة أن الأعداد الأولية والأعداد الأولية بعيدة كل البعد عن نفس الشيء.

جدول الأعداد الأولية

يتم تسجيل الأعداد الأولية، لسهولة استخدامها في المستقبل، في جدول يسمى جدول الأعداد الأولية. في الأسفل يكون جدول الأعداد الأوليةما يصل إلى 1000.

يطرح سؤال منطقي: "لماذا ملأنا جدول الأعداد الأولية حتى 1000 فقط، أليس من الممكن إنشاء جدول بجميع الأعداد الأولية الموجودة"؟

دعنا نجيب على الجزء الأول من هذا السؤال أولاً. بالنسبة لمعظم المسائل التي تتطلب استخدام الأعداد الأولية، ستكون الأعداد الأولية ضمن الألف كافية. وفي حالات أخرى، على الأرجح، سيتعين عليك اللجوء إلى بعض الحلول الخاصة. على الرغم من أنه يمكننا بالتأكيد إنشاء جدول من الأعداد الأولية يصل إلى عدد صحيح موجب محدود كبير بشكل تعسفي، سواء كان 10000 أو 1000000000، في الفقرة التالية سنتحدث عن طرق إنشاء جداول الأعداد الأولية، على وجه الخصوص، سننظر إلى طريقة مُسَمًّى.

الآن دعونا نلقي نظرة على إمكانية (أو بالأحرى استحالة) تجميع جدول بجميع الأعداد الأولية الموجودة. لا يمكننا عمل جدول بجميع الأعداد الأولية لأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. العبارة الأخيرة هي نظرية سنثبتها بعد النظرية المساعدة التالية.

نظرية.

أصغر مقسوم موجب غير 1 لعدد طبيعي أكبر من الواحد هو عدد أولي.

دليل.

يترك a هو عدد طبيعي أكبر من واحد، وb هو أصغر مقسوم موجب على غير الواحد. دعونا نثبت أن b عدد أولي بالتناقض.

لنفترض أن b عدد مركب. ثم هناك مقسوم على الرقم b (دعنا نشير إليه b 1 )، وهو يختلف عن كل من 1 و b . إذا أخذنا في الاعتبار أيضًا أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تزيد قيمه مطلقهقابل للقسمة (نعرف ذلك من خصائص قابلية القسمة)، فيجب استيفاء الشرط 1

نظرًا لأن الرقم a قابل للقسمة على b بشرط، وقلنا أن b قابل للقسمة على b 1، فإن مفهوم القسمة يسمح لنا بالحديث عن وجود هذه الأعداد الصحيحة q و q 1 التي a=b q و b=b 1 q 1 , من حيث a= b 1 ·(q 1 ·q) . ويترتب على ذلك أن حاصل ضرب عددين صحيحين هو عدد صحيح، فإن المساواة a=b 1 ·(q 1 ·q) تشير إلى أن b 1 مقسوم على الرقم a . مع الأخذ في الاعتبار عدم المساواة المذكورة أعلاه 1

الآن يمكننا أن نثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية.

نظرية.

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

دليل.

لنفترض أنه ليس كذلك. أي لنفترض أنه لا يوجد سوى n أعداد أولية، وهذه الأعداد الأولية هي p 1 , p 2 , …, p n . دعونا نبين أنه يمكننا دائمًا العثور على عدد أولي مختلف عن الأعداد المشار إليها.

اعتبر رقمًا p يساوي p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . ومن الواضح أن هذا العدد يختلف عن كل من الأعداد الأولية p 1 , p 2 , …, p n . إذا كان العدد p أوليًا، فقد تم إثبات النظرية. إذا كان هذا الرقم مركبًا، فبموجب النظرية السابقة، يوجد مقسوم أولي لهذا الرقم (دعنا نشير إليه p n+1 ). دعونا نبين أن هذا المقسوم عليه لا يتطابق مع أي من الأرقام p 1 , p 2 , …, p n .

إذا لم يكن الأمر كذلك، فمن خلال خصائص القسمة، يكون المنتج p 1 ·p 2 ·…·p n قابلاً للقسمة على p n+1 . لكن الرقم p قابل للقسمة أيضًا على p n+1، وهو ما يساوي مجموع p 1 ·p 2 ·…·p n +1. وهذا يعني أن الحد الثاني من هذا المجموع، والذي يساوي واحدًا، لا بد أن يقبل القسمة على p n+1، وهذا مستحيل.

وهكذا، فقد ثبت أنه يمكن دائمًا العثور على عدد أولي جديد، وهو غير موجود بين أي عدد من الأعداد الأولية المعطاة مسبقًا. ولذلك، هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

لذلك، نظرًا لحقيقة أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية، عند تجميع جداول الأعداد الأولية، فإنها دائمًا ما تقتصر من الأعلى على رقم ما، عادةً 100، 1000، 10000، إلخ.

غربال إراتوستينس

الآن سنناقش طرق تجميع جداول الأعداد الأولية. لنفترض أننا بحاجة إلى إنشاء جدول للأعداد الأولية حتى 100.

الطريقة الأكثر وضوحًا لحل هذه المشكلة هي التحقق تسلسليًا من الأعداد الصحيحة الموجبة، بدءًا من 2 وتنتهي بـ 100، وذلك لوجود مقسوم موجب أكبر من 1 وأقل من الرقم الذي يتم التحقق منه (من خواص قابلية القسمة، نحن اعلم أن القيمة المطلقة للمقسوم عليه لا تتجاوز القيمة المطلقة للمقسوم غير الصفر). إذا لم يتم العثور على هذا المقسوم عليه، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه هو عدد أولي، ويتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. إذا تم العثور على مثل هذا المقسوم، فإن الرقم الذي يتم التحقق منه هو رقم مركب، ولا يتم إدخاله في جدول الأعداد الأولية. بعد ذلك، هناك انتقال إلى الرقم التالي، والذي يتم فحصه بالمثل للتأكد من وجود المقسوم عليه.

دعونا نصف الخطوات القليلة الأولى.

نبدأ بالرقم 2. الرقم 2 ليس له قواسم موجبة غير 1 و 2. لذلك فهو بسيط لذلك ندخله في جدول الأعداد الأولية. وهنا ينبغي القول أن 2 هو أصغر عدد أولي. دعنا ننتقل إلى الرقم 3. والمقسوم الموجب المحتمل له غير 1 و 3 هو الرقم 2. لكن 3 لا يقبل القسمة على 2، وبالتالي فإن 3 هو رقم أولي، ويجب أيضًا إدخاله في جدول الأعداد الأولية. دعنا ننتقل إلى الرقم 4. قواسمه الموجبة غير 1 و 4 يمكن أن تكون 2 و 3، فلنتحقق منها. الرقم 4 يقبل القسمة على 2، وبالتالي فإن 4 هو رقم مركب ولا يحتاج إلى إدخاله في جدول الأعداد الأولية. يرجى ملاحظة أن 4 هو أصغر رقم مركب. دعنا ننتقل إلى الرقم 5. نتحقق مما إذا كان واحد على الأقل من الأرقام 2، 3، 4 هو المقسوم عليه. بما أن الرقم 5 لا يقبل القسمة على 2 أو 3 أو 4، فهو عدد أولي ويجب كتابته في جدول الأعداد الأولية. ثم هناك انتقال إلى الأرقام 6، 7، وهكذا حتى 100.

هذا النهج لتجميع جدول الأعداد الأولية أبعد ما يكون عن المثالية. بطريقة أو بأخرى، لديه الحق في الوجود. لاحظ أنه باستخدام هذه الطريقة لإنشاء جدول الأعداد الصحيحة، يمكنك استخدام معايير قابلية القسمة، مما سيسرع عملية البحث عن المقسومات قليلاً.

هناك طريقة أكثر ملاءمة لإنشاء جدول الأعداد الأولية، تسمى. كلمة "منخل" الموجودة في الاسم ليست عرضية، لأن تصرفات هذه الطريقة تساعد كما لو كانت على "غربلة" الأعداد الصحيحة والوحدات الكبيرة من خلال منخل إراتوستينس من أجل فصل الأعداد البسيطة عن الأعداد المركبة.

دعونا نعرض منخل إراتوستينس أثناء العمل عند تجميع جدول الأعداد الأولية حتى 50.

أولاً، اكتب الأرقام 2، 3، 4، ...، 50 بالترتيب.

الرقم الأول المكتوب، 2، هو عدد أولي. الآن، من الرقم 2، نتحرك بشكل متتابع إلى اليمين برقمين ونشطب هذه الأرقام حتى نصل إلى نهاية جدول الأرقام الجاري تجميعه. سيؤدي هذا إلى شطب جميع الأرقام التي هي مضاعفات الرقم اثنين.

الرقم الأول الذي يلي الرقم 2 والذي لم يتم شطبه هو 3. هذا الرقم أولي. الآن، من الرقم 3، ننتقل بالتتابع إلى اليمين بثلاثة أرقام (مع الأخذ في الاعتبار الأرقام المشطوبة بالفعل) ونشطبها. سيؤدي هذا إلى شطب جميع الأرقام التي هي مضاعفات الثلاثة.

الرقم الأول الذي يلي الرقم 3 والذي لم يتم شطبه هو 5. هذا الرقم أولي. الآن من الرقم 5 ننتقل باستمرار إلى اليمين بمقدار 5 أرقام (نأخذ في الاعتبار أيضًا الأرقام المشطوبة مسبقًا) ونقوم بشطبها. سيؤدي هذا إلى شطب جميع الأعداد التي هي من مضاعفات العدد خمسة.

بعد ذلك، نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 7، ثم من مضاعفات العدد 11، وهكذا. تنتهي العملية عندما لا يكون هناك المزيد من الأرقام التي يجب شطبها. يوجد أدناه جدول مكتمل للأعداد الأولية حتى 50، تم الحصول عليه باستخدام منخل إراتوستينس. جميع الأعداد غير المتقاطعة هي أعداد أولية، وجميع الأعداد المشطوبة مركبة.

دعونا أيضًا نقوم بصياغة وإثبات نظرية من شأنها تسريع عملية تجميع جدول الأعداد الأولية باستخدام منخل إراتوستينس.

نظرية.

أصغر مقسوم موجب لعدد مركب a يختلف عن واحد لا يتجاوز , حيث من .

دليل.

نشير بالحرف b إلى أصغر مقسوم على رقم مركب a يختلف عن الواحد (الرقم b أولي، على النحو التالي من النظرية المثبتة في بداية الفقرة السابقة). ثم هناك عدد صحيح q حيث أن a=b·q (هنا q هو عدد صحيح موجب، يتبع قواعد ضرب الأعداد الصحيحة)، و(بالنسبة إلى b>q، يتم انتهاك الشرط الذي يكون فيه b هو أصغر مقسوم على a ، بما أن q هو أيضًا مقسوم على الرقم a بسبب المساواة a=q·b ). من خلال ضرب طرفي المتراجحة بعدد موجب وعدد صحيح أكبر من واحد (يُسمح لنا بذلك)، نحصل على من و.

ماذا تعطينا النظرية المثبتة فيما يتعلق بمنخل إراتوستينس؟

أولاً، يجب أن يبدأ شطب الأعداد المركبة التي هي مضاعفات الرقم الأولي ب برقم يساوي (وهذا يتبع من عدم المساواة). على سبيل المثال، شطب الأعداد التي هي من مضاعفات العدد اثنين يجب أن يبدأ بالرقم 4، ومضاعفات الثلاثة بالرقم 9، ومضاعفات الخمسة بالرقم 25، وهكذا.

ثانيًا، يمكن اعتبار تجميع جدول الأعداد الأولية حتى الرقم n باستخدام منخل إراتوستينس مكتملًا عندما لا تتجاوز جميع الأعداد المركبة التي هي مضاعفات الأعداد الأولية . في مثالنا، n=50 (لأننا نقوم بجدولة الأعداد الأولية حتى 50 ) و لذلك يجب على منخل إراتوستينس التخلص من جميع المضاعفات المركبة للأعداد الأولية 2 و 3 و 5 و 7 التي لا تتجاوز الجذر التربيعي الحسابي لـ 50 . وهذا يعني أننا لم نعد بحاجة إلى البحث عن الأرقام التي هي مضاعفات الأعداد الأولية 11 و 13 و 17 و 19 و 23 وما إلى ذلك حتى 47، حيث سيتم شطبها بالفعل كمضاعفات للأعداد الأولية الأصغر 2، 3 و 5 و 7 .

هل هذا العدد أولي أم مركب؟

تتطلب بعض المهام معرفة ما إذا كان الرقم المعطى أوليًا أم مركبًا. في الحالة العامة، هذه المهمة أبعد ما تكون عن البساطة، خاصة بالنسبة للأرقام التي يتكون سجلها من عدد كبير من الأحرف. في معظم الحالات، عليك أن تبحث عن طريقة محددة لحلها. ومع ذلك، سنحاول توجيه قطار الأفكار للحالات البسيطة.

مما لا شك فيه أنه يمكن للمرء أن يحاول استخدام معايير قابلية القسمة لإثبات أن رقمًا معينًا مركب. على سبيل المثال، إذا أظهرت بعض معايير قابلية القسمة أن الرقم المحدد قابل للقسمة على عدد صحيح موجب أكبر من واحد، فإن الرقم الأصلي مركب.

مثال.

أثبت أن 898,989,898,989,898,989 هو رقم مركب.

حل.

مجموع أرقام هذا الرقم هو 9 8+9 9=9 17 . نظرًا لأن الرقم الذي يساوي 9 17 قابل للقسمة على 9، فمن خلال معيار قابلية القسمة على 9 يمكن القول بأن الرقم الأصلي قابل للقسمة أيضًا على 9. ولذلك فهو مركب.

العيب الكبير في هذا النهج هو أن معايير القسمة لا تسمح لنا بإثبات بساطة الرقم. لذلك، عند التحقق من رقم ما إذا كان أوليًا أم مركبًا، يجب عليك التصرف بشكل مختلف.

الطريقة الأكثر منطقية هي تجربة جميع المقسومات المحتملة لعدد معين. إذا لم يكن أي من المقسومات المحتملة مقسومًا حقيقيًا على رقم معين، فسيكون هذا الرقم أوليًا، وإلا فسيكون مركبًا. من النظريات المثبتة في الفقرة السابقة، يترتب على ذلك أنه يجب البحث عن قواسم عدد معين بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز . وبالتالي، يمكن تقسيم رقم معين a بشكل تسلسلي على الأعداد الأولية (والتي يتم أخذها بسهولة من جدول الأعداد الأولية)، في محاولة للعثور على مقسوم على الرقم a. إذا تم العثور على المقسوم عليه، فإن الرقم a مركب. إذا لم يكن بين الأعداد الأولية التي لا تتجاوز , لا يوجد مقسوم على الرقم a، فإن الرقم a هو أولي.

مثال.

رقم 11723 بسيط أم مركب؟

حل.

دعونا نتعرف على العدد الأولي الذي يمكن أن تكون عليه قواسم الرقم 11723. للقيام بذلك، دعونا تقييم.

من الواضح جدًا ذلك ، حيث أن 200 2 = 40,000، و11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью مقارنة الأرقام). وبالتالي، فإن المقسومات الأولية المحتملة للرقم 11723 أقل من 200. وهذا بالفعل يبسط مهمتنا إلى حد كبير. إذا لم نكن نعرف ذلك، فسيتعين علينا مراجعة جميع الأعداد الأولية، ليس حتى 200، ولكن حتى الرقم 11723.

إذا رغبت في ذلك، يمكنك تقدير أكثر دقة. منذ 108 2 \u003d 11 664 و 109 2 \u003d 11 881 ثم 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . وبالتالي، فإن أيًا من الأعداد الأولية الأقل من 109 من المحتمل أن يكون عاملاً أوليًا للرقم المحدد 11,723.

الآن سنقوم بتقسيم الرقم 11,723 إلى أعداد أولية 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71. ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107 . إذا قسم العدد 11,723 على أحد الأعداد الأولية المكتوبة، فإنه يكون مركبا. إذا كان غير قابل للقسمة على أي من الأعداد الأولية المكتوبة، فإن العدد الأصلي هو أولي.

لن نصف عملية الانقسام الرتيبة والرتيبة هذه برمتها. لنفترض على الفور أن 11723