الخصائص المقاربة للتماثل ومعايير الاتفاق على أساس التوصيفات. السلوك المقارب للوظائف. مقارنة الوظائف متناهية الصغر معايير الاختيار المقارب

موضوع البحث وأهمية الموضوع. في نظرية التحليل الإحصائي للتسلسلات المنفصلة، ​​تشغل اختبارات جودة المطابقة مكانًا خاصًا لاختبار فرضية العدم التي قد تكون معقدة، وهي تلك الخاصة بالتسلسل العشوائي مثل

Xi e hi,i = 1, ,n, حيث hi = (0,1,.,M) لأي i = 1,., n ولأي k £ 1m احتمال الحدث

Xi = k) لا يعتمد على r. وهذا يعني أن التسلسل ثابت إلى حد ما.

في عدد من المسائل التطبيقية، يعتبر التسلسل (Xr-)™=1 هو تسلسل ألوان الكرات عند الاختيار دون العودة إلى الإرهاق من جرة تحتوي على u - 1 > 0 كرات من اللون k، k € 1m- 1، .، مساء - 1). دع الجرة تحتوي على عدد n - 1 من الكرات، m k = 0

للإشارة إلى r(k) (fc) Jk) rw - Г! ، . . . ، تسلسل أرقام الكرات ذات اللون أ؛ في العينة. النظر في التسلسل حيث ك)

ك-ص-GPk1.

يتم تعريف التسلسل h^ باستخدام المسافات بين أماكن الكرات المتجاورة ذات اللون k بطريقة تجعل

Pk Kf \u003d ص 1> \u003d 1

مجموعة التسلسلات h(fc) لجميع k £ 1m تحدد بشكل فريد التسلسل. التسلسلات hk لمختلف k تعتمد على بعضها البعض. على وجه الخصوص، يتم تحديد أي واحد منهم بشكل فريد من قبل جميع الآخرين. إذا كانت عددية المجموعة 1م تساوي 2 فإن تسلسل ألوان الكرات يتحدد بشكل فريد من خلال تسلسل المسافات بين أماكن الكرات المتجاورة من نفس اللون الثابت. لنفترض أن الجرة التي تحتوي على n - 1 من الكرات ذات اللونين المختلفين تحتوي على N - 1 من الكرات من اللون 0. يمكن إنشاء تطابق واحد لواحد بين المجموعة ffl(N - l,n - N) والمجموعة 9\n ,N من المتجهات h(n, N ) = (hi,., hjf) بمكونات صحيحة موجبة مثل K = P. (0.1)

تتوافق المجموعة 9p)dz مع مجموعة جميع الأقسام المختلفة لعدد صحيح موجب n في الجمع المرتب N.

بعد إعطاء بعض التوزيع الاحتمالي على مجموعة المتجهات £Hn,dz، نحصل على التوزيع الاحتمالي المقابل على المجموعة Wl(N - 1,n - N). المجموعة عبارة عن مجموعة فرعية من مجموعة المتجهات ذات المكونات الصحيحة غير السالبة التي تحقق (0.1). كما التوزيعات الاحتمالية على مجموعة من المتجهات في عمل الأطروحة، توزيعات النموذج

P(t,N) = (n,.,rN)) = P(tn = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0.2) حيث. ، £dz - متغيرات عشوائية ذات عدد صحيح غير سالب.

تسمى التوزيعات بالشكل (0.2) في /24/ المخططات المعممة لوضع جسيمات n في الخلايا N. على وجه الخصوص، إذا كانت المتغيرات العشوائية £ ب. ، يتم توزيع £n في (0.2) وفقًا لقوانين بواسون مع المعلمات Ai،.، lect، على التوالي، ثم المتجه h(n,N) له توزيع متعدد الحدود مع احتمالات النتائج

ري = . ، أ" ،V = \،.،N.

ل \ + . . . +AN

إذا كانت المتغيرات العشوائية £b >&v في (0-2) موزعة بالتساوي وفقًا للقانون الهندسي حيث p هي أي في الفترة 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

كما هو مذكور في /14/,/38/، يحتل مكان خاص في اختبار الفرضيات حول توزيع ناقلات التردد h(n, N) = (hi,., /rz) في المخططات المعممة لوضع جسيمات n في الخلايا N بمعايير مبنية على أساس إحصائيات الشكل 1 m(N -l,n-N)\N

LN(ح(ن,N))=Zfv(hv)

Fn \u003d F (-T7، flQ Hi II-

0.4) حيث فو، الخامس = 1،2،. و φ هي بعض الدوال ذات القيمة الحقيقية، N

السيد = ه = ص)، ص = 0.1،. 1/=1

القيم الموجودة في /27/ كانت تسمى عدد الخلايا التي تحتوي بالضبط على جسيمات r.

تسمى إحصائيات النموذج (0.3) في /30/ بإحصائيات قابلة للفصل (قابلة للفصل بشكل إضافي). إذا كانت الوظائف /″ في (0.3) لا تعتمد عليك، فسيتم استدعاء هذه الإحصائيات في /31/ إحصائيات متماثلة قابلة للفصل.

بالنسبة لأي r، تكون الإحصائية /xr عبارة عن إحصائية متماثلة قابلة للفصل. من المساواة

E DM = E DFg (0.5) ويترتب على ذلك أن فئة الإحصائيات المتماثلة القابلة للفصل في الجهد العالي تتزامن مع فئة الوظائف الخطية في التنوب. علاوة على ذلك، فإن فئة الدوال ذات الشكل (0.4) أوسع من فئة الإحصائيات المتماثلة القابلة للفصل.

لكن = (#o(n, N)) عبارة عن سلسلة من الفرضيات الصفرية البسيطة التي تقول بأن توزيع المتجه h(n,N) هو (0.2)، حيث تكون المتغيرات العشوائية،. في (0.2) يتم توزيعها بشكل مماثل و k) = pk,k = 0,1,2,.، تختلف المعلمات n و N في المنطقة الوسطى.

دعونا نفكر في بعض Р £ (0,1) وسلسلة من البدائل المعقدة بشكل عام

H = (H(n, N)) الموجود هو الحد الأقصى للعدد الذي، بالنسبة لأي فرضية بسيطة H\ ∈ H(n, N)، تكون المتباينة

РШ > an,N(P)) > Р

سنرفض الفرضية Hq(ti,N) إذا fm > awm((3). إذا كان هناك حد

Wn ~1nP(0lg > an,N(P))=u(p,Н)، حيث يتم حساب احتمال كل N ضمن الفرضية Нц(п, N)، ثم قيمة ^(/З, Н) تم تسميته في /38/ فهرس المعيار φ عند النقطة (j3, H). قد لا يكون الحد الأخير موجودًا بشكل عام. لذلك، في عمل الأطروحة، بالإضافة إلى مؤشر المعيار، القيمة

العش (~1pR(fm > آل(/?)))

JV->oo N-oo يعني على التوالي الحدود الدنيا والعليا للتسلسل (odr) عندما N -> oo،

في حالة وجود فهرس معيار، فإن منخفض المعيار يطابقه. منخفض المعيار موجود دائمًا. وكلما زادت قيمة مؤشر المحك (انخفاض مؤشر المحك)، كلما كان المعيار الإحصائي أفضل بالمعنى المعتبر. في /38/ تم حل مشكلة بناء معايير جودة المطابقة للمخططات المعممة ذات أعلى قيمة لمؤشر المعيار في فئة المعايير التي ترفض الفرضية Ho(n,N) لـ /MO Ml Mf HF iV " iV"""" ~yv" " ^ "حيث m > 0 هو رقم ثابت، يتم اختيار تسلسل الثوابت على سبيل المثال بناءً على القيمة المحددة لقوة المعيار مع سلسلة من البدائل، ft هو حقيقي وظيفة الوسائط m + 1.

يتم تحديد مؤشرات المعايير من خلال احتمالات الانحرافات الكبيرة. كما هو موضح في /38/، يتم تحديد التقاربات التقريبية (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصائيات القابلة للفصل عند استيفاء شرط كرامر للمتغير العشوائي f(t) بواسطة Kullback-Leibler-Sanov المقابل مسافة المعلومات (المتغير العشوائي rj يفي بشرط Cramer، إذا كانت دالة توليد اللحظة Metr] محدودة في الفترة \t\ بالنسبة لبعض lect > 0< Н /28/).

ظلت مسألة احتمالات الانحرافات الكبيرة في الإحصائيات عن عدد غير محدود من التنوب، بالإضافة إلى الإحصائيات التعسفية القابلة للفصل والتي لا تلبي شرط كرامر، مفتوحة. وهذا لم يجعل من الممكن حل مشكلة بناء معايير اختبار الفرضيات في خطط التخصيص المعممة بشكل نهائي مع أعلى معدل تقارب إلى الصفر لاحتمال الخطأ من النوع الأول مع تقريب البدائل في فئة المعايير المبنية على إحصائيات النموذج (0.4). يتم تحديد أهمية بحث الأطروحة من خلال الحاجة إلى إكمال حل هذه المشكلة.

الغرض من عمل الأطروحة هو بناء معايير جودة المطابقة ذات القيمة الأعلى لمؤشر المحك (المؤشر الأدنى للمعيار) لاختبار الفرضيات في مخطط الاختيار دون التكرار في فئة المعايير التي ترفض الفرضية W( ن، ن) عند $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

وفقاً لهدف الدراسة تم تحديد المهام التالية:

التحقيق في خصائص الإنتروبيا ومسافة معلومات كولباك - ليبلر - سانوف للتوزيعات المنفصلة مع عدد لا يحصى من النتائج؛

التحقق من احتمالات الانحرافات الكبيرة في إحصائيات النموذج (0.4)؛

التحقق من احتمالات الانحرافات الكبيرة في الإحصائيات المتماثلة القابلة للفصل (0.3) التي لا تستوفي شرط كرامر؛

العثور على إحصائية بحيث يكون معيار الملاءمة المبني على أساسه لاختبار الفرضيات في خطط التخصيص المعممة له أكبر قيمة مؤشرية في فئة معايير النموذج (0.7).

الجدة العلمية:

القيمة العلمية والعملية. تم في هذا البحث حل عدد من الأسئلة حول سلوك احتمالات الانحراف الكبيرة في مخططات التخصيص المعممة. يمكن استخدام النتائج المتحصل عليها في العملية التعليمية في تخصصات الإحصاء الرياضي ونظرية المعلومات، في دراسة الإجراءات الإحصائية لتحليل المتتابعات المنفصلة واستخدمت في /3/، /21/ عند تبرير أمن فئة واحدة لنظم المعلومات. أحكام الدفاع:

تخفيض مشكلة التحقق، بتسلسل واحد من ألوان كرات الفرضية، من كون هذا التسلسل تم الحصول عليه نتيجة اختيار دون استبدال حتى استنفاد الكرات من الجرة التي تحتوي على كرات ذات لونين، ولكل اختيار من هذا القبيل نفس الاحتمالية لبناء معايير جودة الملاءمة لاختبار الفرضيات في مخطط التنسيب المعمم المقابل؛

استمرارية وظائف الإنتروبيا ومسافة معلومات Kullback - Leibler - Sanov على جهاز بسيط لا نهائي الأبعاد مع القياس اللوغاريتمي المعمم المقدم؛

نظرية حول التقاربات التقريبية (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالات الانحرافات الكبيرة للإحصائيات المتماثلة القابلة للفصل والتي لا تلبي شرط كرامر في مخطط التخصيص المعمم في الحالة الأسية السبعة؛

نظرية حول التقاربات التقريبية (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمالات الانحرافات الكبيرة لإحصائيات النموذج (0.4) ؛

بناء معيار جودة المطابقة لاختبار الفرضيات في المخططات المعممة ذات قيمة المؤشر الأكبر في فئة معايير النموذج (0.7).

الموافقة على العمل. تم الإبلاغ عن النتائج في الندوات التي عقدها قسم الرياضيات المنفصلة في معهد الرياضيات. V. A. Steklov RAS، قسم أمن المعلومات ITMiVT لهم. S. A. Lebedev RAS وعلى:

الندوة الخامسة لعموم روسيا حول الرياضيات التطبيقية والصناعية. دورة الربيع، كيسلوفودسك، 2-8 مايو 2004؛

مؤتمر بتروزافودسك الدولي السادس "الطرق الاحتمالية في الرياضيات المنفصلة" 10 - 16 يونيو 2004؛

المؤتمر الدولي الثاني "نظم المعلومات والتكنولوجيا (IST"2004)"، مينسك، 8-10 نوفمبر 2004؛

المؤتمر الدولي "المشكلات الحديثة والاتجاهات الجديدة في نظرية الاحتمالية"، تشيرنيفتسي، أوكرانيا، 19 - 26 يونيو 2005.

تم استخدام النتائج الرئيسية للعمل في العمل البحثي "Apologia" الذي أجرته ITMiVT RAS. S. A. Lebedev لصالح الخدمة الفيدرالية للرقابة الفنية ومراقبة الصادرات في الاتحاد الروسي، وتم تضمينها في تقرير تنفيذ مرحلة البحث /21/. تم تضمين نتائج منفصلة للأطروحة في التقرير البحثي "تطوير المشكلات الرياضية للتشفير" لأكاديمية التشفير في الاتحاد الروسي لعام 2004/22/.

يعرب المؤلف عن امتنانه العميق للمستشار العلمي، دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية Ronzhin A.F. والمستشار العلمي، دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية، الباحث الأول Knyazev A.V. العلوم الرياضية I. A. Kruglov على الاهتمام الذي أبداه للعمل وعدد من القيمة ملاحظات.

هيكل ومحتوى العمل.

يتناول الفصل الأول خصائص الإنتروبيا ومسافة المعلومات للتوزيعات على مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة.

وفي الفقرة الأولى من الفصل الأول تم تقديم التدوين وإعطاء التعريفات اللازمة. على وجه الخصوص، يتم استخدام الترميز التالي: x = (xq, x\, . ) هو متجه لانهائي الأبعاد مع عدد لا يحصى من المكونات؛

H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0.0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0.1,., Oh"< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0,1,., o xv = 1); = (س G 0، £ £ L0 = 7)؛

Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

إذا كانت y 6 E Π، فبالنسبة لـ e > 0 Oe(y) سوف تشير إلى المجموعة

أوه (ص) - (س ^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

في الفقرة الثانية من الفصل الأول نثبت نظرية حدود إنتروبيا التوزيعات المنفصلة ذات التوقع الرياضي المحدد.

النظرية 1. حول حدود الإنتروبيا للتوزيعات المنفصلة مع التوقعات الرياضية المحدودة.

لأي f6 P7

ح(س)

إذا كانت x € fly تقابل توزيعًا هندسيًا بالتعريف الرياضي 7، أي 7

1+7 ثم المساواة

ح(س) = و(<7).

يمكن النظر إلى تأكيد النظرية على أنه نتيجة تطبيق رسمي لطريقة مضاعفات لاغرانج الشرطية في حالة وجود عدد لا حصر له من المتغيرات. النظرية القائلة بأن التوزيع الوحيد في المجموعة (k، k + 1، k + 2،.) مع توقع رياضي معين والحد الأقصى للإنتروبيا هو توزيع هندسي مع توقع رياضي معين معطى (بدون دليل) في /47/. لكن المؤلف قدم دليلاً صارماً.

تم في الفقرة الثالثة من الفصل الأول تعريف المقياس المعمم - وهو المقياس الذي يقبل قيمًا لا نهائية.

بالنسبة لـ x, y ∈ Q، يتم تعريف الدالة p(x, y) على أنها الحد الأدنى e > 0 مع الخاصية<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

لقد ثبت أن الدالة p(x, y) هي مقياس معمم لعائلة التوزيعات على مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة، وكذلك على المجموعة Cl* بأكملها. بدلاً من e في تعريف المقياس p(x, y)، يمكنك استخدام أي رقم موجب آخر غير 1. ستختلف المقاييس الناتجة بثابت مضاعف. تشير بواسطة J(x, y) إلى مسافة المعلومات

00 جنيه إسترليني J(x, y) = E In-.

هنا وتحت، من المفترض أن 0 في 0 = 0.0 في jj = 0. يتم تعريف مسافة المعلومات لمثل x، y بحيث xn = 0 للجميع، بحيث تكون yi = 0. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، فسنقوم بذلك ضع J(x,ij) = oo. دع L SP. ثم سوف نشير

J (A Y) = |nf J(x, y).

في القسم الرابع من الفصل الأول تم تقديم تعريف لضغط الوظائف المحددة في المجموعة Q*. إن ضغط الدالة مع عدد لا يحصى من الوسائط يعني أنه، بأي درجة من الدقة، يمكن تقريب قيمة الدالة من خلال قيم هذه الوظيفة عند النقاط التي يكون فيها عدد محدود فقط من الوسائط غير صفر. تم إثبات ضغط وظائف الإنتروبيا ومسافة المعلومات.

1. لأي 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. إذا كان لبعض 0< 70 < оо

P e ثم لأي 0<7<оо,г>0 الدالة χ) = J(x, p) مضغوطة

وفي الفقرة الخامسة من الفصل الأول تناولت خصائص مسافة المعلومات المعطاة على فضاء لا نهائي الأبعاد. بالمقارنة مع الحالة ذات الأبعاد المحدودة، فإن الوضع مع استمرارية وظيفة مسافة المعلومات يتغير نوعيا. لقد تبين أن وظيفة مسافة المعلومات ليست مستمرة على المجموعة في أي من المقاييس

Pl&V) = E\Xu~Y"\, u=0

ه (الخامس عشر - يي) 2 ضد \u003d س

Pz(x, y) = 8Up\xu-yv\. الخامس

تم إثبات صحة المتباينات التالية لوظائف الإنتروبيا H(x) ومسافة المعلومات J(x,p):

1. لأي x، x" € fi

ح(س) - ح(س")\< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. إذا كان هناك e > 0 لبعض x، p e Π بحيث يكون x 6 0 £(p)، ثم لأي x" £ Q J(x, p) - J(x", p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

من هذه عدم المساواة، مع الأخذ في الاعتبار النظرية 1، يترتب على ذلك أن وظائف الإنتروبيا ومسافة المعلومات مستمرة بشكل موحد على المجموعات الفرعية المقابلة لـ Q في المتري p(x,y)t، أي،

1. لأي 7 بحيث يكون 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. إذا كان لبعض 70، 0< 70 < оо

TO لأي 0<7<оои£>0 وظيفة

A p(x) = J(x, p) مستمر بشكل موحد على المجموعة Π Oe(p) في المقياس p(x, y).

يتم إعطاء تعريف عدم التطرف للوظيفة. تعني حالة عدم الحد الأقصى أن الدالة ليس لها حدود قصوى محلية، أو أن الدالة تأخذ نفس القيم في الحد الأدنى المحلي (الحد الأقصى المحلي). شرط عدم الحد الأقصى يضعف شرط عدم وجود حدود قصوى محلية. على سبيل المثال، الدالة sin x في مجموعة الأعداد الحقيقية لها نقاط نهاية محلية، ولكنها تستوفي شرط عدم الحدود القصوى.

لنفترض أن 7 > 0، تُعطى المساحة A بواسطة الشرط

A = (x € VLv4>(x) > a)، (0.9) حيث φ(x) هي دالة ذات قيمة حقيقية، a هو ثابت حقيقي، inf φ(x)< а < inf ф(х).

تمت دراسة السؤال تحت أي ظروف على الدالة φ عند تغيير المعلمات n، N في المنطقة الوسطى، ^ -؛ 7، لجميع قيمها الكبيرة بما فيه الكفاية توجد أعداد صحيحة غير سالبة ko, k\,., kn مثل k0 + ki + . + كن = ن، ك\ + 2ك2. + بكب - ن و

ف (كو ك \ ك.ب

- جنيه استرليني، 0،0،.)> أ.

ثبت أنه لهذا يكفي اشتراط أن تكون الدالة φ غير متطرفة ومضغوطة ومستمرة في المترية p(x, y)، وأيضًا أنه لنقطة واحدة على الأقل x مرضية (0.9) لبعض e > 0 توجد درجة عزم محدودة 1 + e و xn > 0 لأي v = 0.1،.

في الفصل الثاني، ندرس التقاربات التقريبية (حتى التكافؤ اللوغاريتمي) لاحتمال الانحرافات الكبيرة للدوال من D = (^0) ■ ) T"n, 0, .) - عدد الخلايا ذات الحشوة المحددة في المنطقة الوسطى من المعلمات N، n.الخشنة تعتبر التقاربات لاحتمالات الانحرافات الكبيرة كافية لدراسة مؤشرات جودة اختبارات الملاءمة.

دع المتغيرات العشوائية ^ في (0.2) يتم توزيعها بشكل مماثل و

P(z) - دالة توليد متغير عشوائي - تتقارب في دائرة نصف قطرها 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

مل + جنيه استرليني = جنيه استرليني i1 + السابق "< 00.

0.10) ك] = Pk، ك = 0.1،.

دل

إذا كان هناك حل للمعادلة m Z(z) = ъ فهي فريدة /38/. في كل مكان أدناه سنفترض أن pk > 0,A; = 0.1،.

يوجد في الفقرة الأولى من الفقرة الأولى من الفصل الثاني مقاربات لوغاريتمات احتمالات الشكل

npP(/x0 = ko,., cp = kn).

تم إثبات النظرية التالية.

النظرية 2. نظرية محلية تقريبية حول احتمالات الانحرافات الكبيرة. دع n، N -» oo بحيث jj -> 7,0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

lnP(A = k) = JftpK)) + O(^lniV).

بيان النظرية يتبع مباشرة من صيغة التوزيع المشترك fii،. الزعنفة في /26/ والتقدير التالي: إذا كانت القيم الصحيحة غير سالبة فإن Нп يحقق الشرط

Hi + 2d2 + + PNp = n، فإن عدد القيم غير الصفرية بينها هو 0(l/n). وهذا تقدير تقريبي لا يدعي أنه جديد. لا يتجاوز عدد zg غير الصفر في المخططات المعممة قيمة الحد الأقصى لملء الخلايا، والتي في المنطقة الوسطى باحتمال يميل إلى 1 لا تتجاوز القيمة O(lnn) /25/,/27/. ومع ذلك، فإن التقدير الناتج 0(y/n) محقق للاحتمال 1، وهو كافٍ للحصول على مقاربات تقريبية.

وفي الفقرة الثانية من الفقرة الأولى من الفصل الثاني نجد قيمة النهاية حيث adz عبارة عن سلسلة من الأعداد الحقيقية المتقاربة إلى بعض G R، φ(x) دالة ذات قيمة حقيقية. تم إثبات النظرية التالية.

النظرية 3. نظرية متكاملة تقريبية حول احتمالات الانحرافات الكبيرة. دع شروط النظرية 2 تكون مستوفاة، بالنسبة للبعض r > 0، C > 0 تكون الدالة الحقيقية φ(x) مضغوطة ومستمرة بشكل موحد في المتري p في المجموعة

أ = 0ص+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф(را) > أ و ي(( (x) >a,xe n7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo لأي تسلسل a^ يتقارب مع a,