FSR متجانس slau. حل أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية

الطريقة الغاوسية لها عدد من العيوب: من المستحيل معرفة ما إذا كان النظام متسقًا أم لا حتى يتم تنفيذ جميع التحولات الضرورية في الطريقة الغاوسية ؛ الطريقة الغاوسية ليست مناسبة للأنظمة ذات معاملات الحروف.

فكر في طرق أخرى لحل الأنظمة المعادلات الخطية. تستخدم هذه الطرق مفهوم رتبة المصفوفة وتقليل حل أي نظام مشترك إلى حل نظام تنطبق عليه قاعدة كرامر.

مثال 1أوجد الحل العام للنظام التالي من المعادلات الخطية باستخدام النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس المختزل وحل معين للنظام غير المتجانس.

1. نصنع مصفوفة أوالمصفوفة المعززة للنظام (1)

2. استكشف النظام (1) من أجل التوافق. للقيام بذلك ، نجد رتب المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17 "height =" 26 src = ">). إذا اتضح ذلك ، فإن النظام (1) غير متوافق. إذا حصلنا على ذلك ، فهذا النظام متسق وسنحلها. (تستند دراسة الاتساق إلى نظرية Kronecker-Capelli).

أ. نجد rA.

لايجاد rA، سوف ننظر على التوالي في الترتيب غير الصفري للأول ، والثاني ، إلخ. من المصفوفة أوالقصر من حولهم.

م 1= 1 ≠ 0 (1 مأخوذ من الزاوية اليسرى العليا للمصفوفة أ).

الحدود م 1الصف الثاني والعمود الثاني من هذه المصفوفة. . نواصل الحدود م 1السطر الثاني والعمود الثالث..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. الآن نحدد الصغرى غير الصفرية М2 ′الدرجة الثانية.

لدينا: (لأن أول عمودين متماثلان)

(لأن الخطين الثاني والثالث متناسبان).

نحن نرى ذلك rA = 2، وهو الأساس الصغرى للمصفوفة أ.

ب. نجد .

قاصر أساسي بما فيه الكفاية М2 ′المصفوفات أالحدود مع عمود من الأعضاء الأحرار وجميع الأسطر (لدينا السطر الأخير فقط).

. ويترتب على ذلك أن М3 ′ ′يظل الأساس الصغرى للمصفوفة https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)

لأن М2 ′- الأساس الصغرى للمصفوفة أالأنظمة (2) ، فإن هذا النظام يعادل النظام (3) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (2) (ل М2 ′موجود في أول صفين من المصفوفة أ).

(3)

نظرًا لأن القاصر الأساسي هو https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)

في هذا النظام ، هناك مجهولان مجانيان ( x2 و x4 ). لهذا FSR الأنظمة (4) يتكون من حلين. للعثور عليهم ، نخصص مجاهيل مجانية لـ (4) القيم أولا س 2 = 1 , س 4 = 0 ، وثم - س 2 = 0 , س 4 = 1 .

في س 2 = 1 , س 4 = 0 نحن نحصل:

.

هذا النظام لديه بالفعل الشيء الوحيد الحل (يمكن إيجاده من خلال قاعدة كرامر أو بأي طريقة أخرى). بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية ، نحصل على:

سيكون قرارها x1 = -1 , x3 = 0 . بالنظر إلى القيم x2 و x4 الذي قدمناه ، حصلنا على الأول قرار أساسيالأنظمة (2) : .

الآن نضع (4) س 2 = 0 , س 4 = 1 . نحن نحصل:

.

نحل هذا النظام باستخدام نظرية كرامر:

.

نحصل على الحل الأساسي الثاني للنظام (2) : .

حلول β1 , β2 والمكياج FSR الأنظمة (2) . ثم سيكون حلها العام

γ= C1 β1 + С2β2 = С1 (-1 ، 1 ، 0 ، 0) + С2 (5 ، 0 ، 4 ، 1) = (- С1 + 5С2 ، С1 ، 4С2 ، С2)

هنا C1 , C2 ثوابت اعتباطية.

4. ابحث عن واحد خاص حل نظام غير متجانس(1) . كما في الفقرة 3 بدلا من النظام (1) النظر في النظام المكافئ (5) ، تتكون من المعادلتين الأوليين للنظام (1) .

(5)

ننقل المجهول إلى الجانب الأيمن x2و x4.

(6)

دعونا نعطي مجاهيل مجانية x2 و x4 قيم اعتباطية ، على سبيل المثال ، س 2 = 2 , س 4 = 1 وقم بتوصيلها (6) . دعنا نحصل على النظام

هذا النظام لديه القرار الوحيد(لأن المحدد لها М2′0). حلها (باستخدام نظرية كرامر أو طريقة غاوس) نحصل عليها س 1 = 3 , x3 = 3 . نظرا لقيم المجاهيل الحرة x2 و x4 ، نحن نحصل حل خاص لنظام غير متجانس(1)α1 = (3،2،3،1).

5. الآن يبقى أن يكتب الحل العام α لنظام غير متجانس(1) : يساوي المجموع قرار خاصهذا النظام و الحل العام لنظامها المتجانس المختزل (2) :

α = α1 + γ = (3، 2، 3، 1) + (- С1 + 5С2، С1، 4С2، С2).

هذا يعنى: (7)

6. فحص.للتحقق مما إذا كنت قد قمت بحل النظام بشكل صحيح (1) ، نحن بحاجة إلى حل عام (7) يحل محل (1) . إذا أصبحت كل معادلة هوية ( C1 و C2 يجب تدميرها) ، ثم يتم العثور على الحل بشكل صحيح.

سوف نستبدل (7) على سبيل المثال ، فقط في المعادلة الأخيرة للنظام (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

نحصل على: (3 – С1 + 5С2) + (2 + С1) + (3 + 4С2) –9 (1 + С2) = - 1

(С1 – С1) + (5С2 + 4С2–9С2) + (3 + 2 + 3–9) = - 1

حيث -1 = -1. لدينا هوية. نقوم بهذا مع جميع المعادلات الأخرى للنظام (1) .

تعليق.عادة ما يكون التحقق مرهقًا جدًا. يمكننا أن نوصي بما يلي "التحقق الجزئي": في الحل الشامل للنظام (1) تعيين بعض القيم للثوابت التعسفية واستبدال الحل المعين الناتج فقط في المعادلات المهملة (أي في تلك المعادلات من (1) التي لم يتم تضمينها في (5) ). إذا حصلت على هويات ، إذن اكثر اعجابا، حل النظام (1) تم العثور عليها بشكل صحيح (لكن هذا الفحص لا يعطي ضمانًا كاملاً للصحة!). على سبيل المثال ، إذا كان بتنسيق (7) يضع C2 =- 1 , C1 = 1، ثم نحصل على: x1 = -3 ، x2 = 3 ، x3 = -1 ، x4 = 0. بالتعويض في المعادلة الأخيرة للنظام (1) ، لدينا: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، على سبيل المثال –1 = –1. لدينا هوية.

مثال 2ابحث عن حل عام لنظام المعادلات الخطية (1) ، معربا عن المجهول الرئيسي من حيث المجاهيل الحرة.

حل.كما في مثال 1، يؤلف المصفوفات أو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> من هذه المصفوفات. الآن نترك فقط معادلات النظام (1) ، المعاملات التي تم تضمينها في هذه الثانوية الأساسية (أي لدينا المعادلتان الأوليان) والنظر في النظام الذي يتكون منها ، وهو ما يعادل النظام (1).

دعونا ننقل المجهول الحر إلى الجانب الأيمن من هذه المعادلات.

نظام (9) نحلها بالطريقة الغاوسية ، معتبرين الأجزاء الصحيحة كأعضاء حرة.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "العرض =" 202 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "width =" 192 "height =" 106 src = ">

الخيار 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "width =" 172 "height =" 80 ">

الخيار 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "العرض =" 179 الارتفاع = 106 "الارتفاع =" 106 ">

الخيار 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "width =" 195 "height =" 106 ">

دائمًا ما يكون النظام المتجانس ثابتًا وله حل بسيط
. من أجل وجود حل غير بديهي ، من الضروري أن تكون مرتبة المصفوفة كان أقل من عدد المجهولين:

.

نظام القرار الأساسي نظام متجانس
استدعاء نظام الحلول في شكل نواقل العمود
، والتي تتوافق مع الأساس القانوني ، أي الأساس الذي فيه الثوابت التعسفية
بالتناوب مساوية لواحد ، في حين يتم تعيين الباقي على صفر.

ثم يكون للحل العام للنظام المتجانس الشكل:

أين
ثوابت اعتباطية. بمعنى آخر ، الحل العام هو مزيج خطي من نظام الحلول الأساسي.

وبالتالي ، يمكن الحصول على الحلول الأساسية من الحل العام إذا أعطيت المجاهيل الحرة قيمة الوحدة بالتناوب ، بافتراض أن جميع الحلول الأخرى تساوي صفرًا.

مثال. لنجد حلاً للنظام

نقبل ، ثم نحصل على الحل بالشكل:

دعونا الآن نبني نظامًا أساسيًا للحلول:

.

يمكن كتابة الحل العام على النحو التالي:

تتمتع حلول نظام المعادلات الخطية المتجانسة بالخصائص التالية:

وبعبارة أخرى ، فإن أي مجموعة خطية من الحلول لنظام متجانس هي مرة أخرى حل.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس

كان حل أنظمة المعادلات الخطية محل اهتمام علماء الرياضيات لعدة قرون. تم الحصول على النتائج الأولى في القرن الثامن عشر. في عام 1750 ، نشر ج. كرامر (1704-1752) أعماله حول محددات المصفوفات المربعة واقترح خوارزمية لإيجاد معكوس المصفوفة. في عام 1809 ، حدد جاوس طريقة حل جديدة تُعرف باسم طريقة الإزالة.

تتكون طريقة غاوس ، أو طريقة التصفية المتتالية للمجهول ، من حقيقة أنه بمساعدة التحولات الأولية ، يتم تقليل نظام المعادلات إلى نظام مكافئ من شكل متدرج (أو ثلاثي). تسمح لك هذه الأنظمة بالعثور باستمرار على جميع المجهول بترتيب معين.

افترض أنه في النظام (1)
(وهو ممكن دائما).

(1)

ضرب المعادلة الأولى بدوره بما يسمى أرقام مناسبة

وإضافة نتيجة الضرب مع المعادلات المقابلة للنظام ، نحصل على نظام مكافئ لن تكون فيه جميع المعادلات ، باستثناء المعادلات الأولى ، غير معروفة X 1

(2)

نقوم الآن بضرب المعادلة الثانية للنظام (2) بالأرقام المناسبة ، بافتراض ذلك

,

وإضافته إلى العناصر السفلية ، نحذف المتغير من جميع المعادلات ، بدءا من الثالث.

استمرار هذه العملية بعد
خطوات نحصل عليها:

(3)

إذا كان واحد على الأقل من الأرقام
لا يساوي الصفر ، فإن المساواة المقابلة غير متسقة والنظام (1) غير متسق. على العكس من ذلك ، لأي نظام رقم مشترك
تساوي الصفر. رقم ليست سوى مرتبة مصفوفة النظام (1).

الانتقال من النظام (1) إلى (3) يسمى في خط مستقيم طريقة جاوس ، وإيجاد المجهول من (3) - إلى الوراء .

تعليق : من الأنسب إجراء التحويلات ليس باستخدام المعادلات نفسها ، ولكن باستخدام المصفوفة الموسعة للنظام (1).

مثال. لنجد حلاً للنظام

.

لنكتب المصفوفة المعززة للنظام:

.

دعنا نضيف إلى الأسطر 2 ، 3 ، 4 الأول ، مضروبًا في (-2) ، (-3) ، (-2) على التوالي:

.

دعونا نتبادل الصفين 2 و 3 ، ثم في المصفوفة الناتجة نضيف الصف 2 إلى الصف 4 ، مضروبًا في :

.

أضف إلى السطر 4 السطر 3 مضروبًا في
:

.

من الواضح أن
، وبالتالي فإن النظام متسق. من نظام المعادلات الناتج

نجد الحل عن طريق الاستبدال العكسي:

,
,
,
.

مثال 2ابحث عن حل النظام:

.

من الواضح أن النظام غير متسق ، لأن
، أ
.

مزايا طريقة جاوس :

أقل استهلاكا للوقت من طريقة كرامر.

يحدد بشكل لا لبس فيه توافق النظام ويسمح لك بإيجاد حل.

يعطي القدرة على تحديد رتبة أي مصفوفات.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

لفهم ما هو نظام القرار الأساسييمكنك مشاهدة الفيديو التعليمي لنفس المثال بالنقر فوق. الآن دعنا ننتقل إلى وصف الكل العمل الضروري. سيساعدك هذا على فهم جوهر هذه المشكلة بمزيد من التفصيل.

كيف تجد النظام الأساسي لحلول المعادلة الخطية؟

خذ على سبيل المثال نظام المعادلات الخطية التالي:

دعونا نجد حلاً لهذا نظام خطيالمعادلات. بادئ ذي بدء ، نحن اكتب مصفوفة معامل النظام.

لنحول هذه المصفوفة إلى مصفوفة مثلثة.نعيد كتابة السطر الأول بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (11) $ يجب أن تكون صفرًا. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (21) $ ، عليك طرح الأول من السطر الثاني ، وكتابة الفرق في السطر الثاني. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، عليك طرح الأول من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (41) $ ، عليك طرح أول مضروب في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (31) $ ، اطرح أول مضروب في 2 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نعيد كتابة الخطين الأول والثاني بدون تغييرات. وجميع العناصر التي تقل عن $ a_ (22) $ يجب أن تكون صفرًا. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (32) $ ، من الضروري طرح العنصر الثاني مضروبًا في 2 من الصف الثالث وكتابة الفرق في الصف الثالث. للحصول على صفر بدلاً من العنصر $ a_ (42) $ ، من الضروري طرح الثاني مضروبًا في 2 من السطر الرابع وكتابة الفرق في السطر الرابع. لعمل صفر بدلاً من العنصر $ a_ (52) $ ، اطرح الثاني مضروبًا في 3 من السطر الخامس واكتب الفرق في السطر الخامس.

نحن نرى ذلك الأسطر الثلاثة الأخيرة هي نفسها، لذلك إذا طرحت الثالث من الرابع والخامس ، فسيصبحان صفرًا.

لهذه المصفوفة اكتب نظام جديدالمعادلات.

نرى أن لدينا ثلاث معادلات مستقلة خطيًا فقط ، وخمسة مجاهيل ، لذا سيتكون نظام الحلول الأساسي من متجهين. لذلك نحن نقل آخر مجهولين إلى اليمين.

الآن ، نبدأ في التعبير عن تلك المجهولات الموجودة على الجانب الأيسر من خلال تلك الموجودة على الجانب الأيمن. نبدأ بالمعادلة الأخيرة ، أولاً نعبر عن $ x_3 $ ، ثم نعوض بالنتيجة التي تم الحصول عليها في المعادلة الثانية ونعبر عن $ x_2 $ ، ثم في المعادلة الأولى وهنا نعبر عن $ x_1 $. وهكذا ، عبرنا عن جميع المجهول الموجودة في الجانب الأيسر من خلال المجهول الموجودة في الجانب الأيمن.

بعد ذلك ، بدلاً من $ x_4 $ و $ x_5 $ ، يمكنك استبدال أي أرقام والعثور على $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $. كل هذه الأعداد الخمسة ستكون جذور نظام المعادلات الأصلي. للعثور على المتجهات التي تم تضمينها في FSRنحتاج إلى استبدال 1 بدلاً من $ x_4 $ ، واستبدال 0 بدلاً من $ x_5 $ ، أوجد $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $ ، ثم العكس بالعكس $ x_4 = 0 $ و $ x_5 = 1 $.

نظام متجانس من المعادلات الخطية على المجال

تعريف. النظام الأساسي لحلول نظام المعادلات (1) هو نظام مستقل خطيًا غير فارغ لحلوله ، ويتزامن امتداده الخطي مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

لاحظ أن النظام المتجانس من المعادلات الخطية الذي يحتوي على حل صفري فقط لا يحتوي على نظام أساسي للحلول.

مقترح 3.11. يتكون أي نظامين أساسيين من حلول نظام متجانس من المعادلات الخطية من نفس عدد الحلول.

دليل. في الواقع ، أي نظامين أساسيين من حلول نظام المعادلات المتجانس (1) متكافئان ومستقلان خطيًا. لذلك ، من خلال الاقتراح 1.12 ، فإن رتبهم متساوية. لذلك ، فإن عدد الحلول المضمنة في نظام أساسي واحد يساوي عدد الحلول المضمنة في أي نظام أساسي آخر للحلول.

إذا كانت المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس من المعادلات (1) هي صفر ، فإن أي متجه من هو حل للنظام (1) ؛ في هذه الحالة ، أي مجموعة خطية نواقل مستقلةمن هو نظام أساسي للحلول. إذا كانت رتبة عمود المصفوفة A ، فإن النظام (1) له حل واحد فقط - صفر ؛ لذلك ، في هذه الحالة ، لا يحتوي نظام المعادلات (1) على نظام أساسي للحلول.

نظرية 3.12. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لنظام متجانس من المعادلات الخطية (1) أقل من عدد المتغيرات ، فإن النظام (1) لديه نظام أساسي من الحلول يتكون من الحلول.

دليل. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية A للنظام المتجانس (1) تساوي صفرًا أو ، فقد تم توضيح أن النظرية صحيحة. لذلك ، من المفترض أدناه هذا بافتراض أن الأعمدة الأولى من المصفوفة A مستقلة خطيًا. في هذه الحالة ، تكون المصفوفة A مكافئة للصفوف لمصفوفة الخطوة المختصرة ، والنظام (1) مكافئ لنظام الخطوات المختزل التالي للمعادلات:

من السهل التحقق من أن أي نظام لقيم المتغيرات الحرة للنظام (2) يتوافق مع حل واحد فقط للنظام (2) وبالتالي للنظام (1). على وجه الخصوص ، الحل الصفري للنظام (2) والنظام (1) يتوافق مع نظام القيم الصفرية.

في النظام (2) ، سنخصص قيمة تساوي 1 لأحد المتغيرات الحرة ، وقيم صفرية للمتغيرات الأخرى. نتيجة لذلك ، نحصل على حلول لنظام المعادلات (2) ، والتي نكتبها كصفوف من المصفوفة التالية C:

نظام الصف لهذه المصفوفة مستقل خطيًا. في الواقع ، لأي عددي من المساواة

يتبع المساواة

وبالتالي المساواة

دعنا نثبت أن الامتداد الخطي لنظام صفوف المصفوفة C يتطابق مع مجموعة جميع حلول النظام (1).

الحل التعسفي للنظام (1). ثم المتجه

هو أيضًا حل للنظام (1) ، و

بيانات المصفوفة

البحث: 1) أأ - ب ب ،

حل: 1) نجدها بالتسلسل ، باستخدام قواعد ضرب المصفوفة في رقم وإضافة المصفوفات ..

2. ابحث عن A * B إذا

حل: استخدم قاعدة ضرب المصفوفة

إجابة:

3. لمصفوفة معطاة ، أوجد الصغير M 31 واحسب المحدد.

حل: الصغرى M 31 هي محدد المصفوفة التي يتم الحصول عليها من A

بعد حذف الصف 3 والعمود 1. بحث

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

دعنا نحول المصفوفة A دون تغيير محددها (لنجعل الأصفار في الصف 1)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

نحسب الآن محدد المصفوفة A بالتوسع على طول الصف 1

الجواب: M 31 = 0 ، detA = 0

حل باستخدام طريقة جاوس وطريقة كرامر.

2 س 1 + س 2 + س 3 = 2

س 1 + س 2 + 3 س 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

حل: دعونا تحقق

يمكنك استخدام طريقة كرامر

حل النظام: x 1 = D 1 / D = 2 ، x 2 = D 2 / D = -5 ، x 3 = D 3 / D = 3

نطبق طريقة غاوس.

نقوم بتصغير المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل مثلث.

لتسهيل العمليات الحسابية ، نقوم بتبديل الخطوط:

اضرب الصف الثاني في (ك = -1 / 2 = -1 / 2 ) وأضف إلى الثالث:

	1 / 2		7 / 2

اضرب الصف الأول في (k = -2 / 2 = -1 ) وأضف إلى الثاني:

الآن يمكن كتابة النظام الأصلي على النحو التالي:

× 1 = 1 - (1/2 × 2 + 1/2 × 3)

× 2 = 13 - (6 × 3)

من السطر الثاني نعبر عنه

من السطر الأول نعبر عنه

الحل هو نفسه.

الجواب: (2 ؛ -5 ؛ 3)

ابحث عن الحل العام للنظام و FSR

13 س 1 - 4 س 2 - س 3 - 4 س 4 - 6 س 5 = 0

11 س 1 - 2 س 2 + س 3 - 2 س 4 - 3 س 5 = 0

5 س 1 + 4 س 2 + 7 س 3 + 4 س 4 + 6 س 5 = 0

7 س 1 + 2 س 2 + 5 س 3 + 2 س 4 + 3 س 5 = 0

حل: تطبيق طريقة Gauss. نقوم بتصغير المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل مثلث.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
× 1	x2	× 3	x4	x5

اضرب الصف الأول في (-11). اضرب الصف الثاني ب (13). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

	-2		-2	-3

اضرب الصف الثاني في (-5). اضرب الصف الثالث ب (11). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:

اضرب الصف الثالث في (-7). اضرب الصف الرابع ب (5). دعنا نضيف السطر الرابع إلى السطر الثالث:

المعادلة الثانية هي مزيج خطي من الباقي

أوجد مرتبة المصفوفة.

	-18	-24	-18	-27
× 1	x2	× 3	x4	x5

القاصر المختار لديه أعلى رتبة (من بين جميع القاصرين المحتملين) وهو ليس صفريًا (يساوي حاصل ضرب العناصر على القطر المقلوب) ، ومن ثم رن (أ) = 2.

هذا القاصر أساسي. وهي تتضمن معاملات للمجهول x 1 ، x 2 ، مما يعني أن المجهول x 1 ، x 2 تابع (أساسي) ، و x 3 ، x 4 ، x 5 مجانية.

النظام مع معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصليويشبه:

18 × 2 = 24 × 3 + 18 × 4 + 27 × 5

7 × 1 + 2 × 2 = - 5 × 3 - 2 × 4 - 3 × 5

بطريقة القضاء على المجهول نجد قرار مشترك:

× 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5

× 1 = - 1/3 × 3

نجد النظام الأساسي للحلول (FSR) ، والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا ، n = 5 ، r = 2 ، لذلك ، يتكون نظام الحلول الأساسي من 3 حلول ، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.

لكي تكون الصفوف مستقلة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف ، أي 3.

يكفي إعطاء قيم المجهول المجانية x 3 ، x 4 ، x 5 من صفوف المحدد من الرتبة الثالثة ، تختلف عن الصفر ، وحساب x 1 ، x 2.

أبسط محدد غير صفري هو مصفوفة الوحدة.

ولكن هنا هو أكثر ملاءمة لاتخاذها

نجد باستخدام الحل العام:

أ) × 3 = 6 ، × 4 = 0 ، × 5 = 0 × 1 = - 1/3 × 3 = -2 ، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = - 4 Þ

قرار FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)

ب) × 3 = 0 ، × 4 = 6 ، × 5 = 0 × 1 = - 1/3 × 3 = 0 ، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = - 6 ذ

II قرار FSR: (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0)

ج) × 3 = 0 ، × 4 = 0 ، × 5 = 6 Þ × 1 = - 1/3 × 3 = 0 ، × 2 = - 4/3 × 3 - × 4 - 3/2 × 5 = -9 ذ

قرار FSR III: (0 ؛ - 9 ؛ 0 ؛ 0 ؛ 6)

Þ FSR: (-2؛ -4؛ 6؛ 0؛ 0)، (0؛ -6؛ 0؛ 6؛ 0)، (0؛ - 9؛ 0؛ 0؛ 6)

6. معطى: z 1 \ u003d -4 + 5i ، z 2 \ u003d 2-4i. أوجد: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

حل: أ) ض 1 - 2 ز 2 = -4 + 5 ط + 2 (2-4 ط) = -4 + 5 ط + 4-8 ط = -3 ط

ب) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

الجواب: أ) -3 ط ب) 12 + 26 ط ج) -1.4 - 0.3 ط