Определете дали векторите са линейно зависими или не. Линейна зависимост на система от вектори. Колинеарни вектори

В тази статия ще разгледаме:

• какво представляват колинеарните вектори;
• какви са условията за колинеарност на векторите;
• какви свойства съществуват на колинеарните вектори;
• каква е линейната зависимост на колинеарните вектори.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Колинеарните вектори са вектори, които са успоредни на една права или лежат на една права.

Пример 1

Условия за колинеарност на вектори

Два вектора са колинеарни, ако някое от следните условия е вярно:

• състояние 1 . Векторите a и b са колинеарни, ако има число λ такова, че a = λ b;
• условие 2 . Векторите a и b са колинеарни с еднакви координатни съотношения:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• състояние 3 . Векторите a и b са колинеарни, при условие че кръстосаното произведение и нулевият вектор са равни:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Бележка 1

Условие 2 не е приложимо, ако една от векторните координати е нула.

Бележка 2

Условие 3 се отнася само за онези вектори, които са посочени в пространството.

Примери за задачи за изследване на колинеарността на вектори

Пример 1

Проверяваме векторите a = (1; 3) и b = (2; 1) за колинеарност.

Как да решим?

В този случай е необходимо да се използва второто условие за колинеарност. За дадени вектори изглежда така:

Равенството е невярно. От това можем да заключим, че векторите a и b не са колинеарни.

отговор : a | | b

Пример 2

Каква стойност m на вектора a = (1; 2) и b = (- 1; m) е необходима, за да бъдат векторите колинеарни?

Как да решим?

Използвайки второто условие за колинеарност, векторите ще бъдат колинеарни, ако техните координати са пропорционални:

Това показва, че m = - 2.

отговор: m = - 2 .

Критерии за линейна зависимост и линейна независимост на векторни системи

Теорема

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима само ако един от векторите на системата може да бъде изразен чрез останалите вектори на тази система.

Доказателство

Нека системата e 1 , e 2 , . . . , e n е линейно зависим. Нека запишем линейна комбинация от тази система, равна на нулевия вектор:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

при което поне един от комбинираните коефициенти не е равен на нула.

Нека a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , н.

Разделяме двете страни на равенството на ненулев коефициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Да обозначим:

A k - 1 a m , където m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В този случай:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

От това следва, че един от векторите на системата се изразява чрез всички останали вектори на системата. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Адекватност

Нека един от векторите е линейно изразен през всички останали вектори на системата:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Преместваме вектора e k в дясната страна на това равенство:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Тъй като коефициентът на вектора e k е равен на - 1 ≠ 0, получаваме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори e 1, e 2, . . . , e n , а това от своя страна означава, че тази система от вектори е линейно зависима. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Последица:

• Система от вектори е линейно независима, когато нито един от нейните вектори не може да бъде изразен чрез всички други вектори на системата.
• Система от вектори, която съдържа нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Свойства на линейно зависимите вектори

1. За 2- и 3-мерни вектори е изпълнено следното условие: два линейно зависими вектора са колинеарни. Два колинеарни вектора са линейно зависими.
2. За 3-мерни вектори е изпълнено следното условие: три линейно зависими вектора са копланарни. (3 копланарни вектора са линейно зависими).
3. За n-мерните вектори е изпълнено следното условие: n + 1 вектора са винаги линейно зависими.

Примери за решаване на задачи, включващи линейна зависимост или линейна независимост на вектори

Пример 3

Нека проверим векторите a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 за линейна независимост.

Решение. Векторите са линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 4

Нека проверим векторите a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 за линейна независимост.

Решение. Намираме стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация ще бъде равна на нулевия вектор:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записваме векторното уравнение в линейна форма:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ние решаваме тази система, използвайки метода на Гаус:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

От 2-ри ред изваждаме 1-ви, от 3-ти - 1-ви:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

От 1-ви ред изваждаме 2-ри, към 3-ти добавяме 2-ри:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

От решението следва, че системата има много решения. Това означава, че има ненулева комбинация от стойности на такива числа x 1, x 2, x 3, за които линейната комбинация от a, b, c е равна на нулевия вектор. Следователно векторите a, b, c са линейно зависими.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Векторната система се нарича линейно зависими, ако има числа, сред които поне едно е различно от нула, така че равенството https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ако това равенство е изпълнено само в случай, когато всички , тогава системата от вектори се нарича линейно независими.

Теорема.Векторната система ще бъде линейно зависимитогава и само ако поне един от неговите вектори е линейна комбинация от останалите.

Пример 1.Полином е линейна комбинация от полиноми https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Полиномите представляват линейно независима система, тъй като полиномът https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Пример 2.Матричната система, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> е линейно независима, тъй като линейната комбинация е равна на нулева матрица само в случай, когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависима.

Решение.

Нека направим линейна комбинация от тези вектори https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" височина=" 22">.

Приравнявайки същите координати на еднакви вектори, получаваме https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Накрая получаваме

И

Системата има уникално тривиално решение, така че линейна комбинация от тези вектори е равна на нула само в случай, че всички коефициенти са равни на нула. Следователно тази система от вектори е линейно независима.

Пример 4.Векторите са линейно независими. Какви ще бъдат векторните системи?

а).;

б).?

Решение.

а).Нека направим линейна комбинация и да я приравним към нула

Използвайки свойствата на операциите с вектори в линейното пространство, пренаписваме последното равенство във формата

Тъй като векторите са линейно независими, коефициентите при трябва да са равни на нула, т.е..gif" width="12" height="23 src=">

Получената система от уравнения има уникално тривиално решение .

От равенството (*) изпълнява се само когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - линейно независим;

б).Нека направим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Прилагайки подобни разсъждения, получаваме

Решавайки системата от уравнения по метода на Гаус, получаваме

или

Последната система има безкраен брой решения https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. По този начин има не- нулев набор от коефициенти, за които важи равенството (**) . Следователно системата от вектори – линейно зависими.

Пример 5Система от вектори е линейно независима, а система от вектори е линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

В равенство (***) . Наистина, при , системата ще бъде линейно зависима.

От връзката (***) получаваме или Нека обозначим .

получаваме

Задачи за самостоятелно решаване (в класната стая)

1. Система, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.

2. Система, състояща се от един вектор А, е линейно зависим тогава и само ако, а=0.

3. Система, състояща се от два вектора, е линейно зависима тогава и само ако векторите са пропорционални (т.е. единият от тях се получава от другия чрез умножение по число).

4. Ако добавите вектор към линейно зависима система, ще получите линейно зависима система.

5. Ако един вектор се премахне от линейно независима система, тогава получената система от вектори е линейно независима.

6. Ако системата Се линейно независим, но става линейно зависим при добавяне на вектор b, след това вектора bлинейно изразени чрез системни вектори С.

в).Система от матрици , , в пространството на матрици от втори ред.

10. Нека системата от вектори а,б,cвекторното пространство е линейно независимо. Докажете линейната независимост на следните векторни системи:

а).а+b, b, c.

б).а+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–произволно число

в).а+b, a+c, b+c.

11. Нека а,б,c– три вектора на равнината, от които може да се образува триъгълник. Тези вектори ще бъдат ли линейно зависими?

12. Дадени са два вектора a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Намерете още два четириизмерни вектора a3 иa4така че системата a1,a2,a3,a4беше линейно независим .

Задача 1.Разберете дали системата от вектори е линейно независима. Системата от вектори ще бъде определена от матрицата на системата, чиито колони се състоят от координатите на векторите.

.

Решение.Нека линейната комбинация равен на нула. Записвайки това равенство в координати, получаваме следната система от уравнения:

.

Такава система от уравнения се нарича триъгълна. Тя има само едно решение . Следователно векторите линейно независими.

Задача 2.Разберете дали системата от вектори е линейно независима.

.

Решение.Вектори са линейно независими (вижте задача 1). Нека докажем, че векторът е линейна комбинация от вектори . Коефициенти на векторно разширение се определят от системата от уравнения

.

Тази система, подобно на триъгълната, има уникално решение.

Следователно системата от вектори линейно зависими.

Коментирайте. Извикват се матрици от същия тип като в задача 1 триъгълна , а в задача 2 – стъпаловидно триъгълно . Въпросът за линейната зависимост на система от вектори се разрешава лесно, ако матрицата, съставена от координатите на тези вектори, е стъпаловидно триъгълна. Ако матрицата няма специална форма, тогава използвайте елементарни преобразувания на низове , запазвайки линейни връзки между колоните, тя може да бъде намалена до стъпаловидна триъгълна форма.

Елементарни преобразувания на низовематрици (EPS) следните операции върху матрица се наричат:

1) пренареждане на редове;

2) умножаване на низ с различно от нула число;

3) добавяне на друг низ към низ, умножен по произволно число.

Задача 3.Намерете максималната линейно независима подсистема и изчислете ранга на системата от вектори

.

Решение.Нека намалим матрицата на системата, използваща EPS, до стъпаловидна триъгълна форма. За да обясним процедурата, обозначаваме реда с номера на матрицата, която трябва да се преобразува, със символа . Колоната след стрелката показва действията върху редовете на преобразуваната матрица, които трябва да бъдат извършени, за да се получат редовете на новата матрица.

.

Очевидно първите две колони на получената матрица са линейно независими, третата колона е тяхната линейна комбинация, а четвъртата не зависи от първите две. Вектори се наричат ​​основни. Те образуват максимална линейно независима подсистема на системата , а рангът на системата е три.

Основа, координати

Задача 4.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху набора от геометрични вектори, чиито координати отговарят на условието .

Решение. Множеството е равнина, минаваща през началото. Произволен базис на равнина се състои от два неколинеарни вектора. Координатите на векторите в избрания базис се определят чрез решаване на съответната система от линейни уравнения.

Има друг начин за решаване на този проблем, когато можете да намерите основата с помощта на координатите.

Координати пространствата не са координати в равнината, тъй като са свързани с релацията , тоест не са независими. Независимите променливи и (те се наричат ​​свободни) уникално дефинират вектор в равнината и следователно могат да бъдат избрани като координати в . След това основата се състои от вектори, лежащи в и съответстващи на набори от свободни променливи И , тоест .

Задача 5.Намерете основата и координатите на векторите в тази база върху множеството от всички вектори в пространството, чиито нечетни координати са равни една на друга.

Решение. Нека изберем, както в предишната задача, координати в пространството.

защото , след това безплатни променливи еднозначно определят вектора от и следователно са координати. Съответният базис се състои от вектори.

Задача 6.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху множеството от всички матрици на формата , Къде – произволни числа.

Решение. Всяка матрица от е уникално представима във формата:

Тази връзка е разширение на вектора от по отношение на основата
с координати .

Задача 7.Намерете размерността и основата на линейната обвивка на система от вектори

.

Решение.Използвайки EPS, ние трансформираме матрицата от координатите на системните вектори в стъпаловидна триъгълна форма.

.

Колони последните матрици са линейно независими, а колоните линейно изразено чрез тях. Следователно векторите образуват основа , И .

Коментирайте. Основа в е избран двусмислено. Например вектори също формират основа .

Определение. Линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n с коефициенти x 1 , ..., x n се нарича вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n .

тривиален, ако всички коефициенти x 1 , ..., x n са равни на нула.

Определение. Линейната комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n се нарича нетривиален, ако поне един от коефициентите x 1, ..., x n не е равен на нула.

линейно независими, ако няма нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Тоест, векторите a 1, ..., a n са линейно независими, ако x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогава и само ако x 1 = 0, ..., x n = 0.

Определение. Векторите a 1, ..., a n се наричат линейно зависими, ако има нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Свойства на линейно зависими вектори:

За двумерни и тримерни вектори.

Два линейно зависими вектора са колинеарни. (Колинеарните вектори са линейно зависими.)

За 3-измерни вектори.

Три линейно зависими вектора са компланарни. (Три копланарни вектора са линейно зависими.)

• За n-мерни вектори.

  n + 1 вектора винаги са линейно зависими.

Примери за задачи за линейна зависимост и линейна независимост на вектори:

Пример 1. Проверете дали векторите a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) са линейно независими .

Решение:

Векторите ще бъдат линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 2. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) са линейно независими.

Решение:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

извадете втория от първия ред; добавете втори ред към третия ред:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Това решение показва, че системата има много решения, тоест има ненулева комбинация от стойности на числата x 1, x 2, x 3, така че линейната комбинация от вектори a, b, c е равна на нулевия вектор, например:

A+b+c=0

което означава, че векторите a, b, c са линейно зависими.

отговор:векторите a, b, c са линейно зависими.

Пример 3. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) са линейно независими.

Решение:Нека намерим стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация от тези вектори ще бъде равна на нулевия вектор.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Това векторно уравнение може да бъде написано като система от линейни уравнения

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Нека решим тази система по метода на Гаус

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

извадете първия от втория ред; извадете първия от третия ред:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

извадете втория от първия ред; добавете втора към третия ред.

Въведено от нас линейни операции върху векториправят възможно създаването на различни изрази за векторни величинии ги трансформирайте, като използвате свойствата, зададени за тези операции.

Въз основа на даден набор от вектори a 1, ..., a n, можете да създадете израз на формата

където a 1, ... и n са произволни реални числа. Този израз се нарича линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n. Числата α i, i = 1, n, представляват линейни комбинирани коефициенти. Набор от вектори също се нарича система от вектори.

Във връзка с въведеното понятие за линейна комбинация от вектори възниква проблемът да се опише множество от вектори, което може да се запише като линейна комбинация от дадена система от вектори a 1, ..., a n. Освен това възникват естествени въпроси за условията, при които съществува представяне на вектор под формата на линейна комбинация и за уникалността на такова представяне.

Определение 2.1.Векторите a 1, ... и n се наричат линейно зависими, ако има набор от коефициенти α 1 , ... , α n такива, че

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

и поне един от тези коефициенти е различен от нула. Ако посоченият набор от коефициенти не съществува, тогава се извикват векторите линейно независими.

Ако α 1 = ... = α n = 0, тогава очевидно α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Имайки това предвид, можем да кажем следното: вектори a 1, ... и n са линейно независими, ако от равенството (2.2) следва, че всички коефициенти α 1 , ... , α n са равни на нула.

Следващата теорема обяснява защо новата концепция се нарича терминът "зависимост" (или "независимост") и предоставя прост критерий за линейна зависимост.

Теорема 2.1.За да бъдат векторите a 1, ... и n, n > 1, линейно зависими е необходимо и достатъчно единият от тях да е линейна комбинация от останалите.

◄ Необходимост. Да приемем, че векторите a 1, ... и n са линейно зависими. Съгласно дефиниция 2.1 на линейната зависимост, в равенството (2.2) отляво има поне един ненулев коефициент, например α 1. Оставяйки първия член от лявата страна на равенството, преместваме останалите в дясната страна, като променяме знаците им, както обикновено. Разделяйки полученото равенство на α 1, получаваме

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тези. представяне на вектор a 1 като линейна комбинация от останалите вектори a 2, ..., a n.

Адекватност. Нека, например, първият вектор a 1 може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Прехвърляйки всички членове от дясната страна наляво, получаваме a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, т.е. линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n с коефициенти α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, равна на нулев вектор.В тази линейна комбинация не всички коефициенти са нула. Според дефиниция 2.1 векторите a 1, ... и n са линейно зависими.

Дефиницията и критерият за линейна зависимост са формулирани така, че да предполагат наличието на два или повече вектора. Можем обаче да говорим и за линейна зависимост на един вектор. За да реализирате тази възможност, вместо „векторите са линейно зависими“, трябва да кажете „системата от вектори е линейно зависима“. Лесно се вижда, че изразът „система от един вектор е линейно зависима“ означава, че този единичен вектор е нула (в линейна комбинация има само един коефициент и той не трябва да бъде равен на нула).

Концепцията за линейна зависимост има проста геометрична интерпретация. Следващите три твърдения изясняват това тълкуване.

Теорема 2.2.Два вектора са линейно зависими тогава и само ако те колинеарен.

◄ Ако векторите a и b са линейно зависими, то единият от тях, например a, се изразява чрез другия, т.е. a = λb за някакво реално число λ. Съгласно определение 1.7 работивектори на число, векторите a и b са колинеарни.

Нека сега векторите a и b са колинеарни. Ако и двете са нула, тогава е очевидно, че са линейно зависими, тъй като всяка линейна комбинация от тях е равна на нулевия вектор. Нека един от тези вектори не е равен на 0, например вектор b. Нека означим с λ отношението на дължините на векторите: λ = |a|/|b|. Колинеарни вектори могат да бъдат еднопосоченили противоположно насочени. В последния случай променяме знака на λ. Тогава, проверявайки Определение 1.7, се убеждаваме, че a = λb. Съгласно теорема 2.1 векторите a и b са линейно зависими.

Забележка 2.1.В случай на два вектора, като се вземе предвид критерият за линейна зависимост, доказаната теорема може да бъде преформулирана по следния начин: два вектора са колинеарни тогава и само ако единият от тях е представен като произведение на другия с число. Това е удобен критерий за колинеарност на два вектора.

Теорема 2.3.Три вектора са линейно зависими тогава и само ако те компланарен.

◄ Ако три вектора a, b, c са линейно зависими, то съгласно теорема 2.1 единият от тях, например a, е линейна комбинация от останалите: a = βb + γc. Нека съберем началото на векторите b и c в точка A. Тогава векторите βb, γс ще имат общо начало в точка A и по според правилото на успоредника сборът им етези. вектор a ще бъде вектор с начало A и краят, който е връх на успоредник, изграден върху компонентни вектори. По този начин всички вектори лежат в една и съща равнина, т.е. копланарни.

Нека векторите a, b, c са копланарни. Ако един от тези вектори е нула, тогава е очевидно, че той ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно е всички коефициенти на линейна комбинация да бъдат равни на нула. Следователно можем да приемем, че и трите вектора не са нула. Съвместим започнана тези вектори в обща точка O. Нека техните краища са съответно точки A, B, C (фиг. 2.1). През точка C начертаваме прави, успоредни на прави, минаващи през двойки точки O, A и O, B. Означавайки точките на пресичане като A" и B", получаваме успоредник OA"CB", следователно OC" = OA" + OB". Вектор OA" и ненулевият вектор a = OA са колинеарни и следователно първият от тях може да се получи чрез умножаване на втория по реално число α:OA" = αOA. По същия начин OB" = βOB, β ∈ R. В резултат на това получаваме, че OC" = α OA. + βOB, т.е. вектор c е линейна комбинация от вектори a и b. Съгласно теорема 2.1 векторите a, b, c са линейно зависими.

Теорема 2.4.Всеки четири вектора са линейно зависими.

◄ Провеждаме доказателството по същата схема, както в теорема 2.3. Да разгледаме произволни четири вектора a, b, c и d. Ако един от четирите вектора е нула, или сред тях има два колинеарни вектора, или три от четирите вектора са компланарни, тогава тези четири вектора са линейно зависими. Например, ако векторите a и b са колинеарни, тогава можем да направим тяхната линейна комбинация αa + βb = 0 с ненулеви коефициенти и след това да добавим останалите два вектора към тази комбинация, като вземем нули като коефициенти. Получаваме линейна комбинация от четири вектора, равни на 0, в които има ненулеви коефициенти.

По този начин можем да приемем, че сред избраните четири вектора нито един вектор не е нула, няма два колинеарни и няма три копланарни. Нека изберем точка O като тяхно общо начало, тогава краищата на векторите a, b, c, d ще бъдат някои точки A, B, C, D (фиг. 2.2). През точка D начертаваме три равнини, успоредни на равнините OBC, OCA, OAB и нека A", B", C" са точките на пресичане на тези равнини съответно с прави OA, OB, OS. Получаваме паралелепипед OA" C "B" C" B"DA", а векторите a, b, c лежат на ръбовете му, излизащи от върха O. Тъй като четириъгълникът OC"DC" е успоредник, тогава OD = OC" + OC" От своя страна сегментът OC" е диагонал. успоредник OA"C"B", така че OC" = OA" + OB" и OD = OA" + OB" + OC" .

Остава да се отбележи, че двойките вектори OA ≠ 0 и OA" , OB ≠ 0 и OB" , OC ≠ 0 и OC" са колинеарни и следователно е възможно да се изберат коефициентите α, β, γ така, че OA" = αOA, OB" = βOB и OC" = γOC. Накрая получаваме OD = αOA + βOB + γOC. Следователно векторът OD се изразява чрез другите три вектора и всичките четири вектора, съгласно теорема 2.1, са линейно зависими.