Стандартна хипербола. Хипербола и нейното канонично уравнение

Определение 7.2.Геометричното място на точките в равнината, за които разликата в разстоянията до две фиксирани точки е константа, се нарича хипербола.

Забележка 7.2.Когато говорим за разлика в разстоянията, имаме предвид, че по-малкото се изважда от по-голямото разстояние. Това означава, че всъщност за една хипербола модулът на разликата в разстоянията от която и да е нейна точка до две фиксирани точки е постоянен. #

Определението за хипербола е подобно на определението елипса. Единствената разлика между тях е, че за хипербола разликата в разстоянията до фиксирани точки е постоянна, а за елипса е сумата от същите разстояния. Ето защо е естествено, че тези криви имат много общо както в свойствата, така и в използваната терминология.

Фиксираните точки в дефиницията на хипербола (нека ги обозначим с F 1 и F 2) се наричат трикове с хипербола. Разстоянието между тях (да го наречем 2c) се нарича фокусно разстояние, а отсечките F 1 M и F 2 M, свързващи произволна точка M върху хипербола с нейните фокуси, са фокусни радиуси.

Видът на хиперболата се определя изцяло от фокусното разстояние |F 1 F 2 | = 2c и стойността на константата 2a, равна на разликата между фокалните радиуси и нейното положение в равнината - положението на фокусите F 1 и F 2.

От дефиницията на хипербола следва, че подобно на елипса, тя е симетрична по отношение на линията, минаваща през фокусите, както и по отношение на линията, която разделя сегмента F 1 F 2 наполовина и е перпендикулярна на него (фиг. 7.7). Първата от тези оси на симетрия се нарича реална ос на хиперболата, а втората - нейната въображаема ос. Постоянната величина a, участваща в дефиницията на хипербола, се нарича реална полуос на хиперболата.

Средната точка на сегмента F 1 F 2, свързващ фокусите на хиперболата, се намира в пресечната точка на нейните оси на симетрия и следователно е центърът на симетрия на хиперболата, която просто се нарича центъра на хиперболата.

За хипербола реалната ос 2a не трябва да е по-голяма от фокусното разстояние 2c, тъй като за триъгълника F 1 MF 2 (виж фиг. 7.7) неравенството ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Равенството a = c е изпълнено само за онези точки M, които лежат на реалната ос на симетрия на хиперболата извън интервала F 1 F 2. Като отхвърлим този изроден случай, ние допълнително ще приемем, че a

Уравнение на хипербола. Нека разгледаме определена хипербола на равнината с фокуси в точки F 1 и F 2 и реална ос 2a. Нека 2c е фокусното разстояние, 2c = |F 1 F 2 | > 2а. Съгласно забележка 7.2 хиперболата се състои от онези точки M(x; y), за които | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2а. Да изберем правоъгълна координатна система Oxy, така че центърът на хиперболата да е в произход, а фокусите бяха разположени върху ос х(фиг. 7.8). Такава координатна система за разглежданата хипербола се нарича каноничен, а съответните променливи са каноничен.

В каноничната координатна система фокусите на хиперболата имат координати F 1 (c; 0) и F 2 (-c; 0). Използвайки формулата за разстоянието между две точки, записваме условието ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a в координати |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| = 2a, където (x; y) са координатите на точка M. За да опростим това уравнение, нека се отървем от знака за модул: √((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2) = ±2a, преместете втория радикал в дясната страна и го повдигнете на квадрат: (x - c) 2 + y 2 = (x + c) 2 + y 2 ± 4a √((x + c) 2 + y 2) + 4a 2 . След опростяване получаваме -εx - a = ±√((x + c) 2 + y 2), или

√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7,7)

където ε = s/a. Нека го повдигнем на квадрат втори път и отново представим подобни членове: (ε 2 - 1)x 2 - y 2 = c 2 - a 2, или, като вземем предвид равенството ε = c/a и приемем, че b 2 = c 2 - 2,

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7,8)

Извиква се стойността b > 0 въображаема полуос на хиперболата.

И така, установихме, че всяка точка от хипербола с фокуси F 1 (c; 0) и F 2 (-c; 0) и реална полуос a удовлетворява уравнение (7.8). Но също така е необходимо да се покаже, че координатите на точките извън хиперболата не удовлетворяват това уравнение. За да направим това, ние разглеждаме семейството на всички хиперболи с дадени фокуси F 1 и F 2. Това семейство хиперболи има общи оси на симетрия. От геометрични съображения е ясно, че всяка точка от равнината (с изключение на точките, лежащи на реалната ос на симетрия извън интервала F1F2, и точките, лежащи на въображаемата ос на симетрия) принадлежи към някаква хипербола от семейството и само една, тъй като разликата в разстоянията от точката до фокусите F 1 и F 2 се променя от хипербола в хипербола. Нека координатите на точката M(x; y) удовлетворяват уравнение (7.8), а самата точка принадлежи към хипербола от семейството с някаква стойност ã на реалната полуос. Тогава, както доказахме, неговите координати удовлетворяват уравнението Следователно система от две уравнения с две неизвестни

има поне едно решение. Чрез пряка проверка се убеждаваме, че за ã ≠ a това е невъзможно. Наистина, като изключим, например, x от първото уравнение:

след трансформации получаваме уравнението

което за ã ≠ a няма решения, тъй като . И така, (7.8) е уравнението на хипербола с реална полуос a > 0 и въображаема полуос b = √(c 2 - a 2) > 0. Нарича се канонично уравнение на хипербола.

Вид хипербола.По своята форма хиперболата (7.8) се различава значително от елипсата. Като се има предвид наличието на две оси на симетрия в хипербола, достатъчно е да се конструира тази част от нея, която се намира в първата четвърт на каноничната координатна система. През първото тримесечие, т.е. за x ≥ 0, y ≥ 0, уравнението на каноничната хипербола е еднозначно разрешено по отношение на y:

y = b/a √(x 2 - a 2). (7,9)

Изследването на тази функция y(x) дава следните резултати.

Областта на дефиниране на функцията е (x: x ≥ a) и в тази област на дефиниция тя е непрекъсната като комплексна функция, а в точката x = a е непрекъсната отдясно. Единствената нула на функцията е точката x = a.

Нека намерим производната на функцията y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - a 2). От тук заключаваме, че за x > a функцията нараства монотонно. Освен това, , което означава, че в точката x = a на пресечната точка на графиката на функцията с абсцисната ос има вертикална допирателна. Функцията y(x) има втора производна y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 за x > a и тази производна е отрицателна. Следователно графиката на функцията е изпъкнала нагоре и там няма инфлексни точки.

Посочената функция има наклонена асимптота, това следва от съществуването на две граници:

Наклонената асимптота се описва от уравнението y = (b/a)x.

Изследването на функцията (7.9) ни позволява да построим нейната графика (фиг. 7.9), която съвпада с частта от хиперболата (7.8), съдържаща се в първата четвърт.

Тъй като хиперболата е симетрична спрямо своите оси, цялата крива има формата, показана на фиг. 7.10. Хиперболата се състои от два симетрични клона, разположени на различни места

страни от неговата въображаема ос на симетрия. Тези клонове не са ограничени от двете страни и правите линии y = ±(b/a)x са едновременно асимптоти както на десния, така и на левия клон на хиперболата.

Осите на симетрия на хипербола се различават по това, че реалните оси пресичат хиперболата, докато въображаемите оси, които са геометрично място на точки, еднакво отдалечени от фокусите, не се пресичат (поради което се наричат ​​въображаеми). Двете точки на пресичане на реалната ос на симетрия с хиперболата се наричат ​​върхове на хиперболата (точки A(a; 0) и B(-a; 0) на фиг. 7.10).

Конструкцията на хипербола по нейните реална (2a) и имагинерна (2b) ос трябва да започне с правоъгълник с център в началото и страни 2a и 2b, успоредни съответно на реалната и въображаемата ос на симетрия на хиперболата ( Фиг. 7.11). Асимптотите на хиперболата са продължения на диагоналите на този правоъгълник, а върховете на хиперболата са точките на пресичане на страните на правоъгълника с реалната ос на симетрия. Обърнете внимание, че правоъгълникът и неговата позиция в равнината еднозначно определят формата и позицията на хиперболата. Съотношението b/a на страните на правоъгълника определя степента на компресия на хиперболата, но вместо този параметър обикновено се използва ексцентрицитетът на хиперболата. Ексцентричност на хиперболатанарича съотношението на неговото фокусно разстояние към реалната ос. Ексцентричността се означава с ε. За хиперболата, описана от уравнение (7.8), ε = c/a. Имайте предвид, че ако ексцентричност на елипсаможе да приема стойности от половин интервал)