Как да използвате формули за намаляване. Формули за редукция: доказателство, примери, мнемонично правило

И още една задача Б11 по същата тема - от истинския Единен държавен изпит по математика.

Задача. Намерете значението на израза:

В този кратък видео урок ще научим как да кандидатстваме формули за намаляванеза решаване на реални задачи В11 от Единния държавен изпит по математика. Както можете да видите, имаме два тригонометрични израза, всеки от които съдържа синуси и косинуси, както и някои доста брутални числени аргументи.

Преди да решим тези задачи, нека си припомним какво представляват формулите за редукция. Така че, ако имаме изрази като:

Тогава можем да се отървем от първия член (от формата k · π/2) съгласно специални правила. Нека начертаем тригонометрична окръжност и върху нея да отбележим основните точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. След това разглеждаме първия член под знака на тригонометричната функция. Ние имаме:

1. Ако членът, който ни интересува, лежи на вертикалната ос на тригонометричната окръжност (например: 3π/2; π/2 и т.н.), тогава първоначалната функция се заменя с кофункция: синусът се заменя с косинус, и косинус, напротив, по синус.
2. Ако нашият член лежи на хоризонталната ос, тогава оригиналната функция не се променя. Просто премахваме първия член в израза и това е всичко.

Така получаваме тригонометрична функция, която не съдържа членове от вида k · π/2. Работата с редукционните формули обаче не свършва дотук. Факт е, че нашата нова функция, получена след „изхвърляне“ на първия член, може да има знак плюс или минус пред него. Как да разпознаем този знак? Сега ще разберем.

Нека си представим, че ъгълът α, оставащ вътре в тригонометричната функция след трансформации, има много малка градусна мярка. Но какво означава „малка мярка“? Да речем α ∈ (0; 30°) – това е напълно достатъчно. Да вземем пример за функцията:

След това, следвайки нашите допускания, че α ∈ (0; 30°), заключаваме, че ъгълът 3π/2 − α лежи в третата координатна четвърт, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Нека си спомним знака на оригиналната функция, т.е. y = sin x на този интервал. Очевидно синусът в третата координатна четвърт е отрицателен, тъй като по дефиниция синусът е ординатата на края на движещия се радиус (накратко, синусът е y координатата). Е, координатата y в долната полуравнина винаги отнема отрицателни стойности. Това означава, че през третото тримесечие y също е отрицателно.

Въз основа на тези отражения можем да запишем крайния израз:

Задача B11 ​​- Вариант 1

Същите тези техники са доста подходящи за решаване на задача B11 ​​от Единния държавен изпит по математика. Единствената разлика е, че в много реални задачи B11, вместо мярка в радиан (т.е. числа π, π/2, 2π и т.н.) се използва мярка в градус (т.е. 90°, 180°, 270° и т.н.). Нека разгледаме първата задача:

Нека първо разгледаме числителя. cos 41° е нетаблична стойност, така че не можем да направим нищо с нея. Нека го оставим така за сега.

Сега нека да разгледаме знаменателя:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно това е редукционна формула, така че синусът се заменя с косинус. Освен това ъгълът 41° лежи върху сегмента (0°; 90°), т.е. в първия координатен квадрант - точно колкото е необходимо за прилагане на формулите за редукция. Но тогава 90° + 41° е втората координатна четвърт. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, така че поставихме знак плюс пред косинуса на последната стъпка (с други думи, не поставихме нищо).

Остава да се справим с последния елемент:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Тук виждаме, че 180° е хоризонталната ос. Следователно самата функция няма да се промени: имаше косинус - и косинусът също ще остане. Но отново възниква въпросът: плюс или минус ще се появи пред получения израз cos 60°? Имайте предвид, че 180° е третата координатна четвърт. Косинусът там е отрицателен, следователно косинусът в крайна сметка ще има знак минус пред себе си. Като цяло получаваме конструкцията −cos 60° = −0,5 - това е таблична стойност, така че всичко е лесно за изчисляване.

Сега заместваме получените числа в оригиналната формула и получаваме:

Както можете да видите, числото cos 41° в числителя и знаменателя на дробта лесно се намалява и остава обичайният израз, който е равен на −10. В този случай минусът може или да бъде изваден и поставен пред знака за дроб, или да се „задържи“ до втория фактор до последната стъпка от изчисленията. Във всеки случай отговорът ще бъде −10. Това е всичко, проблем B11 е решен!

Задача B14 - вариант 2

Да преминем към втората задача. Пред нас отново е фракция:

Е, 27° се намира в първата координатна четвърт, така че няма да променяме нищо тук. Но грях 117° трябва да се напише (засега без квадрат):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно отново пред нас формула за намаляване: 90° е вертикалната ос, следователно синусът ще се промени в косинус. Освен това ъгълът α = 117° = 90° + 27° лежи във втория координатен квадрант. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, следователно след всички трансформации все още има знак плюс пред косинуса. С други думи, нищо не се добавя там - оставяме го така: cos 27°.

Връщаме се към оригиналния израз, който трябва да бъде изчислен:

Както виждаме, след трансформациите основното тригонометрично тъждество възниква в знаменателя: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Общо −4: 1 = −4 - така намерихме отговора на втората задача B11.

Както можете да видите, с помощта на формули за редукция такива задачи от Единния държавен изпит по математика се решават буквално в няколко реда. Няма синус от сумата и косинус от разликата. Всичко, което трябва да запомним, е само тригонометричната окръжност.

Тази статия е посветена на подробно проучване тригонометрични формулипризраци Дан пълен списъкформули за намаляване, показани са примери за тяхното използване и е дадено доказателство за правилността на формулите. Статията предоставя също мнемонично правило, което ви позволява да извличате формули за редукция, без да запомняте всяка формула.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Редукционни формули. списък

Формулите за намаляване ви позволяват да намалите основните тригонометрични функции на ъгли с произволна величина до функции на ъгли, разположени в диапазона от 0 до 90 градуса (от 0 до π 2 радиана). Работата с ъгли от 0 до 90 градуса е много по-удобна от работата с произволно големи стойности, поради което формулите за редукция се използват широко при решаване на тригонометрични задачи.

Преди да запишем самите формули, нека изясним няколко важни точки за разбиране.

• Аргументите на тригонометричните функции във формулите за редукция са ъгли от вида ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Тук z е всяко цяло число, а α е произволен ъгъл на завъртане.
• Не е необходимо да научите всички формули за намаляване, чийто брой е доста впечатляващ. Има мнемонично правило, което улеснява извеждането на желаната формула. Ще говорим за мнемоничното правило по-късно.

Сега нека преминем директно към формулите за намаляване.

Формулите за намаляване ви позволяват да преминете от работа с произволни и произволно големи ъгли към работа с ъгли в диапазона от 0 до 90 градуса. Нека напишем всички формули в таблична форма.

Формули за намаляване

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

В този случай формулите се записват в радиани. Можете обаче да ги напишете и с помощта на степени. Достатъчно е просто да преобразувате радиани в градуси, като замените π със 180 градуса.

Примери за използване на формули за намаляване

Ще покажем как да използваме формули за редукция и как тези формули се използват за решаване на практически примери.

Ъгълът под знака на тригонометричната функция може да бъде представен не по един, а по много начини. Например, аргументът на тригонометрична функция може да бъде представен във формата ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Нека демонстрираме това.

Да вземем ъгъла α = 16 π 3. Този ъгъл може да се запише така:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

В зависимост от представянето на ъгъла се използва подходящата формула за намаляване.

Нека вземем същия ъгъл α = 16 π 3 и изчислим тангенса му

Пример 1: Използване на формули за редукция

α = 16 π 3 , t g α = ?

Нека представим ъгъла α = 16 π 3 като α = π + π 3 + 2 π 2

Това представяне на ъгъла ще съответства на формулата за намаляване

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Използвайки таблицата, посочваме стойността на тангентата

Сега използваме друго представяне на ъгъла α = 16 π 3.

Пример 2: Използване на формули за редукция

α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

И накрая, за третото представяне на ъгъла, което пишем

Пример 3. Използване на формули за редукция

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Сега нека дадем пример за използване на по-сложни формули за намаляване

Пример 4: Използване на формули за редукция

Нека си представим sin 197° през синуса и косинуса на остър ъгъл.

За да можете да приложите формули за намаляване, трябва да представите ъгъла α = 197 ° в една от формите

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Според условията на задачата ъгълът трябва да е остър. Съответно имаме два начина да го представим:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

получаваме

sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)

Сега нека да разгледаме формулите за намаляване на синусите и да изберем подходящите

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Мнемонично правило

Има много формули за намаляване и, за щастие, няма нужда да ги запомняте. Има закономерности, чрез които могат да се изведат формули за редукция за различни ъгли и тригонометрични функции. Тези модели се наричат ​​мнемонични правила. Мнемониката е изкуството на запаметяването. Мнемоничното правило се състои от три части или съдържа три етапа.

Мнемонично правило

1. Аргументът на оригиналната функция е представен в една от следните форми:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Ъгъл α трябва да е между 0 и 90 градуса.

2. Определя се знакът на изходната тригонометрична функция. Функцията, написана от дясната страна на формулата, ще има същия знак.

3. За ъглите ± α + 2 πz и π ± α + 2 πz името на оригиналната функция остава непроменено, а за ъглите π 2 ± α + 2 πz и съответно 3 π 2 ± α + 2 πz се променя на „кофункция“. Синус - косинус. Тангенс - котангенс.

За да използвате мнемоничното ръководство за формули за редукция, трябва да можете да определяте знаците на тригонометричните функции въз основа на четвъртините на единичната окръжност. Нека да разгледаме примери за използване на мнемоничното правило.

Пример 1: Използване на мнемонично правило

Нека запишем формулите за редукция на cos π 2 - α + 2 πz и t g π - α + 2 πz. α е логаритъм на първото тримесечие.

1. Тъй като по условие α е логаритъм на първата четвърт, пропускаме първата точка от правилото.

2. Определете знаците на функциите cos π 2 - α + 2 πz и t g π - α + 2 πz. Ъгълът π 2 - α + 2 πz също е ъгълът на първата четвърт, а ъгълът π - α + 2 πz е във втората четвърт. През първата четвърт функцията косинус е положителна, а тангенса през втората четвърт е със знак минус. Нека запишем как ще изглеждат необходимите формули на този етап.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Според трета точка за ъгъла π 2 - α + 2 π името на функцията се променя на Конфуций, а за ъгъла π - α + 2 πz остава същото. Нека запишем:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Сега нека да разгледаме дадените по-горе формули и да се уверим, че мнемоничното правило работи.

Нека разгледаме пример с определен ъгъл α = 777°. Нека намалим синус алфа до тригонометричната функция на остър ъгъл.

Пример 2: Използване на мнемонично правило

1. Представете си ъгъл α = 777 ° in изисквана форма

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Първоначалният ъгъл е ъгълът на първата четвърт. Това означава, че синусът на ъгъла има положителен знак. В резултат на това имаме:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Сега нека да разгледаме пример, който показва колко е важно да се определи правилно знакът на тригонометричната функция и правилно да се представи ъгълът, когато се използва мнемоничното правило. Нека го повторим отново.

важно!

Ъгъл α трябва да е остър!

Нека изчислим тангенса на ъгъл 5 π 3. От таблицата със стойности на основните тригонометрични функции можете веднага да вземете стойността t g 5 π 3 = - 3, но ще приложим мнемоничното правило.

Пример 3: Използване на мнемонично правило

Нека си представим ъгъла α = 5 π 3 в необходимата форма и използваме правилото

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Ако представим ъгъла алфа във формата 5 π 3 = π + 2 π 3, тогава резултатът от прилагането на мнемоничното правило ще бъде неправилен.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Неправилният резултат се дължи на факта, че ъгълът 2 π 3 не е остър.

Доказателството на формулите за редукция се основава на свойствата на периодичност и симетрия на тригонометричните функции, както и на свойството на изместване с ъгли π 2 и 3 π 2. Доказателството за валидността на всички формули за редукция може да се извърши без да се взема предвид членът 2 πz, тъй като той означава промяна на ъгъла с цял брой пълни обороти и отразява точно свойството на периодичност.

Първите 16 формули следват директно от свойствата на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Ето доказателство за редукционните формули за синуси и косинуси

sin π 2 + α = cos α и cos π 2 + α = - sin α

Нека разгледаме единична окръжност, чиято начална точка след завъртане на ъгъл α отива в точката A 1 x, y, а след завъртане на ъгъл π 2 + α - в точка A 2. От двете точки изчертаваме перпендикуляри към абсцисната ос.

две правоъгълен триъгълник O A 1 H 1 и O A 2 H 2 са равни по хипотенуза и прилежащи ъгли. От местоположението на точките върху окръжността и равенството на триъгълниците можем да заключим, че точка A 2 има координати A 2 - y, x. Използвайки дефинициите на синус и косинус, пишем:

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

Като вземем предвид основните идентичности на тригонометрията и току-що доказаното, можем да напишем

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α

За да се докажат формули за редукция с аргумент π 2 - α, той трябва да бъде представен във формата π 2 + (- α). Например:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

Доказателството използва свойствата на тригонометричните функции с аргументи с противоположни знаци.

Всички други формули за намаляване могат да бъдат доказани въз основа на тези, написани по-горе.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Има две правила за използване на формули за намаляване.

1. Ако ъгълът може да бъде представен като (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), тогава промени в името на функцията sin към cos, cos към sin, tg към ctg, ctg към tg. Ако ъгълът може да бъде представен във формата (π ±a) или (2*π ±a), тогава Името на функцията остава непроменено.

Вижте снимката по-долу, тя показва схематично кога трябва да смените знака и кога не.

2. Правилото „какъвто си бил, такъв си оставаш“.

Знакът на намалената функция остава същият. Ако оригиналната функция е имала знак плюс, тогава намалената функция също има знак плюс. Ако първоначалната функция е имала знак минус, тогава намалената функция също има знак минус.

Фигурата по-долу показва знаците на основните тригонометрични функции в зависимост от тримесечието.

Изчислете Sin(150˚)

Нека използваме формулите за намаляване:

Sin(150˚) е във втората четвърт, виждаме, че знакът на sin в тази четвърт е равен на +. Това означава, че дадената функция също ще има знак плюс. Приложихме второто правило.

Сега 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ е π/2. Тоест, имаме работа със случая π/2+60, следователно, според първото правило, променяме функцията от sin на cos. В резултат на това получаваме Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Ако желаете, всички формули за намаляване могат да бъдат обобщени в една таблица. Но все пак е по-лесно да запомните тези две правила и да ги използвате.

Нуждаете се от помощ с обучението си?