Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов. Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)
Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,
,
.
Пример 1
Вычислить интеграл:
.
Решение
Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3 ) меньше степени многочлена числителя (4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.
1.
Выделим целую часть дроби. Делим x 4
на x 3 - 6
x 2 + 11
x - 6
:
Отсюда
.
2.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Подставим x = 1
:
.
1
.
Делим на x - 1
:
Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: ,
.
Тогда
.
3.
Разложим дробь на простейшие.
.
Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.
Ответ
Пример 2
Вычислить интеграл:
.
Решение
Здесь в числителе дроби - многочлен нулевой степени (1 = x 0 ). В знаменателе - многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, -1, -3
.
Подставим x = 1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = 1
.
Делим x 3 + 2
x - 3
на x - 1
:
Итак,
.
Решаем квадратное уравнение:
x 2 +
x + 3 = 0
.
Находим дискриминант: D = 1 2 - 4·3 = -11
.
Поскольку D < 0
,
то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 +
x + 3)
:
(2.1)
.
Подставим x = 1
.
Тогда x - 1 = 0
,
.
Подставим в (2.1)
x = 0
:
1 = 3
A - C
;
.
Приравняем в (2.1)
коэффициенты при x 2
:
;
0 =
A + B
;
.
.
3.
Интегрируем.
(2.2)
.
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.
;
;
.
Вычисляем I 2
.
.
Поскольку уравнение x 2 +
x + 3 = 0
не имеет действительных корней, то x 2 +
x + 3 > 0
.
Поэтому знак модуля можно опустить.
Поставляем в (2.2)
:
.
Ответ
Пример 3
Вычислить интеграл:
.
Решение
Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = -1
.
Делим на x - (-1)
= x + 1
:
Итак,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x = -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на ,
но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0
не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2 (x 2 + 2)
:
(3.1)
.
Подставим x = -1
.
Тогда x + 1 = 0
,
.
Продифференцируем (3.1)
:
;
.
Подставим x = -1
и учтем, что x + 1 = 0
:
;
;
.
Подставим в (3.1)
x = 0
:
0 = 2
A + 2
B + D
;
.
Приравняем в (3.1)
коэффициенты при x 3
:
;
1 =
B + C
;
.
Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.
3.
Интегрируем.
.
ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.
Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .
Любую
неправильную дробь можно представить
в виде: ,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) .
Выясним, каким образом они интегрируются.
3) (изучен
ранее).
Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
Пример 1.
Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:
Пример 2.
Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:
Пример 3.
Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:
Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:
1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.
2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.
3. комбинированный метод.
Пример
5. Разложить дробь на
простейшие.
Решение:
Найдем коэффициенты А и В.
1 способ - метод частных значений:
2 способ – метод неопределенных коэффициентов:
Ответ:
Интегрирование рациональных дробей.
Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.
Доказательство.
Представим
рациональную дробь в
виде: .
При этом последнее слагаемое является
правильной дробью, и по теореме 5 ее
можно представить в виде линейной
комбинации простейших дробей. Таким
образом, интегрирование рациональной
дроби сводится к интегрированию
многочлена S
(x
)
и
простейших дробей, первообразные
которых, как было показано, имеют вид,
указанный в теореме.
Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.
Пример 1. Найти интеграл
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где
– действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) , б)
.
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
3) |
4) |
где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен
не
имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или
.
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) , б)
.
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно
выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух
интегралов: первый из них подстановкой сводится
к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение
. Заметим,
что . Выделим в числителе производную
знаменателя:
Первый
интеграл вычисляется при помощи подстановки :
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным
образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с
действительными коэффициентами
Одним из важнейших классов функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций.
Определение 1.
Функция вида
где-
многочлены степеней
n
и
m
называется рациональной. Целая
рациональная функция, т.е. многочлен,
интегрируется непосредственно. Интеграл
от дробно-рациональной функции можно
найти путем разложения на слагаемые,
которые стандартным образом преобразуются
к основным табличным интегралам.
Определение 2.
Дробь
называется
правильной, если степень числителя
n
меньше степени знаменателя
m
.
Дробь, у которой степень числителя
больше или равна степени знаменателя,
называется неправильной.
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления многочлена на многочлен «столбиком», подобно делению чисел.
Пример.
Представим дробь
в виде суммы многочлена и правильной
дроби:
x
- 1
3
3
3
Первое слагаемое
в частном получается как результат
деления старшего члена
,
делимого на старший членх
делителя. Затем умножаем
на делительх-1
и полученный результат вычитаем из
делимого; аналогично находятся остальные
слагаемые неполного частного.
Выполнив деление многочленов, получим:
Это действие называется выделением целой части.
Определение 3. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:
I.
II.
(K=2,
3, …).
III.
где квадратный трехчлен
IV.
где К=2, 3, …; квадратный трехчлен
не имеет действительных корней.
а) разложить
знаменатель
на простейшие действительные множители
(согласно основной теореме алгебры это
разложение может содержать линейные
двучлены вида
и квадратные трехчлены
,
не имеющие корней);
б) написать схему
разложения данной дроби на сумму
простейших дробей. При этом каждому
сомножителю вида
соответствуетk
слагаемых видов I
и II:
каждому сомножителю
вида
соответствует
е слагаемых видовIII
и IV:
Пример.
Записать схему
разложения дроби
в сумму простейших.
в) выполнить сложение полученных простейших дробей. Записать равенство числителей полученной и исходной дробей;
г) найти коэффициенты
соответствующего разложения:
(методы решения будут рассмотрены
ниже);
д) найденные значения коэффициентов подставить в схему разложения.
Интегрирование всякой правильной рациональной дроби после разложения на простейшие слагаемые сводится к нахождению интегралов одного из типов:
(k и e =2, 3, …).
Вычисление
интеграла
сводится к формулеIII:
интеграла
- к формулеII:
интеграл
можно найти по правилу, указанному в
теории интегрирования функций, содержащих
квадратный трехчлен;
- путем преобразований, показанных
ниже в примере 4.
Пример 1.
а) разложим знаменатель на множители:
б) напишем схему разложения подынтегральной функции на слагаемые:
в) выполним сложение простейших дробей:
Запишем равенство числителей дробей:
г) для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C существуют два метода.
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х , поэтому можно составить соответствующую систему уравнений. В этом заключается один из методов решения.
Коэффициенты
при
свободные члены
(коэф. при
):4А=8.
Решив систему, получим А=2 , В=1 , С= - 10 .
Другой метод - частных значений будет рассмотрен в следующем примере;
д) подставим найденные значения в схему разложения:
Подставляя под знак интеграла полученную сумму, и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем:
Пример 2.
Тождество есть равенство, справедливое при любых значениях входящих в него неизвестных. На этом основан метод частных значений. Можно придавать х любые значения. Удобнее для вычислений брать те значения, которые обращают в нуль какие-либо слагаемые в правой части равенства.
Пусть х = 0 . Тогда 1 = А 0(0+2)+В 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).
Аналогично при х = - 2 имеем 1= - 2В*(-3 ), при х = 1 имеем 1 = 3А .
Следовательно,
Пример 3.
г) сначала воспользуемся методом частных значений.
Пусть х = 0 , тогда 1 = А 1, А = 1 .
При х = - 1 имеем - 1+4+2+1 = - В(1+1+1) или 6 = - 3В , В = - 2 .
Для нахождения
коэффициентов С и D
нужно составить еще два уравнения. Для
этого можно взять любые другие значения
х
,
например х
= 1
и х
= 2
. Можно
воспользоваться первым методом, т.е.
приравнять коэффициенты при каких-либо
одинаковых степенях х
,
например при
и
.
Получим
1 = А+В+С и 4 = С + D – В.
Зная А = 1 , В = -2 , найдем С = 2 , D = 0 .
Таким образом, при вычислении коэффициентов можно сочетать оба метода.
Последний интеграл
находим отдельно по правилу, указанному
в методе веления новой переменной.
Выделим полный квадрат в знаменателе:
положим,
тогда
Получим:
=
Подставляя в предыдущее равенство, найдем
Пример 4.
Найти
б)
д)
Интегрируя, имеем:
Первый интеграл преобразуем к формуле III:
Второй интеграл преобразуем к формуле II:
В третьем интеграле
заменим переменную:
(При выполнении
преобразований воспользовались формулой
тригонометрии
Найти интегралы:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Вопросы для самопроверки.
Какие из данных рациональных дробей являются правильными:
2. Верно ли записана схема разложения дроби на сумму простейших дробей?
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/192/html_mN7vCff6Tr.ib8D/img-Qy04rS.png)
Контрольную работу на интегрирование функций, в том числе и рациональных дробей задают студентам 1, 2 курсов. Примеры интегралов в основном будут интересны для математиков, экономистов, статистов. Данные примеры задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Условия следующих примеров "Найти интеграл" или "Вычислить интеграл", поэтому для экономии места и Вашего времени их не выписывали.
Пример 15. Мы пришли к интегрированию дробно-рациональных функций . Они занимают особое место среди интегралов, поскольку требуют много времени на вычисление и помогают преподавателям проверить Ваши знания не только по интегрированию. Для упрощения функции под интегралом добавим и вычтем в числителе выражение, которое позволит разбить функцию под интегралом на две простые
В результате один интеграл находим довольно быстро, во втором нужно дробь разложить на суму элементарных дробей
При сведении к общему знаменателю получим такие числительные
Далее раскрываем скобки и группируем
Приравниваем значение при одинаковых степенях "икс" справа и слева. В результате придем к системе трех линейных уравнений (СЛАУ) с тремя неизвестными.
Как решать системы уравнений описано в других статьях сайта. В конечном варианте Вы получите следующее решения СЛАУ
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Подставляем постоянные в разложение дроби на простейшие и выполняем интегрирование
На этом пример решен.
Пример 16.
Опять нужно найти интеграл от дробно-рациональной функции. Для начала кубическое уравнение, которое содержится в знаменателе дроби разложим на простые множители
Далее выполняем разложение дроби на простейшие
Сводим правую сторону к общему знаменателю и раскрываем скобки в числителе.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Снова придем к СЛАУ с тремя неизвестными
Подставляем значения А,В,С
в разложение и вычисляем интеграл
Первые два слагаемых дают логарифм, последний тоже легко найти.
Пример 17.
В знаменателе дробно-рациональной функции имеем разницу кубов. Ее по формулам сокращенного умножения раскладываем на два простых множителя
Далее полученную дробную функцию расписываем на сумму простых дробей и сводим их под общий знаменатель
В числителе получим следующее выражение.
Из него формируем систему линейных уравнений для вычисления 3 неизвестных
A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Подставляем А, В, С
в формулу и выполняем интегрирование. В результате придем к такому ответу
Здесь числитель второго интеграла превращали в логарифм, при этом остаток под интегралом дает арктангенс.
Подобных примеров на интегрирование рациональных дробей в интернете очень много. Похожие примеры Вы можете найти из приведенных ниже материалов.