غلو قياسي. القطع الزائد ومعادلته الأساسية

التعريف 7.2.يُطلق على موضع النقاط في المستوى الذي يكون الفرق بين المسافات إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا مقارنة مبالغ فيها.

ملاحظة 7.2.عند الحديث عن الاختلاف في المسافات ، فإنها تعني أنه يتم طرح مسافة أصغر من مسافة أكبر. هذا يعني أنه في الواقع ، بالنسبة للقطع الزائد ، يكون معامل الفرق في المسافات من أي نقطة من نقطته إلى نقطتين ثابتتين ثابتًا. #

تعريف القطع الزائد مشابه للتعريف الشكل البيضاوي. الفرق بينهما هو أنه بالنسبة للقطع الزائد ، يكون اختلاف المسافات إلى النقاط الثابتة ثابتًا ، وبالنسبة للقطع الناقص - مجموع المسافات نفسها. لذلك ، من الطبيعي أن تشترك هذه المنحنيات كثيرًا في الخصائص والمصطلحات المستخدمة.

تسمى النقاط الثابتة في تعريف القطع الزائد (نشير إليها بواسطة F 1 و F 2) بؤر الغلو. المسافة بينهما (نشير إليها بمقدار 2 ثانية) تسمى البعد البؤري، والقطاعات F 1 M و F 2 M ، التي تربط نقطة تعسفية M على القطع الزائد ببؤرها ، - نصف القطر البؤري.

يتم تحديد شكل القطع الزائد تمامًا بواسطة الطول البؤري | F 1 F 2 | = 2с وقيمة القيمة الثابتة 2A ، تساوي فرق نصف القطر البؤري ، وموقعها على المستوى - موضع البؤرتين F 1 و F 2.

من تعريف القطع الزائد ، يترتب على ذلك ، مثل القطع الناقص ، أنه متماثل حول خط مستقيم يمر عبر البؤر ، وكذلك حول خط مستقيم يقسم المقطع F 1 F 2 إلى النصف ويكون عموديًا عليه ( الشكل 7.7). يسمى أول محاور التناظر هذه المحور الحقيقي للقطع الزائدوالثاني - هي المحور الخيالي. يسمى الثابت a المتضمن في تعريف القطع الزائد النصف المحوري الحقيقي للقطع الزائد.

يقع منتصف المقطع F 1 F 2 الذي يربط بين بؤر القطع الزائد عند تقاطع محاور التناظر ، وبالتالي فهو مركز تناظر القطع الزائد ، وهو ما يسمى ببساطة مركز القطع الزائد.

بالنسبة للقطع الزائد ، يجب ألا يكون المحور الحقيقي 2 أ أكبر من المسافة البؤرية 2 ج ، لأنه بالنسبة للمثلث F 1 MF 2 (انظر الشكل 7.7) المتباينة || F 1 M | - | F 2 م | | ≤ | F 1 F 2 |. تنطبق المساواة أ = ج فقط على تلك النقاط M التي تقع على المحور الحقيقي لتناظر القطع الزائد خارج الفاصل الزمني F 1 F 2. وبغض النظر عن هذه الحالة المتدهورة ، نفترض أيضًا أن أ

معادلة القطع الزائد. دعونا نفكر في بعض القطع الزائد على المستوى مع بؤر عند النقطتين F 1 و F 2 والمحور الحقيقي 2 أ. لنفترض أن 2c هي الطول البؤري ، 2c = | F 1 F 2 | > 2 أ. وفقًا للملاحظة 7.2 ، يتكون القطع الزائد من تلك النقاط M (x ؛ y) التي | | F 1 م | - - | F 2 م | | = 2 أ. دعنا نختار نظام إحداثيات مستطيل Oxy بحيث يكون مركز القطع الزائد عند أصل، وتقع البؤر على الإحداثي السيني(الشكل 7.8). يسمى نظام الإحداثيات هذا للقطع الزائد المدروس العنوان الأساسيوالمتغيرات المقابلة - العنوان الأساسي.

في نظام الإحداثيات المتعارف عليه ، تحتوي بؤر القطع الزائد إحداثيات F 1 (ج ؛ 0) و F 2 (-c ؛ 0). باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين ، نكتب الشرط || F 1 M | - | F 2 M || = 2 أ في الإحداثيات | √ ((س - ج) 2 + ص 2) - ((س + ج) 2 + ص 2) | \ u003d 2a ، حيث (x ؛ y) هي إحداثيات النقطة M. لتبسيط هذه المعادلة ، نتخلص من علامة المقياس: √ ((x - c) 2 + y 2) - √ ((x + c) ) 2 + y 2) \ u003d ± 2a ، انقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن وقم بتربيعه: (x - c) 2 + y 2 \ u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a √ ((x + ج) 2 + ص 2) + 4 أ 2. بعد التبسيط ، نحصل على -εx - a \ u003d ± √ ((x + c) 2 + y 2) ، أو

√ ((س + ج) 2 + ص 2) = | εx + أ | (7.7)

حيث ε = ج / أ. نحن نربّع مرة ثانية ونحضر مرة أخرى مصطلحات مماثلة: (ε 2-1) x 2 - y 2 \ u003d c 2 - a 2 ، أو ، بالنظر إلى المساواة ε \ u003d c / a والإعداد b 2 \ u003d c 2 - أ 2

× 2 / أ 2 - ص 2 / ب 2 \ u003d 1 (7.8)

يتم استدعاء القيمة b> 0 شبه محوري وهمي للقطع الزائد.

لذلك ، فقد أثبتنا أن أي نقطة على القطع الزائد مع البؤرتين F 1 (ج ؛ 0) و F 2 (-c ؛ 0) وشبه محور حقيقي يرضي المعادلة (7.8). ولكن يجب علينا أيضًا توضيح أن إحداثيات النقاط خارج القطع الزائد لا تحقق هذه المعادلة. للقيام بذلك ، فإننا نعتبر عائلة جميع القطوع الزائدة ذات البؤرتين المعطاة F 1 و F 2. هذه العائلة من القطوع الزائدة لها محاور تناظر مشتركة. يتضح من الاعتبارات الهندسية أن كل نقطة من المستوى (باستثناء النقاط الواقعة على المحور الحقيقي للتماثل خارج الفاصل الزمني F1F2 والنقاط الواقعة على المحور التخيلي للتماثل) تنتمي إلى بعض القطع الزائد من العائلة ، وواحد فقط ، لأن الاختلاف في المسافات من النقطة إلى البؤرتين F 1 و F 2 يتغير من غلو إلى غلو. دع إحداثيات النقطة M (x ؛ y) تحقق المعادلة (7.8) ، واجعل النقطة نفسها تنتمي إلى القطع الزائد للعائلة مع بعض القيمة ã من نصف المحور الحقيقي. ثم ، كما أوضحنا ، فإن إحداثياته ​​تحقق المعادلة لذلك ، نظام من معادلتين مع مجهولين

لديه حل واحد على الأقل. من خلال التحقق المباشر ، نتأكد من أن هذا أمر مستحيل. في الواقع ، حذف ، على سبيل المثال ، x من المعادلة الأولى:

بعد التحولات نحصل على المعادلة

التي ، بالنسبة لـ ã ≠ a ، ليس لها حلول ، منذ ذلك الحين. لذلك ، (7.8) هي معادلة القطع الزائد مع نصف محور حقيقي أ> 0 ونصف محور تخيلي ب = (с 2 - أ 2)> 0. يطلق عليها المعادلة الأساسية للقطع الزائد.

نوع القطع الزائد.في شكله ، القطع الزائد (7.8) يختلف بشكل ملحوظ عن القطع الناقص. مع الأخذ في الاعتبار وجود محوري تناظر القطع الزائد ، يكفي بناء ذلك الجزء منه الموجود في الربع الأول من نظام الإحداثيات المتعارف عليه. في الربع الأول أي بالنسبة إلى x ≥ 0 ، y ≥ 0 ، يتم حل المعادلة الأساسية للقطع الزائد بشكل فريد فيما يتعلق بـ y:

ص \ u003d ب / أ √ (× 2 - أ 2). (7.9)

تعطي دراسة هذه الوظيفة y (x) النتائج التالية.

مجال الوظيفة هو (x: x ≥ a) وفي هذا المجال تكون متصلة كدالة معقدة ، وعند النقطة x = a تكون متصلة على اليمين. الصفر الوحيد للدالة هو النقطة س = أ.

لنجد مشتق الدالة y (x): y "(x) \ u003d bx / a √ (x 2 - a 2). ومن هذا نستنتج أنه بالنسبة إلى x> a ، تتزايد الدالة بشكل رتيب. بالإضافة إلى ذلك ، ، مما يعني أنه عند النقطة x = a من تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور x يوجد ظل عمودي. الدالة y (x) لها مشتق ثانٍ y "= -ab (x 2 - a 2) -3/2 لـ x> a ، وهذه المشتقة سالبة. لذلك ، فإن التمثيل البياني للدالة محدب لأعلى ، وهناك لا توجد نقاط انعطاف.

الوظيفة المحددة لها خط مقارب مائلوهذا ناتج عن وجود حدين:

يتم وصف الخط المقارب المائل بالمعادلة y = (b / a) x.

تسمح لنا دراسة الوظيفة (7.9) ببناء الرسم البياني الخاص بها (الشكل 7.9) ، والذي يتزامن مع جزء القطع الزائد (7.8) الموجود في الربع الأول.

نظرًا لأن القطع الزائد متماثل حول محاوره ، فإن المنحنى بأكمله له الشكل الموضح في الشكل. 7.10. يتكون القطع الزائد من فرعين متماثلين يقعان في مكان مختلف

جانب من محور التناظر التخيلي. هذه الفروع ليست محدودة من كلا الجانبين ، والخطوط y = ± (b / a) x هي في نفس الوقت خطوط مقاربة لكل من الفرعين الأيمن والأيسر للقطع الزائد.

تختلف محاور تناظر القطع الزائد من حيث أن المحاور الحقيقية تتقاطع مع القطع الزائد ، ولا يتقاطع المحور الخيالي ، كونه موقع النقاط على مسافة متساوية من البؤر (وهذا هو سبب تسميته بالخيال). تسمى نقطتا تقاطع المحور الحقيقي للتناظر مع القطع الزائد برؤوس القطع الزائد (النقطتان A (أ ؛ 0) و B (-a ؛ 0) في الشكل 7.10).

يجب أن يبدأ إنشاء القطع الزائد على طول محوره الحقيقي (2 أ) والخيالي (2 ب) بمستطيل متمركز في الأصل والجانبين 2 أ و 2 ب بالتوازي ، على التوالي ، مع المحاور الحقيقية والخيالية لتناظر القطع الزائد (الشكل 7.11) ). الخطوط المقاربة للقطع الزائد هي استمرار لأقطار هذا المستطيل ، ورؤوس القطع الزائد هي نقاط تقاطع جانبي المستطيل مع محور التناظر الحقيقي. لاحظ أن المستطيل وموضعه على المستوى يحددان بشكل فريد شكل وموضع القطع الزائد. تحدد النسبة ب / أ من جوانب المستطيل درجة انضغاط القطع الزائد ، ولكن بدلاً من هذه المعلمة ، عادةً ما يتم استخدام الانحراف المركزي للقطع الزائد. الانحراف اللامركزي للقطع الزائديسمى نسبة الطول البؤري إلى المحور الحقيقي. يتم الإشارة إلى الانحراف عن طريق ε. للقطع الزائد الموصوف في المعادلة (7.8) ، ε = c / a. لاحظ أنه إذا كان غريب الأطوار القطع الناقصيمكن أن تأخذ القيم من نصف فترة)