تحديد النواقل التي تعتمد خطيًا أم لا. الاعتماد الخطي لنظام النواقل. ناقلات خطية

في هذه المقالة سوف نغطي:

• ما هي النواقل الخطية ؛
• ما هي شروط النواقل الخطية ؛
• ما هي خصائص النواقل الخطية ؛
• ما هو الاعتماد الخطي للناقلات الخطية.

Yandex.RTB R-A-339285-1 التعريف 1

المتجهات الخطية هي نواقل موازية لنفس الخط أو تقع على نفس الخط.

مثال 1

شروط النواقل الخطية

يوجد متجهان على علاقة خطية واحدة إذا تحققت أي من الشروط التالية:

• الشرط 1 . المتجهان a و b متصلان إذا كان هناك رقم λ بحيث يكون a = λ b ؛
• الشرط 2 . المتجهان a و b على علاقة خطية مع نسبة متساوية من الإحداثيات:

أ = (أ 1 ؛ أ 2) ، ب = (ب 1 ؛ ب 2) ⇒ أ ∥ ب ⇔ أ 1 ب 1 = أ 2 ب 2

• الشرط 3 . المتجهان a و b على علاقة خطية شريطة أن يكون المنتج المتجه والمتجه الصفري متساويين:

أ ∥ ب ⇔ أ ، ب = 0

ملاحظة 1

الشرط 2 لا ينطبق إذا كان أحد إحداثيات المتجه صفرًا.

ملاحظة 2

الشرط 3 تنطبق فقط على تلك النواقل المعطاة في الفضاء.

أمثلة على مشاكل دراسة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات

مثال 1

نفحص المتجهات a \ u003d (1 ؛ 3) و b \ u003d (2 ؛ 1) من أجل العلاقة الخطية المتداخلة.

كيف تقرر؟

في هذه الحالة ، من الضروري استخدام الشرط الثاني من العلاقة الخطية المتداخلة. بالنسبة إلى نواقل معينة ، يبدو الأمر كما يلي:

المساواة خاطئة. من هذا يمكننا أن نستنتج أن المتجهين a و b غير متصلين.

إجابة : أ | | ب

مثال 2

ما هي القيمة m للمتجه a = (1 ؛ 2) و b = (- 1 ؛ m) اللازمة لتكون المتجهات على خط مستقيم؟

كيف تقرر؟

باستخدام الشرط الخطي الثاني ، ستكون المتجهات على خط واحد إذا كانت إحداثياتها متناسبة:

هذا يدل على أن م = - 2.

إجابة: م = - 2.

معايير الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لأنظمة النواقل

نظرية

لا يعتمد نظام المتجهات في فضاء ناقل خطيًا إلا إذا كان من الممكن التعبير عن أحد نواقل النظام من حيث بقية نواقل النظام.

دليل

دع النظام e 1 ، e 2 ،. . . ، e n يعتمد خطيًا. دعونا نكتب التركيبة الخطية لهذا النظام والتي تساوي المتجه الصفري:

أ 1 هـ 1 + أ 2 هـ 2 +. . . + a n e n = 0

حيث واحد على الأقل من معاملات المجموعة لا يساوي الصفر.

لنفترض أن k ≠ 0 k ∈ 1، 2،. . . ، ن .

نقسم جانبي المساواة بمعامل غير صفري:

أ ك - 1 (أ ك - 1 أ 1) ه 1 + (أ ك - 1 أ ك) ه ك +. . . + (أ ك - 1 أ ن) ه ن = 0

دل:

أ ك - ١ أ م ، حيث م ∈ ١ ، ٢ ،. . . ، ك - 1 ، ك + 1 ، ن

في هذه الحالة:

β 1 هـ 1 +. . . + β ل - 1 ه ك - 1 + β ك + 1 ه ك + 1 +. . . + βn e n = 0

أو e k = (- β 1) e 1 +. . . + (- β ك - 1) ه ك - 1 + (- β ك + 1) ه ك + 1 +. . . + (- β ن) ه ن

ويترتب على ذلك أن أحد نواقل النظام يتم التعبير عنه من حيث جميع النواقل الأخرى للنظام. وهو المطلوب لإثباته (pt.d.).

قدرة

دع أحد المتجهات يتم التعبير عنه خطيًا من حيث جميع النواقل الأخرى للنظام:

ه ك = γ 1 ه 1 +. . . + γ ل - 1 ه ك - 1 + γ ك + 1 ه ك + 1 +. . . + γ ن ه ن

ننقل المتجه e k إلى الجانب الأيمن من هذه المساواة:

0 = γ 1 ه 1 +. . . + γ ك - 1 ه ك - 1 - ه ك + γ ك + 1 ه ك + 1 +. . . + γ ن ه ن

نظرًا لأن معامل المتجه e k يساوي - 1 0 ، نحصل على تمثيل غير تافه للصفر بواسطة نظام المتجهات e 1 ، e 2 ،. . . ، e n ، وهذا بدوره يعني أن نظام النواقل المعطى يعتمد خطيًا. وهو المطلوب لإثباته (pt.d.).

عاقبة:

• يكون نظام المتجهات مستقلاً خطيًا عندما لا يمكن التعبير عن أي من نواقله من حيث جميع النواقل الأخرى للنظام.
• نظام المتجه الذي يحتوي على متجه فارغ أو متجهين متساويين يعتمد خطيًا.

خصائص النواقل المعتمدة خطيا

1. بالنسبة للناقلات ثنائية وثلاثية الأبعاد ، يتم استيفاء الشرط: متجهان معتمدين خطيًا متصلين. متجهان خطيان يعتمدان خطيًا.
2. بالنسبة للناقلات ثلاثية الأبعاد ، يتم استيفاء الشرط: ثلاثة نواقل مرتبطة خطيًا متحد المستوى. (3 متجهات مستوية - تعتمد خطيًا).
3. بالنسبة للناقلات ذات الأبعاد n ، يتم استيفاء الشرط: متجهات n + 1 دائمًا ما تكون مرتبطة خطيًا.

أمثلة على حل مشكلات الاعتماد الخطي أو الاستقلال الخطي للناقلات

مثال 3

دعنا نتحقق من المتجهات أ = 3 ، 4 ، 5 ، ب = - 3 ، 0 ، 5 ، ج = 4 ، 4 ، 4 ، د = 3 ، 4 ، 0 من أجل الاستقلال الخطي.

حل. المتجهات تعتمد خطيًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 4

دعنا نتحقق من المتجهات أ = 1 ، 1 ، 1 ، ب = 1 ، 2 ، 0 ، ج = 0 ، - 1 ، 1 من أجل الاستقلال الخطي.

حل. نجد قيم المعامِلات التي عندها تساوي التركيبة الخطية المتجه الصفري:

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ص 1 = 0

نكتب معادلة المتجه على شكل معادلة خطية:

س 1 + س 2 = 0 س 1 + 2 س 2 - س 3 = 0 س 1 + س 3 = 0

نقوم بحل هذا النظام باستخدام طريقة Gauss:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

من السطر الثاني نطرح الأول من الثالث إلى الأول:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

اطرح الثاني من السطر الأول ، أضف الثاني إلى الثالث:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

يستنتج من الحل أن النظام لديه العديد من الحلول. هذا يعني أن هناك مجموعة غير صفرية لقيم هذه الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 والتي يكون فيها الجمع الخطي أ ، ب ، ج يساوي متجهًا صفريًا. ومن ثم فإن المتجهات أ ، ب ، ج هي تعتمد خطيا.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

يسمى نظام النواقل تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه الأرقام ، من بينها واحد على الأقل يختلف عن الصفر ، أن المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif "width =" 57 "height =" 24 src = ">.

إذا كانت هذه المساواة صحيحة فقط إذا كانت جميعها ، فسيتم استدعاء نظام النواقل مستقل خطيا.

نظرية.نظام النواقل سوف تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد نواقلها على الأقل عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

مثال 1متعدد الحدود عبارة عن مجموعة خطية من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif "width =" 88 height = 24 "height =" 24 ">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلًا خطيًا ، نظرًا لأن https متعدد الحدود: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif "width =" 129 "height =" 24 ">.

مثال 2نظام المصفوفة ، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 "height =" 48 src = "> مستقل خطيًا ، نظرًا لأن المجموعة الخطية تساوي مصفوفة صفرية فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif "width =" 69 "height =" 21 "> ، https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif "width =" 40 "height =" 21 "> تابع خطيًا.

حل.

قم بتكوين مجموعة خطية من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "width =" 97 "height =" 24 "> = 0..gif" width = "360" height = "22">.

معادلة الإحداثيات التي تحمل نفس الاسم للمتجهات المتساوية ، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif "width =" 289 "height =" 69 ">

أخيرا نحصل

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد ، لذا فإن التركيبة الخطية لهذه المتجهات تكون صفرًا فقط إذا كانت جميع المعاملات صفرًا. لذلك ، فإن نظام النواقل هذا مستقل خطيًا.

مثال 4النواقل مستقلة خطيًا. ماذا ستكون أنظمة النواقل

أ).;

ب).?

حل.

أ).قم بتكوين مجموعة خطية ومساواتها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في مساحة خطية ، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا ، يجب أن تكون معاملات من أجل مساوية للصفر ، أي .. gif "width =" 12 "height =" 23 src = ">

نظام المعادلات الناتج له حل تافه فريد .

منذ المساواة (*) تم تنفيذه فقط على https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif "width =" 115 height = 20 "height =" 20 "> - مستقل خطيًا ؛

ب).قم بتكوين المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif "width =" 265 "height =" 24 src = "> (**)

بتطبيق نفس المنطق ، نحصل عليه

نحصل على حل نظام المعادلات بطريقة جاوس

أو

يحتوي النظام الأخير على عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = ">. وبالتالي ، هناك غير- صفر مجموعة من المعاملات التي من أجلها المساواة (**) . لذلك ، نظام النواقل يعتمد خطيًا.

مثال 5نظام المتجه مستقل خطيًا ، ونظام المتجه يعتمد خطيًا .. gif "width =" 80 "height =" 24 ">. gif" width = "149 height = 24" height = "24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دل .

يحصل

مهام الحل المستقل (في الفصل الدراسي)

1. النظام الذي يحتوي على متجه صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا ، أ = 0.

3. يعتمد النظام الذي يتكون من متجهين خطيًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي ، يتم الحصول على أحدهما من الآخر بضربه في رقم).

4. إذا تمت إضافة ناقل إلى نظام تابع خطيًا ، فسيتم الحصول على نظام يعتمد خطيًا.

5. إذا تمت إزالة ناقل من نظام مستقل خطيًا ، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلاً خطيًا.

6. إذا كان النظام سمستقل خطيًا ، لكنه يصبح معتمدًا خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بمعبرًا عنها خطيًا من حيث متجهات النظام س.

ج).نظام المصفوفات ، في فضاء مصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام النواقل أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيًا. إثبات الاستقلال الخطي للأنظمة التالية من النواقل:

أ).أ +ب ، ب ، ج.

ب).أ +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> -عدد التعسفي

ج).أ +ب ، أ + ج ، ب + ج.

11. يترك أ،ب،جهي ثلاثة متجهات في المستوى يمكن استخدامها لتشكيل مثلث. هل ستعتمد هذه النواقل خطيًا؟

12. نظرا اثنين من النواقل أ 1 = (1 ، 2 ، 3 ، 4) ،a2 = (0 ، 0 ، 0 ، 1). التقط اثنين من ناقلات 4D أخرى a3 وa4بحيث النظام a1 ،a2 ،a3 ،a4كانت مستقلة خطيًا .

مهمة 1.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلًا خطيًا. سيتم تحديد نظام المتجهات بواسطة مصفوفة النظام ، والتي تتكون أعمدةها من إحداثيات المتجهات.

.

حل.دع المجموعة الخطية يساوي صفر. بعد كتابة هذه المساواة في الإحداثيات ، نحصل على نظام المعادلات التالي:

.

يسمى نظام المعادلات هذا بالمثلث. لديها الحل الوحيد. . ومن هنا جاءت النواقل مستقلة خطيًا.

المهمة 2.اكتشف ما إذا كان نظام المتجهات مستقلًا خطيًا.

.

حل.ثلاثة أبعاد مستقلة خطيًا (انظر المشكلة 1). دعنا نثبت أن المتجه هو مجموعة خطية من المتجهات . معاملات تمدد المتجه يتم تحديدها من نظام المعادلات

.

هذا النظام ، مثله مثل المثلث ، له حل فريد.

لذلك ، نظام النواقل تعتمد خطيا.

تعليق. يتم استدعاء المصفوفات كما في المشكلة 1 الثلاثي ، وفي المشكلة 2 - صعدت الثلاثي . يمكن حل مسألة الاعتماد الخطي لنظام المتجهات بسهولة إذا كانت المصفوفة المكونة من إحداثيات هذه المتجهات ثلاثية التدريجي. إذا لم يكن للمصفوفة شكل خاص ، فاستخدم تحويلات السلسلة الأولية مع الحفاظ على العلاقات الخطية بين الأعمدة ، يمكن اختزالها إلى شكل مثلث متدرج.

تحويلات السلسلة الأوليةتسمى المصفوفات (EPS) العمليات التالية على المصفوفة:

1) تبديل الخطوط ؛

2) ضرب سلسلة بعدد غير صفري ؛

3) إضافة سلسلة أخرى ، مضروبة في رقم عشوائي.

المهمة 3.أوجد الحد الأقصى للنظام الفرعي المستقل خطيًا واحسب رتبة نظام المتجهات

.

حل.دعنا نخفض مصفوفة النظام بمساعدة EPS إلى شكل مثلث متدرج. لشرح الإجراء ، سيتم الإشارة إلى السطر الذي يحتوي على رقم المصفوفة المراد تحويلها بواسطة الرمز. يُظهر العمود بعد السهم الإجراءات التي يجب تنفيذها على صفوف المصفوفة المحولة للحصول على صفوف المصفوفة الجديدة.

.

من الواضح أن أول عمودين من المصفوفة الناتجة مستقلين خطيًا ، والعمود الثالث هو تركيبة خطية ، والرابع لا يعتمد على الأولين. ثلاثة أبعاد تسمى الأساسية. إنها تشكل أقصى نظام فرعي مستقل خطيًا للنظام ، ورتبة النظام ثلاثة.

الأساس والإحداثيات

المهمة 4.أوجد أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة المتجهات الهندسية التي تتوافق إحداثياتها مع الشرط .

حل. المجموعة عبارة عن طائرة تمر عبر الأصل. يتكون الأساس التعسفي على المستوى من متجهين غير متصلين. يتم تحديد إحداثيات المتجهات في الأساس المحدد عن طريق حل نظام المعادلات الخطية المقابل.

هناك طريقة أخرى لحل هذه المشكلة ، عندما يمكنك إيجاد الأساس بالإحداثيات.

إحداثيات المسافات ليست إحداثيات على المستوى ، لأنها مرتبطة بالعلاقة ، أي أنهم ليسوا مستقلين. المتغيرات المستقلة و (يطلق عليها مجانية) تحدد بشكل فريد المتجه على المستوى ، وبالتالي ، يمكن اختيارها كإحداثيات في. ثم الأساس يتكون من نواقل تقع في وتتوافق مع مجموعات من المتغيرات الحرة و ، إنه .

المهمة 5.ابحث عن أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة جميع المتجهات في الفضاء ، والتي تتساوى إحداثياتها الفردية مع بعضها البعض.

حل. نختار ، كما في المشكلة السابقة ، الإحداثيات في الفضاء.

لأن ، ثم المتغيرات الحرة تحديد متجه بشكل فريد من ، وبالتالي ، فهي إحداثيات. الأساس المقابل يتكون من نواقل.

المهمة 6.ابحث عن أساس وإحداثيات المتجهات في هذا الأساس على مجموعة جميع مصفوفات النموذج ، أين هي أرقام عشوائية.

حل. يمكن تمثيل كل مصفوفة بشكل فريد على النحو التالي:

هذه العلاقة هي توسيع المتجه من حيث الأساس
مع الإحداثيات .

المهمة 7.أوجد أبعاد وأساس الامتداد الخطي لنظام المتجهات

.

حل.باستخدام EPS ، نقوم بتحويل المصفوفة من إحداثيات متجهات النظام إلى شكل مثلث متدرج.

.

الأعمدة من المصفوفة الأخيرة مستقلة خطيًا ، والأعمدة يتم التعبير عنها خطيًا من خلالها. ومن هنا جاءت النواقل تشكل الأساس ، و .

تعليق. أساس في تم اختياره بشكل غامض. على سبيل المثال ، النواقل تشكل أيضا الأساس .

تعريف. مزيج خطي من النواقلأ 1 ، ... ، ن مع معاملات س 1 ، ... ، س ن يسمى متجه

x 1 a 1 + ... + x n a n.

تافه، إذا كانت جميع المعاملات x 1 ، ... ، x n تساوي صفرًا.

تعريف. المجموعة الخطية x 1 a 1 + ... + x n a n تسمى غير تافه، إذا كان أحد المعاملات على الأقل x 1 ، ... ، x n لا يساوي صفرًا.

مستقل خطيا، إذا لم يكن هناك تركيبة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

أي أن المتجهات a 1 ، ... ، a n تكون مستقلة خطيًا إذا كانت x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 إذا وفقط إذا كانت x 1 = 0 ، ... ، x n = 0.

تعريف. يتم استدعاء المتجهات أ 1 ، ... ، أ ن تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري.

خصائص النواقل المعتمدة خطيا:

لمتجهات 2 و 3 الأبعاد.

نواقل خطية تعتمد على خط واحد. (النواقل الخطية تعتمد خطيًا).

للناقلات ثلاثية الأبعاد.

ثلاثة نواقل خطية هي متحد المستوى. (النواقل الثلاثة المستوية تعتمد خطيًا.)

• بالنسبة إلى نواقل الأبعاد.

  نواقل n + 1 دائما تعتمد خطيا.

أمثلة على مهام الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات:

مثال 1. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (3 ؛ 4 ؛ 5) ، ب = (-3 ؛ 0 ؛ 5) ، ج = (4 ؛ 4 ؛ 4) ، د = (3 ؛ 4 ؛ 0) مستقلة خطيًا .

حل:

ستكون المتجهات معتمدة خطيًا ، نظرًا لأن أبعاد المتجهات أقل من عدد المتجهات.

مثال 2. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (1 ؛ 1 ؛ 1) ، ب = (1 ؛ 2 ؛ 0) ، ج = (0 ؛ -1 ؛ 1) مستقلة خطيًا.

حل:

	س 1 + س 2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	س 1 + س 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

اطرح الثاني من السطر الأول ؛ أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

يوضح هذا الحل أن النظام يحتوي على العديد من الحلول ، أي أن هناك مجموعة غير صفرية من قيم الأرقام × 1 ، × 2 ، × 3 بحيث تكون التركيبة الخطية للمتجهات أ ، ب ، ج متساوية إلى المتجه الصفري ، على سبيل المثال:

أ + ب + ج = 0

مما يعني أن المتجهات أ ، ب ، ج تعتمد خطيًا.

إجابة:المتجهات أ ، ب ، ج تعتمد خطيا.

مثال 3. تحقق مما إذا كانت المتجهات أ = (1 ؛ 1 ؛ 1) ، ب = (1 ؛ 2 ؛ 0) ، ج = (0 ؛ -1 ؛ 2) مستقلة خطيًا.

حل:لنجد قيم المعاملات التي عندها سيكون الجمع الخطي لهذه المتجهات مساويًا للمتجه الصفري.

س 1 أ + س 2 ب + س 3 ص 1 = 0

يمكن كتابة معادلة المتجه هذه كنظام معادلات خطية

	س 1 + س 2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

نقوم بحل هذا النظام باستخدام طريقة Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

اطرح الأول من السطر الثاني ؛ اطرح الأول من الصف الثالث:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

اطرح الثاني من السطر الأول ؛ أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث.

قدمه لنا العمليات الخطية على النواقلتجعل من الممكن إنشاء تعبيرات مختلفة لـ كميات ناقلاتوتحويلها باستخدام الخصائص المحددة لهذه العمليات.

استنادًا إلى مجموعة معينة من المتجهات a 1 و ... و n ، يمكنك تكوين تعبير عن النموذج

حيث 1 و ... و n هي أرقام حقيقية عشوائية. هذا التعبير يسمى مزيج خطي من النواقلأ 1 ، ... ، أ ن. الأرقام α i ، i = 1 ، n ، هي معاملات التركيبة الخطية. تسمى مجموعة النواقل أيضًا نظام ناقلات.

فيما يتعلق بالمفهوم المقدم للمزيج الخطي من المتجهات ، تنشأ مشكلة وصف مجموعة المتجهات التي يمكن كتابتها كمجموعة خطية لنظام معين من المتجهات أ 1 ، ... ، أ ن. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الأسئلة حول الشروط التي بموجبها يوجد تمثيل للمتجه في شكل تركيبة خطية ، وحول تفرد مثل هذا التمثيل ، هي أسئلة طبيعية.

التعريف 2.1.يتم استدعاء المتجهات a 1 و ... و n تعتمد خطيا، إذا كان هناك مثل هذه المجموعة من المعاملات α 1 ، ... ، α n ذلك

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

وواحد على الأقل من هذه المعاملات يساوي صفرًا. إذا كانت مجموعة المعاملات المحددة غير موجودة ، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

إذا كانت α 1 = ... = α n = 0 ، فمن الواضح أن α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. مع وضع هذا في الاعتبار ، يمكننا أن نقول: المتجهات a 1 ، ... ، و تكون n مستقلة خطيًا إذا كان يتبع من المساواة (2.2) أن جميع المعاملات α 1 ، ... ، α n تساوي صفرًا.

تشرح النظرية التالية سبب تسمية المفهوم الجديد بمصطلح "الاعتماد" (أو "الاستقلال") ، وتعطي معيارًا بسيطًا للاعتماد الخطي.

نظرية 2.1.من أجل أن تكون المتجهات a 1 ، ... ، و n ، n> 1 ، مرتبطة خطيًا ، من الضروري والكافي أن يكون أحدهما مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى.

ضرورة. افترض أن المتجهات a 1 و ... و n تعتمد خطيًا. وفقًا للتعريف 2.1 للاعتماد الخطي ، في المساواة (2.2) يوجد معامل واحد على الأقل غير صفري على اليسار ، على سبيل المثال α 1. ترك المصطلح الأول على الجانب الأيسر من المساواة ، وننقل الباقي إلى الجانب الأيمن ، ونغير علاماتهم كالمعتاد. بقسمة المساواة الناتجة على α 1 ، نحصل عليها

أ 1 = -α 2 / α 1 ⋅ أ 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

أولئك. تمثيل المتجه أ 1 كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية أ 2 و ... و ن.

قدرة. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن المتجه الأول أ 1 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية: أ 1 = β 2 أ 2 + ... + ن أ ن. نقل جميع الشروط من الجانب الأيمن إلى اليسار ، نحصل على 1 - 2 أ 2 - ... - β n a n = 0 ، أي تركيبة خطية من المتجهات a 1 ، ... ، و n مع المعاملات α 1 = 1 ، α 2 = - β 2 ، ... ، α n = - n ، تساوي ناقل صفر.في هذه المجموعة الخطية ، ليست كل المعاملات تساوي الصفر. وفقًا للتعريف 2.1 ، فإن المتجهات a 1 و ... و n تعتمد خطيًا.

يتم صياغة تعريف ومعيار الاعتماد الخطي بطريقة تعني ضمناً وجود متجهين أو أكثر. ومع ذلك ، يمكن للمرء أن يتحدث أيضًا عن اعتماد خطي لمتجه واحد. لتحقيق هذا الاحتمال ، بدلاً من "النواقل تعتمد خطيًا" نحتاج إلى القول "نظام النواقل يعتمد خطيًا". من السهل أن نرى أن التعبير "نظام متجه واحد يعتمد خطيًا" يعني أن هذا المتجه الفردي هو صفر (يوجد معامل واحد فقط في تركيبة خطية ، ويجب ألا يكون مساويًا للصفر).

مفهوم الاعتماد الخطي له تفسير هندسي بسيط. يتم توضيح هذا التفسير من خلال العبارات الثلاثة التالية.

نظرية 2.2.متجهان يعتمدان خطيًا إذا وفقط إذا كانا علاقة خطية متداخلة.

◄ إذا كان المتجهان أ و ب معتمدين خطيًا ، فسيتم التعبير عن أحدهما ، على سبيل المثال أ ، من خلال الآخر ، أي a = λb لبعض الأرقام الحقيقية λ. حسب التعريف 1.7 يعملالمتجهات برقم ، يكون المتجهان a و b على خط واحد.

الآن دع المتجهين a و b على خط واحد. إذا كان كلاهما صفرًا ، فمن الواضح أنهما معتمدين خطيًا ، لأن أي مجموعة خطية منهما تساوي المتجه الصفري. دع أحد هذه المتجهات لا تساوي 0 ، على سبيل المثال المتجه ب. قم بالإشارة إلى λ نسبة أطوال المتجهات: λ = | а | / | b |. يمكن أن تكون النواقل الخطية أحادي الاتجاهأو اتجاهين متعاكسين. في الحالة الأخيرة ، نقوم بتغيير علامة λ. بعد ذلك ، بالتحقق من التعريف 1.7 ، نرى أن a = λb. وفقًا للنظرية 2.1 ، فإن المتجهين أ و ب يعتمدان خطيًا.

ملاحظة 2.1.في حالة متجهين ، مع الأخذ في الاعتبار معيار الاعتماد الخطي ، يمكن إعادة صياغة النظرية المثبتة على النحو التالي: متجهان متصلان إذا وفقط إذا تم تمثيل أحدهما كمنتج للآخر برقم. هذا معيار مناسب للعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين.

نظرية 2.3.ثلاثة نواقل تعتمد خطيا إذا وفقط إذا كانت متحد المستوى.

◄ إذا كانت ثلاثة نواقل أ ، ب ، ج تعتمد خطيًا ، فوفقًا للنظرية 2.1 ، يكون أحدها ، على سبيل المثال أ ، مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى: أ = β ب + γс. دعونا نجمع بين أصول المتجهين b و c عند النقطة A. ثم المتجهات b ، c سيكون لها أصل مشترك عند النقطة A و متوازي الأضلاع حكم مجموعهم ،أولئك. المتجه a ، سيكون متجهًا مع البداية A و نهاية، وهو رأس متوازي الأضلاع مبني على متجهات جمع. وبالتالي ، تقع جميع النواقل في نفس المستوى ، أي أنها متحد المستوى.

دع المتجهات أ ، ب ، ج تكون متحد المستوى. إذا كان أحد هذه المتجهات صفرًا ، فمن الواضح أنه سيكون مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى. يكفي أن تساوي جميع معاملات التركيبة الخطية صفرًا. لذلك ، يمكننا أن نفترض أن المتجهات الثلاثة ليست صفرًا. متناسق يبدأهذه المتجهات عند نقطة مشتركة O. اجعل نهاياتها ، على التوالي ، النقاط A ، B ، C (الشكل 2.1). ارسم خطوطًا من خلال النقطة C موازية للخطوط التي تمر عبر أزواج من النقاط O و A و O و B. مع الإشارة إلى نقاط التقاطع على أنها A "و B" ، نحصل على متوازي الأضلاع "CB" ، لذلك OC "= OA" + OB ". Vector OA" والمتجه غير الصفري a = OA مترابطان ، وبالتالي يمكن الحصول على أولهما بضرب الثاني في رقم حقيقي α: OA "= αOA. وبالمثل ، OB" = βOB ، β ∈ R. نتيجة لذلك ، نحصل على أن OC "= α OA + βOB ، أي أن المتجه c هو مزيج خطي من المتجهين a و b. وفقًا للنظرية 2.1 ، المتجهات a و b و c تعتمد خطيًا.

نظرية 2.4.أي أربعة نواقل تعتمد خطيا.

يتبع الدليل نفس المخطط كما في النظرية 2.3. اعتبر أربعة نواقل عشوائية أ ، ب ، ج ، د. إذا كان أحد المتجهات الأربعة صفرًا ، أو كان هناك متجهان خطيان بينهما ، أو كان ثلاثة من المتجهات الأربعة متحد المستوى ، فإن هذه المتجهات الأربعة تعتمد خطيًا. على سبيل المثال ، إذا كان المتجهان a و b على علاقة خطية ، فيمكننا تكوين تركيبة خطية αa + b = 0 مع معاملات غير صفرية ، ثم نضيف المتجهين المتبقيين إلى هذه المجموعة ، مع أخذ الأصفار كمعامِلات. نحصل على تركيبة خطية من أربعة نواقل تساوي 0 ، وفيها معاملات غير صفرية.

وبالتالي ، يمكننا أن نفترض أنه من بين النواقل الأربعة المختارة لا توجد نواقل فارغة ، ولا يوجد اثنان على علاقة خطية ، ولا يوجد ثلاثة نواقل مستوية. نختار النقطة O كبداية مشتركة ، ثم نهايات المتجهات أ ، ب ، ج ، د ستكون بعض النقاط أ ، ب ، ج ، د (الشكل 2.2). من خلال النقطة D ، نرسم ثلاث طائرات موازية للطائرات ОВС ، و OCA ، و OAB ، ونفترض أن A "، B" ، С "تكون نقاط تقاطع هذه المستويات مع الخطوط OA ، OB ، OS ، على التوالي. نحصل على خط متوازي OA "C" B "C" B "DA" ، والمتجهات أ ، ب ، ج تقع على حوافها الخارجة من الرأس O. نظرًا لأن OC الرباعي "DC" متوازي أضلاع ، إذن OD = OC "+ OC ". بدوره ، المقطع OS" هو متوازي أضلاع قطري OA "C" B "، لذا OC" = OA "+ OB" ، و OD = OA "+ OB" + OC ".

يبقى أن نلاحظ أن أزواج المتجهات OA ≠ 0 و OA "و OB ≠ 0 و OB" و OC ≠ 0 و OC "مترابطة ، وبالتالي ، يمكننا اختيار المعاملات α و β و γ بحيث يكون OA" = αOA و OB "= βOB و OC" = γOC. أخيرًا ، نحصل على OD = αOA + βOB + γOC. وبالتالي ، يتم التعبير عن المتجه OD من حيث المتجهات الثلاثة المتبقية ، وجميع المتجهات الأربعة ، وفقًا للنظرية 2.1 ، تعتمد خطيًا.