وظائف القوة مع الأس الطبيعي للرسوم البيانية الخاصة بها. وظيفة الطاقة

في مجال دالة القدرة y = x p، تكون الصيغ التالية:
; ;
;
; ;
; ;
; .

خصائص وظائف السلطة والرسوم البيانية الخاصة بها

دالة قوة أسها يساوي الصفر، p = 0

إذا كان أس دالة القدرة y = x p يساوي صفر، p = 0 ، فسيتم تعريف دالة القدرة للجميع x ≠ 0 وتكون ثابتة وتساوي واحدًا:
ص \u003d س ع \u003d س 0 \u003d 1، س ≠ 0.

دالة القدرة ذات الأس الفردي الطبيعي، p = n = 1، 3، 5، ...

خذ بعين الاعتبار دالة القوة y = x p = x n ذات الأس الفردي الطبيعي n = 1, 3, 5, ... . يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على النحو التالي: n = 2k + 1، حيث k = 0، 1، 2، 3، ... هو عدد صحيح غير سالب. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ... .

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: -∞ < y < ∞
التكافؤ:فردي، y(-x) = - y(x)
روتيني:يزيد رتابة
النهايات:لا
محدب:
في -∞< x < 0 выпукла вверх
عند 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط التوقف:س = 0، ص = 0
س = 0، ص = 0
الحدود:
;
القيم الخاصة:
في س = -1،
ص(-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2ك+1 = -1
لـ x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
بالنسبة لـ n = 1، تكون الدالة عكسية لنفسها: x = y
بالنسبة إلى n ≠ 1، فإن الدالة العكسية هي جذر الدرجة n:

دالة القدرة ذات الأس الطبيعي الزوجي، p = n = 2، 4، 6، ...

فكر في دالة قوة y = x p = x n ذات الأس الزوجي الطبيعي n = 2, 4, 6, ... . يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على النحو التالي: n = 2k، حيث k = 1، 2، 3، ... هو رقم طبيعي. وترد أدناه الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ... .

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: 0 ≥ ص< ∞
التكافؤ:حتى، ص(-س) = ذ(س)
روتيني:
لـ x ≥ 0 يتناقص بشكل رتيب
ل x ≥ 0 يزيد رتابة
النهايات:الحد الأدنى، س = 0، ص = 0
محدب:محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
الحدود:
;
القيم الخاصة:
ل س = -1، ص(-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2ك = 1
لـ x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
ل ن = 2، الجذر التربيعي:
إلى عن على ن ≠ 2، جذر الدرجة ن:

دالة القدرة ذات الأس السلبي الصحيح، p = n = -1، -2، -3، ...

فكر في دالة قوة y = x p = x n ذات عدد صحيح سالب n = -1, -2, -3, ... . إذا وضعنا n = -k، حيث k = 1، 2، 3، ... هو عدد طبيعي، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع عدد صحيح سالب لقيم مختلفة للأس n = -1, -2, -3, ... .

الأس الفردي، n = -1، -3، -5، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1, -3, -5, ... .

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص ≠ 0
التكافؤ:فردي، y(-x) = - y(x)
روتيني:يتناقص رتابة
النهايات:لا
محدب:
في العاشر< 0 : выпукла вверх
لـ x > 0 : محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
لافتة:
في العاشر< 0, y < 0
لـ x > 0، y > 0
الحدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
ل ن = -1،
ل ن< -2 ,

الأس الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي n = -2, -4, -6, ... .

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص> 0
التكافؤ:حتى، ص(-س) = ذ(س)
روتيني:
في العاشر< 0 : монотонно возрастает
لـ x > 0 : متناقص بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
لافتة:ص> 0
الحدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
ل ن = -2،
ل ن< -2 ,

دالة القوة ذات الأس العقلاني (الكسري).

فكر في دالة قوة y = x p ذات أس نسبي (كسري)، حيث n عدد صحيح، وm > 1 عدد طبيعي. وعلاوة على ذلك، ن، م لم يكن لديك المقسومات المشتركة.

مقام المؤشر الكسري غريب

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: m = 3, 5, 7, ... . في هذه الحالة، يتم تعريف دالة الطاقة x p لكل من الموجب و القيم السلبيةحجة س . ضع في اعتبارك خصائص دوال القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

ص هو سلبي، ص< 0

دع الأس العقلاني (مع المقام الفردي m = 3، 5، 7، ... ) يكون أقل من الصفر: .

الرسوم البيانية للدوال الأسية ذات الأس السلبي العقلاني لقيم الأس المختلفة، حيث m = 3، 5، 7، ... أمر فردي.

البسط الفردي، ن = -1، -3، -5، ...

فيما يلي خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي النسبي، حيث n = -1، -3، -5، ... هو عدد صحيح سلبي فردي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح سالب عدد طبيعي غريب

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص ≠ 0
التكافؤ:فردي، y(-x) = - y(x)
روتيني:يتناقص رتابة
النهايات:لا
محدب:
في العاشر< 0 : выпукла вверх
لـ x > 0 : محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
لافتة:
في العاشر< 0, y < 0
لـ x > 0، y > 0
الحدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
من أجل x = -1، y(-1) = (-1) n = -1
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:

البسط الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي النسبي، حيث n = -2، -4، -6، ... عدد صحيح سلبي، m = 3، 5، 7 ... عدد طبيعي فردي .

اِختِصاص:س ≠ 0
قيم متعددة:ص> 0
التكافؤ:حتى، ص(-س) = ذ(س)
روتيني:
في العاشر< 0 : монотонно возрастает
لـ x > 0 : متناقص بشكل رتيب
النهايات:لا
محدب:محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
لافتة:ص> 0
الحدود:
; ; ;
القيم الخاصة:
بالنسبة لـ x = -1، y(-1) = (-1) n = 1
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:

القيمة p موجبة، أقل من واحد، 0< p < 1

رسم بياني لدالة القوة مع الأس العقلاني (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

البسط الفردي، ن = 1، 3، 5، ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

اِختِصاص: -∞ < x < +∞
قيم متعددة: -∞ < y < +∞
التكافؤ:فردي، y(-x) = - y(x)
روتيني:يزيد رتابة
النهايات:لا
محدب:
في العاشر< 0 : выпукла вниз
لـ x > 0 : محدب للأعلى
نقاط التوقف:س = 0، ص = 0
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
لافتة:
في العاشر< 0, y < 0
لـ x > 0، y > 0
الحدود:
;
القيم الخاصة:
لـ x = -1، y(-1) = -1
ل س = 0، ص(0) = 0
ل س = 1، ص(1) = 1
وظيفة عكسية:

البسط الزوجي، ن = 2، 4، 6، ...

يتم عرض خصائص دالة القوة y = x p مع الأس العقلاني، ضمن 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

اِختِصاص: -∞ < x < +∞
قيم متعددة: 0 ≥ ص< +∞
التكافؤ:حتى، ص(-س) = ذ(س)
روتيني:
في العاشر< 0 : монотонно убывает
لـ x > 0 : زيادة رتيبة
النهايات:الحد الأدنى عند x = 0، y = 0
محدب:محدب لأعلى عند x ≠ 0
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
لافتة:لـ x ≠ 0، y > 0
الحدود:
;
القيم الخاصة:
لـ x = -1، y(-1) = 1
ل س = 0، ص(0) = 0
ل س = 1، ص(1) = 1
وظيفة عكسية:

الأس p أكبر من واحد، p > 1

رسم بياني لدالة قوة ذات أس نسبي (p > 1 ) لقيم مختلفة للأس، حيث m = 3, 5, 7, ... أمر فردي.

البسط الفردي، ن = 5، 7، 9، ...

خصائص دالة القدرة y = x p مع الأس العقلاني أكبر من واحد: . حيث n = 5، 7، 9، ... هو عدد طبيعي فردي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: -∞ < y < ∞
التكافؤ:فردي، y(-x) = - y(x)
روتيني:يزيد رتابة
النهايات:لا
محدب:
في -∞< x < 0 выпукла вверх
عند 0< x < ∞ выпукла вниз
نقاط التوقف:س = 0، ص = 0
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
الحدود:
;
القيم الخاصة:
لـ x = -1، y(-1) = -1
ل س = 0، ص(0) = 0
ل س = 1، ص(1) = 1
وظيفة عكسية:

البسط الزوجي، ن = 4، 6، 8، ...

خصائص دالة القدرة y = x p مع الأس العقلاني أكبر من واحد: . حيث ن = 4، 6، 8، ... هو عدد طبيعي زوجي، م = 3، 5، 7 ... هو عدد طبيعي فردي.

اِختِصاص: -∞ < x < ∞
قيم متعددة: 0 ≥ ص< ∞
التكافؤ:حتى، ص(-س) = ذ(س)
روتيني:
في العاشر< 0 монотонно убывает
لـ x > 0 يزيد بشكل رتيب
النهايات:الحد الأدنى عند x = 0، y = 0
محدب:محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
الحدود:
;
القيم الخاصة:
لـ x = -1، y(-1) = 1
ل س = 0، ص(0) = 0
ل س = 1، ص(1) = 1
وظيفة عكسية:

مقام المؤشر الكسري متساوي

ليكن مقام الأس الكسري زوجيًا: m = 2, 4, 6, ... . في هذه الحالة، لم يتم تعريف دالة الطاقة x p للقيم السالبة للوسيطة. تتطابق خصائصها مع خصائص دالة القوة ذات الأس غير العقلاني (انظر القسم التالي).

دالة القدرة مع الأس غير العقلاني

النظر في دالة القوة y = x p مع الأس غير العقلاني p . تختلف خصائص هذه الوظائف عن تلك المذكورة أعلاه من حيث أنها غير محددة للقيم السالبة للوسيطة x. بالنسبة للقيم الموجبة للوسيطة، تعتمد الخصائص فقط على قيمة الأس p ولا تعتمد على ما إذا كانت p عدد صحيح أو عقلاني أو غير عقلاني.

y = x p لقيم مختلفة للأس p .

وظيفة الطاقة مع ص سلبي< 0

اِختِصاص:س> 0
قيم متعددة:ص> 0
روتيني:يتناقص رتابة
محدب:محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:لا
الحدود: ;
القيمة الخاصة:بالنسبة لـ x = 1، y(1) = 1 p = 1

دالة القدرة ذات الأس الموجب p > 0

المؤشر أقل من 0< p < 1

اِختِصاص:س ≥ 0
قيم متعددة:ص ≥ 0
روتيني:يزيد رتابة
محدب:محدب لأعلى
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
الحدود:
القيم الخاصة:من أجل x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
بالنسبة لـ x = 1، y(1) = 1 p = 1

المؤشر أكبر من واحد p > 1

اِختِصاص:س ≥ 0
قيم متعددة:ص ≥ 0
روتيني:يزيد رتابة
محدب:محدب للأسفل
نقاط التوقف:لا
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:س = 0، ص = 0
الحدود:
القيم الخاصة:من أجل x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
بالنسبة لـ x = 1، y(1) = 1 p = 1

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي، لان، 2009.

تذكر خصائص ورسوم بيانية لدوال القوة ذات الأس الصحيح السالب.

حتى ن، :

مثال الوظيفة:

جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف تمر عبر نقطتين ثابتتين: (1؛1)، (-1؛1). من سمات الوظائف من هذا النوع تكافؤها، حيث تكون الرسوم البيانية متماثلة فيما يتعلق بالمحور التشغيلي.

أرز. 1. الرسم البياني للدالة

بالنسبة لـ n الغريب، :

مثال الوظيفة:

جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف تمر عبر نقطتين ثابتتين: (1;1)، (-1;-1). من سمات الوظائف من هذا النوع غرابتها، فالرسوم البيانية متناظرة فيما يتعلق بالأصل.

أرز. 2. الرسم البياني الوظيفي

دعونا نتذكر التعريف الرئيسي.

درجة الرقم غير السالب a مع الأس الإيجابي العقلاني تسمى رقم.

تسمى درجة الرقم الموجب a مع الأس السلبي العقلاني رقما.

للحصول على المساواة التالية:

على سبيل المثال: ; - التعبير غير موجود حسب تعريف الدرجة ذات الأس العقلاني السلبي؛ موجود، لأن الأس هو عدد صحيح،

دعونا ننتقل إلى النظر في وظائف السلطة مع الأس السلبي العقلاني.

على سبيل المثال:

لرسم هذه الوظيفة، يمكنك إنشاء جدول. سنفعل خلاف ذلك: أولاً، سنقوم ببناء ودراسة الرسم البياني للمقام - الذي نعرفه (الشكل 3).

أرز. 3. الرسم البياني للدالة

يمر الرسم البياني لوظيفة المقام عبر نقطة ثابتة (1؛1). عند إنشاء رسم بياني للدالة الأصلية، تبقى هذه النقطة، وعندما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر، تميل الدالة إلى ما لا نهاية. وعلى العكس من ذلك، عندما تميل x إلى اللانهاية، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 4).

أرز. 4. الرسم البياني للوظيفة

فكر في وظيفة أخرى من مجموعة الوظائف قيد الدراسة.

ومن المهم أن بحكم التعريف

النظر في الرسم البياني للدالة في المقام: نحن نعرف الرسم البياني لهذه الدالة، فإنه يزيد في مجال تعريفها ويمر بالنقطة (1، 1) (الشكل 5).

أرز. 5. الرسم البياني للوظيفة

عند إنشاء رسم بياني للدالة الأصلية، تبقى النقطة (1؛ 1)، وعندما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر، تميل الدالة إلى اللانهاية. وعلى العكس من ذلك، عندما تميل x إلى اللانهاية، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 6).

أرز. 6. الرسم البياني الوظيفي

تساعد الأمثلة المدروسة على فهم كيفية سير الرسم البياني وما هي خصائص الوظيفة قيد الدراسة - دالة ذات أس عقلاني سلبي.

تمر الرسوم البيانية لوظائف هذه العائلة عبر النقطة (1؛1)، وتتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله.

نطاق الوظيفة:

الدالة لا يحدها من الأعلى، بل يحدها من الأسفل. الدالة ليس لها قيمة عظمى أو صغرى.

الدالة مستمرة، فهي تأخذ جميع القيم الموجبة من الصفر إلى زائد ما لا نهاية.

وظيفة محدبة للأسفل (الشكل 15.7)

يتم أخذ النقطتين A وB على المنحنى، ويتم رسم مقطع من خلالهما، ويكون المنحنى بأكمله أسفل المقطع، هذا الشرطينطبق على نقطتين تعسفيتين على المنحنى، وبالتالي تكون الدالة محدبة للأسفل. أرز. 7.

أرز. 7. تحدب الوظيفة

ومن المهم أن نفهم أن وظائف هذه العائلة يحدها من الأسفل صفر، لكنها لا تملك أدنى قيمة.

مثال 1 - أوجد الحد الأقصى والأصغر للدالة في الفترة )