كيفية حساب جذر 14. كيفية استخراج الجذور التربيعية بسرعة

استخراج الجذر من عدد كبير. أصدقائي الأعزاء!سنوضح لك في هذه المقالة كيفية استخراج جذر عدد كبير بدون آلة حاسبة. يعد هذا ضروريًا ليس فقط لحل أنواع معينة من مشكلات امتحان الدولة الموحدة (هناك بعض المشكلات التي تتضمن الحركة)، ولكن أيضًا لحل المشكلات العامة التطور الرياضيمن المستحسن معرفة هذه التقنية التحليلية.

يبدو أن كل شيء بسيط: قم بتحليله إلى عوامل واستخراجه. لا مشكلة. على سبيل المثال، الرقم 291600 عند تحلله سيعطي المنتج:

نحسب:

هناك واحد ولكن! تعتبر هذه الطريقة جيدة إذا تم تحديد المقسومات 2، 3، 4، وما إلى ذلك بسهولة. ماذا يجب أن نفعل إذا كان الرقم الذي نستخرج منه الجذر هو حاصل الضرب الأعداد الأولية؟ على سبيل المثال، 152881 هو حاصل ضرب الأرقام 17، 17، 23، 23. حاول العثور على هذه المقسومات على الفور.

جوهر الطريقة التي ندرسها- هذا تحليل محض. مع المهارة المتقدمة، يمكن العثور على الجذر بسرعة. إذا لم يتم ممارسة المهارة، ولكن النهج مفهوم ببساطة، فهو أبطأ قليلا، لكنه لا يزال مصمما.

لنأخذ جذر 190969.

أولاً، دعونا نحدد بين الأعداد (مضاعفات المائة) التي سنحصل عليها.

ومن الواضح أن نتيجة جذر هذا الرقم تقع في النطاق من 400 إلى 500،لأن

400 2 = 160000 و 500 2 = 250000

حقًا:

في المنتصف أقرب إلى 160.000 أو 250.000؟

الرقم 190969 يقع في المنتصف تقريبًا، لكنه لا يزال أقرب إلى 160000. يمكننا أن نستنتج أن نتيجة الجذر ستكون أقل من 450. دعونا نتحقق:

والواقع أنه أقل من 450، منذ 190969< 202 500.

الآن دعونا نتحقق من الرقم 440:

وهذا يعني أن نتيجتنا أقل من 440 190 969 < 193 600.

التحقق من الرقم 430:

لقد أثبتنا أن نتيجة هذا الجذر تقع في النطاق من 430 إلى 440.

منتج الأرقام مع 1 أو 9 في النهاية يعطي رقمًا مع 1 في النهاية. على سبيل المثال، 21 في 21 يساوي 441.

منتج الأرقام مع 2 أو 8 في النهاية يعطي رقمًا مع 4 في النهاية. على سبيل المثال، 18 في 18 يساوي 324.

منتج الأعداد التي تحتوي على 5 في النهاية يعطي رقمًا يحتوي على 5 في النهاية. على سبيل المثال، 25 في 25 يساوي 625.

منتج الأرقام مع 4 أو 6 في النهاية يعطي رقمًا مع 6 في النهاية. على سبيل المثال، 26 في 26 يساوي 676.

منتج الأرقام مع 3 أو 7 في النهاية يعطي رقمًا مع 9 في النهاية. على سبيل المثال، 17 في 17 يساوي 289.

بما أن الرقم 190969 ينتهي بالرقم 9، فهو حاصل ضرب الرقم 433 أو 437.

*فقط هم، عند تربيعهم، يمكنهم إعطاء 9 في النهاية.

نحن نفحص:

وهذا يعني أن نتيجة الجذر ستكون 437.

وهذا يعني أننا "وجدنا" الإجابة الصحيحة.

كما ترون، الحد الأقصى المطلوب هو تنفيذ 5 إجراءات في عمود. ربما ستصل إلى الهدف على الفور، أو ستخطو ثلاث خطوات فقط. كل هذا يتوقف على مدى دقة تقديرك الأولي للرقم.

قم باستخراج جذر 148996 بنفسك

يتم الحصول على مثل هذا التمييز في المشكلة:

تقطع السفينة مسافة 336 كيلومترًا على طول النهر إلى وجهتها، وبعد التوقف، تعود إلى نقطة انطلاقها. أوجد سرعة السفينة في المياه الساكنة إذا كانت السرعة الحالية 5 كم/ساعة، واستغرقت الإقامة 10 ساعات، وعادت السفينة إلى نقطة انطلاقها بعد 48 ساعة من المغادرة. اكتب إجابتك بالكيلومتر/الساعة.

عرض الحل

نتيجة الجذر تقع بين الأرقام 300 و 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

وبالفعل 90.000<148996<160000.

يتلخص جوهر الاستدلال الإضافي في تحديد كيفية تحديد موقع الرقم 148996 (بعيدًا) بالنسبة لهذه الأرقام.

دعونا نحسب الاختلافات 148996 - 90000=58996 و160000 - 148996=11004.

اتضح أن 148996 قريب (أقرب بكثير) من 160000. وبالتالي فإن نتيجة الجذر ستكون بالتأكيد أكبر من 350 وحتى 360.

يمكننا أن نستنتج أن نتيجتنا أكبر من 370. علاوة على ذلك فمن الواضح: بما أن 148996 ينتهي بالرقم 6، فهذا يعني أنه يجب علينا تربيع رقم ينتهي إما بـ 4 أو 6. *هذه الأرقام فقط، عند تربيعها، تعطي النهاية 6 .

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

عند حل المشكلات المختلفة من دورة الرياضيات والفيزياء، غالبًا ما يواجه التلاميذ والطلاب الحاجة إلى استخراج جذور الدرجة الثانية أو الثالثة أو الدرجة التاسعة. بالطبع، في عصر تكنولوجيا المعلومات، لن يكون من الصعب حل مثل هذه المشكلة باستخدام الآلة الحاسبة. ومع ذلك، تنشأ المواقف عندما يكون من المستحيل استخدام المساعد الإلكتروني.

على سبيل المثال، العديد من الامتحانات لا تسمح لك بإحضار الأجهزة الإلكترونية. وبالإضافة إلى ذلك، قد لا يكون لديك آلة حاسبة في متناول اليد. في مثل هذه الحالات، من المفيد معرفة بعض الطرق على الأقل لحساب الجذور يدويًا.

واحدة من أبسط الطرق لحساب الجذور هي باستخدام جدول خاص. ما هو وكيفية استخدامه بشكل صحيح؟

باستخدام الجدول، يمكنك العثور على مربع أي رقم من 10 إلى 99. تحتوي صفوف الجدول على قيم العشرات، وتحتوي الأعمدة على قيم الوحدات. تحتوي الخلية الموجودة عند تقاطع الصف والعمود على مربع رقم مكون من رقمين. من أجل حساب مربع 63، تحتاج إلى العثور على صف بقيمة 6 وعمود بقيمة 3. عند التقاطع سنجد خلية برقم 3969.

نظرًا لأن استخراج الجذر هو عملية تربيع عكسية، للقيام بهذا الإجراء يجب عليك القيام بالعكس: أولاً ابحث عن الخلية التي تحتوي على الرقم الذي تريد حساب جذره، ثم استخدم قيم العمود والصف لتحديد الإجابة . على سبيل المثال، فكر في حساب الجذر التربيعي لـ 169.

نجد خلية بهذا الرقم في الجدول، أفقيًا نحدد العشرات - 1، وعموديًا نحدد الوحدات - 3. الإجابة: √169 = 13.

وبالمثل، يمكنك حساب الجذور التكعيبية والجذور النونية باستخدام الجداول المناسبة.

ميزة هذه الطريقة هي بساطتها وعدم وجود حسابات إضافية. العيوب واضحة: لا يمكن استخدام الطريقة إلا لنطاق محدود من الأرقام (يجب أن يكون الرقم الذي تم العثور على الجذر له في النطاق من 100 إلى 9801). بالإضافة إلى ذلك، لن يعمل إذا كان الرقم المحدد غير موجود في الجدول.

التخصيم الأولي

إذا لم يكن جدول المربعات في متناول اليد أو كان من المستحيل العثور على الجذر بمساعدته، فيمكنك المحاولة قم بتحليل العدد الموجود تحت الجذر إلى عوامل أولية. العوامل الأولية هي تلك التي يمكن أن تكون قابلة للقسمة بشكل كامل (بدون باقي) على نفسها أو على واحد فقط. يمكن أن تكون الأمثلة 2، 3، 5، 7، 11، 13، إلخ.

دعونا نلقي نظرة على حساب الجذر باستخدام √576 كمثال. دعونا نقسمها إلى عوامل أولية. حصلنا على النتيجة التالية: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². باستخدام الخاصية الأساسية للجذور √a² = a، سنتخلص من الجذور والمربعات، ثم نحسب الإجابة: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

ماذا تفعل إذا لم يكن لأي من المضاعفات زوج خاص بها؟ على سبيل المثال، فكر في حساب √54. بعد التحليل، نحصل على النتيجة بالشكل التالي: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. يمكن ترك الجزء غير القابل للإزالة تحت الجذر. بالنسبة لمعظم مسائل الهندسة والجبر، سيتم احتساب هذه الإجابة كإجابة نهائية. ولكن إذا كانت هناك حاجة لحساب القيم التقريبية، فيمكنك استخدام الطرق التي سيتم مناقشتها أدناه.

طريقة هيرون

ماذا تفعل عندما تحتاج على الأقل إلى معرفة ما يساوي الجذر المستخرج تقريبًا (إذا كان من المستحيل الحصول على قيمة عددية)؟ يتم الحصول على نتيجة سريعة ودقيقة إلى حد ما باستخدام طريقة هيرون. جوهرها هو استخدام صيغة تقريبية:

√R = √a + (R - أ) / 2√a،

حيث R هو الرقم الذي يجب حساب جذره، وهو أقرب رقم معروف قيمة جذره.

دعونا نلقي نظرة على كيفية عمل الطريقة عمليًا وتقييم مدى دقتها. دعونا نحسب ما يساوي √111. الرقم الأقرب إلى 111، وجذره معروف، هو 121. وبالتالي، R = 111، a = 121. استبدل القيم في الصيغة:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

الآن دعونا نتحقق من دقة الطريقة:

10.55² = 111.3025.

كان خطأ الطريقة حوالي 0.3. إذا كانت دقة الطريقة بحاجة إلى تحسين، فيمكنك تكرار الخطوات الموضحة مسبقًا:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

دعونا نتحقق من دقة الحساب:

10.536² = 111.0073.

وبعد إعادة تطبيق الصيغة، أصبح الخطأ غير مهم على الإطلاق.

حساب الجذر بالقسمة المطولة

تعد طريقة العثور على قيمة الجذر التربيعي هذه أكثر تعقيدًا قليلاً من الطرق السابقة. ومع ذلك، فهي الأكثر دقة بين طرق الحساب الأخرى بدون آلة حاسبة.

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد الجذر التربيعي بدقة لأقرب 4 منازل عشرية. دعونا نحلل خوارزمية الحساب باستخدام مثال الرقم التعسفي 1308.1912.

1. قسّم الورقة إلى جزأين بخط عمودي، ثم ارسم منها خطًا آخر إلى اليمين، أسفل الحافة العلوية قليلاً. لنكتب الرقم على الجانب الأيسر، ونقسمه إلى مجموعات مكونة من رقمين، وننتقل إلى يمين ويسار العلامة العشرية. قد يكون الرقم الأول على اليسار بدون زوج. إذا كانت الإشارة مفقودة على الجانب الأيمن من الرقم، فعليك إضافة 0. في حالتنا، ستكون النتيجة 13 08.19 12.
2. لنختار أكبر عدد مربعه أقل من أو يساوي المجموعة الأولى من الأرقام. في حالتنا هو 3. دعونا نكتبه في أعلى اليمين؛ 3 هو الرقم الأول من النتيجة. في أسفل اليمين نشير إلى 3×3 = 9؛ ستكون هناك حاجة لهذا للحسابات اللاحقة. من 13 في العمود نطرح 9، نحصل على الباقي 4.
3. دعونا نخصص الزوج التالي من الأرقام للباقي 4؛ لقد حصلنا على 408
4. اضرب الرقم الموجود في أعلى اليمين بـ 2 واكتبه في أسفل اليمين، مع إضافة _ x _ = إليه. نحصل على 6_ س _ =.
5. بدلا من الشرطات، تحتاج إلى استبدال نفس الرقم، أقل من أو يساوي 408. نحصل على 66 × 6 = 396. نكتب 6 من أعلى اليمين، لأن هذا هو الرقم الثاني من النتيجة. اطرح 396 من 408 نحصل على 12.
6. دعونا نكرر الخطوات 3-6. نظرًا لأن الأرقام المنقولة للأسفل موجودة في الجزء الكسري من الرقم، فمن الضروري وضع علامة عشرية في الجزء العلوي الأيمن بعد الرقم 6. دعنا نكتب النتيجة المزدوجة بشرطات: 72_ x _ =. الرقم المناسب هو 1: 721×1 = 721. دعنا نكتبه كإجابة. لنطرح 1219 - 721 = 498.
7. لنقم بتنفيذ تسلسل الإجراءات الواردة في الفقرة السابقة ثلاث مرات أخرى للحصول على العدد المطلوب من المنازل العشرية. إذا لم يكن هناك أحرف كافية لإجراء المزيد من العمليات الحسابية، فأنت بحاجة إلى إضافة صفرين إلى الرقم الحالي الموجود على اليسار.

ونتيجة لذلك، حصلنا على الإجابة: √1308.1912 ≈ 36.1689. إذا قمت بفحص الإجراء باستخدام الآلة الحاسبة، فيمكنك التأكد من تحديد جميع العلامات بشكل صحيح.

حساب الجذر التربيعي للبت

الطريقة دقيقة للغاية. بالإضافة إلى ذلك، فمن الواضح تماما ولا يتطلب حفظ الصيغ أو خوارزمية معقدة من الإجراءات، لأن جوهر الطريقة هو اختيار النتيجة الصحيحة.

دعونا نستخرج جذر الرقم 781. دعونا نلقي نظرة على تسلسل الإجراءات بالتفصيل.

1. دعنا نتعرف على أي رقم من قيمة الجذر التربيعي سيكون الأكثر أهمية. للقيام بذلك، دعونا نربع 0، 10، 100، 1000، وما إلى ذلك ونكتشف أي منها يقع الرقم الجذري. نحصل على 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. دعونا نختار قيمة العشرات. للقيام بذلك، سنتناوب على رفع الأس 10، 20، ...، 90 حتى نحصل على رقم أكبر من 781. في حالتنا، نحصل على 10² = 100، 20² = 400، 30² = 900. قيمة النتيجة n ستكون ضمن 20< n <30.
3. وكما هو الحال في الخطوة السابقة، يتم تحديد قيمة رقم الوحدات. لنقم بتربيع 21.22، ...، 29 واحدًا تلو الآخر: 21² = 441، 22² = 484، 23² = 529، 24² = 576، 25² = 625، 26² = 676، 27² = 729، 28² = 784. نحصل على 27< n < 28.
4. يتم حساب كل رقم لاحق (أعشار، أجزاء من مائة، وما إلى ذلك) بنفس الطريقة الموضحة أعلاه. يتم إجراء الحسابات حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة.

كيفية استخراج الجذر من الرقم. في هذه المقالة سوف نتعلم كيفية إيجاد الجذر التربيعي للأعداد المكونة من أربعة وخمسة أرقام.

لنأخذ الجذر التربيعي لعام 1936 كمثال.

لذلك، .

الرقم الأخير في الرقم 1936 هو الرقم 6. مربع الرقم 4 والرقم 6 ينتهي عند 6. لذلك، يمكن أن يكون 1936 هو مربع الرقم 44 أو الرقم 46. ويبقى التحقق باستخدام الضرب.

وسائل،

لنأخذ الجذر التربيعي للرقم 15129.

لذلك، .

الرقم الأخير في الرقم 15129 هو الرقم 9. مربع الرقم 3 والرقم 7 ينتهي عند 9. وبالتالي، 15129 يمكن أن يكون مربع الرقم 123 أو الرقم 127. دعونا نتحقق من استخدام الضرب.

وسائل،

كيفية استخراج الجذر – فيديو

والآن أقترح عليك مشاهدة فيديو آنا دينيسوفا - "كيفية استخراج الجذر "، مؤلف الموقع" فيزياء بسيطة"، حيث تشرح كيفية العثور على الجذور التربيعية والتكعيبية بدون آلة حاسبة.

يناقش الفيديو عدة طرق لاستخراج الجذور:

1. أسهل طريقة لاستخراج الجذر التربيعي.

2. عن طريق الاختيار باستخدام مربع المبلغ.

3. الطريقة البابلية.

4. طريقة استخراج الجذر التربيعي للعمود.

5. طريقة سريعة لاستخراج الجذر التكعيبي.

6. طريقة استخراج الجذر التكعيبي في العمود.

الوصف الببليوغرافي: Pryostanovo S. M.، Lysogorova L. V. طرق استخراج الجذر التربيعي // عالم شاب. 2017. رقم 2.2. ص 76-77..02.2019).



الكلمات الدالة : الجذر التربيعي، استخراج الجذر التربيعي.

تعرفت في دروس الرياضيات على مفهوم الجذر التربيعي، وعملية استخراج الجذر التربيعي. لقد أصبحت مهتمًا بما إذا كان استخراج الجذر التربيعي ممكنًا فقط باستخدام جدول المربعات، أو باستخدام الآلة الحاسبة، أم أن هناك طريقة لاستخراجه يدويًا. وجدت عدة طرق: صيغة بابل القديمة، من خلال حل المعادلات، طريقة التخلص من المربع الكامل، طريقة نيوتن، الطريقة الهندسية، الطريقة الرسومية (،)، طريقة التخمين، طريقة خصم الأعداد الفردية.

خذ بعين الاعتبار الطرق التالية:

دعونا نحلل إلى العوامل الأولية باستخدام معايير القسمة 27225=5*5*3*3*11*11. هكذا

1. ل الطريقة الكندية.تم اكتشاف هذه الطريقة السريعة من قبل العلماء الشباب في إحدى الجامعات الرائدة في كندا في القرن العشرين. دقتها لا تزيد عن اثنين إلى ثلاث منازل عشرية.

حيث x هو الرقم الذي يجب استخراج الجذر منه، و c هو رقم أقرب مربع)، على سبيل المثال:

=5,92

1. في عمود.تسمح لك هذه الطريقة بالعثور على القيمة التقريبية لجذر أي رقم حقيقي بأي دقة محددة مسبقًا. تشمل عيوب هذه الطريقة التعقيد المتزايد للحساب مع زيادة عدد الأرقام الموجودة. لاستخراج الجذر يدويًا، يتم استخدام تدوين مشابه للقسمة المطولة

خوارزمية الجذر التربيعي

1. نقسم الجزء الكسري والجزء الصحيح بشكل منفصل عن الفاصلة على وشك رقمينفي كل وجه( قبلةجزء - من اليمين إلى اليسار؛ كسور- من اليسار الى اليمين). من الممكن أن يحتوي الجزء الصحيح على رقم واحد، والجزء الكسري قد يحتوي على أصفار.

2. يبدأ الاستخراج من اليسار إلى اليمين، ونختار الرقم الذي لا يزيد مربعه عن الرقم الموجود في الوجه الأول. نقوم بتربيع هذا الرقم ونكتبه تحت الرقم الموجود على الجانب الأول.

3. أوجد الفرق بين الرقم الموجود على الوجه الأول ومربع الرقم الأول المحدد.

4. نضيف الحافة التالية للفرق الناتج، سيكون الرقم الناتج قابل للقسمة. دعونا نثقف مقسم. نقوم بمضاعفة الرقم الأول المحدد من الإجابة (نضرب في 2)، ونحصل على عدد عشرات المقسوم عليه، ويجب أن يكون عدد الوحدات بحيث لا يتجاوز منتجها على المقسوم عليه المقسوم عليه. نكتب الرقم المحدد كإجابة.

5. نأخذ الحافة التالية للفرق الناتج وننفذ الإجراءات وفقًا للخوارزمية. فإذا تبين أن هذا الوجه هو وجه جزء كسري، فإننا نضع فاصلة في الإجابة. (رسم بياني 1.)

باستخدام هذه الطريقة، يمكنك استخراج أرقام بدقة مختلفة، على سبيل المثال، حتى جزء من الألف. (الصورة 2)

بالنظر إلى الطرق المختلفة لاستخراج الجذر التربيعي، يمكننا أن نستنتج: في كل حالة محددة، عليك أن تقرر اختيار الطريقة الأكثر فعالية من أجل قضاء وقت أقل في الحل

الأدب:

1. كيسيليف أ. عناصر الجبر والتحليل. الجزء الأول.-م-1928

الكلمات الدالة: الجذر التربيعي، الجذر التربيعي.

حاشية. ملاحظة: توضح المقالة طرق استخراج الجذور التربيعية وتقدم أمثلة على استخراج الجذور.