استكشف الوظائف التالية وارسم الرسوم البيانية الخاصة بها. تحقق من الدالة \ (y = \ frac (x3) (1-x) \) باستخدام طرق حساب التفاضل ، وبناء الرسم البياني الخاص بها

قم بإجراء دراسة كاملة ورسم رسم بياني للوظائف

y (x) = x2 + 81 x.y (x) = x2 + 81 x.

1) نطاق الوظيفة. بما أن الدالة كسر ، فعليك إيجاد أصفار المقام.

1 − س = 0 ، ⇒x = 1.1 − س = 0 ، ⇒x = 1.

نستبعد النقطة الوحيدة x = 1x = 1 من منطقة تعريف الوظيفة ونحصل على:

د (ص) = (- ∞ ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞). د (ص) = (- ∞ ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞).

2) دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع. ابحث عن حدود من جانب واحد:

بما أن النهايتين تساويان اللانهاية ، فإن النقطة x = 1x = 1 هي انقطاع من النوع الثاني ، فالخط x = 1x = 1 خط مقارب رأسي.

3) دعنا نحدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OyOy ، والذي نساوي فيه x = 0 x = 0:

وبالتالي ، فإن نقطة التقاطع مع المحور OyOy لها إحداثيات (0 ؛ 8) (0 ؛ 8).

لنجد نقاط التقاطع مع محور الإحداثيات OxOx ، والتي حددنا لها y = 0y = 0:

المعادلة ليس لها جذور ، لذلك لا توجد نقاط تقاطع مع محور OxOx.

لاحظ أن x2 + 8> 0x2 + 8> 0 لأي xx. لذلك ، بالنسبة إلى x∈ (−∞ ؛ 1) x∈ (−∞ ؛ 1) ، الدالة y> 0y> 0 (تأخذ قيمًا موجبة ، يكون الرسم البياني أعلى من المحور x) ، بالنسبة إلى x∈ (1 ؛ + ∞ ) x∈ (1 ؛ + ∞) وظيفة y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) الوظيفة ليست زوجية ولا فردية للأسباب التالية:

5) نحن نحقق في وظيفة الدورية. الوظيفة ليست دورية ، لأنها دالة كسرية.

6) نحن نبحث في وظيفة النهايات والرتابة. للقيام بذلك ، نجد أول مشتق للدالة:

دعونا نساوي المشتق الأول بالصفر ونجد النقاط الثابتة (التي عندها y ′ = 0y ′ = 0):

لقد حصلنا على ثلاث نقاط حرجة: x = −2 ، x = 1 ، x = 4x = −2 ، x = 1 ، x = 4. نقسم المجال الكامل للدالة إلى فترات زمنية بنقاط معينة ونحدد علامات المشتق في كل فترة:

بالنسبة إلى x∈ (−∞ ؛ −2) ، (4 ؛ + ∞) x∈ (−∞ ؛ −2) ، (4 ؛ + ∞) المشتق y ′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

بالنسبة إلى x∈ (−2 ؛ 1) ، (1 ؛ 4) x∈ (−2 ؛ 1) ، (1 ؛ 4) المشتق y ′> 0y ′> 0 ، تزداد الدالة في هذه الفترات.

في هذه الحالة ، x = −2x = −2 هي نقطة دنيا محلية (تتناقص الوظيفة ثم تزيد) ، x = 4x = 4 هي نقطة قصوى محلية (تزيد الدالة ثم تنقص).

لنجد قيم الدالة في هذه النقاط:

وبالتالي ، فإن النقطة الدنيا هي (2 ؛ 4) (- 2 ؛ 4) ، والنقطة القصوى هي (4 ؛ −8) (4 ؛ −8).

7) ندرس وظيفة مكامن الخلل والتحدب. لنجد المشتق الثاني للدالة:

يساوي المشتق الثاني بصفر:

المعادلة الناتجة ليس لها جذور ، لذلك لا توجد نقاط انعطاف. علاوة على ذلك ، عندما تكون x∈ (−∞ ؛ 1) x∈ (−∞ ؛ 1) y ′ ′> 0y ″> 0 راضية ، أي أن الوظيفة تكون مقعرة عندما x∈ (1 ؛ + ∞) x∈ (1 ؛ + ∞) ذ ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) نحن نحقق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، أي في.

نظرًا لأن الحدود غير محدودة ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

دعنا نحاول تحديد الخطوط المقاربة المائلة بالشكل y = kx + by = kx + b. نحسب قيم k و bk و b وفقًا للصيغ المعروفة:

وجدنا أن للدالة خطًا مقاربًا مائلًا واحدًا y = −x − 1y = −x − 1.

9) نقاط إضافية. دعنا نحسب قيمة الوظيفة في بعض النقاط الأخرى من أجل بناء رسم بياني أكثر دقة.

ص (−5) = 5.5 ؛ ص (2) = - 12 ؛ ص (7) = - 9.5. ص (−5) = 5.5 ؛ ص (2) = - 12 ؛ ص (7) = - 9.5.

10) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، سنبني رسمًا بيانيًا ، ونكمله بالخطوط المقاربة x = 1x = 1 (أزرق) ، y = −x − 1y = −x − 1 (أخضر) ونضع علامة على النقاط المميزة (التقاطع مع محور الإحداثيات أرجواني ، وأقصى لون برتقالي ، ونقاط إضافية سوداء):

المهمة 4: مشاكل هندسية واقتصادية (ليس لدي أي فكرة عن ذلك ، إليك اختيار تقريبي للمشكلات مع حل وصيغ)

المثال 3.23. أ

حل. xو ذ ذ
ص \ u003d أ - 2 × أ / 4 \ u003d أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. بالنسبة إلى xa / 4 S "> 0 ، وللحالة x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.

حل.
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

المثال 3.22.أوجد القيمة القصوى للدالة f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

حل.بما أن f "(x) \ u003d 6x 2-30x +36 \ u003d 6 (x - 2) (x - 3) ، فإن النقاط الحرجة للوظيفة x 1 \ u003d 2 و x 2 \ u003d 3. يمكن للنقاط القصوى تكون فقط عند هذه النقاط ، فكما هو الحال عند المرور بالنقطة x 1 \ u003d 2 ، يتغير المشتق علامة زائد إلى ناقص ، ثم عند هذه النقطة يكون للوظيفة حد أقصى. يتغير علامة ناقص إلى زائد ، لذلك عند النقطة x 2 \ u003d 3 ، يكون للوظيفة حد أدنى. حساب قيم الوظيفة بالنقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3 ، نجد الحد الأقصى للدالة: الحد الأقصى f (2) = 14 والحد الأدنى f (3) = 13.

المثال 3.23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث يتم تسييجها بشبكة سلكية من ثلاث جهات ، وتجاور الجدار من الجانب الرابع. لهذا هناك أمتر خطي للشبكة. ما هي نسبة العرض إلى الارتفاع التي سيشغل بها الموقع أكبر مساحة؟

حل.دلالة على جوانب الموقع من خلال xو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذهو طول الضلع المجاور للجدار. بعد ذلك ، بشرط ، يجب أن تثبت المساواة 2x + y = a. لذلك ص = أ - 2 س و س = س (أ - 2 س) ، أين
0 ≤ x ≤ a / 2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض المنطقة سالبين). S "= a - 4x ، a - 4x = 0 لـ x = a / 4 ، من أين
ص \ u003d أ - 2 × أ / 4 \ u003d أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. بالنسبة إلى xa / 4 S "> 0 ، وللحالة x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.مطلوب عمل خزان اسطواني مغلق بسعة V = 16p ≈ 50 m 3. ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) من أجل استخدام أقل كمية من المواد لتصنيعها؟

حل.إجمالي مساحة الأسطوانة هي S = 2pR (R + H). نحن نعلم حجم الأسطوانة V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. ومن ثم ، S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). نجد مشتق هذه الوظيفة:
S "(R) \ u003d 2p (2R- 16 / R 2) \ u003d 4p (R- 8 / R 2). S" (R) \ u003d 0 لـ R 3 \ u003d 8 ، لذلك ،
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

معلومات مماثلة.

ندعوك اليوم لاستكشاف ورسم رسم بياني للوظائف معنا. بعد دراسة متأنية لهذه المقالة ، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. ليس من السهل استكشاف وبناء رسم بياني لوظيفة ما ، فالعمل ضخم يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والدقة في الحسابات. لتسهيل إدراك المادة ، سوف ندرس نفس الوظيفة تدريجيًا ، وشرح جميع إجراءاتنا وحساباتنا. مرحبًا بكم في عالم الرياضيات المذهل والرائع! يذهب!

اِختِصاص

من أجل استكشاف وظيفة ورسمها ، تحتاج إلى معرفة بعض التعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الأساسية (الأساسية) في الرياضيات. إنه يعكس الاعتماد بين عدة متغيرات (متغيران أو ثلاثة أو أكثر) مع التغييرات. تظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.

تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق معين من التغيير. إذن ، y هي دالة في x ، بشرط أن تتوافق كل قيمة من المتغير الثاني مع قيمة واحدة من الثانية. في هذه الحالة ، يكون المتغير y تابعًا ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان في لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد ، تم إنشاء رسم بياني للوظيفة. ما هو الرسم البياني للدالة؟ هذه مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي ، حيث تقابل كل قيمة x قيمة واحدة من y. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - خط مستقيم ، قطع زائد ، قطع مكافئ ، شبه جيبي ، وما إلى ذلك.

لا يمكن رسم الرسم البياني للدالة بدون استكشاف. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث ورسم الرسم البياني للوظيفة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء الدراسة. لذلك سيكون من الأسهل بكثير التعامل مع المهمة. الخطة الدراسية الأكثر ملاءمة:

1. اِختِصاص.
2. استمرارية.
3. زوجي أو فردي.
4. دورية.
5. الخطوط المقاربة.
6. الأصفار.
7. ثبات.
8. تصاعدي وتنازلي.
9. النهايات.
10. التحدب والتقعر.

لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف ، أي في الفواصل الزمنية التي توجد بها وظيفتنا: y \ u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). في حالتنا هذه ، الوظيفة موجودة لأي قيم لـ x ، أي مجال التعريف هو R. ويمكن كتابة هذا كـ xОR.

استمرارية

سنقوم الآن باستكشاف وظيفة عدم الاستمرارية. في الرياضيات ، ظهر مصطلح "استمرارية" نتيجة لدراسة قوانين الحركة. ما هو اللانهائي؟ المكان والوقت وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرين S و t في مشاكل الحركة) ، ودرجة حرارة الجسم المسخن (ماء ، مقلاة ، مقياس حرارة ، وما إلى ذلك) ، خط متصل (أي واحد يمكن رسمه دون خلعه من الورقة بالقلم الرصاص).

يعتبر الرسم البياني مستمرًا إذا لم ينكسر عند نقطة ما. أحد الأمثلة الأكثر وضوحًا لمثل هذا الرسم البياني هو الموجة الجيبية ، والتي يمكنك رؤيتها في الصورة في هذا القسم. تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:

• يتم تحديد وظيفة في نقطة معينة ؛
• الحدود اليمنى واليسرى عند نقطة ما متساوية ؛
• الحد يساوي قيمة الدالة عند النقطة x0.

إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل ، يُقال أن الوظيفة تعطلت. وتسمى النقاط التي تنقطع عندها الوظيفة بنقاط الانكسار. مثال على دالة "ستكسر" عند عرضها بيانياً: y = (x + 4) / (x-3). علاوة على ذلك ، لا توجد y عند النقطة x = 3 (لأنه من المستحيل القسمة على صفر).

في الوظيفة التي ندرسها (y \ u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) تبين أن كل شيء بسيط ، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.

زوجي ، غريب

افحص الآن دالة التكافؤ. لنبدأ بنظرية صغيرة. الوظيفة الزوجية هي دالة تحقق الشرط f (-x) = f (x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). الأمثلة هي:

• الوحدة النمطية x (يبدو الرسم البياني مثل الغراب ، ومنصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني) ؛
• x تربيع (القطع المكافئ) ؛
• جيب التمام x (موجة جيب التمام).

لاحظ أن كل هذه الرسوم البيانية متماثلة عند عرضها بالنسبة لمحور ص.

إذن ما يسمى بالدالة الفردية؟ هذه هي الوظائف التي تحقق الشرط: f (-x) \ u003d - f (x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:

• القطع الزائد؛
• مكعب مكافئ
• الجيب.
• الظل وهلم جرا.

يرجى ملاحظة أن هذه الوظائف متماثلة حول النقطة (0: 0) ، أي نقطة الأصل. بناءً على ما قيل في هذا القسم من المقالة ، يجب أن يكون للدالة الفردية والزوجية الخاصية: x ينتمي إلى مجموعة التعريف و -x أيضًا.

دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنها لا تتناسب مع أي من الأوصاف. لذلك ، فإن وظيفتنا ليست زوجية ولا فردية.

الخطوط المقاربة

لنبدأ بتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يمكن إلى الرسم البياني ، أي المسافة من نقطة ما تميل إلى الصفر. هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:

• عمودي ، أي موازية للمحور ص ؛
• أفقي ، أي موازٍ للمحور السيني ؛
• منحرف - مائل.

بالنسبة للنوع الأول ، يجب البحث عن هذه الخطوط في بعض النقاط:

• فجوة؛
• نهايات المجال.

في حالتنا هذه الوظيفة متصلة ومجال التعريف هو R. لذلك لا توجد خطوط مقاربة عمودية.

يحتوي الرسم البياني للوظيفة على خط مقارب أفقي ، والذي يفي بالمتطلبات التالية: إذا كان x يميل إلى اللانهاية أو ناقص اللانهاية ، والحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال ، أ). في هذه الحالة ، y = a هو الخط المقارب الأفقي. لا توجد خطوط مقاربة أفقية في الوظيفة التي ندرسها.

لا يوجد خط مقارب مائل إلا إذا تم استيفاء شرطين:

• ليم (و (س)) / س = ك ؛
• ليم و (س) -ككس = ب.

ثم يمكن إيجادها بالصيغة: y = kx + b. مرة أخرى ، في حالتنا لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

الأصفار الوظيفية

الخطوة التالية هي فحص الرسم البياني لوظيفة الأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط في دراسة وبناء الرسم البياني للوظيفة ، ولكن أيضًا كمهمة مستقلة وكوسيلة لحل التفاوتات. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام تدوين رياضي.

سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الوظيفة بدقة أكبر. بعبارات بسيطة ، فإن صفر الوظيفة هو قيمة المتغير x ، حيث y \ u003d 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني ، فعليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور x.

لإيجاد أصفار الدالة ، تحتاج إلى حل المعادلة التالية: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. بعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:

علامة الثبات

المرحلة التالية في دراسة وبناء دالة (رسوم بيانية) هي إيجاد فترات من ثبات الإشارة. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة موجبة ، وفي أي الفترات تأخذ قيمة سالبة. ستساعدنا أصفار الوظائف الموجودة في القسم السابق على القيام بذلك. لذلك ، نحتاج إلى بناء خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وتوزيع أصفار الدالة على طوله بالترتيب الصحيح من الأصغر إلى الأكبر. أنت الآن بحاجة إلى تحديد أي من الفترات الناتجة يحتوي على علامة "+" وأي منها يحتوي على "-".

في حالتنا ، تأخذ الدالة قيمة موجبة على الفترات الزمنية:

• من 1 إلى 4 ؛
• من 9 إلى ما لا نهاية.

معنى سلبي:

• من سالب ما لا نهاية إلى 1 ؛
• من 4 إلى 9.

هذا من السهل تحديده. عوّض بأي رقم من الفترة في الدالة وانظر ما هي علامة الإجابة (ناقص أو زائد).

الوظيفة تصاعديا وتناقصا

من أجل استكشاف دالة وبنائها ، نحتاج إلى معرفة مكان زيادة الرسم البياني (صعودًا في Oy) ، وأين سينخفض ​​(الزحف لأسفل على طول المحور الصادي).

تزيد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تتوافق مع القيمة الأكبر لـ y. أي أن x2 أكبر من x1 و f (x2) أكبر من f (x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا في دالة تناقص (كلما زاد س ، قل ص). لتحديد فترات الزيادة والنقصان ، عليك إيجاد ما يلي:

• النطاق (لدينا بالفعل) ؛
• المشتق (في حالتنا: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) ؛
• حل المعادلة 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

بعد الحسابات نحصل على النتيجة:

نحصل على: تزداد الدالة على الفترات من سالب ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية ، وتنخفض في الفترة من 7/3 إلى 7.

النهايات

الدالة التي تم فحصها y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) متصلة وموجودة لأي قيم للمتغير x. تُظهر النقطة القصوى الحد الأقصى والأدنى لهذه الوظيفة. في حالتنا ، لا يوجد أي شيء ، مما يبسط إلى حد كبير مهمة البناء. خلاف ذلك ، يتم إيجادها أيضًا باستخدام دالة المشتق. بعد العثور عليها ، لا تنسى وضع علامة عليها على الرسم البياني.

التحدب والتقعر

نواصل دراسة الوظيفة y (x). الآن نحن بحاجة إلى التحقق من التحدب والتقعر. يصعب إدراك تعاريف هذه المفاهيم ، فمن الأفضل تحليل كل شيء بالأمثلة. بالنسبة للاختبار: تكون الوظيفة محدبة إذا كانت دالة غير متناقصة. موافق ، هذا غير مفهوم!

علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: y = 1/3 (6x-28). الآن نساوي الطرف الأيمن بالصفر ونحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. لقد وجدنا نقطة الانعطاف ، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من محدب إلى مقعر أو العكس. في الفترة من سالب اللانهاية إلى 14/3 ، تكون الوظيفة محدبة ، ومن 14/3 إلى ما لا نهاية ، تكون مقعرة. من المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة الانعطاف على الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة ، ولا ينبغي أن تكون هناك أي زوايا حادة.

تعريف النقاط الإضافية

مهمتنا هي استكشاف الرسم البياني للوظيفة ورسمه. لقد أكملنا الدراسة ، لن يكون من الصعب رسم الوظيفة الآن. للحصول على إعادة إنتاج أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على مستوى الإحداثيات ، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدًا حسابها. على سبيل المثال ، نأخذ x = 3 ، ونحل المعادلة الناتجة ونوجد y = 4. أو x = 5 و y = -5 وهكذا. يمكنك الحصول على العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 منهم على الأقل.

التخطيط

كنا بحاجة إلى التحقق من الوظيفة (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. تم إجراء جميع العلامات اللازمة في سياق العمليات الحسابية على مستوى الإحداثيات. كل ما يتبقى هو إنشاء رسم بياني ، أي ربط جميع النقاط ببعضها البعض. يعتبر ربط النقاط سلسًا ودقيقًا ، فهذه مسألة مهارة - القليل من الممارسة وسيكون جدولك مثاليًا.

تتم دراسة الوظيفة وفقًا لمخطط واضح ويتطلب أن يكون لدى الطالب معرفة قوية بالمفاهيم الرياضية الأساسية مثل مجال التعريف والقيم ، واستمرارية الوظيفة ، والخط المقارب ، والنقاط القصوى ، والتكافؤ ، والدورية ، إلخ. يجب على الطالب التفريق بين الوظائف بحرية وحل المعادلات التي تكون في بعض الأحيان معقدة للغاية.

أي أن هذه المهمة تختبر طبقة كبيرة من المعرفة ، وأي فجوة ستصبح عقبة أمام الحصول على الحل الصحيح. غالبًا ما تنشأ صعوبات في بناء الرسوم البيانية للوظائف. يلفت هذا الخطأ انتباه المعلم على الفور ويمكن أن يفسد درجتك بشكل كبير ، حتى لو تم تنفيذ كل شيء بشكل صحيح. هنا يمكنك أن تجد مهام لدراسة الوظيفة عبر الإنترنت: أمثلة على الدراسة ، تنزيل الحلول ، تعيينات الطلبات.

تقصي وظيفة ومؤامرة: أمثلة وحلول عبر الإنترنت

لقد أعددنا لك الكثير من دراسات الميزات الجاهزة ، المدفوعة في كتاب الحلول ، ومجانية في قسم أمثلة أبحاث الميزات. على أساس هذه المهام التي تم حلها ، سوف تكون قادرًا على التعرف بالتفصيل على منهجية أداء مثل هذه المهام ، عن طريق القياس ، وإجراء البحوث الخاصة بك.

نحن نقدم أمثلة جاهزة لدراسة كاملة ورسم مخطط وظيفي للأنواع الأكثر شيوعًا: متعدد الحدود ، عقلاني كسري ، غير منطقي ، أسي ، لوغاريتمي ، دوال مثلثية. كل مشكلة تم حلها مصحوبة برسم بياني جاهز مع نقاط رئيسية مختارة ، وخطوط مقاربة ، والحدود القصوى والحد الأدنى ، ويتم تنفيذ الحل وفقًا لخوارزمية دراسة الوظيفة.

ستكون الأمثلة التي تم حلها ، على أي حال ، مساعدة جيدة لك ، لأنها تغطي أكثر أنواع الوظائف شيوعًا. نقدم لك المئات من المشكلات التي تم حلها بالفعل ، ولكن ، كما تعلم ، هناك عدد لا حصر له من الوظائف الرياضية في العالم ، والمعلمون خبراء رائعون في اختراع المزيد والمزيد من المهام المعقدة للطلاب الفقراء. لذا ، أيها الطلاب الأعزاء ، فإن المساعدة المؤهلة لن تؤذيكم.

حل مشاكل دراسة دالة لترتيبها

في هذه الحالة ، سيقدم لك شركاؤنا خدمة أخرى - دراسة كاملة الوظائف عبر الإنترنتلكي يطلب. سيتم إكمال المهمة نيابة عنك وفقًا لجميع متطلبات الخوارزمية لحل مثل هذه المشكلات ، والتي ستسعد معلمك كثيرًا.

سنقوم بإجراء دراسة كاملة للوظيفة من أجلك: سنجد مجال التعريف ونطاق القيم ، ونفحص الاستمرارية والانقطاع ، ونضبط التكافؤ ، ونتحقق من وظيفتك من أجل الدورية ، ونجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات . وبالطبع ، بمساعدة حساب التفاضل ، سنجد الخطوط المقاربة ، ونحسب القيم القصوى ، ونقاط الانعطاف ، ونبني الرسم البياني نفسه.

النقاط المرجعية في دراسة الوظائف وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم هي نقاط مميزة - نقاط الانقطاع ، الحد الأقصى ، الانقلاب ، التقاطع مع محاور الإحداثيات. بمساعدة حساب التفاضل والتكامل ، من الممكن تحديد السمات المميزة للتغيير في الوظائف: الزيادة والنقصان ، والحد الأقصى والحد الأدنى ، واتجاه تحدب الرسم البياني وتقعره ، ووجود الخطوط المقاربة.

يمكن (ويجب) رسم رسم تخطيطي للرسم البياني للوظيفة بعد العثور على الخطوط المقاربة والنقاط القصوى ، ومن الملائم ملء جدول ملخص لدراسة الوظيفة في سياق الدراسة.

عادة ، يتم استخدام المخطط التالي للبحث الوظيفي.

1.أوجد المجال وفترات الاستمرارية ونقاط توقف الدالة.

2.افحص وظيفة الزوجي أو الفردي (التناظر المحوري أو المركزي للرسم البياني.

3.ابحث عن الخطوط المقاربة (عمودية أو أفقية أو مائلة).

4.ابحث عن فترات الزيادة والنقصان في الوظيفة ونقاطها القصوى واستكشفها.

5.أوجد فترات التحدب والتقعر للمنحنى ونقاط انعطافه.

6.أوجد نقاط تقاطع المنحنى مع محاور الإحداثيات ، إن وجدت.

7.قم بتجميع جدول ملخص للدراسة.

8.قم بإنشاء رسم بياني ، مع مراعاة دراسة الوظيفة ، وفقًا للنقاط المذكورة أعلاه.

مثال.اكتشف الوظيفة

ورسمها.

7. لنقم بعمل جدول ملخص لدراسة الوظيفة ، حيث سنقوم بإدخال جميع النقاط المميزة والفترات الفاصلة بينها. بالنظر إلى تكافؤ الوظيفة ، نحصل على الجدول التالي:

من أهم مهام حساب التفاضل هو تطوير أمثلة عامة لدراسة سلوك الوظائف.

إذا كانت الدالة y \ u003d f (x) متصلة على الفاصل الزمني ، وكان مشتقها موجبًا أو يساوي 0 على الفاصل الزمني (أ ، ب) ، فإن y \ u003d f (x) يزيد بمقدار (f "(x) 0). إذا كانت الدالة y \ u003d f (x) متصلة على المقطع ، وكان مشتقها سالبًا أو يساوي 0 على الفترة (أ ، ب) ، فإن y = f (x) ينقص بمقدار (f "( خ) 0)

تسمى الفترات التي لا تنقص فيها الوظيفة أو تزيد بفترات رتابة الوظيفة. لا يمكن أن تتغير طبيعة رتابة الوظيفة إلا في تلك النقاط من مجال تعريفها ، حيث تتغير علامة المشتق الأول. تسمى النقاط التي يختفي عندها المشتق الأول للدالة أو ينكسر بالنقاط الحرجة.

النظرية 1 (الشرط الأول الكافي لوجود الحد الأقصى).

دع الدالة y = f (x) تُعرَّف عند النقطة x 0 وليكن هناك جوار δ> 0 بحيث تكون الوظيفة مستمرة على المقطع ، وقابلة للتفاضل على الفاصل الزمني (x 0 -δ، x 0) u ( x 0، x 0 + δ) ومشتقها يحتفظ بإشارة ثابتة على كل من هذه الفترات. ثم إذا كانت علامات المشتق على x 0 -δ و x 0) و (x 0، x 0 +) مختلفة ، فإن x 0 هي نقطة نهائية ، وإذا كانت متطابقة ، فإن x 0 ليست نقطة نهائية . علاوة على ذلك ، عند المرور عبر النقطة x0 ، يتغير المشتق من علامة زائد إلى ناقص (إلى يسار x 0 ، يتم تنفيذ f "(x)> 0 ، فإن x 0 هي النقطة القصوى ؛ إذا تغير المشتق إشارة من سالب إلى زائد (على يمين x 0 يتم تنفيذه بواسطة f "(x)<0, то х 0 - точка минимума.

تسمى النقاط العظمى والصغرى بالنقاط القصوى للدالة ، وتسمى القيم القصوى والدنيا للدالة قيمها القصوى.

النظرية 2 (المعيار الضروري للأقصى المحلي).

إذا كانت الدالة y = f (x) لها قيمة قصوى عند التيار x = x 0 ، فإما أن f '(x 0) = 0 أو f' (x 0) غير موجود.
عند النقاط القصوى للدالة القابلة للاشتقاق ، يكون مماس الرسم البياني الخاص بها موازيًا لمحور الثور.

خوارزمية لدراسة دالة لأقصى حد:

1) أوجد مشتق الوظيفة.
2) ابحث عن النقاط الحرجة ، أي النقاط التي تكون فيها الوظيفة متصلة ويكون المشتق صفراً أو غير موجود.
3) ضع في اعتبارك جوار كل نقطة ، وافحص علامة المشتق على يسار ويمين هذه النقطة.
4) تحديد إحداثيات النقاط القصوى ، لهذه القيمة من النقاط الحرجة ، استبدل هذه الوظيفة. باستخدام الشروط القصوى الكافية ، استخلص الاستنتاجات المناسبة.

مثال 18. تحقق من الدالة y = x 3-9x 2 + 24x

حل.
1) ص "= 3 س 2 -18 س + 24 = 3 (س -2) (س -4).
2) معادلة المشتق بصفر ، نجد x 1 = 2 ، x 2 = 4. في هذه الحالة ، يتم تعريف المشتق في كل مكان ؛ وبالتالي ، باستثناء النقطتين الموجودتين ، لا توجد نقاط حرجة أخرى.
3) علامة المشتق y "= 3 (x-2) (x-4) تتغير اعتمادًا على الفترة الزمنية كما هو موضح في الشكل 1. عند المرور بالنقطة x = 2 ، يتغير المشتق من موجب إلى ناقص ، وعند المرور بالنقطة س = 4 - من سالب إلى موجب.
4) عند النقطة x = 2 ، يكون للدالة حد أقصى y max = 20 ، وعند النقطة x = 4 - الحد الأدنى y min = 16.

النظرية 3. (الشرط الثاني الكافي لوجود حد أقصى).

دع f "(x 0) و f" (x 0) موجودان عند النقطة x 0. ثم إذا كانت f "" (x 0)> 0 ، فإن x 0 هي النقطة الدنيا ، وإذا كانت f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

في المقطع ، يمكن أن تصل الوظيفة y \ u003d f (x) إلى القيمة الأصغر (على الأقل) أو الأكبر (على الأكثر) إما في النقاط الحرجة للوظيفة الموجودة في الفترة الزمنية (أ ؛ ب) ، أو في النهايات من الجزء.

الخوارزمية لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة y = f (x) على المقطع:

1) ابحث عن f "(x).
2) أوجد النقاط التي لا توجد عندها f "(x) = 0 أو f" (x) ، واختر منها تلك التي تقع داخل المقطع.
3) احسب قيمة الدالة y \ u003d f (x) عند النقاط التي تم الحصول عليها في الفقرة 2) ، وكذلك في نهايات المقطع واختر الأكبر والأصغر منها: فهي الأكبر (على التوالي) ( لأكبر) وأصغر (لأصغر) قيم الدالة على الفاصل الزمني.

مثال 19. أوجد أكبر قيمة لدالة متصلة y = x 3 -3x 2-45 + 225 في المقطع.

1) لدينا y "= 3x 2 -6x-45 في المقطع
2) المشتق y "موجود لكل x. لنجد النقاط حيث y" = 0؛ نحن نحصل:
3 × 2 - 6 × 45 = 0
× 2 -2 س -15 = 0
× 1 \ u003d -3 ؛ س 2 = 5
3) احسب قيمة الدالة عند النقاط س = 0 ص = 225 ، س = 5 ص = 50 ، س = 6 ص = 63
فقط النقطة س = 5 تنتمي إلى المقطع. أكبر القيم التي تم العثور عليها للدالة هي 225 ، وأصغرها هي الرقم 50. لذلك ، عند الحد الأقصى = 225 ، عند الحد الأقصى = 50.

التحقيق في وظيفة التحدب

يوضح الشكل الرسوم البيانية لوظيفتين. يتم قلب أولهم مع انتفاخ ، والثاني - مع انتفاخ لأسفل.

الوظيفة y = f (x) متصلة على المقطع وقابلة للاشتقاق في الفترة (أ ؛ ب) ، تسمى محدبة لأعلى (لأسفل) على هذا المقطع ، إذا لم يكن الرسم البياني بالنسبة إلى المحور أعلى (ليس أقل) من المماس مرسومة عند أي نقطة M 0 (x 0 ؛ f (x 0)) ، حيث axb.

النظرية 4. اجعل الدالة y = f (x) لها مشتق ثانٍ عند أي نقطة داخلية x من المقطع وتكون متصلة في نهايات هذا المقطع. ثم إذا تم استيفاء المتباينة f "" (x) 0 في الفترة (أ ؛ ب) ، تكون الوظيفة محدبة لأسفل على المقطع ؛ إذا كانت المتباينة f "" (x) 0 محققة في الفترة (а؛ b) ، فإن الدالة محدبة لأعلى.

النظرية 5. إذا كانت الدالة y = f (x) لها مشتق ثانٍ في الفترة (أ ؛ ب) وإذا تغيرت الإشارة عند المرور بالنقطة x 0 ، فإن M (x 0 ؛ f (x 0)) تكون نقطة انعطاف.

حكم إيجاد نقاط الانعطاف:

1) ابحث عن النقاط التي لا توجد فيها f "" (x) أو تتلاشى.
2) افحص العلامة f "" (x) على يسار ويمين كل نقطة تم العثور عليها في الخطوة الأولى.
3) بناءً على النظرية 4 ، استخلص نتيجة.

مثال 20. أوجد النقاط القصوى ونقاط الانعطاف في الرسم البياني للوظيفة y = 3x4 -8x 3 + 6x 2 +12.

لدينا f "(x) = 12x 3 -24x 2 + 12x = 12x (x-1) 2. من الواضح أن f" (x) = 0 لـ x 1 = 0 ، x 2 = 1. المشتق ، عند المرور بالنقطة x = 0 ، يتغير الإشارة من سالب إلى زائد ، وعند المرور بالنقطة x = 1 ، لا يغير العلامة. هذا يعني أن x = 0 هي النقطة الدنيا (y min = 12) ، ولا يوجد حد أقصى عند النقطة x = 1. بعد ذلك ، نجد . يتلاشى المشتق الثاني عند النقاط x 1 = 1 ، x 2 = 1/3. علامات تغيير المشتق الثاني على النحو التالي: على الشعاع (-؛) لدينا f "" (x)> 0 ، في الفترة الزمنية (؛ 1) لدينا f "" (x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. لذلك ، x = هي نقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة (الانتقال من التحدب نزولاً إلى التحدب لأعلى) و x = 1 هي أيضًا نقطة انعطاف (الانتقال من التحدب إلى التحدب لأسفل). إذا كانت x = ، فإن y = ؛ إذا ، إذن س = 1 ، ص = 13.

خوارزمية لإيجاد الخط المقارب للرسم البياني

I. إذا كانت y = f (x) مثل x → a ، فإن x = a هو خط مقارب عمودي.
ثانيًا. إذا كانت y = f (x) مثل x → ∞ أو x →-، فإن y = A هو الخط المقارب الأفقي.
ثالثا. للعثور على الخط المقارب المائل ، نستخدم الخوارزمية التالية:
1) احسب. إذا كانت النهاية موجودة وتساوي b ، فإن y = b هي الخط المقارب الأفقي ؛ إذا ، فانتقل إلى الخطوة الثانية.
2) احسب. إذا كان هذا الحد غير موجود ، فلا يوجد خط مقارب ؛ إذا كانت موجودة وتساوي k ، فانتقل إلى الخطوة الثالثة.
3) احسب. إذا كان هذا الحد غير موجود ، فلا يوجد خط مقارب ؛ إذا كان موجودًا ويساوي ب ، فانتقل إلى الخطوة الرابعة.
4) اكتب معادلة الخط المقارب المائل y = kx + b.

مثال 21: ابحث عن خط مقارب لوظيفة

1)
2)
3)
4) معادلة الخط المقارب المائل لها الشكل

مخطط دراسة الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها

I. أوجد مجال الوظيفة.
ثانيًا. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.
ثالثا. ابحث عن الخطوط المقاربة.
رابعا. ابحث عن نقاط الحد الأقصى المحتملة.
خامسا البحث عن النقاط الحرجة.
السادس. باستخدام الرسم الإضافي ، تحقق من علامة المشتقين الأول والثاني. تحديد مناطق الزيادة والنقصان في الدالة ، والعثور على اتجاه تحدب الرسم البياني ، ونقاط الحد الأقصى ونقاط الانعطاف.
سابعا. أنشئ رسمًا بيانيًا ، مع مراعاة الدراسة التي أجريت في الفقرات 1-6.

مثال 22: ارسم مخططًا وظيفيًا وفقًا للمخطط أعلاه

حل.
I. مجال الوظيفة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، باستثناء x = 1.
ثانيًا. نظرًا لأن المعادلة x 2 + 1 = 0 ليس لها جذور حقيقية ، فإن الرسم البياني للوظيفة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع محور Ox ، ولكنه يتقاطع مع محور Oy عند النقطة (0 ؛ -1).
ثالثا. دعونا نوضح مسألة وجود الخطوط المقاربة. نحن نحقق في سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع س = 1. بما أن y → ∞ لـ x →-، y → + ∞ لـ x → 1+ ، فإن الخط x = 1 هو خط مقارب رأسي للرسم البياني للدالة.
إذا كانت x → + ∞ (x →-) ، إذن y → + ∞ (y →-) ؛ لذلك ، لا يحتوي الرسم البياني على خط مقارب أفقي. علاوة على ذلك ، من وجود حدود

بحل المعادلة × 2 -2 س -1 = 0 ، نحصل على نقطتين من الحد الأقصى المحتمل:
x 1 = 1-2 و x 2 = 1 + 2

V. لإيجاد النقاط الحرجة ، نحسب المشتق الثاني:

بما أن f "" (x) لا تختفي ، فلا توجد نقاط حرجة.
السادس. نتحرى عن علامة المشتقين الأول والثاني. النقاط القصوى المحتملة التي يجب أخذها في الاعتبار: x 1 = 1-√2 و x 2 = 1 + 2 ، اقسم مساحة وجود الدالة إلى فترات (-∞ ؛ 1-√2) ، (1-2 ؛ 1 + 2) و (1 + √2 ؛ +).

في كل فترة من هذه الفترات ، يحتفظ المشتق بعلامته: في الأول - زائد ، في الثاني - ناقص ، في الثالث - زائد. سيتم كتابة تسلسل علامات المشتق الأول على النحو التالي: + ، - ، +.
نحصل على أن الوظيفة على (-؛ 1-√2) تزداد ، على (1-2 ؛ 1 + 2) تنخفض ، وعلى (1 + √2 ؛ +) تزداد مرة أخرى. نقاط Extremum: الحد الأقصى عند x = 1-√2 ، علاوة على ذلك f (1-√2) = 2-2√2 كحد أدنى عند x = 1 + √2 ، علاوة على ذلك f (1 + √2) = 2 + 2√2. في (-∞ ؛ 1) يكون الرسم البياني محدبًا لأعلى ، وفي (1 ؛ + ∞) - لأسفل.
VII لنقم بعمل جدول للقيم التي تم الحصول عليها

VIII بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، قمنا بإنشاء رسم تخطيطي للرسم البياني للوظيفة