كيف تبحث عن مضاعف إضافي. كيف تصل إلى قاسم مشترك؟ درس: اختزال الكسور إلى مقام موحد

الكسور لها نفس القواسم أو مختلفة. المقام نفسه أو يسمى بطريقة أخرى القاسم المشتركفي الكسر مثال على القاسم المشترك:

\ (\ frac (17) (5)، \ frac (1) (5) \)

مثال على قواسم مختلفة للكسور:

\ (\ frac (8) (3)، \ frac (2) (13) \)

كيفية إيجاد المقام المشترك لكسر؟

الكسر الأول مقامه 3 ، والثاني هو 13. أنت بحاجة إلى إيجاد رقم يقبل القسمة على كل من 3 و 13. هذا الرقم هو 39.

يجب ضرب الكسر الأول في مضاعف إضافي 13. حتى لا يتغير الكسر ، يجب أن نضرب كلًا من البسط في 13 والمقام.

\ (\ frac (8) (3) = \ فارك (8 \ مرات \ اللون (أحمر) (13)) (3 \ مرات \ اللون (أحمر) (13)) = \ فارك (104) (39) \)

نضرب الكسر الثاني في عامل إضافي 3.

\ (\ frac (2) (13) = \ فارك (2 \ مرات \ اللون (أحمر) (3)) (13 \ مرات \ اللون (أحمر) (3)) = \ فارك (6) (39) \)

لقد اختزلنا المقام المشترك للكسر:

\ (\ frac (8) (3) = \ frac (104) (39) ، \ frac (2) (13) = \ frac (6) (39) \)

القاسم المشترك الأدنى.

فكر في مثال آخر:

لنجلب الكسور \ (\ frac (5) (8) \) و \ (\ frac (7) (12) \) إلى قاسم مشترك.

يمكن أن يكون المقام المشترك للأرقام 8 و 12 هو الأرقام 24 ، 48 ، 96 ، 120 ، ... ، من المعتاد الاختيار القاسم المشترك الأدنىفي حالتنا ، هذا الرقم هو 24.

القاسم المشترك الأدنىهو أصغر عدد يقسم مقام الكسرين الأول والثاني.

كيف تجد القاسم المشترك الأصغر؟
من خلال تعداد الأعداد ، والذي يتم من خلاله تقسيم مقام الكسرين الأول والثاني واختيار أصغرهما.

علينا ضرب الكسر بمقامه 8 في 3 ، وضرب الكسر بمقامه 12 في 2.

\ (\ start (align) & \ frac (5) (8) = \ frac (5 \ times \ color (red) (3)) (8 \ times \ color (red) (3)) = \ frac (15 ) (24) \\\\ & \ frac (7) (12) = \ frac (7 \ times \ color (red) (2)) (12 \ times \ color (red) (2)) = \ frac ( 14) (24) \\\\ \ end (محاذاة) \)

إذا لم تتمكن من إحضار الكسور على الفور إلى القاسم المشترك الأصغر ، فلا داعي للقلق ، في المستقبل ، عند حل المثال ، قد تضطر إلى الحصول على الإجابة

يمكن إيجاد مقام مشترك لأي كسرين ؛ يمكن أن يكون حاصل ضرب مقامات هذه الكسور.

على سبيل المثال:
اختصر الكسور \ (\ frac (1) (4) \) و \ (\ frac (9) (16) \) لأقل مقام مشترك.

أسهل طريقة لإيجاد المقام المشترك هي ضرب المقامات 4⋅16 = 64. الرقم 64 ليس القاسم المشترك الأصغر. المهمة هي العثور على أصغر قاسم مشترك. لذلك نحن نتطلع إلى أبعد من ذلك. نحتاج إلى رقم يقبل القسمة على كل من 4 و 16 ، وهذا هو الرقم 16. فلنقلل الكسر إلى مقام مشترك ، ونضرب الكسر بمقامه 4 في 4 ، والكسر بمقامه 16 في واحد. نحن نحصل:

\ (\ start (align) & \ frac (1) (4) = \ frac (1 \ times \ color (red) (4)) (4 \ times \ color (red) (4)) = \ frac (4 ) (16) \\\\ & \ frac (9) (16) = \ frac (9 \ times \ color (red) (1)) (16 \ times \ color (red) (1)) = \ frac ( 9) (16) \\\\ \ end (محاذاة) \)

في هذا الدرس ، سننظر في اختزال الكسور إلى قاسم مشترك وحل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع. دعنا نعطي تعريفًا لمفهوم القاسم المشترك وعاملًا إضافيًا ، تذكر أرقام حقوق الملكية. دعنا نحدد مفهوم المقام المشترك الأصغر (LCD) ونحل عددًا من المشكلات لإيجاده.

الموضوع: جمع وطرح الكسور ذات القواسم المختلفة

درس: اختزال الكسور إلى مقام موحد

تكرار. الخاصية الأساسية لكسر.

إذا تم ضرب أو قسمة بسط الكسر في نفس العدد الطبيعي ، فسيتم الحصول على كسر يساوي ذلك.

على سبيل المثال ، يمكن قسمة بسط الكسر ومقامه على 2. نحصل على كسر. هذه العملية تسمى تقليل الكسر. يمكنك أيضًا إجراء التحويل العكسي بضرب بسط الكسر ومقامه في 2. في هذه الحالة ، نقول إننا اختزلنا الكسر إلى مقام جديد. الرقم 2 يسمى عامل إضافي.

خاتمة.يمكن اختزال الكسر إلى أي مقام مضاعف لمقام الكسر المحدد. لإحضار كسر إلى مقام جديد ، يتم ضرب بسطه ومقامه في عامل إضافي.

1. أحضر الكسر إلى المقام 35.

العدد 35 هو من مضاعفات 7 ، أي أن 35 يقبل القسمة على 7 بدون الباقي. لذا فإن هذا التحول ممكن. لنجد عاملًا إضافيًا. للقيام بذلك ، نقسم 35 على 7. نحصل على 5. نضرب بسط ومقام الكسر الأصلي في 5.

2. اجعل الكسر في المقام 18.

لنجد عاملًا إضافيًا. للقيام بذلك ، نقسم المقام الجديد على المقام الأصلي. نحصل على 3. نضرب بسط هذا الكسر ومقامه في 3.

3. اجعل الكسر في المقام 60.

بقسمة 60 على 15 ، نحصل على مضاعف إضافي. إنها تساوي 4. لنضرب البسط والمقام في 4.

4. أحضر الكسر إلى المقام 24

في الحالات البسيطة ، يتم إجراء الاختزال إلى قاسم جديد في العقل. من المعتاد الإشارة فقط إلى عامل إضافي خلف القوس قليلاً إلى اليمين وفوق الكسر الأصلي.

يمكن اختزال الكسر إلى مقامه 15 ويمكن اختزال الكسر إلى مقامه 15. يكون للكسر مقامًا مشتركًا وهو 15.

يمكن أن يكون المقام المشترك للكسور أي مضاعف مشترك لمقامها. للتبسيط ، يتم تقليل الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر. إنه يساوي المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور المعطاة.

مثال. اختصر إلى المقام المشترك الأصغر للكسر و.

أولاً ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور. هذا العدد هو 12. لنجد عاملًا إضافيًا للكسرين الأول والثاني. للقيام بذلك ، نقسم 12 على 4 وعلى 6. ثلاثة عامل إضافي للكسر الأول واثنان للكسر الثاني. نضع الكسور في المقام 12.

لقد اختزلنا الكسور إلى مقام مشترك ، أي وجدنا الكسور التي تساويها ولها نفس المقام.

قاعدة.لجلب الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر ،

أولاً ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقام هذه الكسور ، والذي سيكون قاسمها المشترك الأصغر ؛

ثانيًا ، اقسم المقام المشترك الأصغر على مقامات هذه الكسور ، أي ابحث عن عامل إضافي لكل كسر.

ثالثًا ، اضرب بسط كل كسر ومقامه في عامله الإضافي.

أ) اختصر الكسور إلى قاسم مشترك.

القاسم المشترك الأصغر هو 12. العامل الإضافي للكسر الأول هو 4 ، وللثاني - 3. نضع الكسور في المقام 24.

ب) اختصر الكسور والمقام المشترك.

القاسم المشترك الأصغر هو 45. وبقسمة 45 على 9 على 15 ، نحصل على 5 و 3 على التوالي ، وننقل الكسور إلى المقام 45.

ج) اختصر الكسور والمقام المشترك.

المقام المشترك هو 24. العوامل الإضافية هي 2 و 3 على التوالي.

يصعب أحيانًا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لفظيًا لمقام كسور معينة. ثم يتم إيجاد القاسم المشترك والعوامل الإضافية بالتحليل إلى عوامل أولية.

اختصر إلى قاسم مشترك من الكسر و.

لنحلل العددين 60 و 168 إلى عوامل أولية. لنكتب مفكوك العدد 60 ونجمع العوامل الناقصة 2 و 7 من المفكوك الثانية. اضرب 60 في 14 واحصل على مقام مشترك 840. العامل الإضافي للكسر الأول هو 14. العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5. لنختصر الكسور إلى مقام مشترك 840.

فهرس

1. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S. وغيرها الرياضيات 6. - م: Mnemozina، 2012.

2. Merzlyak A.G. ، Polonsky V.V. ، Yakir MS. رياضيات الصف السادس. - صالة للألعاب الرياضية 2006.

3. Depman IYa.، Vilenkin N.Ya. خلف صفحات كتاب رياضيات. - التنوير 1989.

4. Rurukin A.N. ، Chaikovsky I.V. مهام مقرر الرياضيات للصف الخامس والسادس. - ZSH MEPhI ، 2011.

5. Rurukin A.N. ، Sochilov S.V. ، Chaikovsky K.G. الرياضيات 5-6. دليل لطلاب الصف السادس من مدرسة المراسلة MEPhI. - ZSH MEPhI ، 2011.

6. Shevrin L.N.، Gein A.G.، Koryakov I.O. الرياضيات: محاور كتاب مدرسي للصفوف 5-6 من المدرسة الثانوية. مكتبة مدرس الرياضيات. - التنوير 1989.

يمكنك تنزيل الكتب المحددة في البند 1.2. هذا الدرس.

العمل في المنزل

فيلينكين إن يا ، جوخوف في ، تشيسنوكوف أ. الرياضيات 6. - م: Mnemozina، 2012. (انظر الرابط 1.2)

الواجب المنزلي: رقم 297 ، رقم 298 ، رقم 300.

المهام الأخرى: # 270 ، # 290

كيفية تحويل الكسور الجبرية (المنطقية) إلى قاسم مشترك؟

1) إذا كانت مقامات الكسور متعددة الحدود ، فأنت بحاجة إلى تجربة إحدى الطرق المعروفة.

2) يتكون القاسم المشترك الأصغر (LCD) من الجميع المضاعفات المأخوذة أعظم درجة.

يتم البحث شفهيًا عن القاسم المشترك الأصغر للأرقام باعتباره أصغر رقم يقبل القسمة على باقي الأرقام.

3) لإيجاد عامل إضافي لكل كسر ، عليك قسمة المقام الجديد على القديم.

4) يتم ضرب بسط الكسر الأصلي ومقامه في عامل إضافي.

ضع في اعتبارك أمثلة على اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك.

للعثور على مقام مشترك للأرقام ، اختر الرقم الأكبر وتحقق مما إذا كان يقبل القسمة على الرقم الأصغر. ١٥ لا يقبل القسمة على ٩. نضرب 15 في 2 ونتحقق مما إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة على 9. 30 لا يقبل القسمة على 9. نضرب 15 في 3 ونتحقق مما إذا كان الرقم الناتج يقبل القسمة على 9. 45 يقبل القسمة على 9 ، مما يعني أن المقام المشترك للأرقام هو 45.

القاسم المشترك الأصغر هو مجموع كل العوامل المأخوذة إلى أعلى قوة. وبالتالي ، فإن القاسم المشترك لهذه الكسور هو 45 ق.م (تُكتب الأحرف عادةً بترتيب أبجدي).

لإيجاد عامل إضافي لكل كسر ، عليك قسمة المقام الجديد على القديم. 45 ق.م: (15 ب) = 3 ج ، 45 ق.م: (9 ج) = 5 ب. نضرب بسط كل كسر ومقامه في عامل إضافي:

أولًا ، نبحث عن مقام مشترك للأرقام: 8 لا تقبل القسمة على 6 ، 8 ∙ 2 = 16 غير قابلة للقسمة على 6 ، 8 ∙ 3 = 24 قابلة للقسمة على 6. يجب تضمين كل متغير في المقام المشترك مرة واحدة. من الدرجات نأخذ الدرجة بأس كبير.

وبالتالي ، فإن المقام المشترك لهذه الكسور هو 24a³bc.

لإيجاد عامل إضافي لكل كسر ، تحتاج إلى قسمة المقام الجديد على المقام القديم: 24a³bc: (6a³c) = 4b ، 24a³bc: (8a²bc) = 3a.

نضرب العامل الإضافي في البسط والمقام:

هناك حاجة إلى كثيرات الحدود في قواسم هذه الكسور. مقام الكسر الأول هو المربع الكامل للفرق: x²-18x + 81 = (x-9) ²؛ في المقام الثاني - فرق المربعات: x²-81 = (x-9) (x + 9):

يتكون المقام المشترك من جميع العوامل المأخوذة إلى أقصى حد ، أي أنها تساوي (x-9) ² (x + 9). نجد عوامل إضافية ونضربها في البسط والمقام لكل كسر:

مخطط الاختزال إلى قاسم مشترك

1. من الضروري تحديد المضاعف المشترك الأصغر لمقام الكسور. إذا كنت تتعامل مع رقم مختلط أو عدد صحيح ، فيجب عليك أولاً تحويله إلى كسر ، وبعد ذلك فقط تحديد المضاعف المشترك الأصغر. لتحويل عدد صحيح إلى كسر ، عليك كتابة الرقم نفسه في البسط ، والآخر في المقام. على سبيل المثال ، الرقم 5 في صورة كسر سيبدو كما يلي: 5/1. لتحويل عدد كسري إلى كسر ، عليك ضرب العدد الصحيح في المقام وإضافة البسط إليه. مثال: 8 أعداد صحيحة و 3/5 في صورة كسر = 8 × 5 + 3/5 = 43/5.
2. بعد ذلك ، من الضروري إيجاد عامل إضافي يتم تحديده بقسمة NOZ على مقام كل كسر.
3. الخطوة الأخيرة هي ضرب الكسر في عامل إضافي.

من المهم أن تتذكر أن الاختزال إلى قاسم مشترك ضروري ليس فقط للجمع أو الطرح. لمقارنة عدة كسور بمقامات مختلفة ، من الضروري أيضًا أولاً اختزال كل منها إلى قاسم مشترك.

تحويل الكسور إلى قاسم مشترك

لفهم كيفية اختزال الكسر إلى قاسم مشترك ، من الضروري فهم بعض خصائص الكسور. لذا ، فإن الخاصية المهمة المستخدمة للتقليل إلى NOZ هي تساوي الكسور. بمعنى آخر ، إذا تم ضرب بسط ومقام الكسر في رقم ، فإن النتيجة تكون كسرًا مساويًا للكسر السابق. لنأخذ المثال التالي كمثال. لتقليل الكسور 5/9 و 5/6 إلى القاسم المشترك الأصغر ، عليك القيام بما يلي:

1. أولاً ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام. في هذه الحالة ، بالنسبة للرقمين 9 و 6 ، ستكون شهادة عدم الممانعة 18.
2. نحدد عوامل إضافية لكل كسر. ويتم ذلك بالطريقة التالية. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر ، ونتيجة لذلك نحصل على 18: 9 \ u003d 2 و 18: 6 \ u003d 3. ستكون هذه الأرقام عوامل إضافية.
3. نحضر كسرين إلى NOZ. عند ضرب كسر في رقم ، يجب أن تضرب كلًا من البسط والمقام. يمكن ضرب الكسر 5/9 بعامل إضافي 2 ، مما ينتج عنه كسر يساوي العدد المعطى - 10/18. نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني: اضرب 5/6 في 3 لتحصل على 15/18.

كما ترى من المثال أعلاه ، تم تقليل كلا الكسرين إلى القاسم المشترك الأصغر. لفهم كيفية العثور أخيرًا على قاسم مشترك ، تحتاج إلى إتقان خاصية أخرى للكسور. يكمن في حقيقة أن بسط الكسر ومقامه يمكن اختزالهما بنفس الرقم ، وهو ما يسمى القاسم المشترك. على سبيل المثال ، يمكن اختزال الكسر 12/30 إلى 2/5 إذا كان مقسومًا على قاسم مشترك - الرقم 6.

في هذه المادة ، سنحلل كيفية تحويل الكسور بشكل صحيح إلى مقام جديد ، وما هو العامل الإضافي وكيفية العثور عليه. بعد ذلك ، نصوغ القاعدة الأساسية لاختزال الكسور إلى قواسم جديدة ونوضحها بأمثلة من المسائل.

مفهوم اختزال الكسر إلى مقام مختلف

تذكر الخاصية الأساسية للكسر. ووفقًا له ، فإن الكسر العادي أ ب (حيث يكون أ وب أي أرقام) يحتوي على عدد لا نهائي من الكسور التي تساويها. يمكن الحصول على هذه الكسور بضرب البسط والمقام في نفس العدد م (طبيعي). بعبارة أخرى ، يمكن استبدال جميع الكسور العادية بأخرى على شكل a m b m. هذا هو تخفيض القيمة الأصلية إلى كسر بالمقام المطلوب.

يمكنك إحضار كسر إلى مقام مختلف بضرب البسط والمقام في أي عدد طبيعي. الشرط الرئيسي هو أن المضاعف يجب أن يكون هو نفسه لكلا الجزأين من الكسر. النتيجة هي كسر يساوي الأصل.

دعنا نوضح هذا بمثال.

مثال 1

حوّل الكسر 11 25 إلى مقام جديد.

حل

خذ رقمًا طبيعيًا تعسفيًا 4 واضرب كلا جزئي الكسر الأصلي به. نحن نعتبر: 11 4 \ u003d 44 و 25 4 \ u003d 100. والنتيجة هي كسر 44100.

يمكن كتابة جميع الحسابات بهذا الشكل: 11 25 \ u003d 11 4 25 4 \ u003d 44100

اتضح أن أي كسر يمكن اختزاله إلى عدد كبير من القواسم المختلفة. بدلاً من أربعة ، يمكننا أخذ عدد طبيعي آخر والحصول على كسر آخر مكافئ للعدد الأصلي.

لكن لا يمكن لأي رقم أن يصبح مقامًا لكسر جديد. لذلك ، بالنسبة لـ a b ، لا يمكن أن يحتوي المقام إلا على أعداد b · m التي تعد من مضاعفات b. أذكر المفاهيم الأساسية للقسمة - المضاعفات والمقسومات. إذا لم يكن الرقم من مضاعفات b ، لكنه لا يمكن أن يكون مقسومًا على كسر جديد. دعونا نشرح فكرتنا بمثال لحل المشكلة.

مثال 2

احسب ما إذا كان من الممكن اختزال الكسر 5 9 إلى المقام 54 و 21.

حل

54 هو مضاعف تسعة وهو مقام الكسر الجديد (أي 54 يمكن قسمة 9). ومن ثم ، فإن مثل هذا التخفيض ممكن. ولا يمكننا قسمة 21 على 9 ، لذلك لا يمكن تنفيذ مثل هذا الإجراء على هذا الكسر.

مفهوم مضاعف إضافي

دعونا نصيغ ما هو عامل إضافي.

التعريف 1

مضاعف إضافيهو رقم طبيعي يُضرب به كلا الجزأين من الكسر ليصبح مقامًا جديدًا.

أولئك. عندما ننفذ هذا الإجراء على كسر ، فإننا نأخذ مضاعفًا إضافيًا له. على سبيل المثال ، لتقليل الكسر 7 10 إلى الصورة 21 30 ، نحتاج إلى عامل إضافي 3. ويمكنك الحصول على كسر 15 40 من 3 8 باستخدام مضاعف 5.

وفقًا لذلك ، إذا عرفنا المقام الذي يجب اختزال الكسر إليه ، فيمكننا حساب عامل إضافي له. دعنا نتعرف على كيفية القيام بذلك.

لدينا كسر أ ب يمكن اختزاله إلى مقام ج ؛ احسب العامل الإضافي م. علينا ضرب مقام الكسر الأصلي في م. نحصل على b · m ، ووفقًا لحالة المشكلة b · m = c. تذكر كيف يرتبط الضرب والقسمة. سيقودنا هذا الارتباط إلى الاستنتاج التالي: العامل الإضافي ليس سوى حاصل قسمة c على b ، بمعنى آخر ، m = c: b.

وبالتالي ، لإيجاد عامل إضافي ، نحتاج إلى قسمة المقام المطلوب على العامل الأصلي.

مثال 3

أوجد العامل الإضافي الذي بواسطته يصل الكسر 17 4 إلى المقام 124.

حل

باستخدام القاعدة أعلاه ، نقسم 124 على مقام الكسر الأصلي ، أربعة.

نحن نعتبر: 124: 4 \ u003d 31.

غالبًا ما يكون هذا النوع من الحسابات مطلوبًا عند اختزال الكسور إلى قاسم مشترك.

قاعدة اختزال الكسور إلى مقام محدد

دعنا ننتقل إلى تعريف القاعدة الأساسية ، والتي من خلالها يمكنك إحضار الكسور إلى المقام المحدد. لذا،

التعريف 2

لإحضار كسر إلى المقام المحدد ، تحتاج إلى:

1. تحديد مضاعف إضافي ؛
2. اضرب به كلًا من بسط الكسر الأصلي ومقامه.

كيف تطبق هذه القاعدة في الممارسة؟ دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 4

نفذ اختزال الكسر 7 16 للمقام 336.

حل

لنبدأ بحساب المضاعف الإضافي. قسّم: 336: 16 = 21.

نضرب الإجابة المستلمة في كلا الجزأين من الكسر الأصلي: 7 16 \ u003d 7 21 16 21 \ u003d 147336. لذا أوصلنا الكسر الأصلي إلى المقام المطلوب 336.

الجواب: ٧١٦ = ١٤٧٣٣٦.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter