المفاهيم الأساسية ، حل أنظمة عدم المساواة الخطية. عدم المساواة. نظام المتباينات الخطية

حل عدم المساواةفي الوضع متصل حلتقريبًا أي متباينة معينة متصل. رياضيات عدم المساواة على الإنترنتلحل الرياضيات. ابحث بسرعة حل عدم المساواةفي الوضع متصل. موقع www.site يسمح لك بالعثور على حلتقريبا أي معطى جبري, حساب المثاثاتأو عدم المساواة المتعالية على الإنترنت. عند دراسة أي فرع من فروع الرياضيات تقريبًا مراحل مختلفةيجب أن تقرر عدم المساواة على الإنترنت. للحصول على إجابة فورية ، والأهم من ذلك إجابة دقيقة ، تحتاج إلى مورد يتيح لك القيام بذلك. بفضل موقع www.site حل مشكلة عدم المساواة عبر الإنترنتسيستغرق بضع دقائق. الميزة الرئيسية لموقع www.site عند حل الرياضيات عدم المساواة على الإنترنت- هي سرعة ودقة الرد الصادر. الموقع قادر على حل أي عدم المساواة الجبرية على الإنترنت, عدم المساواة المثلثية على الإنترنت, التفاوتات المتعالية على الإنترنت، و عدم المساواةمع معلمات غير معروفة في الوضع متصل. عدم المساواةبمثابة جهاز رياضي قوي حلول مهام عملية. مع مساعدة عدم المساواة الرياضيةمن الممكن التعبير عن الحقائق والعلاقات التي قد تبدو للوهلة الأولى مربكة ومعقدة. كميات غير معروفة عدم المساواةيمكن العثور عليها من خلال صياغة المشكلة في رياضياللغة في النموذج عدم المساواةو يقررالمهمة المستلمة في الوضع متصلعلى الموقع www.site. أي عدم المساواة الجبرية, عدم المساواة المثلثيةأو عدم المساواةتحتوي متسامميزات لك بسهولة يقررعبر الإنترنت واحصل على الإجابة الصحيحة. عند دراسة العلوم الطبيعية ، يواجه المرء حتمًا الحاجة حل عدم المساواة. في هذه الحالة ، يجب أن تكون الإجابة دقيقة ويجب استلامها على الفور في الوضع متصل. لذلك ، من أجل حل التفاوتات الرياضية على الإنترنتنوصي الموقع www.site ، والذي سيصبح الآلة الحاسبة التي لا غنى عنها لـ حل التفاوتات الجبرية عبر الإنترنت, عدم المساواة المثلثية على الإنترنت، و التفاوتات المتعالية على الإنترنتأو عدم المساواةمع معلمات غير معروفة. للمشاكل العملية لإيجاد حلول intravol المختلفة عدم المساواة الرياضيةالموارد www .. حل عدم المساواة على الإنترنتبنفسك ، من المفيد التحقق من الإجابة المستلمة باستخدام حل عدم المساواة عبر الإنترنتعلى الموقع www.site. من الضروري كتابة عدم المساواة بشكل صحيح والحصول على الفور حل عبر الإنترنت، وبعد ذلك يبقى فقط مقارنة الإجابة بحل المتباينة. التحقق من الإجابة لن يستغرق أكثر من دقيقة كافية حل مشكلة عدم المساواة عبر الإنترنتومقارنة الإجابات. سيساعدك هذا على تجنب الأخطاء في قراروتصحيح الإجابة في الوقت المناسب حل عدم المساواة عبر الإنترنتأيضاً جبري, حساب المثاثات, غير محدودأو عدم المساواةمع معلمات غير معروفة.

هو أي مزيج من اثنين أو أكثر المتباينات الخطيةتحتوي على نفس الكمية غير المعروفة

فيما يلي أمثلة على هذه الأنظمة:

فترة تقاطع شعاعين هي الحل. إذن ، حل هذه المتباينة هو كل شيء Xتقع بين اثنين وثمانية.

إجابة: X

أحيانًا ما يسمى تطبيق هذا النوع من رسم الخرائط لحل نظام عدم المساواة طريقة السقف.

تعريف:تقاطع مجموعتين أو فيتسمى هذه المجموعة الثالثة ، والتي تشمل جميع العناصر المدرجة في و أو في في. هذا هو معنى تقاطع مجموعات الطبيعة التعسفية. نحن الآن نفكر في المجموعات العددية بالتفصيل ، لذلك ، عند إيجاد المتباينات الخطية ، فإن هذه المجموعات عبارة عن أشعة - ذات اتجاه مشترك ، ومضادة للتوجيه ، وما إلى ذلك.

دعنا نكتشف حقيقة أمثلةالعثور على أنظمة خطيةعدم المساواة ، وكيفية تحديد تقاطع مجموعات الحلول لعدم المساواة الفردية المدرجة في النظام.

إحصاء - عد نظام عدم المساواة:

دعونا نضع خطين للقوة أحدهما تحت الآخر. في الأعلى نضع تلك القيم X ،التي تحقق المتباينة الأولى x>7 ، وفي الأسفل - والتي تعمل كحل للمتباينة الثانية x>10 نحن نربط نتائج خطوط الأعداد ، ونكتشف أن كلا التفاوتين سيتم استيفاءهما x>10.

الجواب: (10 ؛ + ∞).

نقوم بالقياس مع العينة الأولى. على محور عددي معين ، ارسم كل هذه القيم Xالذي من أجله يوجد الأول عدم المساواة في النظام، وعلى المحور العددي الثاني ، الموضوعة تحت الأول ، كل هذه القيم X، والتي يتم استيفاء عدم المساواة الثاني للنظام. دعونا نقارن هاتين النتيجتين ونحدد أن كلا المتراجحتين سيتم استيفاءهما في نفس الوقت لجميع القيم Xيقع بين 7 و 10 ، مع مراعاة العلامات ، نحصل على 7<× 10

الجواب: (7 ؛ 10].

يتم حل ما يلي بنفس الطريقة. أنظمة عدم المساواة.

المتباينة عبارة عن رقمين أو تعبيرات رياضية مرتبطة بإحدى العلامات:> (أكثر ، في حالة عدم المساواة الصارمة) ،< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

عدم المساواة خطيتحت نفس شروط المعادلة: تحتوي على متغيرات فقط إلى الدرجة الأولى ولا تحتوي على منتجات للمتغيرات.

يرتبط حل التفاوتات الخطية وأنظمة عدم المساواة الخطية ارتباطًا وثيقًا بها المعنى الهندسي: حل المتباينة الخطية هو نصف مستوى معين ، حيث يتم تقسيم المستوى بأكمله بخط مستقيم ، تُعطى معادلته بواسطة متباينة خطية. هذا النصف المستوى ، وفي حالة نظام المتباينات الخطية ، يجب إيجاد جزء من المستوى يحده عدة خطوط مستقيمة في الرسم.

لحل أنظمة المتباينات الخطية مع عدد كبيرالمتغيرات تقلل من العديد من المشاكل الاقتصادية ، على وجه الخصوص ، مشاكل البرمجة الخطية ، والتي تتطلب إيجاد الحد الأقصى أو الأدنى للدالة.

حل أنظمة المتباينات الخطية بأي عدد من المجهول

دعونا أولاً نحلل المتباينات الخطية في المستوى. ضع في اعتبارك متباينة واحدة ذات متغيرين و:

,

أين معاملات المتغيرات (بعض الأرقام) ، هو المصطلح المجاني (أيضًا بعض الأرقام).

متباينة واحدة ذات مجهولين ، مثل المعادلة ، لها عدد لا نهائي من الحلول. حل هذه المتباينة هو زوج من الأرقام يحقق هذه المتباينة. هندسيًا ، يتم تصوير مجموعة حلول عدم المساواة على أنها نصف مستوى يحده خط مستقيم

,

الذي سنسميه خط الحدود.

الخطوة 1. أنشئ خطًا مستقيمًا يحد مجموعة حلول المتباينة الخطية

للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة أي نقطتين في هذا الخط. لنجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات. تنسيق التقاطع أهو صفر (الشكل 1). تشير القيم العددية على المحاور في هذا الشكل إلى المثال 1 ، الذي سنقوم بتحليله فورًا بعد هذا الاستطراد النظري.

نوجد الإحداثي السيني عن طريق حل معادلة الخط المستقيم مع معادلة المحور كنظام.

لنجد التقاطع مع المحور:

بالتعويض عن القيمة في المعادلة الأولى ، نحصل على

أين .

وهكذا ، وجدنا حدود النقطة أ .

لنجد إحداثيات نقطة التقاطع مع المحور.

نقطة عبسيسا بيساوي صفر. لنحل معادلة خط الحدود بمعادلة محور الإحداثيات:

,

ومن هنا إحداثيات النقطة ب: .

الخطوة 2. ارسم خطًا يحد مجموعة حلول المتباينة.معرفة النقاط أو بتقاطع خط الحدود مع محاور الإحداثيات ، يمكننا رسم هذا الخط. يقسم الخط المستقيم (الشكل 1 مرة أخرى) المستوى بأكمله إلى جزأين يقعان على اليمين واليسار (أعلى وأسفل) من هذا الخط المستقيم.

الخطوة 3. حدد أيًا من أنصاف المستويات هو الحل لهذه المتباينة.للقيام بذلك ، علينا التعويض بأصل الإحداثيات (0 ؛ 0) في هذه المتباينة. إذا كانت إحداثيات الأصل تحقق المتباينة ، فإن حل المتباينة هو نصف المستوى الذي يقع فيه الأصل. إذا لم تحقق الإحداثيات المتباينة ، فإن حل المتباينة يكون نصف مستوى لا يحتوي على الأصل. سيتم الإشارة إلى نصف المستوى الخاص بحل المتباينة بضربات من الخط المستقيم داخل نصف المستوى ، كما في الشكل 1.

إذا حللنا نظام المتباينات الخطية، ثم يتم تنفيذ كل خطوة لكل من عدم المساواة في النظام.

مثال 1حل المتباينة

حل. لنرسم خطًا مستقيمًا

بالتعويض عن خط مستقيم في المعادلة ، نحصل على التعويض ، ونحصل على التعويض. لذلك ، ستكون إحداثيات نقاط التقاطع مع المحاور أ(3; 0) , ب(0 ؛ 2). ارسم خطًا مستقيمًا من خلال هذه النقاط (مرة أخرى ، الشكل 1).

نختار نصف مستوى حلول المتباينة. للقيام بذلك ، نعوض بإحداثيات البداية (0 ؛ 0) في المتباينة:

نحصل على ، أي إحداثيات الأصل تحقق هذه المتباينة. وبالتالي ، فإن حل المتباينة هو نصف مستوى يحتوي على الأصل ، أي النصف الأيسر (أو السفلي).

إذا كانت هذه اللامساواة صارمة ، أي سيكون لها الشكل

عندئذٍ لن تكون نقاط خط الحدود حلاً ، لأنها لا تحقق المتباينة.

فكر الآن في نظام من المتباينات الخطية ذات مجهولين:

كل متباينة من هذا النظام على المستوى تحدد نصف المستوى. يسمى نظام المتباينات الخطية ثابتًا إذا كان يحتوي على حل واحد على الأقل ، وغير متسق إذا لم يكن له حلول. حل نظام من المتباينات الخطية هو أي زوج من الأرقام () يرضي جميع المتباينات في هذا النظام.

هندسيًا ، حل نظام من المتباينات الخطية هو مجموعة النقاط التي تحقق جميع المتباينات في النظام ، أي الجزء المشترك من أنصاف المستويات الناتجة. لذلك ، هندسيًا ، في الحالة العامة ، يمكن تصوير الحل كمضلع معين ، في حالة معينة ، يمكن أن يكون خطًا ، ومقطعًا ، وحتى نقطة. إذا كان نظام المتباينات الخطية غير متسق ، فلا توجد نقطة واحدة على المستوى تلبي جميع المتباينات في النظام.

مثال 2

حل. لذلك ، من الضروري إيجاد مضلع الحلول لنظام المتباينات هذا. لننشئ خطًا حدًا للمتباينة الأولى ، أي خطًا وخطًا حدًا للمتباينة الثانية ، أي الخط المستقيم.

نقوم بذلك خطوة بخطوة ، كما هو موضح في المرجع النظري وفي المثال 1 ، خاصة أنه في المثال 1 تم إنشاء خط حد للمتباينة ، وهو الأول في هذا النظام.

أنصاف مستويات الحل المقابلة لعدم المساواة في هذا النظام مظللة للداخل في الشكل 2. الجزء المشترك من أنصاف المستويات للحل هو زاوية مفتوحة ABC. هذا يعني أن مجموعة النقاط في المستوى التي تشكل الزاوية المفتوحة ABC، هو حل لكل من المتباينات الأولى والثانية للنظام ، أي حل لنظام من اثنين من المتباينات الخطية. بمعنى آخر ، إحداثيات أي نقطة من هذه المجموعة تحقق كلا المتباينات في النظام.

مثال 3حل نظام من المتباينات الخطية

حل. دعونا نبني خطوط الحدود المقابلة لعدم المساواة في النظام. نقوم بذلك باتباع الخطوات الواردة في الخلفية النظرية لكل متباينة. الآن نحدد أنصاف المستويات للحلول لكل متباينة (الشكل 3).

أنصاف مستويات الحل المناظرة لمتباينات النظام المعطى مظللة للداخل. تم تصوير تقاطع أنصاف المستويات للحلول ، كما هو موضح في الشكل ، في شكل رباعي الأضلاع ABCE. لقد وجدنا أن مضلع الحل لنظام من المتباينات الخطية بمتغيرين هو شكل رباعي ABCE .

كل ما تم وصفه أعلاه حول أنظمة المتباينات الخطية ذات المجهولين ينطبق أيضًا على نظام من المتباينات مع أي عدد من المجهول ، مع الاختلاف الوحيد في حل المتباينة مع نالمجهول سيكون المجموع نأرقام () تحقق جميع المتباينات ، وبدلاً من خط الحدود سيكون هناك مستوى فائق حد نمساحة الأبعاد. سيكون الحل عبارة عن محلول متعدد الوجوه (بسيط) يحده الطائرات الفائقة.

انظر أيضًا حل مشكلة البرمجة الخطية بيانيًا ، الشكل المتعارف عليه لمشكلات البرمجة الخطية

يتكون نظام القيود لمثل هذه المشكلة من عدم المساواة في متغيرين:
والوظيفة الموضوعية لها الشكل F = ج 1 x + ج 2 ذ، الذي سيتم تكبيره.

دعنا نجيب على السؤال: ما أزواج الأرقام ( x; ذ) هي حلول لنظام عدم المساواة ، أي أنها تلبي كل من عدم المساواة في وقت واحد؟ بمعنى آخر ، ماذا يعني حل نظام بيانياً؟
تحتاج أولاً إلى فهم حل متباينة خطية ذات مجهولين.
لحل متباينة خطية ذات مجهولين يعني تحديد جميع أزواج قيم المجهول التي يتم إرضاء المتباينة من أجلها.
على سبيل المثال ، عدم المساواة 3 x – 5ذ≥ 42 تلبية الأزواج ( x , ذ): (100 ، 2) ؛ (3 ، –10) ، إلخ. تكمن المشكلة في إيجاد كل هذه الأزواج.
ضع في اعتبارك اثنين من عدم المساواة: فأس + بواسطة≤ ج, فأس + بواسطة≥ ج. مستقيم فأس + بواسطة = جيقسم المستوى إلى نصفين بحيث تحقق إحداثيات نقطتي أحدهما المتباينة فأس + بواسطة >ج، وعدم المساواة الأخرى فأس + +بواسطة <ج.
في الواقع ، خذ نقطة مع التنسيق x = x 0 ؛ ثم نقطة تقع على خط مستقيم ولها حدود جزئية x 0 ، له إحداثي

دعنا نحدد أ& lt0 ، ب>0, ج> 0. كل النقاط مع حدود الإحداثية x 0 أعلاه ص(على سبيل المثال ، نقطة م)، يملك ذ م>ذ 0 ، وجميع النقاط تحت النقطة ص، مع الإحداثي السيني x 0 ، لديك ي<ذ 0. بسبب ال x 0 هي نقطة اعتباطية ، ثم ستكون هناك دائمًا نقاط على جانب واحد من الخط الذي من أجله فأس+ بواسطة > ج، وتشكيل نصف مستوي ، ومن ناحية أخرى ، النقاط التي فأس + بواسطة< ج.

الصورة 1

تعتمد علامة عدم المساواة في نصف المستوى على الأرقام أ, ب , ج.
يشير هذا إلى الطريقة التالية للحل الرسومي لأنظمة عدم المساواة الخطية في متغيرين. لحل النظام تحتاج:

1. اكتب المعادلة المقابلة للمتراجحة المعطاة لكل متباينة.
2. أنشئ خطوطًا تمثل رسومًا بيانية للوظائف المعطاة بواسطة المعادلات.
3. لكل خط مستقيم ، أوجد نصف المستوى الذي يعطى من خلال المتباينة. للقيام بذلك ، اتخذ نقطة عشوائية لا تقع على خط مستقيم ، وعوض بإحداثياتها في المتباينة. إذا كانت المتباينة صحيحة ، فإن نصف المستوى الذي يحتوي على النقطة المختارة هو حل المتباينة الأصلية. إذا كانت المتباينة خاطئة ، فإن نصف المستوى على الجانب الآخر من الخط هو مجموعة حلول هذه المتباينة.
4. لحل نظام من عدم المساواة ، من الضروري إيجاد منطقة تقاطع جميع المستويات النصفية التي تمثل الحل لكل متباينة في النظام.

قد تكون هذه المنطقة فارغة ، ومن ثم فإن نظام عدم المساواة ليس له حلول ، فهو غير متسق. خلاف ذلك ، يقال أن النظام متوافق.
يمكن أن تكون الحلول عددًا محدودًا ومجموعة لا نهائية. يمكن أن تكون المنطقة عبارة عن مضلع مغلق أو يمكن أن تكون غير محدودة.

لنلقِ نظرة على ثلاثة أمثلة ذات صلة.

مثال 1. حل النظام بيانياً:
x + ص- 1 ≤ 0;
–2س- 2ذ + 5 ≤ 0.

• ضع في اعتبارك المعادلتين x + y – 1 = 0 و –2x – 2y + 5 = 0 المقابلة للمتباينات ؛
• دعونا نبني الخطوط المستقيمة التي تقدمها هذه المعادلات.

الشكل 2

دعونا نحدد أنصاف المستويات التي تقدمها المتباينات. خذ نقطة اعتباطية ، دعنا (0 ؛ 0). يعتبر x+ ص- 1 0 ، نستبدل النقطة (0 ؛ 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. وبالتالي ، في نصف المستوى حيث تكمن النقطة (0 ؛ 0) ، x + ذ – 1 ≤ 0 ، أي نصف المستوى الذي يقع أسفل الخط المستقيم هو حل المتباينة الأولى. بالتعويض عن هذه النقطة (0 ؛ 0) في النقطة الثانية ، نحصل على: –2 ∙ 0-2 ∙ 0 + 5 0 ، أي في نصف المستوى حيث تكمن النقطة (0 ؛ 0) ، –2 x – 2ذ+ 5≥ 0 ، وسئلنا أين -2 x – 2ذ+ 5 ≤ 0 ، إذن ، في نصف مستوى آخر - في المستوى الموجود فوق الخط المستقيم.
أوجد تقاطع هذين المستويين النصفي. الخطوط متوازية ، لذلك لا تتقاطع المستويات في أي مكان ، مما يعني أن نظام هذه المتباينات ليس له حلول ، فهو غير متسق.

مثال 2. ابحث عن حلول بيانية لنظام عدم المساواة:

الشكل 3
1. اكتب المعادلات المقابلة للمتباينات وقم بتكوين خطوط مستقيمة.
x + 2ذ– 2 = 0

x	2	0
ذ	0	1

ذ – x – 1 = 0

x	0	2
ذ	1	3

ذ + 2 = 0;
ذ = –2.
2. بعد اختيار النقطة (0 ؛ 0) ، نحدد علامات عدم المساواة في أنصاف المستويات:
0 + 2 0 - 2 ≤ 0 ، أي x + 2ذ- 2 ≤ 0 في نصف المستوى أسفل الخط المستقيم ؛
0 - 0 - 1 0 ، أي ذ –x- 1 0 في نصف المستوى أسفل الخط المستقيم ؛
0 + 2 = 2 0 ، أي ذ+ 2 ≥ 0 في نصف المستوى فوق الخط.
3. سيكون تقاطع أنصاف المستويات الثلاثة مساحة مثلث. ليس من الصعب العثور على رؤوس المنطقة كنقاط تقاطع للخطوط المقابلة


هكذا، أ(–3; –2), في(0; 1), مع(6; –2).

دعونا نفكر في مثال آخر ، حيث لا يتم تقييد المجال الناتج لحل النظام.

في المقال سوف ننظر حل عدم المساواة. دعنا نتحدث بصراحة عن كيفية بناء حل لعدم المساواةمع أمثلة واضحة!

قبل التفكير في حل المتباينات بالأمثلة ، لنتعامل مع المفاهيم الأساسية.

مقدمة في عدم المساواة

عدم المساواةيسمى التعبير الذي ترتبط فيه الوظائف بعلامات العلاقة> ،. يمكن أن تكون المتباينات عددية وأبجدية.
تسمى المتباينات التي تحتوي على علامتي علاقة مزدوجة ، مع ثلاثة - ثلاثية ، إلخ. على سبيل المثال:
أ (خ)> ب (خ) ،
أ (خ) أ (خ) ب (خ) ،
أ (خ) ب (خ).
أ (خ) المتباينات التي تحتوي على علامة> أو غير صارمة.
حل عدم المساواةهي أي قيمة للمتغير التي تكون هذه المتباينة صحيحة.
"حل المتباينة"يعني أنك بحاجة إلى إيجاد مجموعة كل الحلول الخاصة به. هناك العديد من الحلول طرق حل عدم المساواة. ل حلول عدم المساواةاستخدم خط الأعداد اللانهائي. على سبيل المثال، حل عدم المساواة x> 3 عبارة عن فاصل زمني من 3 إلى + ، والرقم 3 غير مدرج في هذه الفترة ، لذلك يتم الإشارة إلى النقطة الموجودة على الخط بدائرة فارغة ، لأن عدم المساواة صارم.
+
ستكون الإجابة: x (3 ؛ +).
لم يتم تضمين القيمة x = 3 في مجموعة الحلول ، لذا فإن الأقواس مستديرة. يتم وضع علامة اللانهاية دائمًا بين قوسين. العلامة تعني "الانتماء".
ضع في اعتبارك كيفية حل التفاوتات باستخدام مثال آخر مع الإشارة:
x2
-+
يتم تضمين القيمة x = 2 في مجموعة الحلول ، لذا يُشار إلى القوس المربع والنقطة على الخط بدائرة مملوءة.
ستكون الجواب: x)