نوع الوظيفة: 7

حالة

الخط y = 3x + 2 مماس للرسم البياني للدالة y = -12x ^ 2 + bx-10. أوجد b ، إذا علمنا أن إحداثيات نقطة اللمس أقل من صفر.

عرض الحل

حل

لنفترض أن x_0 هي حدود النقطة على الرسم البياني للدالة y = -12x ^ 2 + bx-10 التي يمر من خلالها ظل هذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس ، أي y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. من ناحية أخرى ، تنتمي نقطة الظل إلى الرسم البياني للدالة والماس ، أي -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ start (الحالات) -24x_0 + b = 3 ، \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. نهاية (حالات)

لحل هذا النظام ، نحصل على x_0 ^ 2 = 1 ، مما يعني إما x_0 = -1 أو x_0 = 1. وفقًا لحالة الإحداثي السيني ، تكون نقاط اللمس أقل من الصفر ، وبالتالي x_0 = -1 ، ثم b = 3 + 24x_0 = -21.

إجابة

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل لوظيفة الرسم البياني

حالة

الخط y = -3x + 4 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y = -x ^ 2 + 5x-7. أوجد الحد الفاصل لنقطة الاتصال.

عرض الحل

حل

إن ميل الخط إلى الرسم البياني للدالة y = -x ^ 2 + 5x-7 عند نقطة عشوائية x_0 يساوي y "(x_0). لكن y" = - 2x + 5 ، مما يعني y "(x_0) = - 2x_0 + 5. ميل الخط y = -3x + 4 المحدد في الشرط هو -3 ، لذلك نجد أن الخطوط المتوازية x0 = نفس قيمة المنحدر. 3.

نحصل على: x_0 = 4.

إجابة

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل لوظيفة الرسم البياني

حالة

عرض الحل

حل

من الشكل ، نحدد أن الظل يمر عبر النقطتين A (-6 ؛ 2) و B (-1 ؛ 1). قم بالإشارة بواسطة C (-6 ؛ 1) نقطة تقاطع الخطين x = -6 و y = 1 ، وبواسطة alpha الزاوية ABC (يمكن رؤيتها في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط AB زاوية منفرجة \ pi - \ alpha بالاتجاه الإيجابي لمحور Ox.

كما تعلم ، ستكون tg (\ pi - \ alpha) هي قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x_0. لاحظ أن tg \ alpha = \ frac (AC) (CB) = \ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) = \ frac15.من هنا ، نحصل على معادلات التخفيض: tg (\ pi - \ alpha) = -tg \ alpha = - \ frac15 = -0.2.

إجابة

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل لوظيفة الرسم البياني

حالة

الخط y = -2x-4 مماس للرسم البياني للدالة y = 16x ^ 2 + bx + 12. أوجد b ، إذا علمنا أن إحداثيات نقطة اللمس أكبر من صفر.

عرض الحل

حل

لنفترض أن x_0 هي حدود النقطة على الرسم البياني للدالة y = 16x ^ 2 + bx + 12 التي من خلالها

مماس لهذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس ، أي y "(x_0) = 32x_0 + b = -2. من ناحية أخرى ، تنتمي نقطة الظل إلى الرسم البياني للدالة والماس ، أي 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4. نحصل على نظام من المعادلات \ start (الحالات) 32x_0 + b = -2 ، \\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4. نهاية (حالات)

لحل النظام ، نحصل على x_0 ^ 2 = 1 ، مما يعني إما x_0 = -1 أو x_0 = 1. وفقًا لحالة الإحداثي السيني ، تكون نقاط اللمس أكبر من الصفر ، وبالتالي فإن x_0 = 1 ، ثم b = -2-32x_0 = -34.

إجابة

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل لوظيفة الرسم البياني

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للوظيفة y = f (x) المحددة في الفاصل الزمني (-2 ؛ 8). أوجد عدد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y = 6.

عرض الحل

حل

الخط y = 6 موازي لمحور Ox. لذلك ، نجد مثل هذه النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للوظيفة موازيًا لمحور Ox. في هذا الرسم البياني ، تمثل هذه النقاط نقاطًا متطرفة (الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط). كما ترى ، هناك 4 نقاط متطرفة.

إجابة

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل لوظيفة الرسم البياني

حالة

الخط y = 4x-6 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y = x ^ 2-4x + 9. أوجد الحد الفاصل لنقطة الاتصال.

عرض الحل

حل

ميل المماس للرسم البياني للوظيفة y \ u003d x ^ 2-4x + 9 عند نقطة عشوائية x_0 هو y "(x_0). لكن y" \ u003d 2x-4 ، وهو ما يعني y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. لذلك ، فإن ميل المماس y \ u003d نفس القيمة. 0 أن 2x_0-4 \ u003d 4. نأكل: x_0 = 4.

إجابة

المصدر: "Mathematics. التحضير لامتحان 2017. مستوى الملف الشخصي. إد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتق. الظل لوظيفة الرسم البياني

حالة

يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y = f (x) والماس لها عند النقطة التي بها الحد الأقصى x_0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة x_0.

عرض الحل

حل

من الشكل ، نحدد أن الظل يمر عبر النقطتين A (1 ؛ 1) و B (5 ؛ 4). قم بالإشارة بواسطة C (5 ؛ 1) نقطة تقاطع الخطين x = 5 و y = 1 ، وبواسطة alpha الزاوية BAC (يمكن رؤيتها في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط AB زاوية \ ألفا بالاتجاه الإيجابي لمحور الثور.

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

يظهر بعض الدالة y = f (x) القابلة للاشتقاق عند النقطة a. النقطة M المميزة بالإحداثيات (أ ؛ و (أ)). من خلال نقطة تعسفية P (a + ∆x؛ f (a + ∆x)) من الرسم البياني ، يتم رسم MP قاطع.

إذا تم تحويل النقطة P على طول الرسم البياني إلى النقطة M ، فإن الخط المستقيم MP سوف يدور حول النقطة M. في هذه الحالة ، سوف تميل ∆x إلى الصفر. من هنا يمكننا صياغة تعريف مماس الرسم البياني للدالة.

الظل لوظيفة الرسم البياني

الظل للرسم البياني للدالة هو الموضع المحدد للقاطع عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر. يجب أن يكون مفهوما أن وجود مشتق الوظيفة f عند النقطة x0 يعني أنه في هذه النقطة من الرسم البياني يوجد ظلله.

في هذه الحالة ، سيكون ميل المماس مساويًا لمشتق هذه الدالة عند هذه النقطة f '(x0). هذا هو المعنى الهندسي للمشتق. الظل للرسم البياني للدالة f القابلة للاشتقاق عند النقطة x0 هو خط مستقيم يمر بالنقطة (x0؛ f (x0)) وله ميل f '(x0).

معادلة الظل

دعنا نحاول الحصول على معادلة المماس للرسم البياني للدالة f عند النقطة A (x0 ؛ f (x0)). معادلة الخط المستقيم بميله k لها الشكل التالي:

بما أن الميل يساوي المشتقة f '(x0)، ثم تأخذ المعادلة الشكل التالي: y = f '(x0)* س + ب.

الآن دعونا نحسب قيمة ب. للقيام بذلك ، نستخدم حقيقة أن الوظيفة تمر بالنقطة أ.

f (x0) = f '(x0) * x0 + b ، من هنا نعبر عن b ونحصل على b = f (x0) - f' (x0) * x0.

نستبدل القيمة الناتجة في معادلة الظل:

y = f '(x0) * x + b = f' (x0) * x + f (x0) - f '(x0) * x0 = f (x0) + f' (x0) * (x - x0).

y = f (x0) + f '(x0) * (x - x0).

يعتبر المثال التالي: ابحث عن معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة f (x) \ u003d x 3-2 * x 2 + 1 عند النقطة x \ u003d 2.

2. f (x0) = f (2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3. f '(x) = 3 * x 2-4 * x.

4. f '(x0) = f' (2) = 3 * 2 2-4 * 2 = 4.

5. عوض بالقيم التي تم الحصول عليها في صيغة الظل ، نحصل على: y = 1 + 4 * (x - 2). عند فتح الأقواس وإحضار الحدود المتشابهة ، نحصل على: y = 4 * x - 7.

الجواب: ص = 4 * س - 7.

المخطط العام لتجميع معادلة الظلعلى الرسم البياني للدالة y = f (x):

1. تحديد x0.

2. احسب f (x0).

3. احسب f '(x)

يجد هذا البرنامج الرياضي معادلة الظل للرسم البياني للدالة \ (f (x) \) عند نقطة يحددها المستخدم \ (a \).

لا يعرض البرنامج معادلة الظل فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية حل المشكلة.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية مدارس التعليم العاماستعدادا ل مراقبة العملوالامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل الامتحان ، يتحكم الآباء في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك تريد إنجاز ذلك في أسرع وقت ممكن؟ العمل في المنزلالرياضيات أم الجبر؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

بهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب الأخوة الأصغر سناأو الأخوات ، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال المهام التي يتم حلها.

إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مشتق دالة ، فلدينا مهمة البحث عن المشتق لهذا الغرض.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الوظائف ، نوصيك بالتعرف عليها.

أدخل تعبير الوظيفة \ (f (x) \) والرقم \ (a \)

و (س) =
أ =

ابحث عن معادلة الظل

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل JavaScript في المستعرض الخاص بك.
يجب تمكين JavaScript حتى يظهر الحل.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

منحدر خط مستقيم

تذكر أن الرسم البياني للدالة الخطية \ (y = kx + b \) هو خط مستقيم. الرقم \ (k = tg \ alpha \) يسمى منحدر خط مستقيم، والزاوية \ (\ ألفا \) هي الزاوية بين هذا الخط ومحور الثور

إذا \ (ك> 0 \) ، ثم \ (0 إذا \ (ك معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة

إذا كانت النقطة M (a ؛ f ​​(a)) تنتمي إلى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) وإذا كان يمكن عند هذه النقطة رسم المماس إلى الرسم البياني للوظيفة غير المتعامدة مع المحور x ، ثم من المعنى الهندسي للمشتق ، يتبع ذلك ميل المماس يساوي f "(a).

دع الدالة y \ u003d f (x) والنقطة M (a ؛ f ​​(a)) على الرسم البياني لهذه الوظيفة ؛ دعنا نعلم أن f "(a) موجود. دعونا نؤلف معادلة المماس للرسم البياني لدالة معينة عند نقطة معينة. هذه المعادلة ، مثل معادلة أي خط مستقيم لا يوازي المحور y ، لها شكل y \ u003d kx + b ، لذا فإن المشكلة تكمن في إيجاد قيم المعاملين k و b.

كل شيء واضح مع المنحدر k: من المعروف أن k \ u003d f "(a). لحساب قيمة b ، نستخدم حقيقة أن الخط المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة M (a ؛ f ​​(a)). هذا يعني أننا إذا استبدلنا إحداثيات النقطة M في معادلة الخط المستقيم ، نحصل على المساواة الصحيحة: \ (أي ، ك \ أ \ u00 \ u00). .

يبقى استبدال القيم الموجودة للمعاملات k و b في معادلة الخط المستقيم:

$$ y = kx + b $$ $$ y = kx + f (a) - ka $$ $$ y = f (a) + k (x-a) $$ $$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $$

نحن تلقينا معادلة المماس للرسم البياني للدالة\ (y = f (x) \) عند النقطة \ (x = a \).

خوارزمية لإيجاد معادلة الظل للرسم البياني للدالة \ (y = f (x) \)
1. عيّن حدود نقطة الاتصال بالحرف \ (أ \)
2. احسب \ (f (a) \)
3. ابحث عن \ (f "(x) \) وحساب \ (f" (a) \)
4. استبدل الأرقام التي تم العثور عليها \ (a، f (a)، f "(a) \) في الصيغة \ (y \ u003d f (a) + f" (a) (x-a) \)

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحد واختبارات OGE ألعاب على الإنترنت ، ألغاز رسم بياني للوظائف قاموس إملائي لقاموس اللغة الروسية للغة العامية للشباب كتالوج المدارس في روسيا كتالوج المدارس الثانوية في روسيا قائمة المهام العثور على GCD و LCM تبسيط متعدد الحدود (مضاعف متعدد الحدود)

Y \ u003d f (x) وإذا كان يمكن عند هذه النقطة رسم المماس إلى الرسم البياني للوظيفة غير المتعامدة مع المحور x ، فإن ميل المماس هو f "(a). لقد استخدمنا هذا بالفعل عدة مرات. على سبيل المثال ، في الفقرة 33 ، وجد أن الرسم البياني للوظيفة y \ u003d الخطيئة ° مع المحور t بشكل أكبر مع المحور 45 عند الأصل الأصل يصنع زاوية 45 درجة مع الاتجاه الإيجابي للمحور السيني) ، وفي المثال 5 من الفقرة 33 ، تم العثور على نقاط على الرسم البياني لقيمة معينة المهام، حيث يكون المماس موازيًا لمحور x. في المثال 2 من § 33 ، تم وضع معادلة لمماس الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 عند النقطة x \ u003d 1 (بشكل أكثر دقة ، عند النقطة (1 ؛ 1) ، ولكن في كثير من الأحيان يتم الإشارة فقط إلى قيمة الإحداثي السيني ، على افتراض أنه إذا كانت قيمة الإحداثي السيني معروفة ، فيمكن العثور على قيمة المعادلة y (x) من النقطة (1). في هذا القسم ، سنطور خوارزمية لتجميع معادلة المماس للرسم البياني لأي دالة.

دع الدالة y \ u003d f (x) والنقطة M (a؛ f (a)) تُعطى ، ومن المعروف أيضًا أن f "(a) موجود. دعونا نؤلف معادلة المماس للرسم البياني للدالة المعينة عند نقطة معينة. هذه المعادلة ، مثل معادلة أي خط مستقيم لا يوازي المحور y ، لها شكل y = m ، لذا فإن قيم kx تساوي y + m ، وبالتالي فإن قيم k x تساوي قيمة y \ u003.

لا توجد مشاكل مع المنحدر k: نحن نعلم أن k \ u003d f "(a). لحساب قيمة m ، نستخدم حقيقة أن الخط المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة M (a ؛ f ​​(a)). هذا يعني أننا إذا استبدلنا إحداثيات النقطة M في معادلة الخط ، نحصل على المساواة الصحيحة: f (a) \ u003d ka).
يبقى استبدال القيم الموجودة لمعاملات الحوت في المعادلةمستقيم:

لقد حصلنا على معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة x \ u003d a.
إذا قل
الاستبدال في المعادلة (1) القيم الموجودة أ \ u003d 1 ، و (أ) \ u003d 1 f "(أ) \ u003d 2 ، نحصل على: y \ u003d 1 + 2 (x-f) ، أي y \ u003d 2x-1.
قارن هذه النتيجة بالنتيجة التي تم الحصول عليها في المثال 2 من الفقرة 33. وبطبيعة الحال ، حدث نفس الشيء.
دعونا نؤلف معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة y \ u003d tg x في الأصل. لدينا: ومن ثم cos x f "(0) = 1. استبدال القيم الموجودة a \ u003d 0، f (a) \ u003d 0، f" (a) \ u003d 1 في المعادلة (1) ، نحصل على: y \ u003d x.
هذا هو السبب في أننا رسمنا المماس في الفقرة 15 (انظر الشكل 62) من خلال أصل الإحداثيات بزاوية 45 درجة بالنسبة لمحور الإحداثي.
حل هذه يكفي أمثلة بسيطة، لقد استخدمنا بالفعل خوارزمية معينة ، والتي تم تضمينها في الصيغة (1). لنجعل هذه الخوارزمية صريحة.

الخوارزمية لتكوين معادلة دالة الظل إلى الرسم البياني y \ u003d f (x)

1) عيّن حدود نقطة الاتصال بالحرف أ.
2) احسب 1 (أ).
3) أوجد f "(x) واحسب f" (a).
4) استبدل الأرقام الموجودة أ ، و (أ) ، (أ) في الصيغة (1).

مثال 1اكتب معادلة لمماس الرسم البياني للدالة عند النقطة x = 1.
دعنا نستخدم الخوارزمية ، مع مراعاة ذلك في هذا المثال

على التين. 126 يُظهر القطع الزائد ، الخط المستقيم y \ u003d 2x مبني.
يؤكد الرسم الحسابات المعطاة: في الواقع ، الخط y \ u003d 2-x يلمس القطع الزائد عند النقطة (1 ؛ 1).

إجابة:ص \ u003d 2-س.
مثال 2ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة بحيث يكون موازيًا للخط المستقيم y \ u003d 4x - 5.
دعونا نحسن صياغة المشكلة. عادة ما يعني مطلب "رسم الظل" "عمل معادلة للماس". هذا أمر منطقي ، لأنه إذا كان الشخص قادرًا على صياغة معادلة للماس ، فمن غير المرجح أن يواجه صعوبة في البناء على خطة تنسيقخط مستقيم حسب معادلتها.
دعنا نستخدم الخوارزمية لتجميع معادلة الظل ، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال ، ولكن ، على عكس المثال السابق ، هناك غموض هنا: لم يتم الإشارة صراحة إلى حدودي نقطة الظل.
لنبدأ الحديث هكذا. يجب أن يكون الظل المطلوب موازٍ للخط المستقيم y \ u003d 4x-5. خطان متوازيان إذا وفقط إذا كان ميلهما متساويًا. هذا يعني أن ميل المماس يجب أن يكون مساويًا لميل الخط المستقيم المحدد: وبالتالي ، يمكننا إيجاد قيمة a من المعادلة f "(a) \ u003d 4.
لدينا:
من المعادلة إذن ، يوجد ظلان يفيان بشروط المشكلة: أحدهما عند النقطة التي بها السداسية 2 ، والآخر عند النقطة مع الإحداثيات -2.
الآن يمكنك التصرف وفقًا للخوارزمية.

مثال 3من النقطة (0 ؛ 1) ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة
دعنا نستخدم الخوارزمية لتجميع معادلة الظل ، بالنظر إلى أنه في هذا المثال ، لاحظ أنه هنا ، كما في المثال 2 ، لا تتم الإشارة صراحة إلى حدودي نقطة الظل. ومع ذلك ، فإننا نتصرف وفقًا للخوارزمية.

حسب الشرط ، يمر الظل عبر النقطة (0 ؛ 1). بالتعويض في المعادلة (2) القيم س = 0 ، ص = 1 ، نحصل على:
كما ترون ، في هذا المثال ، فقط في الخطوة الرابعة من الخوارزمية تمكنا من العثور على حدود نقطة اللمس. استبدال القيمة a \ u003d 4 في المعادلة (2) ، نحصل على:

على التين. يُظهر 127 توضيحًا هندسيًا للمثال المدروس: رسم بياني للوظيفة

في الفقرة 32 ، لاحظنا أنه بالنسبة للدالة y = f (x) ، التي لها مشتق عند نقطة ثابتة x ، فإن المساواة التقريبية تحمل:

لتسهيل المزيد من التفكير ، نغير الترميز: بدلاً من x سنكتب a ، بدلاً من ذلك سنكتب x ، وبناءً عليه سنكتب x-a بدلاً من ذلك. ثم تأخذ المساواة التقريبية المكتوبة أعلاه الشكل:

الآن نلقي نظرة على التين. 128. يتم رسم الظل على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) عند النقطة M (a ؛ f ​​(a)). تم وضع علامة x على المحور x بالقرب من a. من الواضح أن f (x) هو إحداثيات الرسم البياني للوظيفة عند النقطة المحددة x. وما هو f (a) + f "(a) (x-a)؟ هذا هو إحداثي الظل المقابل للنقطة نفسها x - انظر الصيغة (1). ما معنى المساواة التقريبية (3)؟ أن قيمة إحداثيات الظل تؤخذ لحساب القيمة التقريبية للدالة.

مثال 4أوجد القيمة التقريبية للتعبير العددي 1.02 7.
نحن نتحدث عن إيجاد قيمة الدالة y \ u003d x 7 عند النقطة x \ u003d 1.02. نستخدم الصيغة (3) مع مراعاة ذلك في هذا المثال
نتيجة لذلك ، نحصل على:

إذا استخدمنا آلة حاسبة ، فسنحصل على: 1.02 7 = 1.148685667 ...
كما ترى ، دقة التقريب مقبولة تمامًا.
إجابة: 1,02 7 =1,14.

اي جي. Mordkovich الجبر الصف 10

التقويم المواضيعي التخطيط في الرياضيات ، فيديوفي الرياضيات عبر الإنترنت ، تنزيل الرياضيات في المدرسة

محتوى الدرس ملخص الدرس إطار الدعمعرض الدرس طرق متسارعة تقنيات تفاعلية يمارس مهام وتمارين امتحان ذاتي ورش عمل ، تدريبات ، حالات ، أسئلة ، واجبات منزلية ، أسئلة مناقشة أسئلة بلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية مقاطع الصوت والفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية ، صور رسومات ، جداول ، مخططات فكاهة ، نوادر ، نكت ، أمثال كاريكاتورية ، أقوال ، ألغاز كلمات متقاطعة ، اقتباسات الإضافات الملخصاترقائق المقالات لأوراق الغش الفضولي والكتب المدرسية الأساسية والإضافية معجم مصطلحات أخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء في الكتاب المدرسي من عناصر الابتكار في الدرس واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةخطة التقويم للسنة القواعد الارشاديةبرامج المناقشة دروس متكاملة

معادلة المماس للرسم البياني للدالة

رومانوف ، ت.رومانوفا ،
ماغنيتوغورسك ،
منطقة تشيليابينسك

معادلة المماس للرسم البياني للدالة

نُشر المقال بدعم من ITAKA + Hotel Complex. البقاء في مدينة بناة السفن سيفيرودفينسك ، لن تواجه مشكلة العثور على سكن مؤقت. ، على الموقع الإلكتروني للمجمع الفندقي "ITAKA +" http://itakaplus.ru ، يمكنك بسهولة وبسرعة استئجار شقة في المدينة ، لأي فترة ، مع الدفع اليومي.

في المرحلة الحالية من تطور التعليم ، تتمثل إحدى مهامه الرئيسية في تكوين شخصية تفكير إبداعي. لا يمكن تطوير القدرة على الإبداع لدى الطلاب إلا إذا شاركوا بشكل منهجي في أساسيات الأنشطة البحثية. يتم تشكيل المعرفة والمهارات الكاملة للطلاب لاستخدام قواهم الإبداعية وقدراتهم ومواهبهم. في هذا الصدد ، فإن مشكلة تكوين نظام للمعرفة والمهارات الأساسية لكل موضوع من مقرر الرياضيات المدرسية ليست ذات أهمية كبيرة. في الوقت نفسه ، يجب أن تكون المهارات الكاملة الهدف التعليمي ليس للمهام الفردية ، ولكن لنظامهم المدروس بعناية. بالمعنى الأوسع ، يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المتفاعلة المترابطة التي تتمتع بالسلامة والبنية المستقرة.

ضع في اعتبارك منهجية لتعليم الطلاب كيفية رسم معادلة ظل الرسم البياني للوظيفة. من حيث الجوهر ، يتم تقليل جميع المهام الخاصة بإيجاد معادلة الظل إلى الحاجة إلى الاختيار من مجموعة (حزمة ، عائلة) من الخطوط التي تفي بمتطلبات معينة - فهي مماسة للرسم البياني لوظيفة معينة. في هذه الحالة ، يمكن تحديد مجموعة السطور التي يتم الاختيار منها بطريقتين:

أ) نقطة ملقاة على مستوى xOy (قلم رصاص مركزي للخطوط) ؛
ب) معامل الزاوي (حزمة متوازية من الخطوط).

في هذا الصدد ، عند دراسة موضوع "الظل للرسم البياني للدالة" من أجل عزل عناصر النظام ، حددنا نوعين من المهام:

1) المهام على الظل ، نقطةالتي يمر من خلالها.
2) المهام على الظل المعطاة من خلال ميلها.

تم تنفيذ تعلم حل المشكلات على الظل باستخدام الخوارزمية التي اقترحها A.G. مردكوفيتش. له اختلاف جوهريمن الأكاذيب المعروفة بالفعل في حقيقة أن إحداثيات نقطة الظل يُشار إليها بالحرف a (بدلاً من x0) ، فيما يتعلق بمعادلة الظل التي تأخذ الشكل

ص \ u003d و (أ) + و "(أ) (س - أ)

(قارن مع y \ u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). تسمح هذه التقنية المنهجية ، في رأينا ، للطلاب بإدراك مكان كتابة إحداثيات النقطة الحالية في معادلة الظل العامة ، وأين توجد نقاط الاتصال.

خوارزمية لتجميع معادلة الظل للرسم البياني للدالة y = f (x)

1. عيّن بالحرف حدودًا لنقطة الاتصال.
2. أوجد f (a).
3. أوجد f "(x) و f" (a).
4. استبدل الأرقام التي تم العثور عليها a ، f (a) ، f "(a) في معادلة عامةظل y \ u003d f (a) \ u003d f "(a) (x - a).

يمكن تجميع هذه الخوارزمية على أساس اختيار الطلاب المستقل للعمليات وتسلسل تنفيذها.

أظهرت الممارسة أن الحل المتسق لكل مهمة من المهام الأساسية باستخدام الخوارزمية يسمح لك بتكوين القدرة على كتابة معادلة الظل إلى الرسم البياني للوظيفة على مراحل ، وأن خطوات الخوارزمية تعمل كنقاط قوية للإجراءات. يتوافق هذا النهج مع نظرية التكوين التدريجي للأفعال العقلية التي طورها P.Ya. جالبرين ون. Talyzina.

في النوع الأول من المهام ، تم تحديد مهمتين رئيسيتين:

• المماس يمر عبر نقطة تقع على المنحنى (المشكلة 1) ؛
• الظل يمر عبر نقطة لا تقع على المنحنى (المشكلة 2).

المهمة 1. مساواة الظل بالرسم البياني للوظيفة عند النقطة م (3 ؛ - 2).

حل. النقطة M (3 ؛ - 2) هي نقطة الاتصال ، منذ ذلك الحين

1. a = 3 - حدود نقطة اللمس.
2. و (3) = - 2.
3. f "(x) \ u003d x 2-4، f" (3) \ u003d 5.
y \ u003d - 2 + 5 (x - 3) ، y \ u003d 5x - 17 هي معادلة الظل.

المهمة 2. اكتب معادلات جميع المماسات على الرسم البياني للدالة y = - x 2 - 4x + 2 ، مروراً بالنقطة M (- 3 ؛ 6).

حل. النقطة M (- 3 ؛ 6) ليست نقطة الظل ، حيث أن f (- 3) 6 (الشكل 2).

2. و (أ) = - أ 2 - 4 أ + 2.
3. f "(x) \ u003d - 2x - 4، f" (a) \ u003d - 2a - 4.
4. y \ u003d - a 2-4a + 2-2 (a + 2) (x - a) - معادلة الظل.

المماس يمر عبر النقطة M (- 3 ؛ 6) ، لذلك فإن إحداثياته ​​تفي بمعادلة الظل.

6 = - أ 2 - 4 أ + 2 - 2 (أ + 2) (- 3 - أ) ،
أ 2 + 6 أ + 8 = 0^ أ 1 = - 4 ، 2 = - 2.

إذا كانت a = - 4 ، فإن معادلة الظل هي y = 4x + 18.

إذا كانت a \ u003d - 2 ، فإن معادلة الظل لها الشكل y \ u003d 6.

في النوع الثاني تكون المهام الرئيسية كما يلي:

• الظل يوازي بعض الخطوط المستقيمة (المشكلة 3) ؛
• المماس يمر بزاوية ما للخط المعطى (المشكلة 4).

المهمة 3. اكتب معادلات جميع الظلال على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 3 - 3x 2 + 3 ، بالتوازي مع الخط y \ u003d 9x + 1.

حل.

1. أ - حدود نقطة اللمس.
2. و (أ) = أ 3 - 3 أ 2 + 3.
3. f "(x) \ u003d 3x 2-6x، f" (a) \ u003d 3a 2 - 6a.

لكن ، من ناحية أخرى ، f "(a) \ u003d 9 (حالة التوازي). لذلك ، نحتاج إلى حل المعادلة 3a 2 - 6a \ u003d 9. جذورها أ \ u003d - 1 ، أ \ u003d 3 (الشكل 3).

4. 1) أ = - 1 ؛
2) و (- 1) = - 1 ؛
3) و "(- 1) = 9 ؛
4) ص = - 1 + 9 (س + 1) ؛

y = 9x + 8 هي معادلة الظل ؛

1) أ = 3 ؛
2) و (3) = 3 ؛
3) و "(3) = 9 ؛
4) ص = 3 + 9 (س - 3) ؛

y = 9x - 24 هي معادلة الظل.

المهمة 4. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = 0.5x 2 - 3x + 1 ، مروراً بزاوية 45 درجة للخط المستقيم y = 0 (الشكل 4).

حل. من الشرط f "(a) \ u003d tg 45 ° نجد: a - 3 \ u003d 1^ أ = 4.

1. a = 4 - حدود نقطة اللمس.
2. و (4) = 8-12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \ u003d 4 - 3 \ u003d 1.
4. ص \ u003d - 3 + 1 (س - 4).

ص \ u003d س - 7 - معادلة الظل.

من السهل إظهار أن حل أي مشكلة أخرى يقتصر على حل مشكلة رئيسية واحدة أو عدة مشاكل رئيسية. ضع في اعتبارك المشكلتين التاليتين كمثال.

1. اكتب معادلات المماس للقطع المكافئ y = 2x 2 - 5x - 2 ، إذا تقاطعت المماسات بزاوية قائمة وكان أحدها يلمس القطع المكافئ عند النقطة مع الإحداثيات 3 (الشكل 5).

حل. نظرًا لإعطاء الإحداثي السيني لنقطة الاتصال ، يتم تقليل الجزء الأول من الحل إلى المشكلة الرئيسية 1.

1. a \ u003d 3 - حدود نقطة التلامس لأحد جانبي الزاوية اليمنى.
2. و (3) = 1.
3. f "(x) \ u003d 4x - 5، f" (3) \ u003d 7.
4. y \ u003d 1 + 7 (x - 3) ، y \ u003d 7x - 20 - معادلة الظل الأول.

دع أ هي زاوية ميل الظل الأول. بما أن المماس متعامد ، إذن هي زاوية ميل الظل الثاني. من المعادلة y = 7x - 20 من الظل الأول لدينا tgأ = 7. بحث

هذا يعني أن ميل المماس الثاني هو.

يتم تقليل الحل الإضافي إلى المهمة الرئيسية 3.

دع B (c ؛ f (c)) هي نقطة الظل للخط الثاني ، إذن

1. - حدود نقطة الاتصال الثانية.
2.
3.
4.
هي معادلة الظل الثاني.

ملحوظة. يمكن إيجاد المعامل الزاوي للماس أسهل إذا عرف الطلاب نسبة معاملات الخطوط العمودية k 1 k 2 = - 1.

2. اكتب معادلات جميع المماسات الشائعة للرسوم البيانية للوظيفة

حل. يتم تقليل المهمة إلى إيجاد حدود نقاط التلامس للظل المشترك ، أي حل المشكلة الرئيسية 1 بشكل عام ، وتجميع نظام المعادلات ثم حلها (الشكل 6).

1. لنفترض أن a هو حدود نقطة اللمس الواقعة على الرسم البياني للدالة y = x 2 + x + 1.
2. و (أ) = أ 2 + أ + 1.
3. f "(أ) = 2 أ + 1.
4. y \ u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \ u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. لنفترض أن c هي حدود نقطة الظل الموجودة على الرسم البياني للوظيفة
2.
3. f "(c) = c.
4.

بما أن الظلال شائعة ، إذن

إذن ، y = x + 1 و y = - 3x - 3 هي مماسات شائعة.

الهدف الرئيسي من المهام التي يتم النظر فيها هو إعداد الطلاب للاعتراف الذاتي بنوع المهمة الرئيسية عند حل المهام الأكثر تعقيدًا التي تتطلب مهارات بحثية معينة (القدرة على التحليل والمقارنة والتعميم وطرح فرضية ، وما إلى ذلك). تتضمن هذه المهام أي مهمة يتم تضمين المهمة الرئيسية فيها كمكون. دعونا نعتبر كمثال مشكلة (معكوس المشكلة 1) لإيجاد دالة من عائلة ظلها.

3. ما هو b و c الخطوط y \ u003d x و y \ u003d - 2x مماس للرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 + bx + c؟

حل.

لنفترض أن t هي الحد الفاصل لنقطة اتصال الخط y = x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c ؛ p هي حدود نقطة التلامس للخط y = - 2x مع القطع المكافئ y = x 2 + bx + c. بعد ذلك ، ستأخذ معادلة الظل y = x الصيغة y = (2t + b) x + c - t 2 ، وستأخذ معادلة الظل y = - 2x الصيغة y = (2p + b) x + c - p 2.

يؤلف ويحل نظام المعادلات

إجابة:

مهام الحل المستقل

1. اكتب معادلات المماس المرسومة على الرسم البياني للدالة y = 2x 2 - 4x + 3 عند نقاط تقاطع الرسم البياني مع الخط y = x + 3.

الجواب: y \ u003d - 4x + 3، y \ u003d 6x - 9.5.

2. ما هي قيم المماس المرسوم على الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 2 - الفأس عند نقطة الرسم البياني مع الحد الفاصل x 0 \ u003d 1 يمر عبر النقطة M (2 ؛ 3)؟

الجواب: أ = 0.5.

3. ما هي قيم p التي يلمسها الخط y = px - 5 المنحنى y = 3x 2 - 4x - 2؟

الجواب: ص 1 \ u003d - 10 ، ص 2 \ u003d 2.

4. أوجد جميع النقاط المشتركة في الرسم البياني للدالة y = 3x - x 3 والماس المرسوم على هذا الرسم البياني من خلال النقطة P (0 ؛ 16).

الجواب: أ (2 ؛ - 2) ، ب (- 4 ؛ 52).

5. أوجد أقصر مسافة بين القطع المكافئ y = x 2 + 6x + 10 والخط

إجابة:

6. على المنحنى y \ u003d x 2 - x + 1 ، أوجد النقطة التي يكون عندها ظل الرسم البياني موازيًا للخط y - 3x + 1 \ u003d 0.

الجواب: م (2 ؛ 3).

7. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = x 2 + 2x - | 4x | التي تلامسها عند نقطتين. جعل الرسم.

الجواب: ص = 2 س - 4.

8. أثبت أن الخط y = 2x - 1 لا يتقاطع مع المنحنى y = x 4 + 3x 2 + 2x. أوجد المسافة بين أقرب نقاطهم.

إجابة:

9. على القطع المكافئ y \ u003d x 2 ، يتم أخذ نقطتين مع abscissas x 1 \ u003d 1 ، x 2 \ u003d 3. يتم رسم قاطع من خلال هذه النقاط. في أي نقطة من القطع المكافئ سيكون مماسها موازٍ للقطع المرسوم؟ اكتب معادلات القاطع والظل.

الجواب: ص \ u003d 4x - 3 - معادلة قاطعة ؛ y = 4x - 4 هي معادلة الظل.

10. أوجد الزاوية q بين مماسات الرسم البياني للوظيفة y \ u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1 ، مرسومة عند نقاط مع abscissas 0 و 1.

الجواب: q = 45 درجة.

11. في أي نقطة يكون مماس الرسم البياني للوظيفة زاوية مقدارها 135 درجة مع محور الثور؟

الجواب: أ (0 ؛ - 1) ، ب (4 ؛ 3).

12. عند النقطة أ (1 ؛ 8) إلى المنحنى يتم رسم الظل. أوجد طول الجزء المماس المحصور بين محوري الإحداثيات.

إجابة:

13. اكتب معادلة جميع الظلال الشائعة للرسوم البيانية للوظائف y \ u003d x 2 - x + 1 و y \ u003d 2x 2 - x + 0.5.

الجواب: ص = - 3 س وص = س.

14. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني للوظيفة بالتوازي مع المحور السيني.

إجابة:

15. حدد الزوايا التي يقطعها القطع المكافئ y \ u003d x 2 + 2x - 8 مع المحور x.

الجواب: q 1 \ u003d arctan 6 ، q 2 \ u003d arctan (- 6).

16. على الرسم البياني للدالة أوجد جميع النقاط ، حيث يتقاطع المماس عند كل منها مع هذا الرسم البياني مع أنصاف المحاور الموجبة للإحداثيات ، مما يؤدي إلى قطع أجزاء متساوية منها.

الجواب: أ (-3 ؛ 11).

17. يتقاطع الخط y = 2x + 7 والقطع المكافئ y = x 2-1 عند النقطتين M و N. أوجد نقطة التقاطع K للخطين المماس للقطع المكافئ عند النقطتين M و N.

الجواب: ك (1 ؛ - 9).

18. ما قيم b هو الخط y \ u003d 9x + b مماس للرسم البياني للدالة y \ u003d x 3 - 3x + 15؟

الجواب: - 1 ؛ 31.

19. ما قيم k التي يمتلكها الخط y = kx - 10 نقطة مشتركة واحدة فقط مع التمثيل البياني للدالة y = 2x 2 + 3x - 2؟ لقيم ك التي تم العثور عليها ، حدد إحداثيات النقطة.

الجواب: ك 1 = - 5 ، أ (- 2 ؛ 0) ؛ ل 2 = 11 ، ب (2 ؛ 12).

20. ما هي قيم b التي يمر بها الظل المرسوم على الرسم البياني للدالة y = bx 3 - 2x 2 - 4 عند النقطة التي بها الحد الأقصى x 0 = 2 يمر بالنقطة M (1 ؛ 8)؟

الجواب: ب = - 3.

21. القطع المكافئ الذي رأسه على المحور x هو مماس لخط يمر بالنقطتين A (1 ؛ 2) و B (2 ؛ 4) عند النقطة B. أوجد معادلة القطع المكافئ.

إجابة:

22. ما هي قيمة المعامل k هل يلمس القطع المكافئ y \ u003d x 2 + kx + 1 محور الثور؟

الجواب: ك = س 2.

23. أوجد الزوايا الواقعة بين الخط y = x + 2 والمنحنى y = 2x 2 + 4x - 3.

29. أوجد المسافة بين مماسات الرسم البياني لمولدات الدالة مع الاتجاه الموجب لمحور Ox بزاوية 45 درجة.

إجابة:

30. أوجد موضع رءوس كل القطع المكافئ بالصيغة y = x 2 + ax + b التي تلامس الخط y = 4x - 1.

الجواب: الخط المستقيم y = 4x + 3.

الأدب

1. Zvavich L.I.، Shlyapochnik L.Ya.، Chinkina M.V. الجبر وبدايات التحليل: 3600 مشكلة لتلاميذ المدارس والمتقدمين للجامعة. - م ، بوستارد ، 1999.
2. مردكوفيتش أ. الندوة الرابعة للمعلمين الشباب. الموضوع هو "تطبيقات مشتقة". - م "رياضيات" رقم 21/94.
3. تكوين المعرفة والمهارات على أساس نظرية الاستيعاب التدريجي للأفعال العقلية. / إد. ص. جالبيرين ، ن. Talyzina. - ماجستير ، جامعة موسكو الحكومية ، 1968.