دوران حول حجم المحور ص. حساب حجوم أجسام الثورة باستخدام تكامل محدد. حساب مساحة سطح الدوران المعطاة في إحداثيات مستطيلة

ضع في اعتبارك أمثلة لتطبيق الصيغة التي تم الحصول عليها ، والتي تسمح لك بحساب مناطق الأشكال المقيدة بخطوط محددة حدوديًا.

مثال.

احسب مساحة الشكل المحدد بخط تبدو معادلاته البارامترية.

المحلول.

في مثالنا ، الخط المحدد حدوديًا عبارة عن قطع ناقص بنصف محاور من 2 و 3 وحدات. دعونا نبنيها.

أوجد مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. هذه المنطقة تقع في الفترة . نحسب مساحة الشكل بالكامل بضرب القيمة الناتجة في أربعة.

ما لدينا:

إلى عن على ك = 0 نحصل على الفترة . في هذا الفاصل ، وظيفة تناقص رتيب (انظر القسم). نطبق الصيغة لحساب المساحة وإيجاد التكامل المحدد باستخدام صيغة Newton-Leibniz:

إذن مساحة الشكل الأصلي هي .

تعليق.

يطرح سؤال منطقي: لماذا أخذنا ربع القطع الناقص وليس النصف؟ كان من الممكن النظر في النصف العلوي (أو السفلي) من الشكل. هي في النطاق . لهذه الحالة ، سيكون لدينا

أي ، بالنسبة لـ k = 0 نحصل على الفترة. في هذا الفاصل ، وظيفة تناقص رتابة.

ثم يتم إعطاء مساحة نصف القطع الناقص بواسطة

لكن لا يمكن أخذ النصف الأيمن أو الأيسر من القطع الناقص.

التمثيل البارامتري للقطع الناقص المتمركز في الأصل ونصف المحاور أ و ب له الشكل. إذا تصرفنا بنفس الطريقة كما في المثال الذي تم تحليله ، فسنحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص .

الدائرة التي يكون مركزها في أصل إحداثيات نصف القطر R من خلال المعلمة t تعطى من خلال نظام المعادلات. إذا استخدمنا الصيغة التي تم الحصول عليها لمساحة القطع الناقص ، فيمكننا الكتابة على الفور صيغة إيجاد مساحة الدائرةنصف قطر R:.

لنحل مثالاً آخر.

مثال.

احسب مساحة شكل محدد بمنحنى معطى بشكل حدودي.

المحلول.

بالنظر إلى الأمام قليلاً ، فإن المنحنى عبارة عن أسترويد "ممدود". (يمتلك الأسترويد التمثيل البارامترى التالي).

دعونا نتناول بالتفصيل بناء منحنى يحيط بالشكل. سوف نبنيها نقطة تلو الأخرى. عادة ما يكون مثل هذا البناء كافياً لحل معظم المشاكل. في الحالات الأكثر تعقيدًا ، مما لا شك فيه ، ستكون هناك حاجة إلى دراسة مفصلة لوظيفة معينة حدوديًا بمساعدة حساب التفاضل.

في مثالنا.

يتم تحديد هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية للمعامل t ، ومن خصائص الجيب وجيب التمام ، نعلم أنها دورية بفترة 2 pi. هكذا حساب قيم الدوال للبعض (فمثلا ) ، نحصل على مجموعة من النقاط .

للراحة ، سندخل القيم في الجدول:

نحدد النقاط على المستوى ونربطها بشكل كبير بخط.

لنحسب مساحة المنطقة الواقعة في ربع الإحداثي الأول. لهذه المنطقة .

في ك = 0 نحصل على الفترة ، على أي وظيفة ينخفض ​​بشكل رتيب. نستخدم الصيغة لإيجاد المساحة:

نحسب التكاملات المحددة التي تم الحصول عليها باستخدام صيغة Newton-Leibniz ، ونجد المشتقات العكسية لصيغة Newton-Leibniz باستخدام الصيغة العودية للصيغة ، أين .

إذن ، مساحة ربع الشكل تساوي ، فإن مساحة الشكل بالكامل تساوي.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يظهر ذلك منطقة أسترويدتقع على شكل ، ويتم حساب مساحة الشكل التي يحدها الخط بواسطة الصيغة.

عندما اكتشفنا المعنى الهندسي لتكامل معين ، حصلنا على صيغة يمكنك من خلالها إيجاد مساحة شبه منحنية منحنية الأضلاع يحدها محور الإحداثيات ، وهي خطوط مستقيمة س = أ ، س = ب، بالإضافة إلى وظيفة مستمرة (غير سالبة أو غير موجبة) ص = و (س).في بعض الأحيان يكون من الأنسب تعيين الوظيفة التي تحد الشكل في شكل حدودي ، أي التعبير عن الاعتماد الوظيفي من حيث المعلمة t. في إطار هذه المادة ، سنوضح كيف يمكنك العثور على مساحة الشكل إذا كانت مقيدة بمنحنى معين حدوديًا.

بعد شرح النظرية واشتقاق الصيغة ، سنقوم بتحليل العديد من الأمثلة النموذجية لإيجاد مساحة هذه الأرقام.

الصيغة الأساسية للحساب

لنفترض أن لدينا شبه منحني منحني الشكل ، حدوده هي الخطوط x = a و x = b والمحور O x والمنحنى المحدد حدوديًا x = φ (t) y = ψ (t) والوظائف x = φ (t) و y = ψ (t) متصلان على الفاصل الزمني α ؛ β ، α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

التعريف 1

لحساب مساحة شبه منحرف في ظل هذه الظروف ، تحتاج إلى استخدام الصيغة S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t.

لقد اشتقناها من صيغة مساحة شبه منحني منحني الخط S (G) = ∫ a b f (x) d x باستخدام طريقة الاستبدال x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t

التعريف 2

النظر في الانخفاض الرتيب للوظيفة x = φ (t) على الفاصل β ؛ α ، β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

إذا كانت الدالة x = φ (t) لا تنتمي إلى العناصر الأساسية الأساسية ، فنحن بحاجة إلى تذكر القواعد الأساسية لزيادة الدالة وتقليلها في فترة زمنية ما لتحديد ما إذا كانت ستزداد أم تتناقص.

في هذه الفقرة ، سنحلل العديد من المشاكل لتطبيق الصيغة المشتقة أعلاه.

مثال 1

حالة: أوجد مساحة الشكل التي شكلتها المعادلات بالصيغة x = 2 cos t y = 3 sin t.

المحلول

لدينا خط محدد حدوديًا. بيانيا ، يمكن عرضها على شكل قطع ناقص مع اثنين من المحاور 2 و 3. انظر الرسم التوضيحي:

دعنا نحاول إيجاد المساحة 1 4 من الشكل الناتج ، والتي تشغل الربع الأول. المنطقة تقع في الفترة x ∈ a ؛ ب = 0 2. بعد ذلك ، اضرب القيمة الناتجة في 4 وابحث عن مساحة الشكل بالكامل.

هذا هو مسار حساباتنا:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + k، k ∈ Z، φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 k، ل ∈ Z

عندما يكون k يساوي 0 ، نحصل على الفترة β ؛ α = 0 ؛ π 2. ستنخفض الدالة x = φ (t) = 2 cos t بشكل رتيب (لمزيد من التفاصيل ، راجع مقالة الوظائف الأولية الأساسية وخصائصها). لذلك ، يمكنك تطبيق صيغة المنطقة وإيجاد تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \ u003d 3 π 2 - الخطيئة 2 π 2 2-0 - الخطيئة 2 0 2 \ u003d 3 π 2

هذا يعني أن مساحة الشكل التي قدمها المنحنى الأصلي ستكون مساوية لـ S (G) \ u003d 4 3 π 2 \ u003d 6 π.

الجواب: S (G) = 6 π

دعنا نوضح أنه عند حل المشكلة أعلاه ، لم يكن من الممكن أخذ ربع القطع الناقص فحسب ، بل أيضًا نصفه - العلوي أو السفلي. يقع النصف على الفترة الزمنية x ∈ a ؛ ب = - 2 ؛ 2. في هذه الحالة ، سيكون لدينا:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k، k ∈ Z

وهكذا ، مع k يساوي 0 ، حصلنا على β ؛ α = 0 ؛ π. ستنخفض الدالة x = φ (t) = 2 cos t بشكل رتيب على هذه الفترة.

بعد ذلك نحسب مساحة نصف القطع الناقص:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

من المهم ملاحظة أنه يمكنك فقط أخذ الجزء العلوي أو السفلي ، وليس اليمين أو اليسار.

يمكنك كتابة معادلة بارامترية لهذا القطع الناقص ، حيث يقع مركزها في الأصل. سيبدو بالشكل x = a cos t y = b sin t. بالتصرف بنفس الطريقة كما في المثال أعلاه ، نحصل على صيغة لحساب مساحة القطع الناقص S e l و p مع a \ u003d πab.

يمكنك تحديد الدائرة التي يقع مركزها في الأصل باستخدام المعادلة x = R cos t y = R sin t ، حيث t هي معلمة و R هي نصف قطر الدائرة المعطاة. إذا استخدمنا فورًا صيغة مساحة القطع الناقص ، فسنحصل على صيغة يمكننا بواسطتها حساب مساحة دائرة نصف قطرها R: S تقريبًا a = πR 2.

لنفكر في مشكلة أخرى.

مثال 2

حالة: أوجد مساحة الشكل التي يحدها منحنى معطى حدوديًا x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.

المحلول

دعونا نوضح على الفور أن هذا المنحنى له شكل أسترويد ممدود. عادة ما يتم التعبير عن الأسترويد باستخدام معادلة بالصيغة x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t.

الآن سوف نحلل بالتفصيل كيفية بناء مثل هذا المنحنى. دعونا نبني على النقاط الفردية. هذه هي الطريقة الأكثر شيوعًا وهي قابلة للتطبيق على معظم المهام. تتطلب الأمثلة الأكثر تعقيدًا حسابًا تفاضليًا للكشف عن وظيفة محددة بشكل حدودي.

لدينا x \ u003d φ (t) \ u003d 3 cos 3 t ، y \ u003d ψ (t) \ u003d 2 sin 3 t.

يتم تعريف هذه الوظائف لجميع القيم الحقيقية لـ t. بالنسبة للخطيئة وجيب التمام ، من المعروف أنهما دوريان ودورتهما 2 pi. حساب قيم الدوال x = φ (t) = 3 cos 3 t، y = ψ (t) = 2 sin 3 t لبعض t = t 0 ∈ 0؛ 2 π π 8 ، π 4 ، 3 π 8 ، π 2 ،. . . ، 15 π 8 ، نحصل على النقاط × 0 ؛ ص 0 = (φ (ر 0) ؛ ψ (ر 0)).

لنقم بعمل جدول بالقيم الإجمالية:

t0	0	π 8	π 4	3 8	π 2	5 8	3 4	7 8	π
× 0 \ u003d φ (ر 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
ص 0 = ψ (ر 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t0	9 8	5 4	11 بي 8	3 2	13 8	7 4	15 8	2 π
× 0 \ u003d φ (ر 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
ص 0 = ψ (ر 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

بعد ذلك ، حدد النقاط المرغوبة على المستوى وقم بتوصيلها بخط واحد.

علينا الآن إيجاد مساحة ذلك الجزء من الشكل الموجود في ربع الإحداثي الأول. لها س ∈ أ ؛ ب = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + k، k ∈ Z، φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 k، k ∈ Z

إذا كانت k تساوي 0 ، نحصل على الفترة β ؛ α = 0 ؛ π 2 ، والدالة x = φ (t) = 3 cos 3 t ستنخفض بشكل رتيب عليها. الآن نأخذ صيغة المساحة ونحسب:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) د t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

لقد حصلنا على تكاملات معينة يمكن حسابها باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز. يمكن إيجاد العناصر الأولية لهذه الصيغة باستخدام الصيغة العودية J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) ، حيث J n (x) = ∫ الخطيئة n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t د t = = - cos t sin t 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 2 sin 4 t د t = 5 6 3 π 16 = 15 96

لقد حسبنا مساحة ربع الشكل. إنها تساوي 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16-15 π 96 = 9 π 16.

إذا ضربنا هذه القيمة في 4 ، فسنحصل على مساحة الشكل بالكامل - 9 π 4.

بالطريقة نفسها تمامًا ، يمكننا إثبات أنه يمكن العثور على مساحة الأسترويد المعطاة بواسطة المعادلات x \ u003d a cos 3 t y \ u003d a sin 3 t بواسطة الصيغة ، التي يحددها الخط x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t ، تُحسب بالصيغة S = 3 πab 8.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

محاضرات 8. تطبيقات لا يتجزأ محدد.

يعتمد تطبيق التكامل على المشكلات المادية على خاصية الجمع بين التكامل على مجموعة. لذلك ، بمساعدة التكامل ، يمكن حساب هذه الكميات التي هي نفسها مضافة في المجموعة. على سبيل المثال ، مساحة الشكل تساوي مجموع مساحات أجزائه ، فطول القوس ومساحة السطح وحجم الجسم وكتلة الجسم لها نفس الخاصية. لذلك ، يمكن حساب كل هذه الكميات باستخدام تكامل محدد.

هناك طريقتان لحل المشاكل: طريقة المجاميع المتكاملة وطريقة الفروق.

تكرر طريقة المجاميع المتكاملة بناء تكامل محدد: يتم إنشاء قسم ، وتمييز النقاط ، وحساب دالة فيها ، وحساب مجموع متكامل ، ويتم تنفيذ المرور إلى الحد الأقصى. في هذه الطريقة ، تكمن الصعوبة الرئيسية في إثبات أنه في الحد الأقصى سيتم الحصول على ما هو مطلوب بالضبط في المشكلة.

تستخدم الطريقة التفاضلية التكامل غير المحدد وصيغة نيوتن-لايبنيز. يتم حساب فارق القيمة المراد تحديدها ، وبعد ذلك ، بدمج هذا التفاضل ، يتم الحصول على القيمة المطلوبة باستخدام صيغة Newton-Leibniz. في هذه الطريقة ، تكمن الصعوبة الرئيسية في إثبات أن التفاضل في القيمة المرغوبة هو الذي يتم حسابه ، وليس شيئًا آخر.

حساب مساحات الأشكال المستوية.

1. يقتصر الشكل على الرسم البياني للدالة الواردة في نظام الإحداثيات الديكارتية.

لقد توصلنا إلى مفهوم التكامل المحدد من مشكلة مساحة شبه منحرف منحني الخطوط (في الواقع ، باستخدام طريقة المبالغ المتكاملة). إذا كانت الوظيفة تأخذ قيمًا غير سالبة فقط ، فيمكن حساب المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للوظيفة في المقطع باستخدام التكامل المحدد. لاحظ أن حتى هنا يمكنك أن ترى طريقة الفروق.

لكن يمكن للدالة أيضًا أن تأخذ قيمًا سالبة على جزء معين ، ثم التكامل على هذا المقطع سيعطي مساحة سالبة ، وهو ما يتعارض مع تعريف المنطقة.

يمكنك حساب المنطقة باستخدام الصيغةس=. هذا يعادل تغيير علامة الدالة في تلك المناطق التي تأخذ فيها قيمًا سالبة.

إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة الشكل المقيد من الأعلى بالرسم البياني للوظيفة ، ومن الأسفل بالرسم البياني للوظيفة ، إذن يمكنك استخدام الصيغةس= ، لان .

مثال. احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط مستقيمة x = 0 و x = 2 والرسوم البيانية للدوال y = x 2 و y = x 3.

لاحظ أنه في المجال (0،1) تتحقق المتباينة x 2> x 3 ، وبالنسبة إلى x> 1 تتحقق المتباينة x 3> x 2. لهذا

2. يقتصر الشكل على الرسم البياني للدالة الواردة في نظام الإحداثيات القطبية.

دع الرسم البياني للدالة يتم تقديمه في نظام الإحداثيات القطبية ونريد حساب مساحة القطاع المنحني الذي يحده شعاعين والرسم البياني للوظيفة في نظام الإحداثيات القطبية.

هنا يمكنك استخدام طريقة المجاميع المتكاملة ، وحساب مساحة قطاع منحني الخطوط كحد لمجموع مناطق القطاعات الأولية التي يتم فيها استبدال الرسم البياني للدالة بقوس دائرة .

يمكنك أيضًا استخدام الطريقة التفاضلية: .

يمكنك التفكير مثل هذا. استبدال القطاع المنحني الأولي المقابل للزاوية المركزية بقطاع دائري ، لدينا النسبة. من هنا . دمج صيغة نيوتن-لايبنيز واستخدامها ، نحصل عليها .

مثال. احسب مساحة الدائرة (راجع الصيغة). نحن نؤمن . مساحة الدائرة هي .

مثال. احسب المنطقة التي يحدها القلب .

3 الشكل مقيد بالرسم البياني لوظيفة محددة بارامترات.

يمكن تحديد الوظيفة بشكل حدودي في النموذج. نستخدم الصيغة س= ، مع استبداله بحدود التكامل فيما يتعلق بالمتغير الجديد. . عادة ، عند حساب التكامل ، يتم تمييز تلك المناطق حيث يكون للتكامل علامة معينة وتؤخذ المنطقة المقابلة بعلامة أو أخرى في الاعتبار.

مثال. احسب المساحة المحاطة بالقطع الناقص.

باستخدام تناظر القطع الناقص ، نحسب مساحة ربع القطع الناقص الواقع في الربع الأول. في هذا الربع. لهذا .

حساب حجوم الجثث.

1. حساب حجوم الأجسام من مناطق المقاطع المتوازية.

دعنا نطلب حساب حجم بعض الجسم V من المناطق المعروفة لأقسام هذا الجسم بواسطة مستويات متعامدة على الخط OX ، مرسومة عبر أي نقطة x من القطعة المستقيمة OX.

نطبق طريقة الفروق. بالنظر إلى الحجم الأولي ، فوق المقطع كحجم أسطوانة دائرية قائمة مع مساحة قاعدتها وارتفاعها ، نحصل على . دمج وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز ، نحصل عليه

2. حساب حجوم أجسام الثورة.

فليكن مطلوبًا للحساب ثور.

ثم .

على نفس المنوال، حجم جسم ثورة حول محورOY، إذا تم تقديم الوظيفة في النموذج ، فيمكن حسابها باستخدام الصيغة.

إذا أعطيت الوظيفة في الشكل وكان مطلوبًا تحديد حجم جسم الدوران حول المحورOY، ثم يمكن الحصول على صيغة حساب الحجم على النحو التالي.

بالانتقال إلى التفاضل وإهمال الحدود التربيعية ، لدينا . دمج وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز ، لدينا.

مثال. احسب حجم الكرة.

مثال. احسب حجم مخروط دائري قائم يحده سطح ومستوى.

دعونا نحسب الحجم على أنه حجم جسم ثورة يتكون من الدوران حول محور OZ لمثلث قائم الزاوية في مستوى OXZ ، وتقع أرجله على محور OZ والخط z \ u003d H ، و الوتر يقع على الخط.

بالتعبير عن x بدلالة z ، نحصل على .

حساب طول القوس.

من أجل الحصول على صيغ لحساب طول القوس ، دعونا نتذكر الصيغ الخاصة بفارق طول القوس المشتق في الفصل الدراسي الأول.

إذا كان القوس هو رسم بياني لوظيفة قابلة للتفاضل بشكل مستمر، يمكن حساب فارق طول القوس بالصيغة

. لهذا

إذا تم تحديد قوس ناعم حدوديًا، ومن بعد

. لهذا .

إذا كان القوس في الإحداثيات القطبية، ومن بعد

. لهذا .

مثال. احسب طول قوس الرسم البياني للدالة. .

كما هو الحال مع مشكلة العثور على المنطقة ، فأنت بحاجة إلى مهارات رسم واثقة - وهذا هو الشيء الأكثر أهمية تقريبًا (لأن التكاملات نفسها غالبًا ما تكون سهلة). يمكنك إتقان تقنية الرسوم البيانية المختصة والسريعة بمساعدة المواد المنهجية والتحولات الهندسية للرسوم البيانية. لكن في الواقع ، لقد تحدثت مرارًا وتكرارًا عن أهمية الرسوم في الدرس.

بشكل عام ، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل ؛ باستخدام تكامل محدد ، يمكنك حساب مساحة الشكل ، وحجم جسم الدوران ، وطول القوس ، ومساحة سطح الدوران ، وأكثر بكثير. لذلك سيكون الأمر ممتعًا ، من فضلك كن متفائلاً!

تخيل بعض الشكل المسطح على مستوى الإحداثيات. ممثلة؟ ... أتساءل من قدم ماذا ... =))) لقد وجدنا بالفعل منطقته. ولكن ، بالإضافة إلى ذلك ، يمكن أيضًا تدوير هذا الرقم وتدويره بطريقتين:

- حول المحور السيني ؛
- حول المحور الصادي.

في هذه المقالة ، سيتم مناقشة كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص ، فهي تسبب أكبر الصعوبات ، ولكن في الحقيقة الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. كمكافأة ، سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكل، ويخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. لا توجد حتى مكافأة كبيرة لأن المادة تتناسب جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التدوير.

شكل مسطح حول محور

مثال 1

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير الشكل المحاط بخطوط حول المحور.

المحلول: كما في مشكلة المنطقة ، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل محاط بخطوط ، مع عدم إغفال أن المعادلة تحدد المحور. يمكن العثور على كيفية جعل الرسم أكثر عقلانية وأسرع على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. هذا تذكير صيني ولا أتوقف عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط جدًا:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق ، وهو الذي يدور حول المحور. ونتيجة للدوران ، يتم الحصول على صحن طائر على شكل بيضة قليلاً ، وهو متماثل حول المحور. في الواقع ، يمتلك الجسم اسمًا رياضيًا ، لكن من الكسول جدًا تحديد شيء ما في الكتاب المرجعي ، لذلك ننتقل.

كيف تحسب حجم جسم الثورة؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة بالصيغة:

في الصيغة ، يجب أن يكون هناك رقم قبل التكامل. لقد حدث ذلك تمامًا - كل شيء يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

أعتقد أن كيفية تعيين حدود التكامل "أ" و "أكون" ، من السهل تخمينها من الرسم المكتمل.

الوظيفة ... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. يحد الشكل المسطح من الرسم البياني للقطع المكافئ من أعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية ، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - التكامل في الصيغة تربيع: وهكذا التكامل هو دائما غير سالب، وهو أمر منطقي تمامًا.

احسب حجم جسم الثورة باستخدام هذه الصيغة:

كما أشرت بالفعل ، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا ، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابه:

في الإجابة ، من الضروري الإشارة إلى البعد - الوحدات المكعبة. وهذا يعني أنه يوجد في جسدنا الذي يدور حوله ما يقرب من 3.35 "مكعبات". لماذا بالضبط مكعب الوحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. قد يكون هناك سنتيمترات مكعبة ، وقد يكون هناك أمتار مكعبة ، وقد يكون هناك كيلومترات مكعبة ، وما إلى ذلك ، هذا هو عدد الرجال الأخضر الصغير الذي يمكن لمخيلتك أن تتناسب معه في طبق طائر.

مثال 2

أوجد حجم الجسم الذي شكله الدوران حول محور الشكل الذي تحده الخطوط ،

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

لنفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا ، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

مثال 3

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتناوب حول محور الإحداثي للشكل الذي تحده الخطوط ، و

المحلول: ارسم شكلاً مسطحًا في الرسم ، محددًا بخطوط ، ، ، مع عدم نسيان أن المعادلة تحدد المحور:

الرقم المطلوب مظلل باللون الأزرق. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مثل هذه الكعكة السريالية ذات الزوايا الأربع.

يتم حساب حجم جسم الثورة على أنه اختلاف حجم الجسم.

أولاً ، لنلق نظرة على الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول المحور ، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع على أنه.

تأمل الشكل المحيط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور ، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع ، أصغر قليلاً فقط. دعنا نشير إلى حجمها.

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات".

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم جسم الثورة:

1) الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

2) الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم ، لذلك:

3) حجم الجسم المطلوب للثورة:

إجابه:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام صيغة المدرسة لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يكون القرار نفسه أقصر ، شيء من هذا القبيل:

الآن دعنا نأخذ استراحة ونتحدث عن الأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات ، والتي لاحظها بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مثيرة للاهتمام. انظر إلى الشكل المسطح في المشكلة التي تم حلها - يبدو أنه صغير في المساحة ، وحجم جسم الثورة يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة ، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. بالمناسبة ، يشرب الشخص العادي طوال حياته سائلاً بحجم غرفة تبلغ 18 مترًا مربعًا ، والتي ، على العكس من ذلك ، تبدو صغيرة جدًا.

بشكل عام ، كان نظام التعليم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية هو الأفضل حقًا. نفس الكتاب من تأليف Perelman ، الذي نُشر في عام 1950 ، تطور جيدًا ، كما قال الفكاهي ، في التفكير ويعلمك أن تبحث عن حلول أصلية غير قياسية للمشكلات. لقد أعدت مؤخرًا قراءة بعض الفصول باهتمام كبير ، أوصي به ، فهو متاح حتى للعاملين في المجال الإنساني. لا ، ليس عليك أن تبتسم لأنني اقترحت أن تكون التسلية المناسبة ، وسعة الاطلاع ، ونظرة واسعة في التواصل أمرًا رائعًا.

بعد الاستطراد الغنائي ، من المناسب حل مهمة إبداعية:

مثال 4

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور الشكل المسطح الذي تحده الخطوط ، وأين.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". لاحظ أن كل الأشياء تحدث في النطاق ، بمعنى آخر ، حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للوظائف المثلثية بشكل صحيح ، وسوف أذكرك بمادة الدرس عنها التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا كانت الوسيطة قابلة للقسمة على اثنين: ، فسيتم تمديد الرسوم البيانية على طول المحور مرتين. من المستحسن أن تجد 3-4 نقاط على الأقل وفقًا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة ، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية.

حساب حجم الجسم بالدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم ثورة حول المحور الصادي هي أيضًا زائر متكرر إلى حد ما في الاختبارات. بشكل عابر سيتم النظر فيه مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية - التكامل على طول المحور ، لن يسمح لك ذلك بتحسين مهاراتك فحسب ، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على الحل الأكثر ربحية. كما أن لها معنى عمليًا! كما تذكرت أستاذتي لطرق تدريس الرياضيات بابتسامة ، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "موضوعك ساعدنا كثيرًا ، والآن أصبحنا مديرين فعالين وندير موظفينا على النحو الأمثل." أغتنم هذه الفرصة ، كما أعرب عن امتناني الكبير لها ، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود منها =).

أوصي به للجميع لقراءته ، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك ، فإن المادة المتضمنة في الفقرة الثانية ستكون ذات فائدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.

مثال 5

بالنظر إلى الشكل المسطح الذي يحده خطوط ، ،.

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة الفقرة الثانية فقط ، أولاً بالضرورةاقرأ أول واحد!

المحلول: المهمة تتكون من جزئين. لنبدأ بالمربع.

1) لننفذ الرسم:

من السهل أن نرى أن الوظيفة تحدد الفرع العلوي للقطع المكافئ ، وأن الوظيفة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه ، "يقع في جانبه".

الشكل المطلوب ، الذي سيتم العثور على مساحته ، مظلل باللون الأزرق.

كيف تجد مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "المعتادة" ، والتي تم النظر فيها في الدرس. واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك ، تم العثور على مساحة الشكل كمجموع المناطق:
- في الجزء ;
- في الجزء.

لهذا:

ما الخطأ في الحل المعتاد في هذه الحالة؟ أولاً ، يوجد تكاملان. ثانيًا ، الجذور تحت التكاملات ، والجذور في التكاملات ليست هدية ، علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يختلط عند استبدال حدود التكامل. في الواقع ، التكاملات ، بالطبع ، ليست مميتة ، ولكن من الناحية العملية ، كل شيء أكثر حزنًا ، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمهمة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتمثل في الانتقال إلى الوظائف العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية تمرير وظائف معكوسة؟ بشكل تقريبي ، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولاً ، دعنا نتعامل مع القطع المكافئ:

هذا يكفي ، لكن دعنا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

باستخدام خط مستقيم ، كل شيء أسهل:

انظر الآن إلى المحور: يرجى إمالة رأسك بشكل دوري إلى 90 درجة اليمنى كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الشكل الذي نحتاجه يقع على المقطع ، والذي يشار إليه بالخط المنقط الأحمر. علاوة على ذلك ، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ فقط رسالة ، ولا شيء أكثر.

! ملحوظة: يجب وضع حدود التكامل على طول المحور بدقة من أسفل إلى أعلى!

إيجاد المنطقة:

في هذا المقطع ، لذلك:

انتبه إلى كيفية تنفيذ التكامل ، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية ، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون من الواضح سبب ذلك.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل ، سأجد المشتقات:

يتم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أن التكامل يتم بشكل صحيح.

إجابه:

2) احسب حجم الجسم المتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

لذلك ، فإن الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم الثورة ، سنتكامل على طول المحور. أولًا ، علينا الانتقال إلى الدوال العكسية. وقد تم القيام بذلك ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أن حجم جسم الثورة يجب أن يُقاس بالفرق بين الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور ، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعنا نشير إلى هذا الحجم من خلال.

نقوم بتدوير الشكل ، محاطًا بدائرة باللون الأخضر ، حول المحور ونشير إليه من خلال حجم الجسم الناتج للثورة.

حجم الفراشة لدينا يساوي الفرق في الأحجام.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم جسم الثورة:

كيف تختلف عن صيغة الفقرة السابقة؟ فقط بالحروف.

وإليك ميزة التكامل التي كنت أتحدث عنها منذ فترة ، من الأسهل العثور عليها بدلاً من رفع عنصر التكامل إلى القوة الرابعة.

إجابه:

ومع ذلك ، فراشة مريضة.

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور ، فسيظهر جسم مختلف تمامًا للثورة ، بحجم مختلف ، بشكل طبيعي.

مثال 6

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي تحده هذه الخطوط من خلال التكامل مع المتغير.
2) احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه من خلال تدوير شكل مسطح تحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". أولئك الذين يرغبون يمكنهم أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة" ، وبالتالي إكمال اختبار النقطة 1). لكن إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور ، فستحصل على جسم مختلف تمامًا من الدوران بحجم مختلف ، بالمناسبة ، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون الحل).

الحل الكامل للعنصرين المقترحين للمهمة في نهاية الدرس.

أوه ، ولا تنسى إمالة رأسك إلى اليمين لفهم أجسام الدوران وضمن التكامل!

دعونا نجد حجم الجسم الناتج عن دوران القوس الحلقي حول قاعدته. وجدها روبرفال عن طريق كسر الجسم الناتج على شكل بيضة (الشكل 5.1) إلى طبقات رقيقة بلا حدود ، ونقش الأسطوانات في هذه الطبقات وإضافة أحجامها. الدليل طويل ومضجر وغير صارم تمامًا. لذلك ، لحسابها ، ننتقل إلى رياضيات أعلى. دعونا نضع المعادلة الحلقية حدوديًا.

في حساب التفاضل والتكامل ، عند دراسة المجلدات ، يستخدم الملاحظة التالية:

إذا تم إعطاء المنحنى الذي يحيط شبه المنحني المنحني من خلال المعادلات البارامترية وكانت الوظائف في هذه المعادلات تفي بشروط النظرية الخاصة بتغيير المتغير في تكامل معين ، فإن حجم جسم دوران شبه منحرف حول محور الثور سوف تحسب بالصيغة:

لنستخدم هذه الصيغة لإيجاد الحجم الذي نحتاجه.

بنفس الطريقة نحسب سطح هذا الجسم.

L = ((x، y): x = a (t - sin t)، y = a (1 - cost)، 0؟ t؟ 2р)

في حساب التفاضل والتكامل ، توجد الصيغة التالية لإيجاد مساحة سطح جسم دوراني حول المحور x لمنحنى محدد على قطعة بارامترية (t 0؟ t؟ t 1):

بتطبيق هذه الصيغة على معادلة السيكلويد الخاصة بنا ، نحصل على:

ضع في اعتبارك أيضًا سطحًا آخر ناتجًا عن دوران القوس الدائري. للقيام بذلك ، سنقوم ببناء صورة معكوسة للقوس الدائري بالنسبة لقاعدته ، وسنقوم بتدوير الشكل البيضاوي الذي شكله الحلقة الدائرية وانعكاسه حول محور KT (الشكل 5.2)

أولاً ، لنجد حجم الجسم المتكون من دوران القوس الحلقي حول محور KT. سيحسب حجمه بالصيغة (*):

وهكذا ، حسبنا حجم نصف جسم اللفت. ثم سيكون الحجم الإجمالي