Функцията на разпределение на всяка случайна променлива е функция. Очакване на непрекъсната случайна променлива

Признаци на бременност след имплантиране на ембрион

Функцията на разпределение на случайна променлива X е функцията F(x), която изразява за всяко x вероятността, че случайна променлива X ще приеме стойността, по-малък х

Пример 2.5. Дадена е серия на разпределение на случайна променлива

Намерете и изобразете графично неговата функция на разпределение. Решение. Според дефиницията

F(jc) = 0 at X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 при X > 5.

И така (вижте Фиг. 2.1):


Свойства на функцията на разпределение:

1. Функцията на разпределение на случайна променлива е неотрицателна функция между нула и едно:

2. Функцията на разпределение на случайна величина е ненамаляваща функция по цялата числена ос, т.е. при X 2 >x

3. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула, при плюс безкрайност е равна на единица, т.е.

4. Вероятност за попадение на случайна променлива Xв интерваларавно на определен интегралот неговата плътност на вероятността, варираща от Акъм b(виж Фиг. 2.2), т.е.


ориз. 2.2

3. Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива (виж фиг. 2.3) може да се изрази чрез плътността на вероятността по формулата:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. Неправилният интеграл в безкрайни граници на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива е равен на единица:

Геометрични свойства / и 4 плътностите на вероятността означават, че нейната графика е крива на разпределение - лежи не под оста x, и общата площ на фигурата, ограничена от кривата на разпределение и оста x, равно на едно.

За непрекъсната случайна променлива X математическо очакване M(X)и дисперсия D(X)се определят по формулите:

(ако интегралът е абсолютно сходящ); или

(ако горните интеграли се събират).

Заедно с цифровите характеристики, отбелязани по-горе, концепцията за квантили и процентни точки се използва за описание на случайна променлива.

Квантилно ниво q(или q-квантил) е такава стойностx qслучайна променлива, при което неговата функция на разпределение приема стойност, равно на q,т.е.

  • 100Точката q%-ou е квантилът X~ q.
  • ? Пример 2.8.

Въз основа на данните в пример 2.6 намерете квантила xqj и точката на 30% случайна променлива X.

Решение. По дефиниция (2.16) F(xo t3)= 0.3, т.е.

~Y~ = 0,3, откъде идва квантилът? х 0 3 = 0,6. 30% случайна променлива точка X, или квантил X)_o,z = xoj"се намира по подобен начин от уравнението ^ = 0,7. където *, = 1,4. ?

Сред числови характеристикислучайната променлива е изолирана начален v* и централенп* моменти от k-ти ред, определени за дискретни и непрекъснати случайни променливи по формулите:


За да се намерят функциите на разпределение на случайни променливи и техните променливи, е необходимо да се проучат всички характеристики на тази област на знанието. Има няколко различни методиза намиране на въпросните стойности, включително промяна на променливите и генериране на въртящ момент. Разпределението е концепция, базирана на елементи като дисперсия и вариации. Те обаче характеризират само степента на обхвата на разсейване.

По-важните функции на случайните променливи са тези, които са свързани и независими, и еднакво разпределени. Например, ако X1 е теглото на произволно избран индивид от мъжкото население, X2 е теглото на друг, ... и Xn е теглото на друг индивид от мъжкото население, тогава трябва да знаем как произволна функция X се разпределя. В този случай се прилага класическа теорема, наречена централна гранична теорема. Това ни позволява да покажем, че за големи n функцията следва стандартни разпределения.

Функции на една случайна променлива

Централната гранична теорема е предназначена за приближаване на дискретни стойности от интерес, като бином и Поасон. Функциите на разпределение на случайни променливи се разглеждат на първо място върху прости стойности на една променлива. Например, ако X е непрекъсната случайна променлива, която има собствено разпределение на вероятностите. Този случай изследва как да се намери функцията на плътност Y, като се използват два различни подхода, а именно методът на функцията на разпределение и методът на промяната в променливата. Първо, разглеждат се само стойности едно към едно. След това техниката на промяна на променливата трябва да бъде модифицирана, за да се намери нейната вероятност. И накрая, трябва да научите как кумулативното разпределение може да помогне за моделирането произволни числа, които следват определени последователни модели.

Начин на разпределение на разглежданите стойности

Методът на функцията на вероятностното разпределение на случайна променлива се използва за намиране на нейната плътност. Този метод изчислява кумулативната стойност. След това чрез диференцирането му може да се получи плътността на вероятността. Сега, след като имаме метода на разпределителната функция, можем да разгледаме още няколко примера. Нека X е непрекъсната случайна променлива с определена плътност на вероятността.

Каква е функцията на вероятностната плътност на x2? Ако погледнете или начертаете графиката на функцията (горе и вдясно) y = x2, можете да забележите, че тя увеличава X и 0

В последния пример беше положено голямо внимание за индексиране на кумулативните функции и плътности на вероятността с X или Y, за да се посочи към коя случайна променлива принадлежат. Например, когато намираме кумулативната функция на разпределение на Y, получаваме X. Ако трябва да намерите случайната променлива X и нейната плътност, тогава просто трябва да я диференцирате.

Техника за промяна на променливи

Нека X е непрекъсната случайна променлива, определена от функция на разпределение с общ знаменател f (x). В този случай, ако поставите стойността на y в X = v(Y), ще получите стойността на x, например v(y). Сега трябва да получим функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Y. Където първото и второто равенство произтичат от дефиницията на кумулативното Y. Третото равенство е изпълнено, защото частта от функцията, за която u (X) ≤ y вярно е също, че X ≤ v (Y ). И последното се прави, за да се определи вероятността в непрекъсната случайна променлива X. Сега трябва да вземем производната на FY(y), кумулативната функция на разпределение на Y, за да получим плътността на вероятността на Y.

Обобщение за редукционната функция

Нека X е непрекъсната случайна променлива с обща f(x), дефинирана върху c1

За да се реши този проблем, могат да се събират количествени данни и да се използва емпирична кумулативна функция на разпределение. Притежаването на тази информация и привличането към нея изисква комбинация от примерни средни стойности, стандартни отклонения, медийни данни и т.н.

По същия начин, дори един доста прост вероятностен модел може да има огромен брой резултати. Например, ако хвърлите монета 332 пъти. Тогава броят на получените резултати от обороти е по-голям от този на google (10100) - число, но не по-малко от 100 квинтилиона пъти по-високо от елементарните частици в познатата ни Вселена. Не се интересувам от анализ, който дава отговор на всеки възможен изход. Ще е необходима по-проста концепция, като например броя на главите или най-дългия удар на опашките. За да се съсредоточите върху въпроси от интерес, се приема конкретен резултат. Дефиницията в този случай е следната: случайна променлива е реална функция с вероятностно пространство.

Диапазонът S на случайна променлива понякога се нарича пространство на състоянието. Така, ако X е въпросната стойност, тогава N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и така нататък. Последната от тях, закръгляваща X до най-близкото цяло число, се нарича подова функция.

Функции на разпределение

След като функцията на разпределение, която представлява интерес за случайната променлива x, е определена, въпросът обикновено става: „Какви са шансовете X да попадне в някакво подмножество от стойностите на B?“ Например B = (нечетни числа), B = (по-големи от 1) или B = (между 2 и 7), за да посочите тези резултати, които имат X, стойността на случайната променлива, в подмножество A. Така че в горното Например, можете да опишете събитията по следния начин.

(X е нечетно число), (X е по-голямо от 1) = (X> 1), (X е между 2 и 7) = (2

Случайни променливи и функции на разпределение

По този начин можем да изчислим вероятността функцията на разпределение на случайна променлива x да приеме стойности в интервала чрез изваждане. Трябва да помислите за включване или изключване на крайни точки.

Ще наречем случайна променлива дискретна, ако има крайно или изброимо безкрайно пространство на състояния. По този начин X е броят на главите при три независими хвърляния на монета с отклонение, която нараства с вероятност p. Трябва да намерим кумулативната функция на разпределение на дискретна случайна променлива FX за X. Нека X е броят на пиковете в колекция от три карти. Тогава Y = X3 чрез FX. FX започва от 0, завършва при 1 и не намалява с увеличаване на стойностите на x. Кумулативната функция на разпределение на FX на дискретна случайна променлива X е постоянна, с изключение на скокове. При скачане ефектът е непрекъснат. Можете да докажете твърдението за правилната непрекъснатост на функцията на разпределение от свойството вероятност, като използвате дефиницията. Става така: постоянна случайна променлива има кумулативен FX, който е диференцируем.

За да покажем как може да се случи това, може да се даде пример: цел с единичен радиус. Предполага се. стрелата се разпределя равномерно върху определената площ. За някои λ> 0. По този начин функциите на разпределение на непрекъснати случайни променливи нарастват плавно. FX има свойствата на функция на разпределение.

Мъж чака на автобусна спирка, докато пристигне. Като реши за себе си, че ще откаже, когато чакането достигне 20 минути. Тук трябва да намерите кумулативната функция на разпределение за T. Времето, когато лицето все още ще бъде на автогарата или няма да тръгне. Въпреки че кумулативната функция на разпределение е дефинирана за всяка случайна променлива. Все пак доста често ще се използват други характеристики: маса за дискретна променлива и функцията на плътност на разпределение на случайна променлива. Обикновено стойността се извежда с помощта на една от тези две стойности.

Масови функции

Тези стойности се разглеждат от следните свойства, които са от общ (масов) характер. Първият се основава на факта, че вероятностите не са отрицателни. Второто следва от наблюдението, че множеството за всички x=2S, пространството на състоянията за X, образува дял на вероятностната свобода на X. Пример: хвърляния на монета с отклонение, чиито резултати са независими. Можете да продължите да изпълнявате определени действия, докато не получите удар с голове. Нека X означава случайната променлива, която дава броя на опашките преди първата глава. И p означава вероятността за всяко дадено действие.

И така, масовата вероятностна функция има следните характерни черти. Тъй като термините образуват числова последователност, X се нарича геометрична случайна променлива. Геометрична схема c, cr, cr2,. , crn има сума. И следователно sn има граница, когато n е 1. В този случай безкрайната сума е границата.

Масовата функция по-горе образува геометрична последователност със съотношението. Следователно съществуват естествени числа a и b. Разликата в стойностите във функцията на разпределение е равна на стойността на масовата функция.

Стойностите на разглежданата плътност имат следната дефиниция: X е случайна променлива, чието разпределение FX има производна. FX, удовлетворяващ Z xFX (x) = fX (t) dt-1, се нарича функция на плътността на вероятността. И X се нарича непрекъсната случайна променлива. В основната теорема на смятането функцията на плътността е производна на разпределението. Можете да изчислите вероятности чрез изчисляване на определени интеграли.

Тъй като данните се събират от множество наблюдения, повече от една случайна променлива трябва да се разглежда наведнъж, за да се моделират експериментални процедури. Следователно наборът от тези стойности и тяхното съвместно разпределение за две променливи X1 и X2 означава гледане на събития. За дискретни случайни променливи се определят съвместни вероятностни масови функции. За непрекъснатите се разглеждат fX1, X2, където общата плътност на вероятността е изпълнена.

Независими случайни променливи

Две случайни променливи X1 и X2 са независими, ако две събития, свързани с тях, са еднакви. Казано с думи, вероятността две събития (X1 2 B1) и (X2 2 B2) да се случат едновременно, y, е равна на произведението на променливите по-горе, че всяко от тях се случва поотделно. За независими дискретни случайни променливи има съвместна вероятностна масова функция, която е произведение на ограничаващия йонен обем. За непрекъснати случайни променливи, които са независими, съвместната функция на плътност на вероятността е произведението на пределните стойности на плътност. Накрая се разглеждат n независими наблюдения x1, x2. , xn, произтичащи от неизвестна функция на плътност или маса f. Например неизвестен параметър във функциите за експоненциална случайна променлива, описваща времето за изчакване на автобус.

Симулиране на случайни променливи

Основната цел на тази теоретична област е да предостави инструментите, необходими за разработване на процедури за изводи, базирани на здрави принципи на статистическата наука. По този начин едно много важно приложение на софтуера е възможността за генериране на псевдо данни за симулиране на действителна информация. Това дава възможност да се тестват и подобряват методите за анализ, преди да се използват в реални бази данни. Това е необходимо, за да се изследват свойствата на данните чрез моделиране. За много често използвани семейства от случайни променливи, R предоставя команди за създаването им. При други обстоятелства ще са необходими методи за моделиране на последователност от независими случайни променливи, които имат общо разпределение.

Дискретни случайни променливи и команден модел. Командата sample се използва за създаване на прости и стратифицирани произволни проби. В резултат на това, дадена последователност x, sample(x, 40) избира 40 записа от x, така че всички опции с размер 40 да имат еднаква вероятност. Това използва командата R по подразбиране за избор без заместване. Може да се използва и за моделиране на дискретни случайни променливи. За да направите това, трябва да предоставите пространство на състоянията във вектора x и масовата функция f. Извикването на replace = TRUE показва, че вземането на проби става със замяна. След това, за да се даде извадка от n независими случайни променливи, които имат обща масова функция f, се използва извадка (x, n, replace = TRUE, prob = f).

Установено е, че 1 е най-малката представена стойност, а 4 е най-голямата от всички. Ако командата prob = f е пропусната, тогава пробата ще бъде взета равномерно от стойностите във вектора x. Можете да проверите симулацията спрямо масовата функция, която е генерирала данните, като забележите двойния знак за равенство, ==. И чрез преброяване на наблюдения, които приемат всяка възможна стойност за х. Можете да направите маса. Повторете това за 1000 и сравнете симулацията със съответната масова функция.

Илюстриране на вероятностна трансформация

Първо, симулирайте хомогенни функции на разпределение на случайни променливи u1, u2,. , un на интервала . Около 10% от числата трябва да са в рамките на . Това съответства на 10% от симулациите на интервал за случайната променлива с показаната функция на разпределение на FX. По същия начин около 10% от произволните числа трябва да са в диапазона. Това съответства на 10% от симулациите на интервала на случайната променлива с функцията на разпределение FX. Тези стойности на оста x могат да бъдат получени чрез вземане на обратното на FX. Ако X е непрекъсната случайна променлива с плътност fX, която е положителна навсякъде в своята област, тогава функцията на разпределение е строго нарастваща. В този случай FX има обратната функция на FX-1, известна като квантилна функция. FX (x) u само ако x FX-1 (u). Трансформацията на вероятността следва от анализа на случайната променлива U = FX (X).

FX има диапазон от 0 до 1. Не може да приема стойности по-ниски от 0 или по-високи от 1. За стойности на u между 0 и 1. Ако U може да се моделира, тогава е необходимо да се симулира случайна променлива с разпределението на FX чрез квантилна функция. Вземете производната, за да видите, че плътността u варира в рамките на 1. Тъй като случайната променлива U има постоянна плътност в интервала от нейните възможни стойности, тя се нарича равномерна в интервала. Той е моделиран в R с помощта на командата runif. Идентичността се нарича вероятностна трансформация. Можете да видите как работи в примера с дъската за дартс. X между 0 и 1, функцията на разпределение е u = FX (x) = x2 и следователно квантилната функция е x = FX-1 (u). Възможно е да се симулират независими наблюдения на разстоянието от центъра на панела за дартс, като същевременно се генерират еднакви случайни променливи U1, U2,. ,Un. Функцията на разпределение и емпиричната функция се основават на 100 симулации на разпределението на дъската за дартс. За експоненциална случайна променлива, вероятно u = FX(x) = 1 - exp(- x), и следователно x = - 1 ln(1 - u). Понякога логиката се състои от еквивалентни твърдения. В този случай трябва да комбинирате двете части на аргумента. Идентичността с пресичане е подобна за всички 2 (S i i) S, вместо някаква стойност. Обединението Ci е равно на пространството на състоянията S и всяка двойка е взаимно изключваща се. Тъй като Bi е разделена на три аксиоми. Всеки тест се основава на съответната вероятност P. За всяко подмножество. Използване на идентичност, за да се гарантира, че отговорът не зависи от това дали са включени крайните точки на интервала.

Експоненциална функция и нейните променливи

За всеки резултат във всички събития в крайна сметка се използва второто свойство за непрекъснатост на вероятностите, което се счита за аксиоматично. Законът за разпределение на функция на случайна променлива тук показва, че всяка има свое собствено решение и отговор.

Тема No11

На практика функцията на разпределение обикновено се използва за определяне на общи случайни променливи.

Вероятността случайна променлива Xще приеме определена стойност x 0, изразена чрез функцията на разпределение по формулата

r (X = x 0) = F(x 0 +0) – F(x 0).(3)

По-специално, ако в точката x = x 0 функцията F(x) е непрекъсната, тогава

r (X = х 0) =0.

Случайна променлива Xс разпределение p(A)се нарича дискретно, ако има ограничено или изброимо множество W на числовата линия, така че r(W,) = 1.

Нека W = ( x 1, x 2,...)И p i= стр({x i}) = стр(х = x i), аз= 1,2,….Тогава за всяко Борелово множество Авероятност p(A)се определя еднозначно по формулата

Поставяйки тази формула A = (x i / x i< x}, x Î R , получаваме формулата за функцията на разпределение F(x)дискретна случайна променлива X:

F(x) = стр(х < х) =. (5)

Графика на функция F(x)е стъпаловидна линия. Функционални скокове F(x)по точки x = x 1, x 2…(x 1 равна на съответните вероятности p 1, p 2, ....

Пример 1: Намерете функцията на разпределение

дискретна случайна променлива x от пример 1§ 13.

Използвайки функцията на разпределение, изчислете

вероятност за събития: x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

F(x)
0 x 1 x 2 x 3 x 4 X
Решение. Използвайки данните от таблицата,

получена в § 13, и формула (5), получаваме

функция на разпределение:

Съгласно формула (1) Р(х< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

p(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Пример 2. Дадена е функция

Дали функцията F(x) е функция на разпределение на някаква случайна променлива? Ако отговорът е да, намерете . Начертайте графика на функцията F(x).

Решение. За да бъде предварително определена функция F(x) функция на разпределение на някаква случайна променлива x, е необходимо и достатъчно да бъдат изпълнени следните условия (характерни свойства на функцията на разпределение):

1. F(x) е ненамаляваща функция.

3. За всяко x О R F( х– 0) = F( х).

За дадена функция F(x), изпълнение

тези условия са очевидни. означава,

F(x) – функция на разпределение.

Вероятност изчислете по

формула (2):

Графика на функция F( х) е представен на фигура 13.

Пример 3. Нека F 1 ( х) и F 2 ( х) – функции на разпределение на случайни променливи X 1 и X 2 съответно, А 1 и А 2 са неотрицателни числа, чиято сума е 1.

Докажете, че F( х) = а 1 F 1 ( х) + а 2 F 2 ( х) е функцията на разпределение на някаква случайна променлива X.



Решение. 1) Тъй като F 1 ( х) и F 2 ( х) са ненамаляващи функции и А 1 ³ 0, А 2 ³ 0, тогава а 1 F 1 ( х) И а 2 F 2 ( х) са ненамаляващи, следователно тяхната сума F( х) също не намалява.

3) За всяко x О R F( х - 0) = а 1 F 1 ( х - 0) + а 2 F 2 ( х - 0)= а 1 F 1 ( х) + а 2 F 2 ( х) = F( х).

Пример 4. Дадена е функция

Дали F(x) е функцията на разпределение на случайна променлива?

Решение. Лесно се вижда, че F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следователно, F( х) не е ненамаляваща и следователно не е функция на разпределение на случайна променлива. Имайте предвид, че останалите две свойства са валидни за тази функция.

Тестова задача No11

1. Дискретна случайна променлива X

х) и като го използвате, намерете вероятностите за събития: а) –2 £ X < 1; б) ½X½£ 2. Начертайте графика на функцията на разпределение.

3. Дискретна случайна променлива Xдадено от таблицата за разпределение:

x i
p i 0,05 0,2 0,3 0,35 0,1

Намерете функцията на разпределение F( х) и намерете вероятностите за следните събития: а) х < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X£4; г) 1< х£4; г) X = 2,5.

4. Намерете функцията на разпределение на дискретна случайна променлива X, равен на броя точки, хвърлени по време на едно хвърляне на зара. Използвайки функцията за разпределение, намерете вероятността за преобръщане на поне 5 точки.

5. Провеждат се последователни тестове на 5 устройства за надеждност. Всяко следващо устройство се тества само ако предишното се е оказало надеждно. Направете таблица на разпределение и намерете функцията на разпределение за произволния брой тестове на устройства, ако вероятността за преминаване на тестовете за всяко устройство е 0,9.

6. Дадена е функцията на разпределение на дискретна случайна величина X:

а) Намерете вероятността за събитието 1 £ X£3.

б) Намерете таблицата на разпределението на случайната променлива X.

7. Дадена е функцията на разпределение на дискретна случайна променлива X:

Направете таблица на разпределението на тази случайна променлива.

8. Хвърляне на монета пведнъж. Създайте таблица за разпределение и намерете функцията за разпределение за броя на появяванията на герба. Начертайте функцията на разпределение при п = 5.

9. Монетата се хвърля, докато се появи гербът. Създайте таблица на разпределението и намерете функцията на разпределение за броя на срещанията на цифра.

10. Снайперистът стреля по целта до първото попадение. Вероятността за пропуск за един изстрел е равна на r. Намерете функцията на разпределение за броя пропуски.

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Пример 2.1.Случайна променлива Xдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста Xще приема стойности, съдържащи се в интервала (2.5; 3.6).

Решение: Xв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:

Пример 2.2.При какви стойности на параметрите АИ INфункция Е(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на случайна променлива X.

Решение:Тъй като всички възможни стойности на случайната променлива Xпринадлежат на интервала , тогава за да може функцията да бъде функция на разпределение за X, собствеността трябва да бъде удовлетворена:

.

отговор: .

Пример 2.3.Случайната променлива X се определя от функцията на разпределение

Намерете вероятността в резултат на четири независими теста стойността Xточно 3 пъти ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,25;0,75).

Решение:Вероятност за достигане на стойност Xв интервала (0,25;0,75) намираме по формулата:

Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша с един удар е 0,3. Съставете закон за разпределение на броя на попаденията с три хвърляния.

Решение:Случайна променлива X– броят на ударите в коша с три удара – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че X

X:

Пример 2.5.Двама стрелци стрелят по един изстрел в мишена. Вероятността първият стрелец да го уцели е 0,5, вторият - 0,4. Начертайте закон за разпределение на броя на попаденията в мишена.

Решение:Нека намерим закона за разпределение на дискретна случайна променлива X– брой попадения в целта. Нека събитието е първият стрелец, уцелил целта, и нека вторият стрелец уцели целта, и съответно техните пропуски.



Нека съставим закона за разпределение на вероятностите на SV X:

Пример 2.6.Тестват се три елемента, работещи независимо един от друг. Продължителността на времето (в часове) на безотказна работа на елементите има функция на плътност на разпределение: за първия: Е 1 (t) =1-д- 0,1 t, за второто: Е 2 (t) = 1-д- 0,2 t, за третото: Е 3 (t) =1-д- 0,3 t. Намерете вероятността, че в интервала от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се повредят; и трите елемента ще се провалят.

Решение:Нека използваме определението на функцията за генериране на вероятност:

Вероятността, че при независими опити, в първото от които вероятността за настъпване на събитие Аравно на , във второто и т.н. събитие Асе появява точно веднъж, равен на коефициента в разширението на генериращата функция по степени на . Нека намерим вероятностите за отказ и отказ съответно на първия, втория и третия елемент в интервала от 0 до 5 часа:

Нека създадем генерираща функция:

Коефициентът при е равен на вероятността събитието Аще се появи точно три пъти, тоест вероятността от повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се повредят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.

Пример 2.7.Като се има предвид плътността на вероятността f(х) случайна променлива X:

Намерете функцията на разпределение F(x).

Решение:Използваме формулата:

.

Така функцията на разпределение изглежда така:

Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.

Решение:Случайна променлива X– броят на неуспешните елементи в един експеримент – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме с помощта на формулата на Бернули:

Така получаваме следния закон за разпределение на вероятностите на случайна променлива X:

Пример 2.9.В партида от 6 части има 4 стандартни. 3 части бяха избрани на случаен принцип. Съставете закон за разпределение на броя на стандартните части между избраните.

Решение:Случайна променлива X– броя на стандартните части сред избраните – може да приема следните стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятности, че X

Къде -- брой части в партидата;

-- брой стандартни части в партида;

– брой избрани части;

-- брой стандартни части сред избраните.

.

.

.

Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение

и не са известни, но , a и . Намерете и.

Решение:В този случай случайната променлива Xима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числени характеристики X:

следователно . Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като според условията на проблема, накрая имаме: .

отговор: .

Пример 2.11.Средно при 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователни суми във връзка с настъпване на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори сред четири произволно избрани.

Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:

.

Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.

Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са изплатени застрахователните суми:

.

Серията за разпределение на IC (броят на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:

0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

Отговор: , .

Пример 2.12.От петте рози две са бели. Съставете закон за разпределение на случайна променлива, изразяваща броя на белите рози между две едновременно взети.

Решение:В селекция от две рози може или да няма бяла роза, или да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива Xможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме го по формулата:

Къде -- брой рози;

-- брой бели рози;

– брой рози, взети по едно и също време;

-- броя на белите рози сред взетите.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:

Пример 2.13.От 15-те сглобени единици 6 изискват допълнително смазване. Начертайте закон за разпределение на броя единици, които се нуждаят от допълнително смазване сред пет случайно избрани от общия брой.

Решение:Случайна променлива X– брой звена, които изискват допълнително смазване сред петте избрани – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме го по формулата:

Къде -- брой сглобени единици;

-- броя на единиците, които изискват допълнително смазване;

– брой избрани единици;

-- броя на единиците, които изискват допълнително смазване сред избраните.

.

.

.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:

Пример 2.14.От постъпилите за ремонт 10 часовника 7 изискват генерално почистване на механизма. Часовниците не са сортирани по вид ремонт. Майсторът, който иска да намери часовници, които се нуждаят от почистване, ги преглежда един по един и след като намери такива часовници, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.

Решение:Случайна променлива X– броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани – може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятности, че Xприема тези стойности, намираме го по формулата:

.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:

Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:

Отговор: , .

Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер, от който се нуждае, но помни, че е нечетен. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя пъти, които той набира телефонен номер, преди да достигне желания номер, ако той набере последната цифра произволно и впоследствие не набере набраната цифра.

Решение:Случайната променлива може да приема следните стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.

Нека съставим серия на разпределение на случайна променлива:

0,2

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя опити за набиране:

Отговор: , .

Пример 2.16.Вероятността от повреда по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се провалили, ако са били тествани Нустройства.

Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на повредените устройства Ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за провал е равна на п,разпределени по биномния закон. Математическото очакване на биномно разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване:

Пример 2.17.Дискретна случайна променлива Xприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност. Намерете и , знаейки, че M( X) = 8.

Решение:Ние използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:

Намираме:.

Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността продуктът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 продукта. Намерете математическото очакване на случайна променлива X– броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако на проверка подлежат 50 партиди.

Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:

,

къде е броят на партиите;

Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни продукта.

Намираме вероятността с помощта на формулата на Бернули:

отговор: .

Пример 2.19.Намерете дисперсията на случайна променлива X– брой появявания на събитието Ав две независими изпитвания, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези изпитвания са еднакви и е известно, че М(X) = 0,9.

Решение:Проблемът може да се реши по два начина.

1) Възможни стойности на SV X: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:

, , .

След това законът за разпределението Xима формата:

От дефиницията на математическото очакване определяме вероятността:

Нека намерим дисперсията на SV X:

.

2) Можете да използвате формулата:

.

отговор: .

Пример 2.20.Очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива Xсъответно равни на 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста Xще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).

Решение:Вероятност за попадение на нормална случайна променлива Xна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:

Пример 2.21.Дадена функция:

При каква стойност на параметъра Втази функция е плътността на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива X? Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива X.

Решение:За да бъде функцията плътност на разпределение на някаква случайна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:

.

Следователно:

Нека изчислим математическото очакване по формулата:

.

Нека изчислим дисперсията по формулата:

Т е равно стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на случванията на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността събитието да се случи е равна на , се нарича бином. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитие А в едно изпитване:

.

Пример 2.25.Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.

Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за възникване на събитие А (попадение) във всяко изпитание е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - е разпределена според биномен закон.

Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя на опитите и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в един опит:

Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователна компания за 10 минути, е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.

Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон на разпределение със средна стойност 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака на процесора повече от 35 секунди.

Решение:В този пример, математическото очакване , а степента на отказ е равна на .

Тогава желаната вероятност:

Пример 2.30.Група от 15 студенти провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема място в залата на случаен принцип. Каква е вероятността не повече от трима души да са на седмо място в редицата?

Решение:

Пример 2.31.

Тогава, според класическата дефиниция на вероятността:

Къде -- брой части в партидата;

-- брой нестандартни части в партидата;

– брой избрани части;

-- брой нестандартни части сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва.

Случайна променлива е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от различни обстоятелства и случайната променлива се нарича непрекъсната , ако може да приема произволна стойност от всеки ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се посочат всички възможни стойности, така че ние обозначаваме интервали от тези стойности, които са свързани с определени вероятности.

Примери за непрекъснати случайни променливи включват: диаметър на част, която се шлифова до даден размер, височина на човек, обхват на полета на снаряд и др.

Тъй като за непрекъснати случайни променливи функцията Е(х), за разлика от дискретни случайни променливи, няма скокове никъде, тогава вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула.

Това означава, че за непрекъсната случайна променлива няма смисъл да се говори за разпределение на вероятностите между нейните стойности: всяка от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл, сред стойностите на непрекъсната случайна променлива има „повече и по-малко вероятни“. Например, едва ли някой би се съмнявал, че стойността на случайна променлива - височината на случайно срещнат човек - 170 см - е по-вероятно от 220 см, въпреки че и двете стойности могат да се появят на практика.

Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива и плътност на вероятността

Като закон за разпределение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределение или плътност на вероятността. Нека подходим, като сравним значението на функцията на разпределение за непрекъсната случайна променлива и за дискретна случайна променлива.

И така, функцията на разпределение на случайна променлива (както дискретна, така и непрекъсната) или интегрална функциясе нарича функция, която определя вероятността стойността на случайна променлива Xпо-малко или равно на граничната стойност X.

За дискретна случайна променлива в точките на нейните стойности х1 , х 2 , ..., хаз,...маси от вероятности са концентрирани стр1 , стр 2 , ..., страз,..., а сумата от всички маси е равна на 1. Нека прехвърлим тази интерпретация към случая на непрекъсната случайна променлива. Нека си представим, че маса, равна на 1, не е концентрирана в отделни точки, а непрекъснато се „размазва“ по абсцисната ос ос известна неравномерна плътност. Вероятност случайна променлива да попадне в произволна област Δ хще се тълкува като маса на секция, а средната плътност на тази секция като съотношение на маса към дължина. Току-що въведохме важна концепция в теорията на вероятностите: плътност на разпределение.

Плътност на вероятността f(х) на непрекъсната случайна променлива е производната на нейната функция на разпределение:

.

Познавайки функцията на плътността, можете да намерите вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива да принадлежи към затворения интервал [ а; b]:

вероятността непрекъсната случайна променлива Xще вземе всяка стойност от интервала [ а; b], е равен на определен интеграл от неговата плътност на вероятността, варираща от акъм b:

.

В този случай общата формула на функцията Е(х) вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива, което може да се използва, ако е известна функцията на плътността f(х) :

.

Графиката на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фигурата по-долу).

Площ на фигура (защрихована на фигурата), ограничена от крива, прави линии, начертани от точки аИ bперпендикулярна на оста x и оста о, показва графично вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива Xе в рамките на акъм b.

Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

1. Вероятността случайна променлива да приеме произволна стойност от интервала (и областта на фигурата, която е ограничена от графиката на функцията f(х) и ос о) е равно на едно:

2. Функцията за плътност на вероятността не може да приема отрицателни стойности:

и извън съществуването на разпределението стойността му е нула

Плътност на разпространение f(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя не е универсална: плътността на разпределението съществува само за непрекъснати случайни променливи.

Нека споменем двата най-важни типа разпределение на непрекъсната случайна променлива на практика.

Ако функцията за плътност на разпределение f(х) непрекъсната случайна променлива в някакъв краен интервал [ а; b] приема постоянна стойност В, а извън интервала приема стойност, равна на нула, тогава това разпределението се нарича равномерно .

Ако графиката на функцията за плътност на разпределението е симетрична спрямо центъра, средните стойности се концентрират близо до центъра и при отдалечаване от центъра се събират тези, които са по-различни от средната (графиката на функцията прилича на част от звънец), тогава това разпределението се нарича нормално .

Пример 1.Функцията на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е известна:

Намиране на функция f(х) плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в интервала от 4 до 8: .

Решение. Получаваме функцията за плътност на вероятността, като намерим производната на функцията за разпределение на вероятностите:

Графика на функция Е(х) - парабола:

Графика на функция f(х) - прав:

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8:

Пример 2.Функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива се дава като:

Изчислете коефициента В. Намиране на функция Е(х) вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива. Постройте графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5: .

Решение. Коефициент Внамираме, използвайки свойство 1 на функцията за плътност на вероятността:

По този начин функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива е:

Чрез интегриране намираме функцията Е(х) вероятностни разпределения. Ако х < 0 , то Е(х) = 0 . Ако 0< х < 10 , то

.

х> 10 тогава Е(х) = 1 .

Така пълният запис на функцията на разпределение на вероятностите е:

Графика на функция f(х) :

Графика на функция Е(х) :

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5:

Пример 3.Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива Xсе дава от равенството , и . Намерете коефициент А, вероятността непрекъсната случайна променлива Xще вземе произволна стойност от интервала ]0, 5[, функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива X.

Решение. По условие стигаме до равенство

Следователно, , откъде . така че

.

Сега намираме вероятността една непрекъсната случайна променлива Xще вземе всяка стойност от интервала ]0, 5[:

Сега получаваме функцията на разпределение на тази случайна променлива:

Пример 4.Намерете плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива X, която приема само неотрицателни стойности, и нейната функция на разпределение .

Публикации по темата