Очакването на мат може да бъде по-голямо от 1. Числени характеристики на случайни променливи

Концепцията за математическото очакване може да се разгледа с помощта на примера за хвърляне на зар. При всяко хвърляне се записват изпуснатите точки. За изразяването им се използват естествени стойности в диапазона 1 – 6.

След определен брой хвърляния, използвайки не сложни изчисленияможете да намерите средното аритметична стойностотпаднали точки.

Точно като появата на някоя от стойностите в диапазона, тази стойност ще бъде произволна.

Ами ако увеличите броя на хвърлянията няколко пъти? При голям брой хвърляния средната аритметична стойност на точките ще се доближи до определено число, което в теорията на вероятностите се нарича математическо очакване.

И така, под математическо очакване имаме предвид средната стойност на случайна променлива. Този показател може да бъде представен и като претеглена сума от вероятни стойности.

Това понятие има няколко синонима:

• средна стойност;
• средна стойност;
• индикатор за централна тенденция;
• първи момент.

С други думи, това не е нищо повече от число, около което се разпределят стойностите на случайна променлива.

IN различни полетачовешката дейност, подходите за разбиране на математическото очакване ще бъдат малко по-различни.

Може да се разглежда като:

• средната полза, получена от вземането на решение, когато такова решение се разглежда от гледна точка на теорията за големите числа;
• възможната сума на печалба или загуба (теория на хазарта), изчислена средно за всеки залог. На жаргон те звучат като „предимство на играча“ (положително за играча) или „предимство на казиното“ (отрицателно за играча);
• процент от печалбата, получена от печалби.

Математическото очакване не е задължително за абсолютно всички случайни променливи. Липсва при тези, които имат несъответствие в съответния сбор или интеграл.

Свойства на математическото очакване

Като всеки статистически параметър, математическото очакване има следните свойства:

Основни формули за математическо очакване

Изчисляването на математическото очакване може да се извърши както за случайни променливи, характеризиращи се както с непрекъснатост (формула A), така и с дискретност (формула B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, където xi са стойностите на случайната променлива, pi са вероятностите:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, където f(x) е дадената плътност на вероятността.

Примери за изчисляване на математическото очакване

Пример А.

Възможно ли е да разберете средния ръст на джуджетата в приказката за Снежанка. Известно е, че всяко от 7-те джуджета има определена височина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81м.

Алгоритъмът за изчисление е доста прост:

• намираме сумата от всички стойности на индикатора за растеж (случайна променлива):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Разделете получената сума на броя на гномите:
  6,31:7=0,90.

Така средният ръст на гномите в приказките е 90 см. С други думи, това е математическото очакване на растежа на гномите.

Работна формула - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Практическа реализация на математическото очакване

Към изчисляването на статистическия показател на математическото очакване се прибягва в различни области на практическата дейност. На първо място, говорим за търговската сфера. В края на краищата въвеждането на този показател от Хюйгенс е свързано с определянето на шансовете, които могат да бъдат благоприятни или, напротив, неблагоприятни за дадено събитие.

Този параметър се използва широко за оценка на рисковете, особено когато става въпрос за финансови инвестиции.
По този начин в бизнеса изчисляването на математическото очакване действа като метод за оценка на риска при изчисляване на цените.

Този показател може да се използва и за изчисляване на ефективността на определени мерки, например защита на труда. Благодарение на него можете да изчислите вероятността за настъпване на събитие.

Друга област на приложение на този параметър е управлението. Може да се изчисли и по време на контрола на качеството на продукта. Например, с помощта на мат. очаквания, можете да изчислите възможния брой произведени дефектни части.

Математическото очакване се оказва незаменимо и при извършване на статистическа обработка на резултатите, получени при научни изследваниярезултати. Позволява ви да изчислите вероятността за желан или нежелан резултат от експеримент или изследване в зависимост от нивото на постигане на целта. В края на краищата постигането му може да бъде свързано с печалба и полза, а провалът му може да бъде свързан със загуба или загуба.

Използване на математически очаквания във Форекс

Практическото приложение на този статистически параметър е възможно при извършване на сделки на валутния пазар. С негова помощ можете да анализирате успеха на търговските транзакции. Освен това, увеличаването на очакваната стойност показва увеличение на техния успех.

Също така е важно да запомните, че математическото очакване не трябва да се разглежда като единственият статистически параметър, използван за анализиране на представянето на търговеца. Използването на няколко статистически параметъра заедно със средната стойност повишава значително точността на анализа.

Този параметър се е доказал добре при наблюдението на търговските сметки. Благодарение на него се извършва бърза оценка на извършената работа по депозитната сметка. В случаите, когато дейността на търговеца е успешна и той избягва загуби, не се препоръчва да се използва само изчислението на математическото очакване. В тези случаи рисковете не се вземат предвид, което намалява ефективността на анализа.

Проведените проучвания на тактиките на търговците показват, че:

• Най-ефективните тактики са тези, базирани на случайно влизане;
• Най-малко ефективни са тактиките, базирани на структурирани входове.

Също толкова важно за постигане на положителни резултати:

• тактики за управление на парите;
• стратегии за изход.

Използвайки такъв индикатор като математическото очакване, можете да предвидите каква ще бъде печалбата или загубата, когато инвестирате 1 долар. Известно е, че този показател, изчислен за всички игри, практикувани в казиното, е в полза на заведението. Това е, което ви позволява да правите пари. В случай дълги серииигри, вероятността клиентът да загуби пари се увеличава значително.

Игрите, играни от професионални играчи, са ограничени до кратки периоди от време, което увеличава вероятността за печалба и намалява риска от загуба. Същият модел се наблюдава при извършване на инвестиционни операции.

Инвеститорът може да спечели значителна сума, като има положителни очаквания и извършва голям брой транзакции за кратък период от време.

Очакването може да се разглежда като разликата между процента печалба (PW), умножен по средната печалба (AW) и вероятността от загуба (PL), умножена по средната загуба (AL).

Като пример, разгледайте следното: позиция – 12,5 хиляди долара, портфейл – 100 хиляди долара, депозитен риск – 1%. Доходността на транзакциите е 40% от случаите със средна печалба от 20%. В случай на загуба средната загуба е 5%. Изчисляването на математическото очакване за транзакцията дава стойност от $625.

Очакването е вероятностното разпределение на случайна променлива

Математическо очакване, дефиниция, математическо очакване на дискретни и непрекъснати случайни променливи, извадка, условно очакване, изчисление, свойства, проблеми, оценка на очакване, дисперсия, функция на разпределение, формули, примери за изчисление

Разширете съдържанието

Свиване на съдържанието

Очакване- това е определението

Една от най-важните концепции в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризираща разпределението на стойности или вероятности на случайна променлива. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Широко използван в техническия анализ, изследването на числови серии и изследването на непрекъснати и дългосрочни процеси. Има важнопри оценка на рисковете, прогнозиране на ценовите индикатори при търговия финансови пазари, се използва при разработването на стратегии и методи на тактика на играта в теорията на хазарта.

Математическото очакване есредната стойност на случайна променлива, вероятностното разпределение на случайна променлива се разглежда в теорията на вероятностите.

Математическото очакване емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Очакване на случайна променлива хобозначен с M(x).

Математическото очакване е

Математическото очакване ев теорията на вероятностите, среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които тази случайна променлива може да приеме.

Математическото очакване есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

Математическото очакване есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния.

Математическото очакване ев теорията на хазарта, количеството печалби, които играчът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта това понякога се нарича "предимство на играча" (ако е положително за играча) или "предимство на къщата" (ако е отрицателно за играча).

Математическото очакване епроцентът печалба на печалба, умножен по средната печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната загуба.

Математическо очакване на случайна променлива в математическата теория

Една от важните числени характеристики на случайна променлива е нейното математическо очакване. Нека въведем концепцията за система от случайни променливи. Нека разгледаме набор от случайни променливи, които са резултатите от същия случаен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича общ закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислявате вероятностите за всякакви събития от. По-специално, съвместният закон за разпределение на случайни променливи и, които приемат стойности от множеството и, се дава от вероятности.

Терминът „математическо очакване“ е въведен от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795 г.) и идва от концепцията за „очаквана стойност на печалбите“, която за първи път се появява през 17 век в теорията на хазарта в трудовете на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. Въпреки това, първото цялостно теоретично разбиране и оценка на това понятие е дадено от Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).

Законът за разпределение на случайни числови променливи (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описва поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонениеот него), за да отговорите на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са математическото очакване, дисперсията, модата и медианата.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Понякога математическото очакване се нарича претеглена средна, тъй като е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива при голям бройексперименти. От дефиницията на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от най-малката възможна стойност на случайна променлива и не повече от най-голямата. Математическото очакване на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.

Математическото очакване има просто физическо значение: ако поставите единица маса на права линия, поставяйки определена маса в някои точки (за дискретно разпределение) или я „размазвате“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), , тогава точката, съответстваща на математическото очакване, ще бъде координатната "център на тежестта" е права.

Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в груби приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".

От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите най-важна роля играе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайна променлива.

Помислете за случайната променлива X, имащи възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайна променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” стойност xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива X, което обозначаваме M |X|:

Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в разглеждането една от най-важните концепции на теорията на вероятностите - концепцията за математическото очакване. Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

Xе свързано със специфична зависимост със средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива за голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (конвергира по вероятност) до нейното математическо очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване. Наистина, помислете за случайната променлива X, характеризиращ се със серия на разпространение:

Нека се произвежда Ннезависими експерименти, във всеки от които стойността Xприема определена стойност. Да приемем, че стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи м2пъти, общо значение xiсе появи ми пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на стойността X, която за разлика от математическото очакване M|X|обозначаваме M*|X|:

С увеличаване на броя на експериментите Нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите ще се доближи (сближи по вероятност) до своето математическо очакване. Формулираната по-горе връзка между средното аритметично и математическото очакване съставлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа.

Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за устойчивост на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - математическото очакване.

Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например, когато претегляме тяло в лаборатория на прецизни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.

Трябва да се отбележи, че най-важната характеристикапозиция на случайна променлива - математическо очакване - не съществува за всички случайни променливи. Възможно е да се съставят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат математическо очакване.

В допълнение към най-важните характеристики на позицията на случайна променлива - математическото очакване - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайната променлива.

Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.

Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "мултимодално".

Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум. Такива разпределения се наричат ​​„антимодални“.

В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, то то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.

Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива. Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, оградена от кривата на разпределение, е разделена наполовина.

При симетрично модално разпределение медианата съвпада с математическото очакване и модата.

Математическото очакване е средната стойност на случайна величина - числена характеристика на вероятностното разпределение на случайна величина. Най-общо казано, математическото очакване на случайна променлива X(w)се определя като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв първоначалното вероятностно пространство:

Математическото очакване може да се изчисли и като интеграл на Лебег от Xчрез разпределение на вероятностите pxколичества X:

Концепцията за случайна променлива с безкрайно математическо очакване може да се дефинира по естествен начин. Типичен пример са времената за връщане на някои случайни разходки.

С помощта на математическото очакване много числени и функционални характеристикиразпределения (като математическо очакване на съответните функции от случайна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия, ковариация.

Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на случайна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределението и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. От другите характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва в общи термини - медиани, моди, математическото очакване се различава по по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в граничните теореми на теорията на вероятностите. Значението на математическото очакване се разкрива най-пълно от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.

Очакване на дискретна случайна променлива

Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките при хвърляне на зарове може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност приема „средно“ при голям брой тестове? Какъв ще бъде средният ни доход (или загуба) от всяка от рисковите сделки?

Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет е печеливш, наградата ще бъде 300 рубли, а цената на всеки билет ще бъде 100 рубли. При безкрайно голям брой участия това се случва. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Общо средната цена на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.

Хвърляме заровете. Ако не е измама (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно наведнъж? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, ние просто вземаме средната аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - е, това кубче няма лице с такова число!

Сега нека обобщим нашите примери:

Нека разгледаме току-що дадената снимка. Вляво има таблица на разпределението на случайна променлива. Стойността X може да приеме една от n възможни стойности (посочени в горния ред). Не може да има други значения. Под всяка възможна стойност нейната вероятност е записана по-долу. Вдясно е формулата, където M(X) се нарича математическо очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой тестове (с голяма извадка) средната стойност ще клони към същото това математическо очакване.

Нека се върнем отново към същия игрален куб. Математическото очакване на броя на точките при хвърляне е 3,5 (изчислете го сами по формулата, ако не ми вярвате). Да приемем, че сте го хвърлили няколко пъти. Резултатите са 4 и 6. Средната е 5, което е далеч от 3,5. Хвърлиха го още веднъж, получиха 3, тоест средно (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Някак далече от математическото очакване. Сега направете луд експеримент - хвърлете кубчето 1000 пъти! И дори ако средната стойност не е точно 3,5, тя ще бъде близо до това.

Нека изчислим математическото очакване за описаната по-горе лотария. Плочата ще изглежда така:

Тогава математическото очакване ще бъде, както установихме по-горе:

Друго нещо е, че би било доста трудно да се направи същото „на пръсти“, без формула, ако имаше повече опции. Е, да кажем, че ще има 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% особено печеливши.

Сега някои свойства на математическото очакване.

Лесно се доказва:

Константният множител може да се извади като знак на математическото очакване, тоест:

Това е частен случай на свойството линейност на математическото очакване.

Друго следствие от линейността на математическото очакване:

т.е. математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.

Нека X, Y са независими случайни променливи, тогава:

Това също е лесно за доказване) Работа XYсама по себе си е случайна променлива и ако първоначалните стойности могат да приемат пИ мстойности съответно, тогава XYможе да приема nm стойности. Вероятността за всяка стойност се изчислява въз основа на факта, че вероятностите независими събитияумножават се. В резултат на това получаваме това:

Очакване на непрекъсната случайна променлива

Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределение (плътност на вероятността). По същество характеризира ситуацията, че някои стойности от множеството реални числаслучайна променлива взема по-често, някои - по-рядко. Например, разгледайте тази графика:

тук X- действителна случайна променлива, f(x)- плътност на разпространение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите стойността Xчесто ще бъде число, близко до нула. Шансовете са превишени 3 или да е по-малък -3 по-скоро чисто теоретично.

Нека например има равномерно разпределение:

Това е доста съвместимо с интуитивното разбиране. Да кажем, че ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средноаритметичната стойност трябва да бъде около 0,5.

Свойствата на математическото очакване - линейност и др., приложими за дискретни случайни величини, са приложими и тук.

Връзка между математическото очакване и други статистически показатели

В статистическия анализ, наред с математическото очакване, съществува система от взаимозависими показатели, които отразяват еднородността на явленията и устойчивостта на процесите. Индикаторите за вариация често нямат самостоятелно значение и се използват за допълнителен анализ на данни. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността на данните, което е ценна статистическа характеристика.

Степента на променливост или стабилност на процесите в статистическата наука може да се измери с помощта на няколко показателя.

Най-важният показател, характеризиращ променливостта на една случайна променлива е дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с математическото очакване. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява степента на разпространение на данните около средната стойност.

Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест първо се изчислява средната стойност, след което се взема разликата между всяка първоначална и средна стойност, повдига се на квадрат, добавя се и след това се разделя на броя на стойностите в популацията. Разликата между индивидуалната стойност и средната стойност отразява мярката на отклонението. Той се повдига на квадрат, така че всички отклонения да станат изключително положителни числа и да се избегне взаимното унищожаване на положителните и отрицателните отклонения при сумирането им. След това, като имаме квадратни отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметична стойност. Средно - квадрат - отклонения. Отклоненията се повдигат на квадрат и се изчислява средната стойност. Отговорът на вълшебната дума „разпръскване“ се крие само в три думи.

Въпреки това, в чиста форма, като средно аритметично или индекс, дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен показател, който се използва за други видове статистически анализи. Дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на мерната единица на оригиналните данни.

Нека измерим случайна променлива Нпъти, например, измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как е свързана средната стойност с функцията на разпределение?

Или ще хвърлим заровете голям бройведнъж. Броят на точките, които ще се появят на заровете с всяко хвърляне, е случайна променлива и може да приеме произволна естествена стойност от 1 до 6. Средната аритметична стойност на изпуснатите точки, изчислена за всички хвърляния на зарове, също е случайна променлива, но за големи Нклони към много конкретно число - математическо очакване Mx. В този случай Mx = 3,5.

Как получихте тази стойност? Нека влезе Нтестове n1след като получите 1 точка, n2веднъж - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:

По същия начин за резултатите, когато се хвърлят 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Нека сега приемем, че знаем закона за разпределение на случайната променлива x, тоест знаем, че случайната променлива x може да приема стойности x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ..., pk.

Математическото очакване Mx на случайна променлива x е равно на:

Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. И така, за да изчислим средната стойност заплатипо-разумно е да се използва понятието медиана, тоест такава стойност, че броят на хората, получаващи заплата, по-ниска от медианата, и по-голяма съвпадат.

Вероятността p1 случайната променлива x да бъде по-малка от x1/2 и вероятността p2 случайната променлива x да бъде по-голяма от x1/2 са еднакви и равни на 1/2. Медианата не е еднозначно определена за всички разпределения.

Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данните от наблюденията или наборите от СРЕДНАТА стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните се групират около средната стойност, докато голямото стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са разположени далеч от нея. Стандартното отклонение е корен квадратенколичество, наречено дисперсия. Това е средната стойност на сумата от квадратите на разликите на първоначалните данни, които се отклоняват от средната стойност. Стандартното отклонение на случайна променлива е корен квадратен от дисперсията:

Пример. При условия на изпитване при стрелба по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива:

Вариация- колебание, променливост на стойността на дадена характеристика сред единиците от съвкупността. Индивидуалните числени стойности на характеристика, открити в изследваната популация, се наричат ​​варианти на стойности. Недостатъчна средна стойност за пълни характеристикипопулацията ни принуждава да допълваме средните стойности с показатели, които ни позволяват да оценим типичността на тези средни стойности чрез измерване на променливостта (вариацията) на изследваната характеристика. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:

Диапазон на вариация(R) представлява разликата между максимума и минимални стойностичерта в изследваната популация. Този показател дава най-много обща идеяотносно променливостта на изследваната характеристика, тъй като тя показва разликата само между граничните стойности на опциите. Зависимостта от екстремните стойности на дадена характеристика придава на обхвата на вариацията нестабилен, случаен характер.

Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичното на абсолютните (по модул) отклонения на всички стойности на анализираната популация от тяхната средна стойност:

Очакване в теорията на хазарта

Математическото очакване еСредната сума пари, която един комарджия може да спечели или загуби от даден залог. Това е много важна концепция за играча, защото е фундаментална за оценката на повечето игрови ситуации. Математическото очакване също е оптималният инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.

Да речем, че играете игра с монети с приятел, като залагате еднакво $1 всеки път, независимо какво се появи. Опашки означава, че печелите, глави означава, че губите. Шансовете са едно към едно, че ще се стигне до глави, така че залагате $1 към $1. Така вашето математическо очакване е нула, защото От математическа гледна точка не можете да знаете дали ще водите или ще загубите след две хвърляния или след 200.

Вашата почасова печалба е нула. Почасовите печалби са сумата пари, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти за един час, но няма да спечелите или загубите, защото... шансовете ви не са нито положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен играч, тази система за залагане не е лоша. Но това е просто загуба на време.

Но да кажем, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 на същата игра. След това веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първия долар и ще загубите $1, заложете втория и ще спечелите $2. Залагате $1 два пъти и водите с $1. Така че всеки от вашите залози от един долар ви е давал 50 цента.

Ако една монета се появи 500 пъти за един час, вашата почасова печалба вече ще бъде $250, защото... Средно сте загубили един долар 250 пъти и сте спечелили два долара 250 пъти. $500 минус $250 се равнява на $250, което е общата печалба. Моля, обърнете внимание, че очакваната стойност, която е средната сума, която печелите на залог, е 50 цента. Спечелихте $250, като заложихте долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента на залог.

Математическото очакване няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който е решил да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет хвърляния подред, но вие, като имате предимство при залагане 2 към 1, при равни други условия, ще спечелите 50 цента за всеки $1 залог във всеки обстоятелства. Няма значение дали печелите или губите един залог или няколко залога, стига да разполагате с достатъчно пари, за да покриете удобно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг периодСлед време вашите печалби ще се доближат до сумата от очакваните стойности в отделните хвърляния.

Всеки път, когато направите най-добър залог (залог, който може да се окаже печеливш в дългосрочен план), когато шансовете са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, без значение дали го губите или не в подадена ръка. Обратно, ако направите аутсайдер залог (залог, който е нерентабилен в дългосрочен план), когато шансовете са срещу вас, вие губите нещо, независимо дали печелите или губите ръката.

Вие правите залог с най-добър резултат, ако очакванията ви са положителни и е положителен, ако шансовете са на ваша страна. Когато направите залог с най-лош изход, вие имате отрицателно очакване, което се случва, когато шансовете са срещу вас. Сериозните играчи залагат само на най-добрия резултат; ако се случи най-лошото, те фолдват. Какво означава коефициентът във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от реалните коефициенти. Реалните шансове за приземяване на главите са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на шансовете. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.

Ето още сложен примерматематическо очакване. Един приятел записва числа от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да познаете числото. Трябва ли да се съгласите на такъв залог? Какво е очакването тук?

Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това шансовете да познаете числото са 4 към 1. Шансовете да загубите долар при един опит. Вие обаче печелите 5 към 1, с възможност да загубите 4 към 1. Така че шансовете са във ваша полза, можете да приемете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите $1 четири пъти и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.

Играч, който ще спечели повече, отколкото е заложил, както в примера по-горе, рискува. Напротив, той проваля шансовете си, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Залагащият може да има положително или отрицателно очакване, което зависи от това дали печели или разваля шансовете.

Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 за печалба, ще получите отрицателно очакване от $2, защото Средно ще спечелите $10 четири пъти и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове за победа 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите $10 четири пъти и губите $30 веднъж, за печалба от $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.

Математическото очакване е в центъра на всяка игрова ситуация. Когато букмейкър насърчава футболните фенове да залагат $11, за да спечелят $10, той има положително очакване от 50 цента на всеки $10. Ако казиното плаща дори пари от пас линията в зарове, тогава положителното очакване на казиното ще бъде приблизително $1,40 за всеки $100, т.к. Тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели 49,3% от общото време. Несъмнено това привидно минимално положително очакване носи огромни печалби на собствениците на казина по света. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „една хилядна от един процент отрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще съсипе най-богатия човек в света.“

Очаквания при игра на покер

Играта на покер е най-нагледният и нагледен пример от гледна точка на използването на теорията и свойствата на математическото очакване.

Очакваната стойност в покера е средната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния. Успешна играв покера е винаги да се приемат ходове само с положително математическо очакване.

Математическото значение на математическото очакване при игра на покер е, че често срещаме случайни променливи, когато вземаме решения (не знаем какви карти има опонентът в ръцете си, какви карти ще дойдат в следващите рундове на залагане). Трябва да разгледаме всяко от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която гласи, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще клони към нейното математическо очакване.

Сред конкретните формули за изчисляване на математическото очакване, следната е най-приложима в покера:

Когато играете покер, очакваната стойност може да бъде изчислена както за залози, така и за плащания. В първия случай трябва да се вземе предвид собственият капитал на фолд, а във втория - собствените шансове на банката. Когато оценявате математическото очакване на конкретен ход, трябва да запомните, че фолдът винаги има нулево очакване. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всяко отрицателно движение.

Очакванията ви казват какво можете да очаквате (печалба или загуба) за всеки долар, който рискувате. Казината правят пари, защото математическото очакване на всички игри, които се играят в тях, е в полза на казиното. При достатъчно дълга поредица от игри можете да очаквате, че клиентът ще загуби парите си, тъй като „коефициентите“ са в полза на казиното. Професионалните казино играчи обаче ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин увеличават коефициентите в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратък период от време. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен по средната ви печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната ви загуба.

Покерът може да се разглежда и от гледна точка на математическото очакване. Може да предположите, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-печеливш. Да приемем, че сте ударили фул хаус в покер с пет карти. Опонентът ви прави залог. Знаеш, че ако вдигнеш залога, той ще отговори. Следователно рейзът изглежда най-добрата тактика. Но ако повишите залога, останалите двама играчи със сигурност ще фолднат. Но ако колнеш, си напълно уверен, че другите двама играчи зад теб ще направят същото. Когато увеличите залога си, получавате една единица, а когато просто платите, получавате две. По този начин колването ви дава по-висока положителна очаквана стойност и ще бъде най-добрата тактика.

Математическото очакване също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че загубата ви ще бъде средно 75 цента, включително анте, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато антето е $1.

Друга важна причина да разберете концепцията за очакваната стойност е, че тя ви дава чувство на спокойствие, независимо дали печелите залога или не: ако сте направили добър залог или сте фолднали в правилния момент, ще знаете, че сте спечелили или спести определена сума пари, която по-слабият играч не може да спести. Много по-трудно е да фолднете, ако сте разстроени, защото опонентът ви е изтеглил по-силна ръка. С всичко това парите, които спестявате, като не играете, вместо да залагате, се добавят към вашите печалби за нощта или месеца.

Само не забравяйте, че ако смените ръцете си, опонентът ви щеше да ви плати и както ще видите в статията за фундаменталната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да си щастлив, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на загубата на ръка, защото знаете, че други играчи на вашата позиция биха загубили много повече.

Както беше обсъдено в примера с играта с монети в началото, коефициентът на почасова печалба е свързан с математическото очакване и тази концепцияособено важно за професионални играчи. Когато отидете да играете покер, трябва да прецените наум колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и малко математика. Например, вие играете дроу лоубол и виждате трима играчи да залагат $10 и след това да разменят две карти, което е много лоша тактика, можете да разберете, че всеки път, когато залагат $10, губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят приблизително $48 на час. Вие сте един от останалите четирима играчи, които са приблизително равни, така че тези четирима играчи (и вие сред тях) трябва да разделят $48, като всеки печели $12 на час. Вашите почасови шансове в този случай са просто равни на вашия дял от сумата пари, загубена от трима лоши играчи за един час.

За дълъг период от време общите печалби на играча са сумата от неговите математически очаквания в отделните ръце. Колкото повече ръце играете с положително очакване, толкова повече печелите и обратното, колкото повече ръце играете с отрицателно очакване, толкова повече губите. В резултат на това трябва да изберете игра, която може да максимизира положителното ви очакване или да отхвърли отрицателното ви очакване, така че да можете да максимизирате почасовите си печалби.

Положително математическо очакване в стратегията за игри

Ако знаете как да броите карти, можете да имате предимство пред казиното, стига да не ви забележат и да ви изхвърлят. Казината обичат пияни играчи и не понасят играчи, които броят карти. Предимството ще ви позволи да спечелите с течение на времето. по-голям бройпъти, отколкото да загубите. Доброто управление на парите с помощта на изчисления на очакваната стойност може да ви помогне да извлечете повече печалба от предимството си и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. В играта на фондовата борса предимство дава системата на играта, която създава по-големи печалби от загуби, ценови разлики и комисионни. Никакво управление на парите не може да спести лошо система за игри.

Положителното очакване се определя като стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава математическото очакване също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателната стойност, толкова по-лоша е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава чакането е равностойно. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване и разумна система на игра. Играта с интуицията води до катастрофа.

Математическо очакване и борсова търговия

Математическото очакване е доста широко използван и популярен статистически индикатор при извършване на борсова търговия на финансовите пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговията. Не е трудно да се досетите, че колкото повече дадена стойност, още по-голяма причина да считаме изучаваната търговия за успешна. Разбира се, анализът на работата на търговеца не може да се извърши само с този параметър. Въпреки това, изчислената стойност, в комбинация с други методи за оценка на качеството на работа, може значително да повиши точността на анализа.

Математическото очакване често се изчислява в услугите за наблюдение на сметки за търговия, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Изключенията включват стратегии, които използват нерентабилни сделки за „отсядане“. Търговецът може да има късмет за известно време и следователно може изобщо да няма загуби в работата му. В този случай няма да е възможно да се ръководи само от математическото очакване, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети предвид.

В пазарната търговия математическото очакване се използва най-често, когато се прогнозира доходността на всеки търговска стратегияили когато прогнозирате доходите на търговеца въз основа на статистически данни от предишните му сделки.

По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че когато се правят сделки с отрицателни очаквания, няма схема за управление на парите, която определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете на фондовия пазар при тези условия, тогава независимо от това как управлявате парите си, ще загубите цялата си сметка, без значение колко голяма е била в началото.

Тази аксиома е вярна не само за игри или сделки с отрицателни очаквания, но и за игри с равни шансове. Ето защо единственият случайкогато имате шанс да се възползвате от дългосрочен план, е сключването на сделки с положително математическо очакване.

Разликата между негативните очаквания и позитивните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положително или колко отрицателно е очакването; Всичко, което има значение, е дали е положително или отрицателно. Ето защо, преди да обмислите управление на парите, трябва да намерите игра с положителни очаквания.

Ако нямате тази игра, тогава цялото управление на парите на света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, можете чрез правилно управление на парите да го превърнете във функция на експоненциален растеж. Няма значение колко малко е положителното очакване! С други думи, няма значение колко печеливша е системата за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор на сделка (след комисионни и пропускане), можете да използвате техники за управление на парите, за да я направите по-печеливша от система, която средно $1000 на сделка (след приспадане на комисионни и пропускане).

Това, което има значение, не е колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата показва поне минимална печалба в бъдеще. Следователно най-важната подготовка, която търговецът може да направи, е да гарантира, че системата ще покаже положителна очаквана стойност в бъдеще.

За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да се оптимизират, но и чрез намаляване доколкото е възможно повечеправила на системата. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай трябва да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще носи малка печалбана почти всеки пазар. Отново е важно да разберете, че няма значение колко печеливша е системата, стига да е печеливша. Парите, които печелите от търговия, ще бъдат спечелени чрез ефективно управлениепари.

Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положителна очаквана стойност, така че да можете да използвате управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимални печалби) само на един или няколко пазара, или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време за дълго. Проблемът с повечето технически ориентирани търговци е, че отделят твърде много време и усилия за оптимизация различни правилаи стойности на параметрите на системата за търговия. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване на нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.

Знаейки, че управлението на парите е просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси „свещения граал“ на борсовата търговия. Вместо това той може да започне да тества метода си на търговия, да разбере колко логичен е този метод и дали дава положителни очаквания. Правилни методиуправлението на парите, приложено към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, сами ще свършат останалата работа.

За да успеете в работата си, всеки търговец трябва да реши три най-важни задачи: . Да се ​​гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата система за търговия, така че да имате възможност да печелите пари възможно най-често; Постигнете стабилни положителни резултати от дейността си.

И тук, за нас, работещите трейдъри, математическото очакване може да бъде от голяма полза. Този термин е един от ключовите в теорията на вероятностите. С негова помощ можете да дадете средна оценка на някаква произволна стойност. Математическото очакване на случайна променлива е подобно на центъра на тежестта, ако си представите всички възможни вероятности като точки с различни маси.

Във връзка със стратегията за търговия, математическото очакване на печалба (или загуба) най-често се използва за оценка на нейната ефективност. Този параметър се определя като сумата от продуктите на дадени нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички транзакции ще донесат печалба, а останалата част - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средният доход от успешна транзакция ще бъде $7, а средната загуба ще бъде $1,4. Нека изчислим математическото очакване на търговията с помощта на тази система:

Какво означава това число? Той казва, че следвайки правилата на тази система, средно ще получим $1708 от всяка затворена транзакция. Тъй като резултатната оценка на ефективността е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчислението математическото очакване се окаже отрицателно, тогава това вече означава средна загуба и такава търговия ще доведе до крах.

Размерът на печалбата на транзакция може да бъде изразен и като относителна стойност под формата на %. Например:

– процент доход от 1 сделка - 5%;

– процент на успешни търговски операции - 62%;

– процент на загуба на 1 сделка - 3%;

– процент на неуспешни сделки - 38%;

Тоест средната търговия ще донесе 1,96%.

Възможно е да се разработи система, която въпреки преобладаването на нерентабилни сделки ще даде положителен резултат, тъй като нейният MO>0.

Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай неговата доходност ще бъде сравнима с банковата лихва. Нека всяка операция произвежда средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата включва 1000 операции годишно? Това ще бъде много значителна сума за сравнително кратко време. От това логично следва, че друга отличителна черта на добрата система за търговия може да се счита за кратък период на задържане на позиции.

Източници и връзки

dic.academic.ru – академичен онлайн речник

mathematics.ru – образователен сайт по математика

nsu.ru – образователен уебсайт на Новосибирския държавен университет

webmath.ru – образователен порталза студенти, кандидати и ученици.

exponenta.ru образователен математически уебсайт

ru.tradimo.com – безплатно онлайн училищетърговия

crypto.hut2.ru – мултидисциплинарен информационен ресурс

poker-wiki.ru – безплатна енциклопедия на покера

sernam.ru – Научна библиотекаизбрани природонаучни издания

reshim.su – уебсайт НИЕ ЩЕ РАЗРЕШАВАМЕ проблеми с курсова работа

unfx.ru – Forex на UNFX: обучение, сигнали за търговия, доверително управление

slovopedia.com – Голям Енциклопедичен речникСловопедия

pokermansion.3dn.ru – Вашият водач в света на покера

statanaliz.info – информационен блог „Анализ на статистически данни“

forex-trader.rf – портал за Forex-Trader

megafx.ru – актуални Форекс анализи

fx-by.com – всичко за един търговец

Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване практически проблемиДостатъчно е да се знаят няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят в сбита форма основните характеристики на случайна променлива.

Тези количества включват предимно математическо очакванеИ дисперсия .

Очакване— средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означава се като.

Най-много по прост начинматематическо очакване на случайна променлива X(w), намерете как интегралнаЛебегвъв връзка с вероятностната мярка Р оригинален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот Xчрез разпределение на вероятностите R Xколичества X:

където е множеството от всички възможни стойности X.

Математическо очакване на функции от случайна величина Xнамерени чрез разпространение R X. например, Ако X- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено на Борелфункция X , това:

Ако F(x)- разпределителна функция X, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):

в този случай интегрируемост XПо отношение на ( * ) съответства на крайността на интеграла

IN конкретни случаи, Ако Xима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности, тогава

Ако Xима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), Това

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

В- постоянен;

• M=C.M[X]

• Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на произведението на независими произволно взети променливи = произведението на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

Ако XИ Yнезависима.

ако серията се събира:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.

1. Умножете двойките една по една: x iна p i.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

например, За п = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическото очакване по формулата.

Оказва се, че редица практически проблеми могат да бъдат решени с помощта на няколко характеристики на разпределение, а познаването на точната функция на разпределение на случайна променлива се оказва незадължително. Такива определящи характеристики на случайна променлива включват, например, средните и стандартните квадратни стойности, както и стандартното отклонение.

Можете да намерите средните стойности на случайни променливи от опит, както и от познаване на функциите на разпределение на случайни променливи. Нека да разгледаме как да намерим тези средни стойности в различни случаи.

Нека случайна променлива приема: стойности с вероятност или тази стойност изпада веднъж

стойност с вероятност или тази стойност отпада веднъж от окончателно,

стойност с вероятност или тази стойност изпада веднъж от

Тогава сумата от стойностите на случайната променлива по време на тестването ще бъде:

За да намерите средната стойност на случайна променлива, т.е. стойността на тест, трябва да разделите сумата на общия брой тестове:

Ако имаме определена средна стойност, намерена с формула (2.11), тогава, най-общо казано, за различни стойности на общия брой тестове, стойностите на средната стойност също ще бъдат различни, тъй като стойностите под съображенията са произволни по природа. С нарастването на броя обаче средната стойност на дадено количество ще клони към определена граница a. И колкото по-голям е броят на тестовете, толкова по-близо до тази гранична стойност ще се доближи стойността, определена от формула (2.11):

Последното равенство е така нареченият закон на големите числа или теоремата на Чебишев: средната стойност на случайна променлива ще се стреми към постоянно числос много голям брой измервания.

И така, средната стойност на случайна променлива е равна на сумата от продуктите на случайната променлива и вероятността за нейното възникване.

Ако една случайна променлива се променя непрекъснато, тогава нейната средна стойност може да се намери с помощта на интегриране:

Средните стойности имат редица важни свойства:

1) средната стойност на постоянна стойност е равна на самата постоянна стойност, т.е.

2) средната стойност на някаква случайна променлива е постоянна стойност, т.е.

3) средната стойност на сумата от няколко случайни променливи е равна на сумата от средните стойности на тези променливи, т.е.

4) средната стойност на произведението на две взаимно независими случайни променливи е равна на произведението на средните стойности на всяка от тях, т.е.

Разширявайки това правило до по-голям брой независими величини, имаме:

Понякога по една или друга причина познаването на средната стойност на случайна величина е недостатъчно. В такива случаи се търси не просто средната стойност на случайна променлива, а средната стойност на квадрата на тази стойност (квадрат). В този случай се прилагат подобни формули:

за дискретни стойности и

в случай на непрекъсната промяна на случайна величина.

Средната квадратична стойност на случайна променлива винаги е положителна и не изчезва.

Често човек трябва да се интересува не само от средните стойности на самата случайна променлива, но и от средните стойности на някои функции на случайната променлива.

Например, като се има предвид разпределението на молекулите по скорост, можем да намерим средната скорост. Но може да се интересуваме и от средната кинетична енергия на топлинното движение, която е квадратична функцияскорост. В такива случаи можете да използвате следните общи формули, които определят средната стойност на произволна функция на случайна променлива за случая на дискретно разпределение

за случай на непрекъснато разпространение

За да намерите средните стойности на случайна променлива или функция на случайна променлива, използвайки ненормализирана функция на разпределение, използвайте формулите:

Тук интегрирането се извършва навсякъде в целия диапазон от възможни стойности на случайната променлива

Отклонение от средното.В редица случаи познаването на средната и средната квадратична стойност на случайна променлива се оказва недостатъчно за характеризиране на случайната променлива. Разпределението на случайна променлива около нейната средна стойност също представлява интерес. За целта се изследва отклонението на случайна величина от средната стойност.

Въпреки това, ако вземем средното отклонение на случайна променлива от нейната средна стойност, т.е. средната стойност на числата:

тогава получаваме, както в случай на дискретно, така и в случай на непрекъснато разпределение, нула. наистина

Понякога е възможно да се намери средната стойност на модула на отклонение на случайна променлива от средната стойност, т.е. стойността:

Въпреки това изчисленията с абсолютни стойностичесто трудно и понякога невъзможно.

Следователно, много по-често, за да се характеризира разпределението на случайна променлива около нейната средна стойност, се използва така нареченото стандартно отклонение или средно квадратично отклонение. Средното квадратично отклонение иначе се нарича дисперсия на случайна променлива. Дисперсията се определя по формулите:

които се преобразуват в един тип (виж задачи 5, 9).

където стойността представлява квадрат на отклонението на случайната променлива от нейната средна стойност.

Корен квадратен от дисперсията на случайна променлива се нарича стандартно отклонение на случайната променлива, а за физическите величини - флуктуация:

Понякога се въвежда относителна флуктуация, определена по формулата

По този начин, знаейки закона за разпределение на случайна променлива, можем да определим всички характеристики на случайна променлива, които ни интересуват: средна стойност, среден квадрат, средна стойност на произволна функция на случайна променлива, средно квадратично отклонение или дисперсия и флуктуация на случайна променлива.

Следователно една от основните задачи на статистическата физика е да намери законите и функциите на разпределение на определени физически случайни променливи и параметри в различни физически системи.

Нека за случайна променлива хвъзможни стойности:

X1, x2, …, xk.

Правят се измервания Нпъти, резултат х азнаблюдавани Н азведнъж тогава

Средна стойност

(сума от резултатите от измерванията)/(брой всички измервания) =
.

При
като се вземе предвид (1.1)

получаваме

. (1.5)

За функция на случайна променлива

.

Средната стойност на дадено количество е равна на сумата от произведенията на неговите стойности и вероятностите на тези стойности .

При
получаваме
и (1.5a) дава нормализиране на вероятностите

. (1.6)

Свойства на средното

За постоянно
и независими случайни променливи хИ гизпълнено:

1)

– постоянният множител се изважда изпод знака за усредняване;

– средното от сбора/разликата е равно на сбора/разликата от средните;

3)

– средното на произведението на независими величини е равно на произведението на техните средни.

Доказателство за собственост 1

От определението за средно (1.5a)

получаваме

Доказателство за собственост 2

функция
, описващ вероятностното разпределение за случайна променлива х, същото е и за функциите
И
, тогава от определението за средно (1.5a)

;

Доказателствосвойства 3

Използваме дефиницията на средната стойност и функцията на разпределение
независими случайни променливи хИ г. Според теоремата за независимите събития, техните вероятности се умножават

Тогава получаваме

.

Основни определения

Отклонение от среднотослучайна променлива

.

Средно отклонение от среднослучайна променлива е равна на нула

Средна квадратична стойност

. (1.7)

За средни стойности на случайни променливи хИ гбягане Неравенство на Коши–Буняковски–Шварц

.

(1.7a)
От (1.7a) при

намираме

.

дисперсия(1.7б)

Средната стойност е по-голяма или равна на квадрата на средната стойност.
.

– стандартно отклонение от средната стойностОт (1.7b) получаваме

Флуктуация

. (1.10)

– корен квадратен от дисперсията хОтносителна флуктуация
.

Акосе променя произволно във времето, тогава относителната флуктуация показва съотношението от време, през което системата е в състояние сТеорема:

Доказателство

Относителното колебание на адитивното количество, характеризиращо системата, намалява обратно пропорционално на квадратния корен от броя на независимите подсистеми и за макроскопична система е малко X. Пример за адитивно количество (от латински additivus - „добавено“) е енергията. Енергийните колебания за една макросистема са незначителни, но за една микросистема те са значителни. х Количество на добавкатаза системата е равна на сбора от стойности Нк

.

За

независими подсистеми

По свойство 2 на осредняването - средната от сумата е равна на сумата от средните

,

– пропорционално на броя на подсистемите.

.

Отклонение от средното
дисперсия

,
,

При квадратура

.

и осредняване на резултата за кръстосани произведения, се взема предвид свойство 3 на осредняването - средното от произведението на независими величини е равно на произведението от техните средни

.

и се използва, че средното отклонение от средната е нула

Квадратите на количествата остават различни от нула. В резултат на това колебание

Относителна флуктуация

(P.1.11). Има случайна променлива п, който приема дискретни стойности в интервала
. Вероятност за получаване на резултат правно на
. Дефиниране на генериращата функция

.

(P.1.14)

Ако генериращата функция е известна, тогава вероятностното разпределение се получава от (A.1.14)

, (P.1.15)

където се използва

Условие за нормализиране (1.6)

изисква изпълнение

.

,

(P.1.16)

За да получим средните стойности на случайна променлива, диференцираме (A.1.14)

и намираме

.

(P.1.17)Двойна диференциация (A.1.14)
И
.