Какво е набор от цели числа. Видове числа. Естествено, цяло число, рационално и реално

Информацията в тази статия формира Главна идеяО цели числа. Първо се дава дефиниция на цели числа и се дават примери. След това разглеждаме числата на числовата ос, откъдето става ясно кои числа се наричат ​​положителни цели числа и кои се наричат ​​отрицателни цели числа. След това се показва как промените в количествата се описват с цели числа, а отрицателните цели числа се разглеждат в смисъл на дълг.

Навигация в страницата.

Цели числа – определение и примери

Определение.

Цели числа– това са естествени числа, числото нула, както и числа, противоположни на естествените.

Дефиницията на целите числа гласи, че всяко от числата 1, 2, 3, …, числото 0, както и всяко от числата −1, −2, −3, … е цяло число. Сега можем лесно да донесем примери за цели числа. Например числото 38 е цяло число, числото 70 040 също е цяло число, нулата е цяло число (не забравяйте, че нулата НЕ е естествено число, нулата е цяло число), числата −999, −1, −8 934 832 също са примери за цели числа.

Удобно е всички цели числа да се представят като поредица от цели числа, която има следния вид: 0, ±1, ±2, ±3, ... Поредица от цели числа може да бъде записана така: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

От определението за цели числа следва, че множеството от естествени числа е подмножество от множеството от цели числа. Следователно всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Цели числа на координатна права

Определение.

Положителни цели числаса цели числа, по-големи от нула.

Определение.

Отрицателни цели числаса цели числа, които са по-малки от нула.

Положителните и отрицателните цели числа също могат да бъдат определени от позицията им върху координатната права. На хоризонтална координатна линия точките, чиито координати са цели положителни числа, лежат вдясно от началото. На свой ред точките с отрицателни цели координати са разположени вляво от точка O.

Ясно е, че множеството от всички положителни цели числа е множеството от естествени числа. От своя страна множеството от всички отрицателни цели числа е множеството от всички противоположни числа естествени числа.

Отделно, нека ви обърнем внимание на факта, че спокойно можем да наречем всяко естествено число цяло число, но не можем да наречем всяко цяло число естествено число. Можем да наречем всяко положително цяло число само естествено число, тъй като отрицателните цели числа и нулата не са естествени числа.

Неположителни и неотрицателни цели числа

Нека дадем дефиниции на неположителни цели числа и неотрицателни цели числа.

Определение.

Всички положителни числа, заедно с числото нула, се наричат неотрицателни цели числа.

Определение.

Неположителни цели числа– всички те са цели отрицателни числа заедно с числото 0.

С други думи, неотрицателно цяло число е цяло число, което е по-голямо от нула или равно на нула, а неположително цяло число е цяло число, което е по-малко от нула или равно на нула.

Примери за цели неположителни числа са числата −511, −10,030, 0, −2, а като примери за цели неотрицателни числа даваме числата 45, 506, 0, 900,321.

Най-често за краткост се използват термините „цели неположителни числа” и „цели неотрицателни числа”. Например, вместо фразата „числото a е цяло число и a е по-голямо от нула или равно на нула“, можете да кажете „a е неотрицателно цяло число“.

Описване на промените в количествата с помощта на цели числа

Време е да поговорим защо са необходими цели числа.

Основната цел на целите числа е, че с тяхна помощ е удобно да се описват промените в количеството на всякакви обекти. Нека разберем това с примери.

Нека в склада има определен брой части. Ако например в склада бъдат докарани още 400 части, тогава броят на частите в склада ще се увеличи, а числото 400 изразява тази промяна в количеството в положителна страна(повишаване на). Ако например се вземат 100 части от склада, тогава броят на частите в склада ще намалее, а числото 100 ще изрази промяната в количеството в отрицателна страна(към намаляване). Частите няма да се доставят в склада и частите няма да се изнасят от склада, тогава можем да говорим за постоянно количество части (т.е. можем да говорим за нулева промяна в количеството).

В дадените примери промяната в броя на частите може да бъде описана с цели числа 400, −100 и 0, съответно. Цяло положително число 400 показва промяна в количеството в положителна посока (увеличение). Отрицателно цяло число −100 изразява промяна в количеството в отрицателна посока (намаляване). Цялото число 0 показва, че количеството остава непроменено.

Удобството при използване на цели числа в сравнение с използването на естествени числа е, че не е необходимо изрично да посочвате дали количеството се увеличава или намалява - цялото число определя количествено промяната, а знакът на цялото число показва посоката на промяната.

Целите числа също могат да изразяват не само промяна в количеството, но и промяна в някакво количество. Нека разберем това, като използваме примера за температурни промени.

Повишаване на температурата с, да речем, 4 градуса се изразява като положително цяло число 4. Намаляване на температурата, например с 12 градуса, може да се опише като цяло отрицателно число -12. А инвариантността на температурата е нейното изменение, определено от цяло число 0.

Отделно е необходимо да се каже за тълкуването на отрицателните цели числа като размер на дълга. Например, ако имаме 3 ябълки, тогава положителното цяло число 3 представлява броя на ябълките, които притежаваме. От друга страна, ако трябва да дадем 5 ябълки на някого, но ги нямаме на склад, тогава тази ситуация може да бъде описана с отрицателно цяло число −5. В този случай ние „притежаваме“ −5 ябълки, знакът минус показва дълг, а числото 5 определя дълга количествено.

Разбирането на отрицателно цяло число като дълг позволява например да се обоснове правилото за добавяне на отрицателни цели числа. Да дадем пример. Ако някой дължи 2 ябълки на един човек и 1 ябълка на друг, тогава общият дълг е 2+1=3 ябълки, така че −2+(−1)=−3.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.

Ако добавим числото 0 отляво на поредица от естествени числа, получаваме поредица от положителни цели числа:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Отрицателни цели числа

Нека да разгледаме един малък пример. Картината вляво показва термометър, който показва температура 7°C. Ако температурата падне с 4°, термометърът ще покаже 3° топлина. Намаляването на температурата съответства на действието на изваждане:

Ако температурата падне със 7°, термометърът ще показва 0°. Намаляването на температурата съответства на действието на изваждане:

Ако температурата падне с 8°, термометърът ще покаже -1° (1° под нулата). Но резултатът от изваждането на 7 - 8 не може да бъде написан с естествени числа и нула.

Нека илюстрираме изваждането с помощта на поредица от положителни цели числа:

1) От числото 7 пребройте 4 числа вляво и вземете 3:

2) От числото 7 пребройте 7 числа вляво и вземете 0:

Невъзможно е да се преброят 8 числа от числото 7 вляво в поредица от цели положителни числа. За да направим действия 7 - 8 осъществими, ние разширяваме диапазона от положителни цели числа. За да направите това, вляво от нулата, ние записваме (отдясно наляво) по ред всички естествени числа, добавяйки към всяко от тях знака - , което показва, че това число е вляво от нулата.

Записите -1, -2, -3, ... се четат минус 1, минус 2, минус 3 и т.н.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Получената поредица от числа се нарича поредица от цели числа. Точките отляво и отдясно в този запис означават, че серията може да бъде продължена безкрайно надясно и наляво.

Отдясно на числото 0 в този ред са извиканите числа естественоили положителни цели числа(накратко - положителен).

Отляво на числото 0 в този ред са извиканите числа цяло число отрицателно(накратко - отрицателен).

Числото 0 е цяло число, но не е нито положително, нито отрицателно число. Той разделя положителните и отрицателните числа.

следователно серията от цели числа се състои от цели отрицателни числа, нула и цели положителни числа.

Сравнение на цели числа

Сравнете две цели числа- означава да откриете кое е по-голямо, кое е по-малко или да определите, че числата са равни.

Можете да сравнявате цели числа, като използвате ред от цели числа, тъй като числата в него са подредени от най-малкото към най-голямото, ако се движите по реда отляво надясно. Следователно в поредица от цели числа можете да замените запетаите със знак по-малко от:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

следователно от две цели числа, по-голямото е числото, което е отдясно в редицата, а по-малкото е това, което е отляво, означава:

1) Всяко положително число е по-голямо от нула и по-голямо от всяко отрицателно число:

1 > 0; 15 > -16

2) Всяко отрицателно число, по-малко от нула:

7 < 0; -357 < 0

3) От две отрицателни числа това, което е вдясно в редицата от цели числа, е по-голямо.

В тази статия ще дефинираме набора от цели числа, ще разгледаме кои цели числа се наричат ​​положителни и кои са отрицателни. Ще покажем също как целите числа се използват за описание на промените в определени количества. Нека започнем с определението и примерите за цели числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Цели числа. Определение, примери

Първо, нека си спомним за естествените числа ℕ. Самото име подсказва, че това са числа, които естествено се използват за броене от незапомнени времена. За да обхванем концепцията за цели числа, трябва да разширим дефиницията на естествените числа.

Определение 1. Цели числа

Цели числа са естествените числа, техните противоположности и числото нула.

Множеството от цели числа се обозначава с буквата ℤ.

Множеството от естествени числа ℕ е подмножество на целите числа ℤ. Всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

От дефиницията следва, че всяко от числата 1, 2, 3 е цяло число. . , числото 0, както и числата - 1, - 2, - 3, . .

В съответствие с това ще дадем примери. Числата 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 са цели числа.

Нека координатната линия е начертана хоризонтално и насочена надясно. Нека да го разгледаме, за да визуализираме местоположението на цели числа на ред.

Началото на координатната права съответства на числото 0, а точките, лежащи от двете страни на нулата, съответстват на положителни и отрицателни цели числа. Всяка точка съответства на едно цяло число.

Можете да стигнете до всяка точка на линия, чиято координата е цяло число, като отделите определен брой единични сегменти от началото.

Положителни и отрицателни цели числа

От всички цели числа е логично да се разграничат положителните и отрицателните числа. Нека дадем техните определения.

Определение 2: Положителни цели числа

Положителните цели числа са цели числа със знак плюс.

Например числото 7 е цяло число със знак плюс, тоест положително цяло число. На координатната линия това число лежи вдясно от референтната точка, която се приема за числото 0. Други примери за цели положителни числа: 12, 502, 42, 33, 100500.

Определение 3: Цели отрицателни числа

Отрицателните цели числа са цели числа със знак минус.

Примери за цели отрицателни числа: - 528, - 2568, - 1.

Числото 0 разделя положителните и отрицателните цели числа и само по себе си не е нито положително, нито отрицателно.

Всяко число, което е противоположно на положително цяло число, по дефиниция е отрицателно цяло число. Обратното също е вярно. Обратното на всяко отрицателно цяло число е положително цяло число.

Възможно е да се дадат други формулировки на дефинициите на отрицателни и положителни цели числа, като се използва тяхното сравнение с нула.

Определение 4: Положителни цели числа

Положителните цели числа са цели числа, които са по-големи от нула.

Определение 5: Цели отрицателни числа

Отрицателните цели числа са цели числа, които са по-малки от нула.

Съответно положителните числа лежат вдясно от началото на координатната линия, а отрицателните цели числа лежат вляво от нулата.

По-рано казахме, че естествените числа са подмножество от цели числа. Нека да изясним тази точка. Множеството от естествени числа се състои от положителни цели числа. От своя страна множеството от цели отрицателни числа е множеството от числа, противоположни на естествените.

важно!

Всяко естествено число може да се нарече цяло число, но всяко цяло число не може да се нарече естествено число. Когато отговаряме на въпроса дали отрицателните числа са естествени числа, трябва смело да кажем – не, не са.

Неположителни и неотрицателни цели числа

Нека дадем някои определения.

Определение 6. Цели неотрицателни числа

Неотрицателните цели числа са положителни цели числа и числото нула.

Определение 7. Цели неположителни числа

Неположителните цели числа са отрицателните цели числа и числото нула.

Както можете да видите, числото нула не е нито положително, нито отрицателно.

Примери за неотрицателни цели числа: 52, 128, 0.

Примери за неположителни цели числа: - 52, - 128, 0.

Неотрицателно число е число, по-голямо или равно на нула. Съответно, неположително цяло число е число, по-малко или равно на нула.

Термините "неположително число" и "неотрицателно число" се използват за краткост. Например, вместо да кажете, че числото a е цяло число, което е по-голямо или равно на нула, можете да кажете: a е неотрицателно цяло число.

Използване на цели числа за описание на промените в количествата

За какво се използват целите числа? На първо място, с тяхна помощ е удобно да се описват и определят промените в количеството на всякакви обекти. Да дадем пример.

Нека определен брой колянови валове да се съхраняват в склад. Ако в склада бъдат докарани още 500 колянови вала, броят им ще се увеличи. Числото 500 точно изразява промяната (увеличението) в броя на частите. Ако след това от склада се вземат 200 части, тогава това число ще характеризира и промяната в броя на коляновите валове. Този път надолу.

Ако нищо не е взето от склада и нищо не е доставено, тогава числото 0 ще означава, че броят на частите остава непроменен.

Очевидното удобство на използването на цели числа, за разлика от естествените числа, е, че техният знак ясно показва посоката на промяна на стойността (увеличаване или намаляване).

Намаляването на температурата с 30 градуса може да се характеризира с цяло отрицателно число - 30, а повишаването с 2 градуса - с цяло положително число 2.

Нека дадем друг пример с цели числа. Този път нека си представим, че трябва да дадем 5 монети на някого. Тогава можем да кажем, че имаме - 5 монети. Числото 5 описва размера на дълга, а знакът минус показва, че трябва да раздадем монетите.

Ако дължим 2 монети на един човек и 3 на друг, тогава общият дълг (5 монети) може да се изчисли, като се използва правилото за добавяне на отрицателни числа:

2 + (- 3) = - 5

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Има много видове числа, едно от тях са цели числа. Целите числа се появиха, за да се улесни броенето не само в положителна, но и в отрицателна посока.

Да разгледаме един пример:
През деня температурата навън беше 3 градуса. До вечерта температурите паднаха с 3 градуса.
3-3=0
Навън стана 0 градуса. А през нощта температурата падна с 4 градуса и започна да показва -4 градуса на термометъра.
0-4=-4

Поредица от цели числа.

Не можем да опишем такъв проблем с помощта на естествени числа; ще разгледаме този проблем на координатна линия.

Имаме поредица от числа:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Тази поредица от числа се нарича поредица от цели числа.

Положителни цели числа. Отрицателни цели числа.

Поредицата от цели числа се състои от положителни и отрицателни числа. Вдясно от нулата са естествените числа или още се наричат положителни цели числа. И вляво от нулата отиват отрицателни цели числа.

Нулата не е нито положително, нито отрицателно число. Това е границата между положителните и отрицателните числа.

е набор от числа, състоящ се от естествени числа, цели отрицателни числа и нула.

Поредица от цели числа в положителна и отрицателна посока е безкраен брой.

Ако вземем произволни две цели числа, тогава числата между тези цели числа ще бъдат извикани крайно множество.

Например:
Нека вземем цели числа от -2 до 4. Всички числа между тези числа са включени в крайното множество. Нашият окончателен набор от числа изглежда така:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Означени са естествените числа латиницаН.
Целите числа се означават с латинската буква Z. Цялата съвкупност от естествени числа и цели числа може да бъде изобразена на картинка.


Неположителни цели числас други думи, те са цели отрицателни числа.
Неотрицателни цели числаса цели положителни числа.

ДА СЕ цели числавключват естествени числа, нула и числа, противоположни на естествените числа.

Цели числаса цели положителни числа.

Например: 1, 3, 7, 19, 23 и т.н. Използваме такива числа за броене (на масата има 5 ябълки, колата има 4 колела и т.н.)

латинска буква \mathbb(N) - означ набор от естествени числа.

Естествените числа не могат да включват отрицателни числа (един стол не може да има отрицателен брой крака) и дробни числа (Иван не може да продаде 3,5 велосипеда).

Обратното на естествените числа са отрицателните цели числа: −8, −148, −981, ….

Аритметични действия с цели числа

Какво можете да правите с цели числа? Те могат да се умножават, събират и изваждат един от друг. Нека разгледаме всяка операция с конкретен пример.

Събиране на цели числа

Две цели числа с еднакви знаци се събират, както следва: модулите на тези числа се събират и получената сума се предхожда от краен знак:

(+11) + (+9) = +20

Изваждане на цели числа

Две цели числа с различни знацисе сумират както следва: от модула Повече ▼модулът на по-малкото се изважда и знакът на по-голямото модулно число се поставя пред получения отговор:

(-7) + (+8) = +1

Умножение на цели числа

За да умножите едно цяло число по друго, трябва да умножите модулите на тези числа и да поставите знак „+“ пред получения отговор, ако оригиналните числа са имали еднакви знаци, и знак „−“, ако оригиналните числа са имали различни знаци:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Трябва да се помни следното правило за умножение на цели числа:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Има правило за умножаване на множество цели числа. Да си го припомним:

Знакът на произведението ще бъде „+“, ако броят на факторите с отрицателен знак е четен и „−“, ако броят на факторите с отрицателен знак е нечетен.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Целочислено деление

Разделянето на две цели числа се извършва по следния начин: модулът на едно число се разделя на модула на другото и ако знаците на числата са еднакви, тогава знакът "+" се поставя пред полученото частно , а ако знаците на оригиналните числа са различни, тогава се поставя знакът „−“.

(-25) : (+5) = -5

Свойства на събиране и умножение на цели числа

Нека да разгледаме основните свойства на събирането и умножението за всякакви цели числа a, b и c:

1. a + b = b + a - комутативно свойство на събирането;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - комбинирано свойство на добавяне;
3. a \cdot b = b \cdot a - комутативно свойство на умножението;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- асоциативни свойства на умножението;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- разпределително свойство на умножението.