Как да изчислим математическото очакване. Формула на очакванията

Математическото очакване на случайна променлива X е средната стойност.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), където ° С= конст

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Ако случайни променливи хи Yнезависим, тогава M(XY) = M(X) M(Y)

дисперсия

Дисперсията на случайна променлива X се нарича

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – М 2 (Х).

Дисперсията е мярка за отклонението на стойностите на случайна променлива от нейната средна стойност.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), където ° С= конст

4. За независими случайни променливи

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Корен квадратен от дисперсията на случайна променлива X се нарича стандартно отклонение .

@ Задача 3: Нека случайна променлива X приема само две стойности (0 или 1) с вероятности q, p, където p + q = 1. Намерете математическото очакване и дисперсията.

Решение:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.

@ Задача 4: Математическо очакване и дисперсия на случайна променлива хса равни на 8. Намерете математическото очакване и дисперсията на случайните променливи: а) X-4; б) 3X-4.

Решение: M(X - 4) = M(X) - 4 = 8 - 4 = 4; D(X - 4) = D(X) = 8; M(3X - 4) = 3M(X) - 4 = 20; D(3X - 4) = 9D(X) = 72.

@ Задача 5: Наборът от семейства има следното разпределение според броя на децата:

x i	х 1	x2
пи	0,1	p2	0,4	0,35

Дефинирайте х 1, x2и p2ако се знае, че М(Х) = 2; D(X) = 0,9.

Решение: Вероятността p 2 е равна на p 2 = 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 = 0,15. Неизвестните x се намират от уравненията: M(X) = x 1 0,1 + x 2 0,15 + 2 0,4 + 3 0,35 = 2; D(X) = 0,1 + 0,15 + 4 0,4 ​​+ 9 0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; х2 = 1.

Генерална съвкупност и извадка. Оценки на параметри

Селективно наблюдение

Статистическото наблюдение може да бъде организирано непрекъснато и не непрекъснато. Непрекъснатото наблюдение включва изследване на всички единици от изследваната съвкупност (генерална съвкупност). Население това е набор от физически или юридически лица, които изследователят изучава според задачата си. Това често е икономически неизгодно, а понякога и невъзможно. В тази връзка се изследва само част от общата популация - рамка за вземане на проби .

Резултатите, получени от извадката от популацията, могат да бъдат разширени до общата популация, ако се следват следните принципи:

1. Популацията на извадката трябва да бъде определена на случаен принцип.

2. Броят на единиците за вземане на проби трябва да бъде достатъчен.

3. Трябва да се предостави представителност ( представителност) на извадката. Представителната извадка е по-малък, но точен модел на популацията, която е предназначена да представи.

Примерни типове

На практика се използват следните видове проби:

а) собствено случаен, б) механичен, в) типичен, г) сериен, д) комбиниран.

Самослучайно вземане на проби

При подходяща произволна извадка единиците за извадка се избират на случаен принцип, например чрез теглене на жребий или генератор на произволни числа.

Пробите биват многократни и еднократни. При повторно вземане на проби избраната единица се връща и запазва равен шанс да бъде взета отново. При неповтаряща се извадка единицата от съвкупността, която е включена в извадката, не участва в извадката в бъдеще.

Грешките, присъщи на наблюдението на извадката, възникващи поради факта, че извадката не възпроизвежда напълно генералната съвкупност, се наричат стандартни грешки . Те представляват средноквадратична разлика между стойностите на показателите, получени от извадката, и съответните стойности на показателите на генералната съвкупност.

Формулите за изчисляване на стандартната грешка за произволно повторно вземане на проби са както следва: , където S 2 е дисперсията на извадката от съвкупността, n/N -примерен дял, н, н- броят на единиците в извадката и генералната съвкупност. При n = Nстандартна грешка m = 0.

Механично вземане на проби

При механично вземане на проби общата съвкупност се разделя на равни интервали и една единица се избира на случаен принцип от всеки интервал.

Например, с честота на вземане на проби от 2%, всяка 50-та единица се избира от списък на популацията.

Стандартната грешка на механичното вземане на проби се определя като грешката на самослучайно неповтарящо се вземане на проби.

Типична проба

При типична проба общата съвкупност се разделя на хомогенни типични групи, след което единиците се избират на случаен принцип от всяка група.

Типична извадка се използва в случай на хетерогенна генерална съвкупност. Типичната проба дава по-точни резултати, тъй като гарантира представителност.

Например учителите като обща съвкупност се разделят на групи според следните характеристики: пол, опит, квалификация, образование, градски и селски училища и др.

Типичните стандартни грешки на извадката се дефинират като грешки на самослучайната извадка, с единствената разлика, че S2се заменя със средната стойност на вътрешногруповите дисперсии.

серийно вземане на проби

При серийно вземане на проби общата съвкупност се разделя на отделни групи (серии), след което произволно избрани групи се подлагат на непрекъснато наблюдение.

Стандартните грешки при серийно вземане на проби се определят като грешки при самослучайно вземане на проби, като единствената разлика е, че S2се заменя със средната стойност на междугруповите дисперсии.

Комбинирано вземане на проби

Комбинирано вземане на пробие комбинация от два или повече типа проби.

Точкова оценка

Крайната цел на извадковото наблюдение е да се намерят характеристиките на генералната съвкупност. Тъй като това не може да се направи директно, характеристиките на съвкупността от извадки се разширяват до общата съвкупност.

Доказана е принципната възможност за определяне на средноаритметичната стойност на генералната съвкупност от данните на средната извадка Теорема на Чебишев. С неограничено увеличение нвероятността разликата между средната стойност на извадката и общата средна стойност да бъде произволно малка клони към 1.

Това означава, че характеристиката на генералната съвкупност с точност до . Такава оценка се нарича точка .

Интервална оценка

Основата на интервалната оценка е централна гранична теорема.

Интервална оценкави позволява да отговорите на въпроса: в какъв интервал и с каква вероятност е неизвестната, желана стойност на параметъра на генералната съвкупност?

Обикновено се нарича ниво на увереност стр = 1 – a, който ще бъде в интервала – д< < + D, где D = t кр m > 0 пределна грешка проби, а - ниво на значимост (вероятността неравенството да е невярно), t кр- критична стойност, която зависи от стойностите ни а. С малка извадка n< 30 t крсе дава с помощта на критичната стойност на t-разпределението на Student за двустранен тест с н– 1 степени на свобода с ниво на значимост a ( t кр(н- 1, а) се намира от таблицата "Критични стойности на t-разпределението на Student", приложение 2). За n > 30, t кре квантилът на нормалното разпределение ( t крсе намира от таблицата със стойности на функцията на Лаплас F(t) = (1 – а)/2 като аргумент). При p = 0,954, критичната стойност t кр= 2 при p = 0,997 критична стойност t кр= 3. Това означава, че пределната грешка обикновено е 2-3 пъти по-голяма от стандартната грешка.

По този начин същността на метода на извадката се състои в това, че въз основа на статистическите данни на определена малка част от генералната съвкупност е възможно да се намери интервал, в който с доверителна вероятност стрнамира се желаната характеристика на генералната съвкупност (среден брой работници, среден резултат, среден добив, стандартно отклонение и др.).

@ Задача 1.За да се определи скоростта на сетълменти с кредитори на корпоративни предприятия в търговска банка, беше извършена произволна извадка от 100 платежни документа, за които средното време за прехвърляне и получаване на пари се оказа 22 дни ( = 22) със стандарт отклонение от 6 дни (S = 6). С вероятност стр= 0,954 определя пределната грешка на средната стойност на извадката и доверителния интервал на средната продължителност на сетълментите на предприятията от тази корпорация.

Решение: Пределната грешка на средната стойност на извадката според(1)е равно на D= 2· 0,6 = 1,2, а доверителният интервал се определя като (22 - 1,2; 22 + 1,2), т.е. (20,8; 23,2).

§6.5 Корелация и регресия

Математическото очакване (средна стойност) на случайна променлива X, дадена в дискретно вероятностно пространство, е числото m =M[X]=∑x i p i , ако серията се сближава абсолютно.

Сервизно задание. С онлайн услуга изчисляват се математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение(вижте примера). Освен това се начертава графика на функцията на разпределение F(X).

Свойства на математическото очакване на случайна величина

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на себе си: M[C]=C , C е константа;
2. M=C M[X]
3. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: M=M[X]+M[Y]
4. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M=M[X] M[Y], ако X и Y са независими.

Свойства на дисперсия

1. Дисперсията на постоянна стойност е равна на нула: D(c)=0.
2. Константният фактор може да бъде изваден от под знака на дисперсията, като го повдигнете на квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случайните променливи X и Y са зависими: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. За дисперсията е валидна изчислителната формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Известни са математическите очаквания и дисперсиите на две независими случайни променливи X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Въз основа на свойствата на математическото очакване: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Въз основа на дисперсионните свойства: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; Присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.

1. Умножете двойките една по една: x i по p i .
2. Добавяме произведението на всяка двойка x i p i.
   Например за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той се увеличава рязко в онези точки, чиито вероятности са положителни.

Пример #1.

x i	1	3	4	7	9
пи	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическото очакване се намира по формулата m = ∑x i p i .
Математическо очакване M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсията се намира по формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартно отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Пример #2. Дискретна случайна променлива има следната серия на разпределение:

х	-10	-5	0	5	10
Р	а	0,32	2а	0,41	0,03

Намерете стойността a, математическото очакване и стандартното отклонение на тази случайна променлива.

Решение. Стойността a се намира от връзката: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24=3 a , откъдето a = 0,08

Пример #3. Определете закона за разпределение на дискретна случайна променлива, ако нейната дисперсия е известна и x 1 х 1 =6; х2=9; х3=х; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Решение.
Тук трябва да направите формула за намиране на дисперсията d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
където очакване m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите данни
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Съответно е необходимо да се намерят корените на уравнението и ще има две от тях.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Избираме този, който отговаря на условието x 1 х3=12

Закон за разпределение на дискретна случайна величина
х 1 =6; х2=9; x 3 \u003d 12; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3

Тоест, ако сл. тогава количеството има закон за разпределение

Нареченнеговото математическо очакване. Ако sl. стойността има безкраен брой стойности, тогава математическото очакване се определя от сумата на безкрайна серия , при условие че тази серия се сближава абсолютно (в противен случай се казва, че очакваната стойност не съществува) .

За непрекъснато сл. стойност, дадена от функцията на плътност на вероятността f(x), математическото очакване се определя като интеграл

при условие, че този интеграл съществува (ако интегралът се разминава, тогава казваме, че математическото очакване не съществува).

Пример 1. Нека дефинираме математическото очакване на случайна променлива, разпределена върху Закон на Поасон. По дефиниция

или означават

,

Така че параметърът , определящият закон на разпределение на случайна променлива на Поасон е равен на средната стойност на тази променлива.

Пример 2. За случайна променлива с експоненциален закон на разпределение математическото очакване е

():

(в интеграла вземете границите, като вземете предвид факта, че f (x) е различно от нула само за положително x).

Пример 3. Случайна променлива, разпределена според закона за разпределение Коши, няма средна стойност. Наистина ли

Свойства на очакванията.

Имот 1. Математическото очакване на константа е равно на самата константа.

Константата C приема тази стойност с вероятност от единица и по дефиниция M(C)=C×1=C

Имот 2. Математическото очакване на алгебричната сума на случайните променливи е равно на алгебричната сума на техните математически очаквания.

Ние се ограничаваме до доказването на това свойство само за сумата от две дискретни случайни променливи, т.е. докажи това

Под сбора на две дискретни сл. Количествата се разбират като Количество, което приема стойности с вероятности

По дефиниция

където е вероятността от събитието, изчислена при условие, че . В дясната част на последното равенство са изброени всички случаи на настъпване на събитието, следователно то е равно на общата вероятност за настъпване на събитието, т.е. . по същия начин . Най-накрая имаме

Имот 3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

При			…
Q			…
х			…
Р			…

Ние даваме доказателства за това свойство само за дискретни количества. За непрекъснати случайни променливи това се доказва по подобен начин.

Нека X и Y са независими и имат закони на разпределение

Продуктът на тези случайни променливи ще бъде случайна променлива, която приема стойности с равни вероятности, поради независимостта на случайните променливи, . Тогава

Последица. Постоянният множител може да бъде изваден от знака за математическо очакване. Така че константата на века С не зависи от това каква стойност ще приеме следващата. стойност X, то по свойство 3. имаме

M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)

Пример. Ако a и b са константи, тогава M(ax+b)=aM(x)+b.

Математическо очакване на броя на поява на събитие в схемата на независими опити.

Нека се извършат n независими експеримента, вероятността за възникване на събитие във всеки от които е R. Броят на случванията на събитие в тези n експеримента е случайна променлива X, разпределена според биномиалния закон. Директното изчисляване на средната му стойност обаче е тромаво. За да опростим, ще използваме разлагането, което ще използваме многократно в бъдеще:

където има закон на разпределение (приема стойност 1, ако събитието се е случило в дадения експеримент, и стойност 0, ако събитието не се е появило в дадения експеримент).

Р	1-во	Р

Ето защо

тези. средният брой случаи на събитие в n независими опити е равен на произведението от броя опити и вероятността събитието да се случи в едно изпитване.

Например, ако вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,1, тогава средният брой попадения в 20 изстрела е 20×0,1=2.

Концепцията за математическото очакване може да се разгледа с помощта на примера за хвърляне на зарове. При всяко хвърляне се записват изпуснатите точки. За изразяването им се използват естествени стойности в диапазона 1 - 6.

След определен брой хвърляния, като използвате прости изчисления, можете да намерите средноаритметичната стойност на падналите точки.

Освен че отпада някоя от стойностите на диапазона, тази стойност ще бъде произволна.

И ако увеличите броя на хвърлянията няколко пъти? При голям брой хвърляния средноаритметичната стойност на точките ще се доближи до определено число, което в теорията на вероятностите се нарича математическо очакване.

И така, математическото очакване се разбира като средната стойност на случайна променлива. Този показател може да бъде представен и като претеглена сума от вероятни стойности.

Тази концепция има няколко синонима:

• означава;
• средна стойност;
• централен тренд индикатор;
• първи момент.

С други думи, това не е нищо повече от число, около което се разпределят стойностите на случайна променлива.

В различни сфери на човешката дейност подходите за разбиране на математическото очакване ще бъдат малко по-различни.

Може да се разглежда като:

• средната полза, получена от вземането на решение, в случай че такова решение се разглежда от гледна точка на теорията на големите числа;
• възможната сума на печалба или загуба (теория на хазарта), изчислена средно за всеки от залозите. На жаргон те звучат като „предимство на играча“ (положително за играча) или „предимство на казиното“ (отрицателно за играча);
• процент от печалбата, получена от печалби.

Математическото очакване не е задължително за абсолютно всички случайни величини. Липсва при тези, които имат несъответствие в съответния сбор или интеграл.

Свойства на очакванията

Като всеки статистически параметър, математическото очакване има следните свойства:

Основни формули за математическо очакване

Изчисляването на математическото очакване може да се извърши както за случайни променливи, характеризиращи се както с непрекъснатост (формула A), така и с дискретност (формула B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, където xi са стойностите на случайната променлива, pi са вероятностите:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, където f(x) е дадена плътност на вероятността.

Примери за изчисляване на математическото очакване

Пример А.

Възможно ли е да разберете средната височина на гномите в приказката за Снежанка. Известно е, че всеки от 7-те гнома е имал определена височина: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81м.

Алгоритъмът за изчисление е доста прост:

• намерете сумата от всички стойности на индикатора за растеж (случайна променлива):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Получената сума се разделя на броя на гномите:
  6,31:7=0,90.

Така средният ръст на гномите в една приказка е 90 см. С други думи, това е математическото очакване на растежа на гномите.

Работна формула - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Практическа реализация на математическото очакване

Към изчисляването на статистическия показател на математическото очакване се прибягва в различни области на практическата дейност. На първо място, говорим за търговската сфера. Всъщност въвеждането на този показател от Хюйгенс е свързано с определянето на шансовете, които могат да бъдат благоприятни или, напротив, неблагоприятни за дадено събитие.

Този параметър се използва широко за оценка на риска, особено когато става въпрос за финансови инвестиции.
Така че в бизнеса изчисляването на математическото очакване действа като метод за оценка на риска при изчисляване на цените.

Също така този показател може да се използва при изчисляване на ефективността на определени мерки, например за защита на труда. Благодарение на него можете да изчислите вероятността за настъпване на събитие.

Друга област на приложение на този параметър е управлението. Може да се изчисли и по време на контрола на качеството на продукта. Например, с помощта на мат. очаквания, можете да изчислите възможния брой производствени дефектни части.

Математическото очакване е незаменимо и при статистическата обработка на резултатите, получени в хода на научните изследвания. Той също така ви позволява да изчислите вероятността за желан или нежелан резултат от експеримент или изследване в зависимост от нивото на постигане на целта. В крайна сметка постигането му може да се свърже с печалба и печалба, а непостигането му - като загуба или загуба.

Използване на математическото очакване във Форекс

Практическото приложение на този статистически параметър е възможно при извършване на транзакции на валутния пазар. Може да се използва за анализ на успеха на търговските транзакции. Освен това повишаването на стойността на очакванията показва увеличаване на техния успех.

Също така е важно да запомните, че математическото очакване не трябва да се разглежда като единственият статистически параметър, използван за анализ на представянето на търговеца. Използването на няколко статистически параметъра заедно със средната стойност повишава точността на анализа в пъти.

Този параметър се е доказал добре при наблюдението на търговските сметки. Благодарение на него се извършва бърза оценка на извършената работа по депозитната сметка. В случаите, когато дейността на търговеца е успешна и той избягва загуби, не се препоръчва да се използва само изчислението на математическото очакване. В тези случаи рисковете не се вземат предвид, което намалява ефективността на анализа.

Проведените проучвания на тактиките на търговците показват, че:

• най-ефективни са тактиките, базирани на случаен вход;
• най-малко ефективни са тактиките, базирани на структурирани входове.

За постигане на положителни резултати е също толкова важно:

• тактики за управление на парите;
• стратегии за изход.

Използвайки такъв показател като математическото очакване, можем да предположим каква ще бъде печалбата или загубата при инвестиране на 1 долар. Известно е, че този показател, изчислен за всички игри, практикувани в казиното, е в полза на институцията. Това е, което ви позволява да правите пари. В случай на дълга поредица от игри, вероятността клиентът да загуби пари се увеличава значително.

Игрите на професионалните играчи са ограничени до малки периоди от време, което увеличава шанса за печалба и намалява риска от загуба. Същата закономерност се наблюдава и при извършването на инвестиционни операции.

Инвеститорът може да спечели значителна сума с положително очакване и голям брой транзакции за кратък период от време.

Очакваната продължителност може да се разглежда като разликата между процента печалба (PW) по средната печалба (AW) и вероятността от загуба (PL) по средната загуба (AL).

Като пример, разгледайте следното: позиция - 12,5 хиляди долара, портфейл - 100 хиляди долара, риск на депозит - 1%. Доходността на транзакциите е 40% от случаите със средна печалба от 20%. В случай на загуба средната загуба е 5%. Изчисляването на математическото очакване за сделка дава стойност от $625.

Всяка отделна стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически проблеми е достатъчно да знаете няколко числени характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.

Тези количества са предимно очаквана стойности дисперсия .

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Означен като.

Най-просто, математическото очакване на случайна променлива X(w), се намират като интегралнаЛебегпо отношение на вероятностната мярка Р начален вероятностно пространство

Можете също да намерите математическото очакване на стойност като Интеграл на Лебегот хчрез разпределение на вероятностите R Xколичества х:

където е множеството от всички възможни стойности х.

Математическо очакване на функции от случайна величина хе чрез разпространение R X. Например, ако х- случайна променлива със стойности в и f(x)- недвусмислено Борелфункция х , тогава:

Ако F(x)- разпределителна функция х, тогава математическото очакване е представимо интегралнаLebeggue - Stieltjes (или Риман - Stieltjes):

докато интегрируемостта хв какъв смисъл ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако хима дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k=1, 2, . , и вероятности , тогава

ако хима абсолютно непрекъснато разпределение с плътност на вероятността p(x), тогава

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответния ред или интеграл.

Свойства на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

° С- постоянен;

• M=C.M[X]

• Математическото очакване на сумата от произволно взетите стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи = произведението на техните математически очаквания:

M=M[X]+M[Y]

ако хи Yнезависима.

ако серията се събира:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; приравнете всяка стойност с ненулева вероятност.

1. Умножете двойките на свой ред: x iна пи.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

Например, за н = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, тя нараства рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическото очакване по формулата.