Теория на съседните и вертикалните ъгли. Какво представляват съседните ъгли

2) Колко общи точки могат да имат 2 прави линии?
3) Обяснете какво е сегмент?
4) Обяснете какво е лъч?
5) Коя фигура се нарича ъгъл? Обяснете какво представляват върха и страните на ъгъла?
6)Кой ъгъл се нарича разгънат?
7) Кои фигури се наричат ​​равни?
8) Обяснете как да сравните 2 сегмента
9) Коя точка се нарича среда на отсечката?
10) Обяснете как се сравняват 2 ъгъла.
11) Кой лъч се нарича ъглополовяща?
12) Точка C разделя отсечката AB на 2 отсечки. Как да се намери дължината на отсечката AB, ако са известни дължините на отсечките AC и CB?
13) Какви инструменти се използват за измерване на разстояния?
14) Каква е градусната мярка на ъгъл?
15) Лъч OS разделя ъгъл AOB на 2 ъгъла. Как да намерим градусната мярка на ъгъл AOB, ако са известни градусните мерки на ъглите AOC и COB?
16) Кой ъгъл се нарича тъп?
17) Кои ъгли се наричат ​​съседни? Каква е сумата от съседните ъгли?
18) Какви ъгли се наричат ​​вертикални? Какви свойства имат вертикалните ъгли?
19) Кои прави се наричат ​​перпендикулярни?
20) Обяснете защо 2 прави, перпендикулярни на 3-тата, не се пресичат?
21) Какви инструменти се използват за конструиране на прави ъгли на земята?

1 Колко прави могат да бъдат начертани през две точки?

2 Колко общи точки могат да имат две прави линии?
3обяснете какво е сегмент
4обяснете какво е лъч? Как се обозначават лъчите?
5 каква фигура се нарича ъгъл? обяснете какво са връх и страни на ъгъл
6 Кой ъгъл се нарича прав ъгъл?
7кои фигури се наричат ​​равни
8 обяснете как да сравните два сегмента
9коя точка се нарича среда на отсечката
10 обяснете как да сравнявате два ъгъла
11кой лъч се нарича ъглополовяща
12 точка c разделя отсечката ab на две отсечки. Как да намерим дължината на отсечката ab, ако са известни дължините на отсечките ac и sb
13 какви инструменти се използват за измерване на разстояния
14 каква е градусовата мярка на ъгъла
15 лъч oc разделя ъгъла aob на два ъгъла. Как да намерим градусната мярка на ъгъла aob, ако са известни мерките на ъглите aoc
16Кой ъгъл се нарича остър?, прав?, тъп?.
17 Кои ъгли се наричат ​​съседни?
18Какви ъгли се наричат ​​вертикални?Какви свойства имат вертикалните ъгли?
19кои прави се наричат ​​перпендикулярни
20 обяснете защо две прави, перпендикулярни на третата, не се пресичат
21Какви уреди се използват за конструиране на прави ъгли на земята?

1) каква е градусната мярка на ъгъл? 2) какви фигури се наричат ​​еднакви 3) какви ъгли се наричат ​​съседни, каква е сумата от съседните ъгли 4) какви ъгли се наричат

какво свойство имат вертикалните ъгли 5)

Помощ моля!! моля =**

7. Докажете, че ако две успоредни прави се пресекат от трета права, то пресичащите се вътрешни ъгли са равни, а сборът от вътрешните едностранни ъгли е 180 градуса.

8. Докажете, че две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни. Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.

9. Докажете, че сборът от ъглите на триъгълник е 180 градуса.

10. Докажете, че всеки триъгълник има поне два остри ъгъла.

11. Какво е външен ъгълтриъгълник?

12. Докажете, че външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

13. Докажете, че външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, а не в съседство с него.

14. Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

15. Каква е сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник?

16. Коя страна на правоъгълен триъгълник се нарича хипотенуза? Кои страни се наричат ​​крака?

17. Формулирайте знак за равенство правоъгълни триъгълниципо хипотенузата и катета.

18. Докажете, че от всяка точка, която не лежи на дадена права, можете да пуснете перпендикуляр на тази права и то само един.

19. Как се нарича разстоянието от точка до права?

20. Обяснете какво е разстоянието между успоредните прави.

ГЛАВА I.

ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ.

§11. СЪСЕДНИ И ВЕРТИКАЛНИ ЪГЛИ.

1. Съседни ъгли.

Ако разширим страната на който и да е ъгъл извън неговия връх, получаваме два ъгъла (фиг. 72): / И слънцето и / SVD, в който едната страна BC е обща, а другите две A и BD образуват права линия.

Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват права, се наричат ​​съседни ъгли.

Съседни ъгли могат да се получат и по този начин: ако изтеглим лъч от някаква точка на права (нележаща на дадена права), ще получим съседни ъгли.
например, / ADF и / FDВ - съседни ъгли (фиг. 73).

Съседните ъгли могат да имат голямо разнообразие от позиции (фиг. 74).

Съседните ъгли се събират до прав ъгъл, така че уммата на два съседни ъгъла е равна 2d.

Следователно, прав ъгъл може да се определи като ъгъл, равен на съседния му ъгъл.

Като знаем големината на един от съседните ъгли, можем да намерим големината на другия съседен ъгъл.

Например, ако един от съседните ъгли е 3/5 d, тогава вторият ъгъл ще бъде равен на:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Вертикални ъгли.

Ако разширим страните на ъгъла извън неговия връх, ще получим вертикални ъгли. На чертеж 75 ъглите EOF и AOC са вертикални; ъглите AOE и COF също са вертикални.

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия ъгъл.

Нека / 1 = 7 / 8 d(Фигура 76). В непосредствена близост до него / 2 ще бъде равно на 2 d- 7 / 8 d, т.е. 1 1/8 d.

По същия начин можете да изчислите на какво са равни / 3 и / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Диаграма 77).

Виждаме това / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можете да решите още няколко същите задачи и всеки път ще получите същия резултат: вертикалните ъгли са равни един на друг.

Въпреки това, за да сме сигурни, че вертикалните ъгли винаги са равни един на друг, не е достатъчно да разглеждаме отделни числени примери, тъй като заключенията, направени от конкретни примери, понякога могат да бъдат погрешни.

Необходимо е да се провери валидността на свойствата на вертикалните ъгли чрез разсъждения, чрез доказателство.

Доказателството може да се извърши по следния начин (фиг. 78):

/ а+/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(тъй като сумата от съседните ъгли е 2 d).

/ а+/ c = / b+/ c

(тъй като лявата страна на това равенство също е равна на 2 d, а дясната му страна също е равна на 2 d).

Това равенство включва същия ъгъл с.

Ако сме от равни стойностиизвадете поравно, тогава ще остане поравно. Резултатът ще бъде: / а = / b, т.е. вертикалните ъгли са равни един на друг.

Когато разглеждахме въпроса за вертикалните ъгли, първо обяснихме кои ъгли се наричат ​​вертикални, т.е. определениевертикални ъгли.

След това направихме преценка (изявление) за равенството на вертикалните ъгли и се убедихме в валидността на тази преценка чрез доказателство. Такива преценки, чиято валидност трябва да бъде доказана, се наричат теореми. Така в този раздел дадохме дефиниция на вертикалните ъгли, а също така заявихме и доказахме теорема за техните свойства.

В бъдеще, когато изучаваме геометрията, постоянно ще трябва да се сблъскваме с дефиниции и доказателства на теореми.

3. Сборът от ъгли, които имат общ връх.

На чертеж 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 са разположени от едната страна на права и имат общ връх на тази права. В сумата тези ъгли образуват прав ъгъл, т.е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

На чертеж 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имат общ връх. Сумирано тези ъгли образуват пълен ъгъл, т.е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Упражнения.

1. Един от съседните ъгли е 0,72 d.Изчислете ъгъла, образуван от ъглополовящите на тези съседни ъгли.

2. Докажете, че ъглополовящите на два съседни ъгъла образуват прав ъгъл.

3. Докажете, че ако два ъгъла са равни, то съседните им ъгли също са равни.

4. Колко двойки съседни ъгли има на чертеж 81?

5. Може ли двойка съседни ъгли да се състои от два остри ъгъла? от два тъпи ъгъла? от прав и тъп ъгъл? от прав и остър ъгъл?

6. Ако един от прилежащите ъгли е прав, тогава какво може да се каже за размера на прилежащия му ъгъл?

7. Ако при пресичането на две прави единият ъгъл е прав, тогава какво може да се каже за големината на останалите три ъгъла?

В този урок ще разгледаме и разберем концепцията за съседни ъгли. Нека разгледаме една теорема, която ги засяга. Нека въведем понятието "вертикални ъгли". Нека да разгледаме някои подкрепящи факти за тези ъгли. След това формулираме и доказваме две следствия за ъгъла между ъглополовящите на вертикалните ъгли. В края на урока ще разгледаме няколко задачи по тази тема.

Нека започнем нашия урок с концепцията за „съседни ъгли“. Фигура 1 показва разгънатия ъгъл ∠AOC и лъча OB, който разделя този ъгъл на 2 ъгъла.

ориз. 1. Ъгъл ∠AOC

Нека разгледаме ъглите ∠AOB и ∠BOC. Съвсем очевидно е, че те имат обща страна VO, а страните AO и OS са противоположни. Лъчите OA и OS се допълват взаимно, което означава, че лежат на една и съща права линия. Ъглите ∠AOB и ∠BOC са съседни.

Определение: Ако два ъгъла имат обща страна, а другите две страни са допълващи се лъчи, тогава тези ъгли се наричат съседен.

Теорема 1: Сборът на съседните ъгли е 180o.

ориз. 2. Чертеж за теорема 1

∠MOL + ∠LON = 180 o. Това твърдение е вярно, тъй като лъчът OL разделя разгънатия ъгъл ∠MON на два съседни ъгъла. Тоест ние не знаем градусните мерки на нито един от съседните ъгли, а знаем само сбора им - 180 градуса.

Помислете за пресечната точка на две линии. Фигурата показва пресечната точка на две прави в точка О.

ориз. 3. Вертикални ъгли ∠ВОА и ∠СOD

Определение: Ако страните на един ъгъл са продължение на втория ъгъл, тогава такива ъгли се наричат ​​вертикални. Ето защо фигурата показва две двойки вертикални ъгли: ∠AOB и ∠COD, както и ∠AOD и ∠BOC.

Теорема 2: Вертикалните ъгли са равни.

Нека използваме Фигура 3. Помислете за завъртяния ъгъл ∠AOC. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β. Да разгледаме разгънатия ъгъл ∠BOD. ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β.

От тези съображения заключаваме, че ∠AOB = ∠COD = α. По същия начин ∠AOD = ∠BOS = β.

Следствие 1: Ъгълът между ъглополовящите на съседни ъгли е 90°.

ориз. 4. Чертеж за следствие 1

Тъй като OL е ъглополовяща на ъгъла ∠BOA, то ъгълът ∠LOB = , подобно на ∠BOA = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумата от ъглите α + β е равна на 180°, тъй като тези ъгли са съседни.

Следствие 2: Ъгълът между ъглополовящите на вертикалните ъгли е равен на 180°.

ориз. 5. Чертеж за следствие 2

KO е ъглополовящата ∠AOB, LO е ъглополовящата ∠COD. Очевидно ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o. Сумата от ъглите α + β е равна на 180°, тъй като тези ъгли са съседни.

Нека разгледаме някои задачи:

Намерете ъгъла, прилежащ към ∠AOC, ако ∠AOC = 111 o.

Нека направим чертеж към задачата:

ориз. 6. Чертеж за пример 1

Тъй като ∠AOC = β и ∠COD = α са съседни ъгли, то α + β = 180 o. Тоест 111 o + β = 180 o.

Това означава β = 69 o.

Този тип задачи използват теоремата за сбора на съседните ъгли.

Един от съседните ъгли е прав ъгъл, какъв е другият ъгъл (остър, тъп или прав)?

Ако един от ъглите е прав и сборът от двата ъгъла е 180°, то другият ъгъл също е прав. Тази задача проверява знанията за сумата от съседни ъгли.

Вярно ли е, че ако съседните ъгли са равни, то те са прави?

Нека съставим уравнение: α + β = 180 o, но тъй като α = β, тогава β + β = 180 o, което означава β = 90 o.

Отговор: Да, твърдението е вярно.

Дадени две равни ъгли. Вярно ли е, че прилежащите им ъгли също ще бъдат равни?

ориз. 7. Чертеж например 4

Ако два ъгъла са равни на α, тогава съответните им съседни ъгли ще бъдат 180 o - α. Тоест те ще бъдат равни помежду си.

Отговор: Твърдението е вярно.

1. Александров A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. и др., Геометрия 7. - М.: Образование.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-то изд. - М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, редактиран от V.A. Садовничиго. - М.: Образование, 2010.

1. Измерване на сегменти ().
2. Общ урок по геометрия в 7 клас ().
3. Права линия, сегмент ().

1. № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолов, редактиран от V.A. Садовничиго. - М.: Образование, 2010.
2. Намерете два съседни ъгъла, ако единият е 4 пъти по-голям от другия.
3. Предвид ъгъла. Постройте съседни и вертикални ъгли за него. Колко такива ъгъла могат да се построят?
4. * В кой случай се получават повече двойки вертикални ъгли: при пресичане на три прави в една точка или в три точки?

Известната стойност на главния ъгъл α₁ = α₂ = 180°-α.

От това има . Ако два ъгъла са съседни и равни, тогава те са прави ъгли. Ако един от съседните ъгли е прав, тоест 90 градуса, тогава другият ъгъл също е прав. Ако единият от съседните ъгли е остър, то другият ще е тъп. По същия начин, ако един от ъглите е тъп, тогава вторият, съответно, ще бъде остър.

Остър ъгъл е този, чиято градусна мярка е по-малка от 90 градуса, но по-голяма от 0. Тъпият ъгъл има градусна мярка, по-голяма от 90 градуса, но по-малка от 180.

Друго свойство на съседните ъгли се формулира по следния начин: ако два ъгъла са равни, то ъглите, съседни на тях, също са равни. Това означава, че ако има два ъгъла, за които градусната мярка е еднаква (например тя е 50 градуса) и в същото време един от тях има съседен ъгъл, тогава стойностите на тези съседни ъгли също съвпадат ( в примера тяхната градусна мярка ще бъде равна на 130 градуса).

източници:

• Голям Енциклопедичен речник- Съседни ъгли
• ъгъл 180 градуса

Думата "" има различни интерпретации. В геометрията ъгълът е част от равнина, ограничена от два лъча, излизащи от една точка - върха. Когато говорим за прави, остри и разгънати ъгли, имаме предвид геометрични ъгли.

Както всяка фигура в геометрията, ъглите могат да се сравняват. Равенството на ъглите се определя с помощта на движение. Лесно е да разделите ъгъла на две равни части. Разделянето на три части е малко по-трудно, но все пак може да се направи с линийка и пергел. Между другото, тази задача изглеждаше доста трудна. Да се ​​опише, че един ъгъл е по-голям или по-малък от друг, е геометрично просто.

Мерната единица за ъгли е 1/180 от развит ъгъл. Големината на ъгъла е число, което показва колко ъгълът, избран като мерна единица, се вписва във въпросната фигура.

Всеки ъгъл има градусна мярка, по-голяма от нула. Правият ъгъл е 180 градуса. Градусната мярка на ъгъл се счита за равна на сбора от градусните мерки на ъглите, на които той е разделен от всеки лъч в равнината, ограничена от неговите страни.

Ъгъл с определена градусна мярка, която не надвишава 180, може да бъде начертан от всеки лъч в дадена равнина. Освен това ще има само един такъв ъгъл. Мярката на равнинен ъгъл, който е част от полуравнина, е градусната мярка на ъгъл със сходни страни. Мярката на равнината на ъгъл, съдържащ полуравнина, е стойността 360 ​​– α, където α е градусната мярка на ъгъла на допълнителната равнина.

Градусната мярка на ъгъла позволява да се премине от геометрично описание към числово. И така, прав ъгъл е ъгъл, равен на 90 градуса, тъп ъгъл е ъгъл, по-малък от 180 градуса, но по-голям от 90, остър ъгъл не надвишава 90 градуса.

В допълнение към градусите има радианова мярка за ъгъл. В планиметрията дължината е L, радиусът е r, а съответният централен ъгъл е α. Освен това тези параметри са свързани с връзката α = L/r. Това е основата на радианова мярка за ъгли. Ако L=r, тогава ъгълът α ще бъде равен на един радиан. И така, радианната мярка на ъгъл е съотношението на дължината на дъга, начертана с произволен радиус и затворена между страните на този ъгъл, към радиуса на дъгата. Пълно завъртане в градуси (360 градуса) съответства на 2π в радиани. Едната е 57,2958 градуса.

Видео по темата

източници:

• формула за градусна мярка за ъгли

Как да намерим съседен ъгъл?

Математиката е най-старата точна наука, която се изучава задължително в училища, колежи, институти и университети. Основните знания обаче винаги се дават в училище. Понякога на детето се дават доста сложни задачи, но родителите не могат да помогнат, защото просто са забравили някои неща от математиката. Например, как да намерите съседен ъгъл въз основа на размера на главния ъгъл и т.н. Проблемът е прост, но може да създаде трудности при решаването му поради незнание кои ъгли се наричат ​​съседни и как да ги намерите.

Нека разгледаме по-подробно определението и свойствата на съседните ъгли, както и как да ги изчислим от данните в задачата.

Определение и свойства на съседни ъгли

Два лъча, излизащи от една точка, образуват фигура, наречена " плосък ъгъл" В този случай тази точка се нарича връх на ъгъла, а лъчите са неговите страни. Ако продължите един от лъчите извън началната точка по права линия, тогава се образува друг ъгъл, който се нарича съседен. Всеки ъгъл в този случай има два съседни ъгъла, тъй като страните на ъгъла са еквивалентни. Тоест винаги има съседен ъгъл от 180 градуса.

Основните свойства на съседните ъгли включват

• Съседните ъгли имат общ връх и една страна;
• Сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса или Pi, ако изчислението се извършва в радиани;
• Синусите на съседните ъгли винаги са равни;
• Косинусите и тангенсите на съседни ъгли са равни, но имат противоположни знаци.

Как да намерим съседни ъгли

Обикновено се дават три варианта на задачи за намиране на размера на съседни ъгли

• Дадена е стойността на главния ъгъл;
• Дадено е отношението на главния и съседния ъгъл;
• Дадена е стойността на вертикалния ъгъл.

Всяка версия на проблема има свое собствено решение. Нека да ги разгледаме.

Дадена е стойността на главния ъгъл

Ако проблемът определя стойността на главния ъгъл, тогава намирането на съседния ъгъл е много лесно. За да направите това, просто извадете стойността на главния ъгъл от 180 градуса и ще получите стойността на съседния ъгъл. Това решениеидва от свойството на съседен ъгъл - сборът от съседните ъгли винаги е равен на 180 градуса.

Ако стойността на главния ъгъл е дадена в радиани и задачата изисква намиране на съседния ъгъл в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на главния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равно на числото Пи.

Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл

Задачата може да даде съотношението на главния и съседния ъгъл вместо градусите и радианите на главния ъгъл. В този случай решението ще изглежда като пропорционално уравнение:

1. Означаваме пропорцията на главния ъгъл като променливата "Y".
2. Дробта, свързана със съседния ъгъл, се обозначава като променливата "X".
3. Броят на градусите, които попадат във всяка пропорция, ще бъде означен например с "а".
4. Общата формула ще изглежда така - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
5. Намираме общия множител на уравнението “a” по формулата a=180/(X+Y).
6. След това получената стойност общ множител„a“ се умножава по частта от ъгъла, която трябва да се определи.

По този начин можем да намерим стойността на съседния ъгъл в градуси. Ако обаче трябва да намерите стойност в радиани, тогава просто трябва да преобразувате градусите в радиани. За да направите това, умножете ъгъла в градуси по Pi и разделете всичко на 180 градуса. Получената стойност ще бъде в радиани.

Дадена е стойността на вертикалния ъгъл

Ако задачата не дава стойността на главния ъгъл, но е дадена стойността на вертикалния ъгъл, тогава съседният ъгъл може да се изчисли по същата формула, както в първия параграф, където е дадена стойността на главния ъгъл.

Вертикален ъгъл е ъгъл, който произхожда от същата точка като главния, но е насочен точно в обратната посока. Това води до огледален образ. Това означава, че вертикалният ъгъл е равен по големина на основния. От своя страна прилежащият ъгъл на вертикалния ъгъл е равен на прилежащия ъгъл на главния ъгъл. Благодарение на това може да се изчисли прилежащият ъгъл на главния ъгъл. За да направите това, просто извадете вертикалната стойност от 180 градуса и вземете стойността на съседния ъгъл на главния ъгъл в градуси.

Ако стойността е дадена в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на вертикалния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равна на числото Pi.

Можете също да прочетете нашите полезни статии и.