Каква е дисперсията на неслучайната величина a? Абсолютни вариации

дисперсия аз Дисперсия (от латински dispersio - разпръскване)

в математическата статистика и теорията на вероятностите, най-често използваната мярка за дисперсия, т.е. отклонение от средната стойност. В статистически смисъл Д.

е средноаритметичното на квадратите на отклоненията на стойностите x iот средното им аритметично

В теорията на вероятностите D. случайна променлива Xнаречено математическо очакване E ( X - m x) 2 квадратни отклонения Xот нея математическо очакване m x= E ( X). Г. случайна променлива Xозначен с D ( X) или чрез σ 2 X. Корен квадратен от D. (т.е. σ, ако D. е σ 2) се нарича стандартно отклонение (виж Квадратно отклонение).

За случайна променлива Xс непрекъснато вероятностно разпределение, характеризиращо се с вероятностна плътност (виж вероятностна плътност) r(X), D. се изчислява по формулата

В теорията на вероятностите голяма стойностима теорема: D. сумата от независимите членове е равна на сумата от техните D. Не по-малко важно е неравенството на Чебишев, което позволява да се оцени вероятността от големи отклонения на случайна променлива Xот математическото си очакване.

II дисперсия

Наличието на D вълни води до изкривяване на формата на сигналите, докато се разпространяват в средата. Това се обяснява с факта, че хармоничните вълни с различни честоти, на които сигналът може да бъде разложен, се разпространяват с различни скорости (за повече подробности вижте Вълни, Групова скорост). Дисперсията на светлината, когато се разпространява в прозрачна призма, води до разлагане на бялата светлина в спектър (виж Дисперсия на светлината).

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Синоними:

Вижте какво е „вариация“ в други речници:

дисперсия- Разпръскване на нещо. В математиката дисперсията определя отклонението на количествата от средната стойност. Дисперсията на бялата светлина води до нейното разлагане на компоненти. Разсейването на звука го кара да се разпространява. Разпръскване на съхранени данни в... ... Ръководство за технически преводач

Съвременна енциклопедия

- (вариация) Мярка за дисперсия на данните. Дисперсията на набор от N членове се намира чрез добавяне на квадратите на техните отклонения от средната стойност и разделяне на N. Следователно, ако членовете са xi за i = 1, 2,..., N и тяхната средна стойност е m , дисперсията...... Икономически речник

дисперсия- (от латинското dispersio разсейване) на вълните, зависимостта на скоростта на разпространение на вълните в вещество от дължината на вълната (честотата). Дисперсията се определя физични свойствасредата, в която се разпространяват вълните. Например във вакуум... ... Илюстрирано енциклопедичен речник

- (от латински dispersio разсейване) в математическата статистика и теорията на вероятностите, мярка за дисперсия (отклонение от средното). В статистиката дисперсията е средната аритметична стойност на квадратните отклонения на наблюдаваните стойности (x1, x2,...,xn) на случаен... ... Голям енциклопедичен речник

В теорията на вероятностите най-често използваната мярка за отклонение от средната стойност е мярката за дисперсия. На английски: Dispersion Синоними: Statistical dispersion Английски синоними: Statistical dispersion Вижте също: Примерни популации Финансови... ... Финансов речник

- [лат. dispersus разпръснат, разпръснат] 1) разпръскване; 2) химия, физика. раздробяване на вещество на много малки частици. Г. светлинно разлагане на бялата светлина в спектър с помощта на призма; 3) мат. отклонение от средното. Речник чужди думи. Комлев Н.Г.,..... Речник на чуждите думи на руския език

дисперсия- (вариация) показател за дисперсия на данните, съответстващ на средното квадратно отклонение на тези данни от средноаритметичната стойност. Равно на квадрата на стандартното отклонение. Речник на практическия психолог. М.: AST, Жътва. С. Ю. Головин. 1998 г. ... Голяма психологическа енциклопедия

Разпръскване, разпръскване Речник на руските синоними. дисперсия съществително, брой синоними: 6 нанодисперсия (1) ... Речник на синонимите

дисперсия- характеристика на дисперсията на стойностите на случайна променлива, измерена чрез квадрата на техните отклонения от средната стойност (обозначена с d2). D. се различава между теоретична (непрекъсната или дискретна) и емпирична (също непрекъсната и... ... Икономически и математически речник

дисперсия- * дисперсия * дисперсия 1. Дисперсия; разсейване; вариация (виж). 2. Теоретична вероятностна концепция, която характеризира мярката за отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване. В биометричната практика дисперсията на извадката s2 ... Генетика. Енциклопедичен речник

Книги

• Аномална дисперсия в широки ленти на поглъщане, D.S. Коледа. Възпроизведено в оригиналния авторски правопис на изданието от 1934 г. (издателство „Известия на Академията на науките на СССР“). В…

Диапазон на вариация (или диапазон на вариация) -това е разликата между максималните и минималните стойности на характеристиката:

В нашия пример диапазонът на изменение на сменната производителност на работниците е: в първа бригада R = 105-95 = 10 деца, във втора бригада R = 125-75 = 50 деца. (5 пъти повече). Това предполага, че производството на 1-ва бригада е по-„стабилно“, но втората бригада има повече резерви за увеличаване на производството, т.к. Ако всички работници достигнат максималната производителност за тази бригада, тя може да произведе 3 * 125 = 375 части, а в 1-ва бригада само 105 * 3 = 315 части.
Ако екстремните стойности на дадена характеристика не са типични за популацията, тогава се използват квартилни или децилни диапазони. Квартилният диапазон RQ= Q3-Q1 покрива 50% от обема на населението, първият децилен диапазон RD1 = D9-D1 покрива 80% от данните, вторият децилен диапазон RD2= D8-D2 – 60%.
Недостатъкът на индикатора за диапазон на вариация е, че неговата стойност не отразява всички колебания на признака.
Най-простият общ показател, отразяващ всички колебания на дадена характеристика, е средно линейно отклонение, което е средноаритметичното на абсолютните отклонения на отделните опции от средната им стойност:

,
за групирани данни
,
където xi е стойността на атрибута в дискретна серия или средата на интервала в интервалното разпределение.
В горните формули разликите в числителя се вземат по модул, в противен случай, според свойството на средната аритметична стойност, числителят винаги ще бъде равен на нула. Следователно средното линейно отклонение рядко се използва в статистическата практика, само в случаите, когато сумирането на показатели без отчитане на знака има икономически смисъл. С негова помощ се анализират например съставът на работната сила, рентабилността на производството, външнотърговският оборот.
Вариация на чертае средният квадрат на отклоненията от тяхната средна стойност:
проста вариация
,
дисперсия претеглена
.
Формулата за изчисляване на дисперсията може да бъде опростена:

По този начин дисперсията е равна на разликата между средната стойност на квадратите на опцията и квадрата на средната стойност на опцията на съвкупността:
.
Въпреки това, поради сумирането на квадратните отклонения, дисперсията дава изкривена представа за отклоненията, така че средната стойност се изчислява въз основа на нея стандартно отклонение, което показва колко средно се отклоняват отделните варианти на даден признак от средната им стойност. Изчислено чрез вземане на корен квадратен от дисперсията:
за негрупирани данни
,
за вариационни серии

как по-малка стойностдисперсия и стандартно отклонение, колкото по-хомогенна е популацията, толкова по-надеждна (типична) ще бъде средната стойност.
Средното линейно и стандартно отклонение са именувани числа, т.е. те се изразяват в мерни единици на характеристика, идентични са по съдържание и близки по значение.
Препоръчително е да се изчислят абсолютните вариации с помощта на таблици.
Таблица 3 - Изчисляване на характеристиките на вариацията (като се използва примерът за периода на данните за продукцията на смяна на работниците в екипа)

	Брой работници	Средата на интервала	Изчислени стойности
Общо:

Средна производителност на смени на работниците:

Средно линейно отклонение:

Разлика в производството:

Стандартното отклонение на продукцията на отделните работници от средната продукция:
.

1 Изчисляване на дисперсията по метода на моментите

Изчисляването на отклоненията включва тромави изчисления (особено ако се изрази средната стойност голям бройс няколко знака след десетичната запетая). Изчисленията могат да бъдат опростени чрез използване на опростена формула и дисперсионни свойства.
Дисперсията има следните свойства:

1. Ако всички стойности на дадена характеристика се намалят или увеличат с една и съща стойност A, тогава дисперсията няма да намалее:

,

, тогава или
Използвайки свойствата на дисперсията и първо намалявайки всички варианти на съвкупността със стойността A и след това разделяйки на стойността на интервала h, получаваме формула за изчисляване на дисперсията във вариационни серии с равни интервали по начин:
,
където е дисперсията, изчислена по метода на моментите;
h – стойността на интервала на вариационния ред;
– опция за нови (трансформирани) стойности;
A е постоянна стойност, която се използва като среда на интервала с най-висока честота; или опцията с най-висока честота;
– квадрат на момент от първи ред;
– момент от втори ред.
Нека изчислим дисперсията, като използваме метода на моментите въз основа на данните за сменната производителност на работниците в екипа.
Таблица 4 - Изчисляване на дисперсията по метода на моментите

Групи производствени работници, бр.	Брой работници	Средата на интервала	Изчислени стойности

Процедура за изчисление:

1. Изчисляваме дисперсията:

2 Изчисляване на дисперсията на алтернативна характеристика

Сред характеристиките, изследвани от статистиката, има и такива, които имат само две взаимно изключващи се значения. Това са алтернативни знаци. Дадени са им съответно две количествени стойности: вариант 1 и 0. Честотата на вариант 1, която се означава с p, е делът на единиците, притежаващи тази характеристика. Разликата 1-р=q е честотата на опциите 0. Така,

xi

Средно аритметично на алтернативния знак
, тъй като p+q=1.

Алтернативна вариация на признака
, защото 1-р=q
По този начин дисперсията на алтернативна характеристика е равна на произведението от съотношението единици, притежаващи тази характеристика, и дела на единиците, които не притежават тази характеристика.
Ако стойностите 1 и 0 се срещат еднакво често, т.е. p=q, дисперсията достига своя максимум pq=0,25.
Дисперсията на алтернативен атрибут се използва в извадкови проучвания, например за качеството на продукта.

3 Дисперсия между групите. Правило за добавяне на дисперсии

Дисперсията, за разлика от други характеристики на вариацията, е добавъчна величина. Тоест в съвкупността, която е разделена на групи според факторните характеристики X , дисперсия на резултантната характеристика гможе да се разложи на дисперсията във всяка група (вътре в групите) и дисперсията между групите (между групите). Тогава, наред с изучаването на вариациите на черта в цялата популация като цяло, става възможно да се изследват вариациите във всяка група, както и между тези групи.

Обща дисперсияизмерва вариацията в черта прив своята цялост под въздействието на всички фактори, предизвикали тази вариация (отклонения). То е равно на средното квадратично отклонение на отделните стойности на атрибута приот общата средна стойност и може да се изчисли като проста или претеглена дисперсия.
Междугрупова дисперсияхарактеризира вариацията на получената черта припородени от влиянието на фактора-знак X, които са в основата на групировката. Той характеризира вариацията на средните стойности на групата и е равен на средния квадрат на отклоненията на средните стойности на групата от общата средна стойност:
,
където е средноаритметичната стойност на i-та група;
– брой единици в i-та група (честота на i-та група);
– общата средна стойност на населението.
Дисперсия в рамките на групатаотразява случайната вариация, т.е. тази част от вариацията, която е причинена от влиянието на неотчетени фактори и не зависи от фактора-атрибут, който формира основата на групирането. Характеризира вариацията на индивидуалните стойности спрямо груповите средни и е равна на средното квадратно отклонение на индивидуалните стойности на атрибута прив рамките на група от средната аритметична стойност на тази група (средна група) и се изчислява като проста или претеглена дисперсия за всяка група:
или ,
където е броят на единиците в групата.
Въз основа на вътрешногруповите дисперсии за всяка група може да се определи обща средна стойност на вариациите в рамките на групата:
.
Връзката между трите дисперсии се нарича правила за добавяне на отклонения, според която общата дисперсия е равна на сумата от междугруповата дисперсия и средната от вътрешногруповите дисперсии:

Пример. При изследване на влиянието тарифна категория(квалификация) на работниците върху нивото на производителност на труда им се получават следните данни.
Таблица 5 – Разпределение на работниците по средночасова продукция.

№ п/п	Работници 4-та категория				Работници от 5-та категория
	Изход работник, бр.				Изход работник, бр.
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

IN в този примерработниците се разделят на две групи според факторните характеристики X– квалификации, които се характеризират с техния ранг. Получената черта - продукцията - варира както под негово влияние (междугрупова вариация), така и поради други случайни фактори (вътрешногрупова вариация). Целта е да се измерят тези вариации, като се използват три вариации: обща, между групите и вътре в групите. приЕмпиричният коефициент на детерминация показва съотношението на вариацията в получената характеристика Xпод влияние на факторен знак при. Останалата част от общата вариация
причинени от промени в други фактори.
В примера емпиричният коефициент на детерминация е:
или 66,7%,
Това означава, че 66,7% от вариацията в производителността на работниците се дължи на разликите в квалификацията, а 33,3% се дължи на влиянието на други фактори.Емпирична корелационна връзка

показва тясната връзка между групирането и характеристиките на ефективността. Изчислено като квадратен корен от емпиричния коефициент на детерминация:
Ако няма връзка, тогава =0. В този случай =0, т.е. груповите средни са равни помежду си и няма междугрупова вариация. Това означава, че групиращият признак - фактор не влияе върху формирането на обща вариация.
Ако връзката е функционална, тогава =1. В този случай дисперсията на груповите средни стойности е равна на общата дисперсия (), т.е. няма вътрешногрупова вариация. Това означава, че характеристиката на групиране напълно определя вариацията на получената характеристика, която се изследва.
как по-близка стойносткорелационна връзка към единица, толкова по-близка, по-близка до функционалната зависимост е връзката между признаците.
За качествена оценкаРелациите на Chaddock се използват за определяне на близостта на връзката между характеристиките.

В примера , което показва тясна връзка между производителността на работниците и тяхната квалификация.

Често в статистиката, когато се анализира явление или процес, е необходимо да се вземе предвид не само информацията за средните нива на изследваните показатели, но и разсейване или вариация в стойностите на отделните единици , което е важна характеристика на изследваната популация.

Най-подложени на промени са цените на акциите, търсенето и предлагането и лихвените проценти през различни периоди от време и на различни места.

Основните показатели, характеризиращи вариацията , са диапазон, дисперсия, стандартно отклонение и коефициент на вариация.

Диапазон на вариация е разликата между максимума и минимални стойностизнак: R = Xmax – Xmin. Недостатъкът на този показател е, че той оценява само границите на изменчивост на даден признак и не отразява неговата променливост в тези граници.

дисперсия липсва този недостатък. Изчислява се като среден квадрат на отклоненията на характерните стойности от тяхната средна стойност:

Опростен начин за изчисляване на дисперсията извършва се по следните формули (прости и претеглени):

Примери за прилагане на тези формули са дадени в задачи 1 и 2.

Широко използван показател в практиката е стандартно отклонение :

Стандартното отклонение се определя като корен квадратенот дисперсията и има същото измерение като чертата, която се изследва.

Разгледаните показатели ни позволяват да получим абсолютна стойноствариации, т.е. оценете го в мерни единици на изследваната характеристика. за разлика от тях, коефициент на вариация измерва вариативността в относително изражение - спрямо средното ниво, което в много случаи е за предпочитане.

Формула за изчисляване на коефициента на вариация.

Примери за решаване на задачи по темата „Индикатори за вариации в статистиката“

Проблем 1 . При изследване на влиянието на рекламата върху размера на средния месечен депозит в банките в региона са изследвани 2 банки. Бяха получени следните резултати:

Определете:
1) за всяка банка: а) среден размермесечен депозит; б) дисперсия на приноса;
2) средният месечен депозит за две банки заедно;
3) Разлика в депозита за 2 банки, в зависимост от рекламата;
4) Разлика в депозита за 2 банки, в зависимост от всички фактори с изключение на рекламата;
5) Обща дисперсия с помощта на правилото за добавяне;
6) Коефициент на детерминация;
7) Корелационна връзка.

Решение

1) Нека създадем таблица за изчисление за банка с реклама . За да определим средния месечен депозит, ще намерим средните точки на интервалите. В този случай стойността на отворения интервал (първият) условно се приравнява на стойността на съседния интервал (вторият).

Ще намерим средния размер на депозита, като използваме формулата за средноаритметично претеглено:

29 000/50 = 580 rub.

Намираме дисперсията на приноса по формулата:

23 400/50 = 468

Ще извършим подобни действия за банка без реклама :

2) Нека намерим средния размер на депозита за двете банки заедно. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 rub.

3) Ще намерим дисперсията на депозита за две банки, в зависимост от рекламата, като използваме формулата: σ 2 =pq (формула за дисперсията на алтернативен атрибут). Тук p=0,5 е делът на факторите, зависещи от рекламата; q=1-0.5, тогава σ 2 =0.5*0.5=0.25.

4) Тъй като делът на другите фактори е 0,5, дисперсията на депозита за две банки, в зависимост от всички фактори с изключение на рекламата, също е 0,25.

5) Определете общата дисперсия, като използвате правилото за събиране.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 факт + σ 2 почивка = 552,08+345,96 = 898,04

6) Коефициент на определяне η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размерът на приноса зависи от рекламата с 39%.

7) Емпирично съотношение на корелация η = √η 2 = √0.39 = 0.62 – връзката е доста тясна.

Проблем 2 . Има групиране на предприятията по големина търговски продукти:

Определете: 1) дисперсията на стойността на продаваемите продукти; 2) стандартно отклонение; 3) коефициент на вариация.

Решение

1) По условие е представена серия с интервално разпределение. Трябва да се изрази дискретно, т.е. да се намери средата на интервала (x"). В групи от затворени интервали ние намираме средата, използвайки простото средно аритметично. В групи с горна граница- като разликата между тази горна граница и половината от размера на следващия интервал (200-(400-200):2=100).

В групи с долна граница - сумата от тази долна граница и половината от размера на предходния интервал (800+(800-600):2=900).

Ние изчисляваме средната стойност на продаваемите продукти по формулата:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Тук a=500 е размерът на опцията при най-високата честота, k=600-400=200 е размер на интервала при най-високата честота Нека поставим резултата в таблицата:

И така, средната стойност на търговската продукция за разглеждания период обикновено е равна на Хср = (-5:37) × 200 + 500 = 472,97 хиляди рубли.

2) Намираме дисперсията по следната формула:

σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) стандартно отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 хиляди рубли.

4) коефициент на вариация: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%

Дисперсията в статистиката се определя като стандартното отклонение на индивидуалните стойности на характеристика на квадрат от средната аритметична стойност. Общ метод за изчисляване на квадратните отклонения на опциите от средната стойност и след това тяхното осредняване.

В икономическия статистически анализ е обичайно да се оценява вариацията на дадена характеристика, като се използва най-често стандартното отклонение; това е квадратният корен от дисперсията.

(3)

Характеризира абсолютната флуктуация на стойностите на различна характеристика и се изразява в същите мерни единици като опциите. В статистиката често има нужда да се сравняват вариациите на различни характеристики. За такива сравнения се използва относителна мярка за вариация, коефициентът на вариация.

Дисперсионни свойства:

1) ако извадите произволно число от всички опции, тогава дисперсията няма да се промени;

2) ако всички стойности на опцията са разделени на произволно число b, тогава дисперсията ще намалее с b^2 пъти, т.е.

3) ако изчислите средния квадрат на отклоненията от произволно число с неравно аритметично средно, тогава той ще бъде по-голям от дисперсията. Освен това, с много определена сума на квадрат от разликата между средната стойност c.

Дисперсията може да се определи като разликата между средната стойност на квадрат и средната стойност на квадрат.

17. Групови и междугрупови вариации. Правило за добавяне на дисперсии

Ако статистическа съвкупност е разделена на групи или части според изследваната характеристика, тогава за такава съвкупност могат да се изчислят следните типове дисперсия: групова (частна), групова средна (частна) и междугрупова.

Обща дисперсия– отразява изменението на дадена характеристика поради всички условия и причини, действащи в дадена статистическа съвкупност.

Групова дисперсия- равен на средния квадрат на отклоненията на индивидуалните стойности на характеристика в рамките на група от средната аритметична стойност на тази група, наречена групова средна стойност. Средната стойност за групата обаче не съвпада с общата средна стойност за цялото население.

Груповата вариация отразява вариацията на черта само поради условия и причини, действащи в групата.

Средна стойност на груповите дисперсии- се определя като средноаритметично претеглено на груповите дисперсии, като теглата са груповите обеми.

Междугрупова дисперсия- равно на средния квадрат на отклоненията на груповите средни от общата средна стойност.

Междугруповата дисперсия характеризира вариацията на получената характеристика, дължаща се на груповата характеристика.

Съществува определена връзка между разглежданите типове дисперсии: общата дисперсия е равна на сумата от средната групова и междугрупова дисперсия.

Тази връзка се нарича правило за добавяне на дисперсии.

18. Динамичен ред и неговите компоненти. Видове времеви редове.

Ред в статистиката- това са цифрови данни, показващи промените в дадено явление във времето или пространството и даващи възможност за статистическо сравнение на явленията както в процеса на тяхното развитие във времето, така и в различни формии видове процеси. Благодарение на това е възможно да се открие взаимната зависимост на явленията.

В статистиката процесът на развитие на движението на обществените явления във времето обикновено се нарича динамика. За да се покаже динамиката, се изграждат динамични редове (хронологични, времеви), които са серии от променящи се във времето стойности на статистически показател (например брой осъдени над 10 години), разположени в хронологичен ред. Техните съставни елементи са цифровите стойности на даден индикатор и периодите или моментите от времето, за които се отнасят.

Най-важната характеристика на динамичните серии- техният размер (обем, величина) на определено явление, постигнат в определен период или в определен момент. Съответно, величината на членовете на динамичния ред е неговото ниво. Разграничетеначално, средно и крайно ниво на динамичния ред. Входно нивопоказва стойността на първия, крайният - стойността на последния член от серията. Средно нивопредставлява средния хронологичен диапазон на вариация и се изчислява в зависимост от това дали динамичната серия е интервална или моментна.

Още един важна характеристикавремеви редове- времето, изминало от първоначалното до последното наблюдение, или броят на тези наблюдения.

Има различни видове времеви редове; те могат да бъдат класифицирани според следните критерии.

1) В зависимост от метода на изразяване на нивата, динамичните серии се разделят на серии от абсолютни и производни показатели (относителни и средни стойности).

2) В зависимост от това как нивата на серията изразяват състоянието на явлението в определени моменти от време (в началото на месеца, тримесечието, годината и т.н.) или неговата стойност през определени интервали от време (например за ден, месец, година и т.н.) и т.н.), разграничават момент и интервални редовевисокоговорители. Моментните серии се използват сравнително рядко в аналитичната работа на правоприлагащите органи.

В статистическата теория динамиката се разграничава и по редица други класификационни критерии: в зависимост от разстоянието между нивата - с еднакви нива и нееднакви във времето нива; в зависимост от наличието на основната тенденция на изучавания процес – стационарни и нестационарни. При анализа на динамичните редове те изхождат от следното; нивата на реда се представят под формата на компоненти:

Y t = TP + E (t)

където TP е детерминистичен компонент, който определя общата тенденция на промяна във времето или тенденцията.

E (t) е случаен компонент, който причинява колебания в нивата.

Наред с изучаването на вариациите на дадена характеристика в цялата популация като цяло, често е необходимо да се проследят количествените промени в характеристиката в групите, на които е разделена популацията, както и между групите. Това изследване на вариацията се постига чрез изчисление и анализ различни видовевариации.
Има общи, междугрупови и вътрешногрупови дисперсии.
Обща дисперсия σ 2измерва вариацията на даден признак в цялата популация под влиянието на всички фактори, които са причинили тази вариация.

Междугруповата вариация (δ) характеризира систематичната вариация, т.е. разлики в стойността на изучавания признак, които възникват под влиянието на факторния признак, който формира основата на групата. Изчислява се по формулата:
.

Дисперсия в рамките на групата (σ)отразява случайна вариация, т.е. част от вариацията, която възниква под влияние на неотчетени фактори и не зависи от фактора-атрибут, който формира основата на групата. Изчислява се по формулата:
.

Средна стойност на дисперсиите в рамките на групата: .

Има закон, свързващ 3 вида дисперсия. Общата дисперсия е равна на сумата от средната стойност на вътрешногруповата и междугруповата дисперсия: .
Това съотношение се нарича правило за добавяне на отклонения.

Широко използван показател в анализа е делът на дисперсията между групите в общата дисперсия. Нарича се емпиричен коефициент на детерминация (η 2): .
Корен квадратен от емпиричния коефициент на детерминация се нарича емпирично съотношение на корелация (η):
.
Той характеризира влиянието на характеристиката, която формира основата на групата, върху вариацията на получената характеристика. Емпиричното съотношение на корелация варира от 0 до 1.
Нека го покажем практическа употребана следния пример(Таблица 1).

Пример №1. Таблица 1 - Производителност на труда на две групи работници в един от цеховете на НПО "Циклон"

Нека изчислим общите и груповите средни и дисперсии:

Изходните данни за изчисляване на средната стойност на вътрешногруповата и междугруповата вариация са представени в табл. 2.
Таблица 2
Изчисление и δ 2 за две групи работници.

Работнически групи	Брой работници, хора	Средно, деца/смяна	дисперсия
Завършено техническо обучение	5	95	42,0
Тези, които не са завършили техническо обучение	5	81	231,2
Всички работници	10	88	185,6

Да изчислим показателите. Средна стойност на вариациите в рамките на групата:
.
Междугрупова дисперсия

Общо отклонение:
По този начин емпиричното съотношение на корелация: .

Наред с вариацията в количествените характеристики може да се наблюдава и вариация качествени признаци. Това изследване на вариацията се постига чрез изчисляване на следните видове вариации:

Вътрешногруповата дисперсия на дела се определя по формулата

Къде n i– брой единици в отделни групи.
Делът на изследваната характеристика в цялата популация, който се определя по формулата:
Трите типа дисперсии са свързани помежду си, както следва:
.

Тази връзка на дисперсиите се нарича теорема за добавяне на дисперсии на дела на признака.