Разлагане на елементарни функции в степенни редове. Разгъване на функции в степенни редове

В теорията на функционалните серии централно място заема разделът, посветен на разлагането на функция в серия.

Така се поставя задачата: за дадена функция трябва да намерим такъв степенен ред

който се сближава на определен интервал и сумата му е равна на
, тези.

= ..

Тази задача се нарича проблемът за разширяване на функция в степенен ред.

Необходимо условие за разложимостта на функция в степенен реде неговата диференцируемост безкраен брой пъти - това следва от свойствата на сходните степенни редове. Това условие е изпълнено, като правило, за елементарни функции в тяхната област на дефиниране.

Така че нека приемем, че функцията
има производни от всякакъв ред. Възможно ли е да го разширим в степенна серия. Ако е така, как можем да намерим тази серия? Втората част от проблема е по-лесна за решаване, така че нека започнем с нея.

Да приемем, че функцията
може да се представи като сбор от степенен ред, събиращ се в интервала, съдържащ точката х 0 :

= .. (*)

Където А 0 ,А 1 ,А 2 ,...,А П ,... – неизвестни (все още) коефициенти.

Нека поставим в равенство (*) стойността х = х 0 , тогава получаваме

.

Нека диференцираме степенните редове (*) член по член

= ..

и вярвайки тук х = х 0 , получаваме

.

При следващото диференциране получаваме редицата

= ..

вярвайки х = х 0 , получаваме
, където
.

След П-кратна диференциация, която получаваме

Ако приемем в последното равенство х = х 0 , получаваме
, където

И така, коефициентите са намерени

,
,
, …,
,….,

замествайки което в серията (*), получаваме

Получената серия се нарича до Тейлърза функция
.

Така установихме, че ако функцията може да бъде разширена в степенен ред по степени (x - x 0 ), тогава това разширение е уникално и получената серия непременно е серия на Тейлър.

Имайте предвид, че серията на Тейлър може да бъде получена за всяка функция, която има производни от всякакъв ред в точката х = х 0 . Но това не означава, че между функцията и получената серия може да се постави знак за равенство, т.е. че сумата от редицата е равна на оригиналната функция. Първо, такова равенство може да има смисъл само в областта на конвергенция и серията на Тейлър, получена за функцията, може да се разминава, и второ, ако серията на Тейлър се сближава, тогава нейната сума може да не съвпада с оригиналната функция.

3.2. Достатъчни условия за разложимостта на функция в ред на Тейлър

Нека формулираме твърдение, с помощта на което ще бъде решена задачата.

Ако функцията
в някаква околност на точка x 0 има производни до (н+ 1) от ред включително, тогава в този квартал имамеформулаТейлър

КъдетоР н (х)-остатъчният член на формулата на Тейлър – има формата (форма на Лагранж)

Където точкаξ се намира между x и x 0 .

Имайте предвид, че има разлика между реда на Тейлър и формулата на Тейлър: формулата на Тейлър е крайна сума, т.е. П -фиксиран номер.

Припомнете си, че сумата от сер С(х) може да се дефинира като граница на функционална последователност от частични суми С П (х) на някакъв интервал х:

.

Съгласно това, да се разшири функция в серия на Тейлър означава да се намери серия такава, че за всяко хх

Нека запишем формулата на Тейлър във формата където

забележи това
дефинира грешката, която получаваме, заменете функцията f(х) полином С н (х).

Ако
, Че
,тези. функцията се разширява в серия на Тейлър. Обратно, ако
, Че
.

Така доказахме критерий за разложимостта на функция в ред на Тейлър.

За да може функциятаf(x) се разширява в серия на Тейлър, е необходимо и достатъчно на този интервал
, КъдетоР н (х) е остатъчният член на реда на Тейлър.

Използвайки формулирания критерий, може да се получи достатъчноусловия за разложимостта на функция в ред на Тейлър.

Ако внякаква околност на точка x 0 абсолютните стойности на всички производни на функцията са ограничени до едно и също число M≥ 0, т.е.

, To в тази близост функцията се разширява в серия на Тейлър.

От горното следва алгоритъмразширяване на функциятаf(х) в серията Тейлърв близост до точка х 0 :

1. Намиране на производни на функции f(х):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (н) (х),…

2. Изчислете стойността на функцията и стойностите на нейните производни в точката х 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (н) (х 0 ),…

3. Формално записваме редицата на Тейлър и намираме областта на сходимост на получената степенна редица.

4. Проверяваме изпълнението на достатъчни условия, т.е. установяваме за кои хот областта на конвергенция, остатъчен член Р н (х) клони към нула при
или
.

Развиването на функции в ред на Тейлър с помощта на този алгоритъм се нарича разширяване на функция в ред на Тейлър по дефиницияили директно разграждане.

16.1. Разлагане на елементарни функции в редове на Тейлър и Маклорен

Нека покажем, че ако произволна функция е дефинирана върху множество
, в близост до пункта
има много производни и е сумата от степенен ред:

тогава можете да намерите коефициентите на тази серия.

Нека заместим в степенен ред
. Тогава
.

Нека намерим първата производна на функцията
:

При
:
.

За втората производна получаваме:

При
:
.

Продължаване на тази процедура нслед като получим:
.

Така получихме степенен ред от формата:

,

което се нарича до Тейлърза функция
в близост до точката
.

Специален случай на серията Тейлър е Серия Maclaurinпри
:

Останалата част от серията на Тейлър (Маклорен) се получава чрез изхвърляне на основната серия нпърви членове и се означава като
. След това функцията
може да се запише като сума нпървите членове на поредицата
и остатъка
:,

.

Остатъкът обикновено е
изразени в различни формули.

Един от тях е във форма на Лагранж:

, Където
.
.

Имайте предвид, че на практика серията Maclaurin се използва по-често. По този начин, за да напишем функцията
под формата на сума от степенни редове е необходимо:

1) намерете коефициентите на серията Maclaurin (Taylor);

2) намерете областта на конвергенция на получената степенна серия;

3) докажете, че този ред сходен към функцията
.

Теорема 1 (необходимо и достатъчно условие за сходимост на реда на Маклорен). Нека радиусът на сходимост на серията
. За да може този ред да се сближи в интервала
да функционира
е необходимо и достатъчно, за да бъде изпълнено условието:
в посочения интервал.

Теорема 2. Ако производни от произволен ред на функция
в някакъв интервал
ограничени по абсолютна стойност до същото число М, това е
, то в този интервал функцията
може да се разшири в серия Maclaurin.

Пример 1. Разгънете в серия на Тейлър около точката
функция.

Решение.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Област на конвергенция
.

Пример 2. Разширяване на функция в серия на Тейлър около точка
.

Решение:

Намерете стойността на функцията и нейните производни при
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Нека поставим тези стойности в един ред. Получаваме:

или
.

Нека намерим областта на сходимост на тази серия. Според теста на д'Аламбер, редица се събират, ако

.

Следователно, за всяка тази граница е по-малка от 1 и следователно диапазонът на сходимост на серията ще бъде:
.

Нека разгледаме няколко примера за разширение в редица на Маклорен на основни елементарни функции. Спомнете си, че серията Maclaurin:

.

се сближава на интервала
да функционира
.

Имайте предвид, че за разширяване на функция в серия е необходимо:

а) намерете коефициентите на реда на Maclaurin за тази функция;

б) изчисляване на радиуса на конвергенция за получената серия;

в) докажете, че полученият ред сходен към функцията
.

Пример 3. Разгледайте функцията
.

Решение.

Нека изчислим стойността на функцията и нейните производни при
.

Тогава числените коефициенти на редицата имат формата:

за всеки н.Нека заместим намерените коефициенти в реда на Maclaurin и получаваме:

Нека намерим радиуса на сходимост на получената серия, а именно:

.

Следователно редът се събира на интервала
.

Този ред се сближава към функцията за всякакви стойности , защото на всеки интервал
функция и неговите производни по абсолютна стойност са ограничени от число .

Пример 4. Помислете за функцията
.

Решение.

:

Лесно се вижда, че производните от четен ред
, а производните са от нечетен ред. Нека заместим намерените коефициенти в реда на Maclaurin и получим разширението:

Нека намерим интервала на конвергенция тази серия. Според знака на д'Аламбер:

за всеки . Следователно редът се събира на интервала
.

Този ред се сближава към функцията
, защото всички негови производни са ограничени до единица.

Пример 5.
.

Решение.

Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при
:

По този начин коефициентите на тази серия:
И
, следователно:

Подобно на предишния ред, зоната на конвергенция
. Редът се събира към функцията
, защото всички негови производни са ограничени до единица.

Моля, имайте предвид, че функцията
разширение на нечетни и редове в нечетни степени, функция
– четно и разширяване в редица в четни степени.

Пример 6. Биномиална серия:
.

Решение.

Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при
:

От това се вижда, че:

Нека заместим тези стойности на коефициента в серията Maclaurin и да получим разширяването на тази функция в степенна серия:

Нека намерим радиуса на сходимост на този ред:

Следователно редът се събира на интервала
. В граничните точки при
И
една серия може или не може да се сближи в зависимост от експонентата
.

Изследваният ред се събира на интервала
да функционира
, тоест сумата от серията
при
.

Пример 7. Нека разширим функцията в серията Maclaurin
.

Решение.

За да разширим тази функция в серия, използваме биномната серия при
. Получаваме:

Въз основа на свойството на степенните редове (степенен ред може да бъде интегриран в областта на неговата конвергенция), намираме интеграла на лявата и дясната страна на този ред:

Нека намерим областта на конвергенция на тази серия:
,

т.е. зоната на сближаване на тази серия е интервалът
.

Нека определим сходимостта на редицата в краищата на интервала. При
. Тази серия е хармонична серия, тоест тя се разминава. При
.

получаваме числова серия с общ член
.

Серията се сближава според теста на Лайбниц. По този начин областта на конвергенция на тази серия е интервалът

При приблизителните изчисления степенните редове играят изключително важна роля. С тяхна помощ са съставени таблици на тригонометрични функции, таблици на логаритми, таблици на стойности на други функции, които се използват в различни области на знанието, например в теорията на вероятностите и математическата статистика. В допълнение, разширяването на функциите в степенен ред е полезно за тяхното теоретично изследване. Основният проблем при използването на степенни редове в приблизителни изчисления е проблемът с оценката на грешката при заместване на сумата на серия със сумата на първата нчленове.

Нека разгледаме два случая:

функцията се разширява в серия с редуващи се знаци;

функцията се разширява в серия с постоянен знак.

Изчисление с помощта на редуващи се серии

Нека функцията
разширена в променлива степенна серия. След това при изчисляване на тази функция за конкретна стойност получаваме числова серия, към която можем да приложим критерия на Лайбниц. В съответствие с този критерий, ако сумата на една серия се замени със сумата на нейната първа нтермини, тогава абсолютната грешка не надвишава първия член от остатъка от тази серия, тоест:
.

Пример 8. Изчисли
с точност до 0,0001.

Решение.

Ще използваме серията Maclaurin за
, замествайки стойността на ъгъла в радиани:

Ако сравним първия и втория член на реда с дадена точност, тогава: .

Трети срок на разширение:

по-малка от определената точност на изчисление. Следователно, за да се изчисли
достатъчно е да оставите два термина от поредицата, т.е

.

По този начин
.

Пример 9. Изчисли
с точност до 0,001.

Решение.

Ще използваме формулата на биномен ред. За да направите това, нека напишем
като:
.

В този израз
,

Нека сравним всеки от членовете на серията с посочената точност. Това е ясно
. Следователно, за да се изчисли
достатъчно е да оставите три термина от поредицата.

или
.

Изчисление с използване на положителни серии

Пример 10. Изчислете числото с точност до 0,001.

Решение.

В ред за функция
да заместим
. Получаваме:

Нека оценим грешката, която възниква при замяна на сумата на редица със сумата на първата членове. Нека запишем очевидното неравенство:

това е 2 безкрайност. Ако такъв съществува, функцията f(x) в него трябва да съвпада със сумата от реда на Маклорен.

Нека сега разгледаме сериите Maclaurin за отделни функции.

1. И така, първото ще бъде f(x) = e x. Разбира се, по своите характеристики, такава функция има производни от много различни порядъци и f (k) (x) = e x, където k е равно на всички. Получаваме f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Въз основа на горното, серията e x ще изглежда така:

2. Ред на Маклорен за функцията f(x) = sin x. Нека незабавно да изясним, че функцията за всички неизвестни ще има производни, освен това f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), където k е равно на всяко естествено число. Тоест, след като направим прости изчисления, можем да стигнем до заключението, че серията за f(x) = sin x ще бъде със следната форма:

3. Сега нека се опитаме да разгледаме функцията f(x) = cos x. За всички неизвестни има производни от произволен ред и |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|