Пирамида е вписана в конус. Основата на пирамидата е правоъгълен триъгълник, чийто катет е равен на

включеният ъгъл е 30 градуса Страничната повърхност на пирамидата, минаваща през този крак, сключва ъгъл от 45 градуса с основната равнина. Намерете обема на пирамидата

Ако основата на пирамидата е правоъгълен триъгълник, а пирамидата е вписана в конус, така че този триъгълник е вписан в обиколката на основата на конуса. И ако един триъгълник има прав ъгъл, тогава той разчита на диаметъра на тази окръжност. Така че едно от лицата на пирамидата, което се издига от диагонала, е перпендикулярно на основата.
Ако катетът е 2a, ъгълът до него е 30 градуса, тогава вторият катет е 2a tg 30 = 2a / √3
Ъгълът между страничната повърхност и равнината на основата е ъгълът между линиите 1. перпендикулярни от центъра на хипотенузата на основата (центъра на обиколката на основата на конуса) към крака 2а и линията от върха на пирамидата до основата на този перпендикуляр. (нуждаете се от чертеж?)
Перпендикулярът от центъра е равен на половината от втория катет, тъй като е успореден на него и излиза от центъра на хипотенузата (подобно на триъгълниците)
тези. е равно на a/√3
Ако страничната страна е наклонена на 45 градуса, тогава в триъгълник, образуван от височина, перпендикулярна на крака и права линия от върха, където единият ъгъл е прав, а вторият е 45, третият ъгъл също е 45. Така че краката са равни. Така че височината на пирамидата е равна на перпендикуляра a√3.
Височината на пирамидата е 1/3 Sоснова H
H=

Нека BC=2a, ъгъл ABC=30 градуса. Тогава 2a/AB=cos30 От тук намираме AB=4a/\sqrt(3), след това радиуса на окръжността R=2a/\sqrt(3) В същото време намираме AC=2a/\sqrt(3) Да преминем към намиране на височината. Желано лице SCB Нека начертаем OE перпендикулярно на BC (в същото време OE е успореден на AC и е средната линия и следователно е равен на половината от AC, OE=a/\sqrt(3)). Според теоремата за трите перпендикуляра SE също ще бъде перпендикулярен на BC и следователно линейният ъгъл на двустенния ъгъл е равен на SEO=45/ Тогава SO=OE Височината е намерена. След това намираме обема на конуса, използвайки стандартната формула.

Свързани задачи:

Напишете израз за решаване на задачата:
а) Периметърът на правоъгълник е 16 см, едната му страна е m см. Каква е площта на правоъгълника?
б) Площта на правоъгълник е 28 м², а едната му страна е м. Колко е обиколката на правоъгълника?
в) От два града, разстоянието между които е s km, са тръгнали едновременно един срещу друг два автомобила. Скоростта на единия е u km/h, а на другия v 2 km/h. След колко часа ще се срещнат?
г) След колко време мотоциклетистът ще изпревари велосипедиста, ако разстоянието между тях е s km, скоростта на велосипедиста е v 1 km/h, а скоростта на мотоциклетиста е v 2 km/h?

(Проблемно изследване.) Сравнете сбора от дължините на медианите на триъгълник с неговия периметър.
1) Начертайте произволен триъгълник ABC и начертайте медианата BO.
2) На лъча BO отделете сегмента OD \u003d BO и свържете точка D с точки A и C. Каква е формата на четириъгълника ABCD?
3) Да разгледаме триъгълник ABD. Сравнете 2m b със сумата от BC + AB (m b е медианата на VO).
4) Напишете подобни неравенства за 2m a и 2m c.
5) Използвайки събиране на неравенства, изчислете сумата m a + m b + m c .

1. 240 студенти от Москва и Орел пристигнаха в туристическия лагер. Сред пристигащите имаше 125 момчета, от които 65 московчани. Сред учениците, пристигнали от Орел, имаше 53 момичета.
Колко студенти дойдоха общо от Москва?

2. Начертайте правоъгълник, чиято площ е 12 cm, а периметърът е 26 cm.

3. Колко пъти ще се увеличи площта на квадрат, ако всяка страна се удвои?

4. Колко пъти числото, изразено с четири единици от четвъртата цифра, е по-голямо от числото, изразено с четири от първата цифра?

5. Хокейният отбор изигра три мача, като отбеляза само 3 гола и допусна 1 гол. Тя спечели една от срещите, завърши наравно в друга и загуби третата.
Какъв беше резултатът от всеки мач?

6. Сборът на две числа е 715. Едно число завършва с нула. Ако тази нула бъде задраскана, тогава ще се получи второто число. Намерете тези числа.

7. Подредете скобите така, че да е вярно равенството: 15-35+5:4=5

8. В турнира по шах участваха 7 души. Всеки изигра по една игра с всеки. Колко мача са изиграли общо?

За предпочитане с разтвор.

Пирамидата е вписана в конус, ако основата на пирамидата е многоъгълник, вписан в основата на конуса. Върхът на пирамидата съвпада с върха на конуса. Страничните ръбове на вписана пирамида за конус са образуващи. Съответно в този случай конусът е описан близо до пирамидата.

Пирамида може да бъде вписана в конус, ако около основата й може да бъде описана окръжност (друга възможност е пирамидата да бъде вписана в конус, ако всичките й странични ръбове са равни). Височините на вписаната пирамида и на конуса са еднакви.

Ако триъгълна пирамида е вписана в конус, местоположението на центъра на описаната окръжност зависи от вида на триъгълника, който лежи в нейната основа.

Ако този триъгълник е остроъгълен, центърът на описаната около пирамидата окръжност (както и основата на височината на пирамидата и конуса) лежи вътре в триъгълника, ако е тъпоъгълен - извън него. Ако правоъгълна пирамида е вписана в конус, центърът на описаната окръжност лежи в средата на хипотенузата на основата, т.е. радиусът на описания конус е равен на половината от хипотенузата. В този случай височината на конуса и цилиндъра съвпада с височината на страничната повърхност, съдържаща хипотенузата.

Четириъгълна пирамида може да бъде вписана в конус, ако сумите на противоположните ъгли на четириъгълника в основата са равни на 180º (от успоредници това условие е изпълнено за правоъгълник и квадрат, от трапец - само за равнобедрен).

Намерете отношението на обема на вписаната пирамида към обема на конуса.

Тук SO=H е височината на конуса и височината на пирамидата, SA=l е образуващата на конуса, AO=R е радиусът на конуса (и радиусът на описаната окръжност близо до основата на пирамидата ).

Когато правилна шестоъгълна пирамида е вписана в конус, отношението на обема на пирамидата към обема на конуса е:

(Улика, ).

Ако правилна пирамида е вписана в конус, проекцията на нейната апотема върху равнината на основата е радиусът на окръжността, вписана в основата (на фигурите SF е апотемата, OF=r). По този начин, в зависимост от първоначалните данни, в хода на решаването на задачата върху пирамида, вписана в конус, може да се разгледа правоъгълен триъгълник SOA или SOF (или и двете).