Как се решават дробни уравнения с равни знаменатели. Решаване на уравнения с променлива в знаменателя на дроб

Най-малкият общ знаменател се използва за опростяване на това уравнение.Този метод се използва, когато не можете да напишете дадено уравнение с един рационален израз от всяка страна на уравнението (и използвате метода на кръстосано умножение). Този метод се използва, когато ви е дадено рационално уравнение с 3 или повече дроби (в случай на две дроби е по-добре да използвате кръстосано умножение).

Във втория ни пример (с променлива в знаменателя) уравнението изглежда (след редуциране до общ знаменател): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Като умножите двете страни на уравнението по N3, вие се отървавате от знаменателя и получавате: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15x = x - 5 Решете и получете: x = -5/14. Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. В 5 клас учениците по математика изучават доста нови теми, една от които ще бъдат дробни уравнения. За мнозина това е достатъчно, в която родителите трябва да помогнат на децата си да разберат, а ако родителите са забравили математиката, винаги могат да използват онлайн програмирешаване на уравнения. Така че, използвайки пример, можете бързо да разберете алгоритъма за решаване на уравнения с дроби и да помогнете на детето си.

По-долу, за по-голяма яснота, ще решим проста фракция линейно уравнениеот следната форма:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Да решиш от този видуравнение, е необходимо да се определи NOS и да се умножат лявата и дясната страна на уравнението по него:

\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Това ни дава просто линейно уравнение, тъй като общият знаменател, както и знаменателят на всеки дробен член се съкращават:

Нека прехвърлим членове от неизвестен към лявата страна:

Нека разделим лявата и дясната страна на -7:

От получения резултат можем да изберем цяла част, която ще бъде крайният резултат от решаването на това дробно уравнение:

Къде мога да решавам уравнения с дроби онлайн?

Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също да гледате видео инструкции и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Уравнения, съдържащи променлива в знаменателя, могат да бъдат решени по два начина:

Привеждане на дроби към общ знаменател

Използване на основното свойство на пропорцията

Независимо от избрания метод, след намиране на корените на уравнението е необходимо да изберете от намерените валидни стойности, тоест тези, които не превръщат знаменателя в $0$.

1 начин. Привеждане на дроби към общ знаменател.

Пример 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Решение:

1. Нека прехвърлим дробта от дясната страна на уравнението в лявата

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

За да направите това правилно, не забравяйте, че когато премествате елементи в друга част на уравнението, знакът пред изразите се променя на противоположния. Това означава, че ако имаше знак „+“ пред дробта от дясната страна, тогава ще има знак „-“ пред нея от лявата страна. Тогава от лявата страна получаваме разликата на дроби.

2. Сега имайте предвид, че дробите имат различни знаменатели, което означава, че за да компенсирате разликата, е необходимо дробите да бъдат приведени към общ знаменател. Общ знаменателще бъде произведение на полиноми в знаменателите на оригиналните дроби: $(2x-1)(x+3)$

За да се получи идентичен израз, числителят и знаменателят на първата дроб трябва да се умножат по полинома $(x+3)$, а втората по полинома $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Нека извършим трансформация в числителя на първата дроб - умножение на полиноми. Нека си припомним, че за това е необходимо да умножим първия член на първия полином по всеки член на втория полином, след това да умножим втория член на първия полином по всеки член на втория полином и да добавим резултатите

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Нека представим подобни членове в получения израз

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Нека извършим подобна трансформация в числителя на втората дроб - умножете полиноми

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Тогава уравнението ще приеме формата:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Сега дробите имат еднакъв знаменател, което означава, че можете да изваждате. Спомнете си, че когато изваждате дроби с еднакъв знаменател от числителя на първата дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб, оставяйки знаменателя същия

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Нека трансформираме израза в числителя. За да отворите скоби, предшествани от знак „-“, трябва да смените всички знаци пред термините в скоби с противоположни

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Нека представим подобни термини

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Тогава фракцията ще приеме формата

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Една дроб е равна на $0$, ако нейният числител е 0. Следователно ние приравняваме числителя на дробта на $0$.

\[(\rm 20х+4=0)\]

Нека решим линейното уравнение:

4. Да вземем проби от корените. Това означава, че е необходимо да се провери дали знаменателите на оригиналните дроби се превръщат в $0$, когато се открият корените.

Нека поставим условието знаменателите да не са равни на $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Това означава, че всички стойности на променливи са приемливи с изключение на $-3$ и $0,5$.

Коренът, който открихме, е валидна стойност, което означава, че може безопасно да се счита за корена на уравнението. Ако намереният корен не е валидна стойност, тогава такъв корен би бил външен и, разбира се, няма да бъде включен в отговора.

отговор:$-0,2.$

Сега можем да създадем алгоритъм за решаване на уравнение, което съдържа променлива в знаменателя

Алгоритъм за решаване на уравнение, което съдържа променлива в знаменателя

Преместете всички елементи от дясната страна на уравнението вляво. За да се получи идентично уравнение, е необходимо всички знаци пред изразите от дясната страна да бъдат сменени с противоположни

Ако от лявата страна получим израз с различни знаменатели, тогава ги привеждаме към обща стойност, използвайки основното свойство на дроб. Извършете трансформации с помощта на трансформации на идентичност и получете крайна дроб, равна на $0$.

Приравнете числителя на $0$ и намерете корените на полученото уравнение.

Да вземем проби от корените, т.е. намерете валидни стойности на променливи, които не правят знаменателя $0$.

Метод 2. Използваме основното свойство на пропорцията

Основното свойство на пропорцията е, че произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на средните членове.

Пример 2

Ние използваме този имотза решаване на тази задача

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Нека намерим и приравним произведението на крайните и средните членове на пропорцията.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

След като решим полученото уравнение, ще намерим корените на оригинала

2. Нека намерим приемливите стойности на променливата.

От предишното решение (метод 1) вече установихме, че всички стойности са приемливи с изключение на $-3$ и $0,5$.

След това, след като установихме, че намереният корен е валидна стойност, открихме, че $-0,2$ ще бъде коренът.