Cum să eliminați rădăcina pătrată. Extragerea unei rădăcini dintr-un număr mare

rădăcină n puterea unui număr natural A se numeste numarul n a cărui putere este egală cu A. Rădăcina se notează astfel: . Se numește simbolul √ semn rădăcină sau semn al radicalului, număr A - numărul rădăcinii, n - exponent rădăcină.

Se numește acțiunea prin care se găsește rădăcina unui grad dat extragerea rădăcinilor.

Întrucât, conform definiţiei conceptului de rădăcină n gradul

apoi extragerea rădăcinilor- actiunea, opusul exponentiatiei, cu ajutorul careia, dupa gradul dat si dupa exponentul dat, se gaseste baza gradului.

Rădăcină pătrată

Rădăcina pătrată a unui număr A este numărul al cărui pătrat este A.

Operația prin care se calculează rădăcina pătrată se numește luarea rădăcinii pătrate.

Extragerea rădăcinii pătrate- acțiunea opusă a pătrarii (sau ridicarea unui număr la a doua putere). Când puneți la pătrat un număr, trebuie să găsiți pătratul acestuia. La extragerea rădăcinii pătrate, pătratul numărului este cunoscut, este necesar să găsiți numărul în sine din acesta.

Prin urmare, pentru a verifica corectitudinea acțiunii întreprinse, puteți ridica rădăcina găsită la gradul doi, iar dacă gradul este egal cu numărul rădăcinii, atunci rădăcina a fost găsită corect.

Luați în considerare extragerea rădăcinii pătrate și verificarea acesteia cu un exemplu. Calculăm sau (exponentul rădăcinii cu valoarea 2 de obicei nu este scris, deoarece 2 este cel mai mic exponent și trebuie amintit că dacă nu există nici un exponent deasupra semnului rădăcinii, atunci exponentul 2 este implicit), pentru aceasta avem nevoie pentru a găsi un număr, atunci când este ridicat la al doilea gradul va fi 49. Evident, acest număr este 7, deoarece

7 7 = 7 2 = 49.

Calcularea rădăcinii pătrate

Dacă numărul dat este 100 sau mai puțin, atunci rădăcina pătrată a acestuia poate fi calculată folosind tabelul înmulțirii. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 25 este 5 deoarece 5 x 5 = 25.

Acum luați în considerare o modalitate de a găsi rădăcina pătrată a oricărui număr fără a utiliza un calculator. De exemplu, să luăm numărul 4489 și să începem să calculăm pas cu pas.

1. Să stabilim din ce cifre ar trebui să conțină rădăcina dorită. Deoarece 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 și 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, devine clar că rădăcina dorită trebuie să fie mai mare de 10 și mai mică de 100, adică. constau din zeci și unu.
2. Aflați numărul de zeci de rădăcină. Înmulțirea zecilor produce sute, numărul nostru este 44, deci rădăcina trebuie să conțină atât de multe zeci, încât pătratul zecilor dă aproximativ 44 de sute. Prin urmare, ar trebui să existe 6 zeci la rădăcină, deoarece 60 2 \u003d 3600 și 70 2 \u003d 4900 (acest lucru este prea mult). Astfel, am aflat că rădăcina noastră conține 6 zeci și mai multe, deoarece este în intervalul de la 60 la 70.
3. Tabelul înmulțirii va ajuta la determinarea numărului de unități de la rădăcină. Privind numărul 4489, vedem că ultima cifră din el este 9. Acum ne uităm la tabelul înmulțirii și vedem că 9 unități pot fi obținute doar prin pătrarea numerelor 3 și 7. Deci rădăcina numărului va fi 63 sau 67.
4. Verificăm numerele pe care le-am obținut 63 și 67 punându-le la pătrat: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Să luăm în considerare acest algoritm cu un exemplu. Sa gasim

primul pas. Împărțim numărul de sub rădăcină în două cifre (de la dreapta la stânga):

al 2-lea pas. Extragem rădăcina pătrată din prima față, adică din numărul 65, obținem numărul 8. Sub prima față scriem pătratul numărului 8 și scădem. Atribuim a doua față (59) restului:

(numărul 159 este primul rest).

al 3-lea pas. Dublam rădăcina găsită și scriem rezultatul în stânga:

al 4-lea pas. Separăm în restul (159) o cifră în dreapta, în stânga obținem numărul de zeci (este egal cu 15). Apoi împărțim 15 la prima cifră dublată a rădăcinii, adică la 16, deoarece 15 nu este divizibil cu 16, apoi în coeficient obținem zero, pe care îl scriem ca a doua cifră a rădăcinii. Deci, în coeficient am primit numărul 80, pe care îl dublem din nou, și demolăm următoarea față

(numărul 15901 este al doilea rest).

al 5-lea pas. Separăm o cifră de dreapta în al doilea rest și împărțim numărul rezultat 1590 la 160. Rezultatul (numărul 9) se scrie ca a treia cifră a rădăcinii și se atribuie numărului 160. Numărul rezultat 1609 este înmulțit cu 9 și găsim următorul rest (1420):

Alte acțiuni sunt efectuate în secvența indicată în algoritm (rădăcina poate fi extrasă cu gradul de precizie necesar).

Cometariu. Dacă expresia rădăcină este o fracție zecimală, atunci partea sa întreagă este împărțită în două cifre de la dreapta la stânga, partea fracțională este împărțită în două cifre de la stânga la dreapta, iar rădăcina este extrasă conform algoritmului specificat.

MATERIAL DIDACTIC

1. Se ia rădăcina pătrată a numărului: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Extragerea unei rădăcini dintr-un număr mare. Dragi prieteni!În acest articol, vă vom arăta cum să luați rădăcina unui număr mare fără un calculator. Acest lucru este necesar nu numai pentru rezolvarea anumitor tipuri de probleme de USE (există cele pentru mișcare), ci și pentru dezvoltarea generală a matematicii, este de dorit să cunoaștem această tehnică analitică.

S-ar părea că totul este simplu: factorizați și extrageți. Nu e nicio problema. De exemplu, numărul 291600, când este extins, va da produsul:

Calculam:

Există un DAR! Metoda este bună dacă divizorii 2, 3, 4 și așa mai departe sunt ușor de determinat. Dar dacă numărul din care extragem rădăcina este un produs al numerelor prime? De exemplu, 152881 este produsul numerelor 17, 17, 23, 23. Încercați să găsiți imediat acești divizori.

Esența metodei pe care o luăm în considerare- aceasta este o analiză pură. Rădăcina cu îndemânarea acumulată se găsește rapid. Dacă îndemânarea nu este pusă la punct, dar abordarea este pur și simplu înțeleasă, atunci este puțin mai lent, dar totuși determinat.

Să luăm rădăcina lui 190969.

Mai întâi, să determinăm între ce numere (multiplii de o sută) se află rezultatul nostru.

Evident, rezultatul rădăcinii unui număr dat se află în intervalul de la 400 la 500, deoarece

400 2 =160000 și 500 2 =250000

Într-adevăr:

la mijloc, mai aproape de 160.000 sau 250.000?

Numărul 190969 este undeva la mijloc, dar încă mai aproape de 160000. Putem concluziona că rezultatul rădăcinii noastre va fi mai mic de 450. Să verificăm:

Într-adevăr, este mai puțin de 450, din 190.969< 202 500.

Acum să verificăm numărul 440:

Deci rezultatul nostru este mai mic de 440, din moment ce 190 969 < 193 600.

Verificarea numarului 430:

Am stabilit că rezultatul acestei rădăcini se află în intervalul de la 430 la 440.

Produsul numerelor care se termină cu 1 sau 9 dă un număr care se termină cu 1. De exemplu, 21 de ori 21 este egal cu 441.

Produsul numerelor care se termină cu 2 sau 8 dă un număr care se termină cu 4. De exemplu, 18 ori 18 este egal cu 324.

Produsul numerelor care se termină cu 5 dă un număr care se termină cu 5. De exemplu, 25 ori 25 este egal cu 625.

Produsul numerelor care se termină cu 4 sau 6 dă un număr care se termină cu 6. De exemplu, 26 de ori 26 este egal cu 676.

Produsul numerelor care se termină cu 3 sau 7 dă un număr care se termină cu 9. De exemplu, 17 ori 17 este egal cu 289.

Deoarece numărul 190969 se termină cu numărul 9, atunci acest produs este fie 433, fie 437.

*Doar ei, la pătrat, pot da 9 la final.

Verificăm:

Deci rezultatul rădăcinii va fi 437.

Adică am cam „simțit” răspunsul corect.

După cum puteți vedea, maximul necesar este să efectuați 5 acțiuni într-o coloană. Poate vei ajunge imediat la subiect sau vei face doar trei acțiuni. Totul depinde de cât de precis faceți estimarea inițială a numărului.

Extrageți propria rădăcină din 148996

Un astfel de discriminant se obține în problema:

Autonava trece de-a lungul raului pana la destinatia 336 km si dupa parcare se intoarce la punctul de plecare. Găsiți viteza navei în apă nemișcată, dacă viteza curentului este de 5 km/h, parcarea durează 10 ore, iar nava se întoarce la punctul de plecare la 48 de ore după părăsirea acestuia. Dati raspunsul in km/h.

Vizualizați soluția

Rezultatul rădăcinii este între numerele 300 și 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Într-adevăr, 90000<148996<160000.

Esența raționamentului suplimentar este de a determina modul în care numărul 148996 este situat (distanțat) în raport cu aceste numere.

Calculați diferențele 148996 - 90000=58996 și 160000 - 148996=11004.

Se pare că 148996 este aproape (mult mai aproape) de 160000. Prin urmare, rezultatul rădăcinii va fi cu siguranță mai mare decât 350 și chiar 360.

Putem concluziona că rezultatul nostru este mai mare decât 370. În plus, este clar: deoarece 148996 se termină cu numărul 6, aceasta înseamnă că trebuie să pătrați numărul care se termină fie cu 4, fie cu 6. *Numai aceste numere, la pătrat, dau în sfarsitul 6.

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

De preferință inginerie - una în care există un buton cu semnul rădăcină: „√”. De obicei, pentru a extrage rădăcina, este suficient să tastați numărul în sine și apoi să apăsați butonul: „√”.

Majoritatea telefoanelor mobile moderne au o aplicație „calculator” cu funcție de extragere a rădăcinilor. Procedura pentru găsirea rădăcinii unui număr folosind un calculator de telefon este similară cu cea de mai sus.
Exemplu.
Găsiți de la 2.
Pornim calculatorul (dacă este oprit) și apăsăm succesiv butoanele cu imaginea a doi și rădăcina („2”, „√”). Apăsarea tastei „=" nu este de obicei necesară. Ca rezultat, obținem un număr ca 1,4142 (numărul de caractere și „rotunzimea” depinde de adâncimea de biți și de setările calculatorului).
Notă: atunci când încercați să găsiți rădăcina, calculatorul dă de obicei o eroare.

Dacă aveți acces la un computer, atunci găsirea rădăcinii unui număr este foarte simplă.
1. Puteți utiliza aplicația Calculator disponibilă pe aproape orice computer. Pentru Windows XP, acest program poate fi rulat după cum urmează:
„Start” - „Toate programele” - „Accesorii” - „Calculator”.
Este mai bine să setați vizualizarea la „normal”. Apropo, spre deosebire de un calculator real, butonul pentru extragerea rădăcinii este marcat ca „sqrt”, nu „√”.

Dacă nu ajungeți la calculator în modul specificat, atunci puteți porni calculatorul standard „manual”:
"Start" - "Run" - "calc".
2. Pentru a găsi rădăcina unui număr, puteți utiliza și unele programe instalate pe computer. În plus, programul are propriul său calculator încorporat.

De exemplu, pentru aplicația MS Excel, puteți efectua următoarea secvență de acțiuni:
Pornim MS Excel.

Scriem în orice celulă numărul din care doriți să extrageți rădăcina.

Mutați indicatorul celulei într-o altă locație

Apăsați butonul de selectare a funcției (fx)

Selectați funcția „ROOT”.

Ca argument al funcției, specificați o celulă cu un număr

Apăsați „OK” sau „Enter”
Avantajul acestei metode este că acum este suficient să introduceți orice valoare în celulă cu un număr, așa cum apare imediat funcția.
Notă.
Există câteva alte moduri, mai exotice, de a găsi rădăcina unui număr. De exemplu, un „colț”, folosind o regulă de calcul sau tabele Bradis. Cu toate acestea, aceste metode nu sunt luate în considerare în acest articol din cauza complexității și inutilității lor practice.

Videoclipuri similare

Surse:

• cum să găsești rădăcina unui număr

Uneori apar situații când trebuie să efectuați calcule matematice, inclusiv extragerea rădăcinilor pătrate și a rădăcinilor de grad superior dintr-un număr. Rădăcina „n” a lui „a” este numărul a cărui putere a n-a este „a”.

Instruire

Pentru a găsi rădăcina „n” a lui , procedați în felul următor.

Faceți clic pe computerul dvs. „Start” - „Toate programele” - „Accesorii”. Apoi intrați în subsecțiunea „Utilități” și selectați „Calculator”. Puteți face acest lucru manual: faceți clic pe „Start”, tastați „calk” în linia „run” și apăsați „Enter”. se va deschide. Pentru a extrage rădăcina pătrată a oricărui număr, introduceți-o în linia calculatorului și apăsați butonul etichetat „sqrt”. Calculatorul va extrage rădăcina gradului doi, numită pătrat, din numărul introdus.

Pentru a extrage rădăcina, al cărei grad este mai mare decât al doilea, trebuie să utilizați un alt tip de calculator. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul „Vizualizare” din interfața calculatorului și selectați linia „Inginerie” sau „Științific” din meniu. Acest tip de calculator are funcția necesară pentru a calcula rădăcina gradului al n-lea.

Pentru a extrage rădăcina gradului al treilea (), pe calculatorul „inginerie”, tastați numărul dorit și apăsați butonul „3√”. Pentru a obține o rădăcină mai mare decât a treia, introduceți numărul dorit, apăsați butonul cu pictograma „y√x” și apoi introduceți numărul - exponentul. După aceea, apăsați semnul egal ("butonul =") și veți obține rădăcina pe care o căutați.

Dacă calculatorul dumneavoastră nu are funcția „y√x”, următoarele.

Pentru a extrage rădăcina cubului, introduceți expresia radicală, apoi bifați caseta de lângă inscripția „Inv”. Prin această acțiune, veți inversa funcțiile butoanelor calculatorului, adică, făcând clic pe butonul pentru a cub, veți extrage rădăcina cubului. Pe butonul pe care tu

Instruire

Alegeți un număr radical un astfel de factor, a cărui eliminare de sub rădăcină expresie validă - altfel operația va pierde. De exemplu, dacă sub semnul rădăcină cu un exponent egal cu trei (rădăcină cubă) valorează număr 128, apoi de sub semnul poate fi scos, de exemplu, număr 5. În același timp, rădăcina număr 128 va trebui împărțit la 5 cuburi: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Dacă prezența unui număr fracționar sub semn rădăcină nu contrazice condițiile problemei, este posibil în această formă. Dacă aveți nevoie de o opțiune mai simplă, atunci mai întâi împărțiți expresia radicală în astfel de factori întregi, rădăcina cubă a unuia dintre care va fi un număr întreg număr m. De exemplu: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilizați pentru a selecta factorii numărului rădăcină, dacă nu este posibil să calculați puterea numărului în mintea dvs. Acest lucru este valabil mai ales pentru rădăcină m cu un exponent mai mare de doi. Dacă aveți acces la Internet, atunci puteți face calcule folosind calculatoarele încorporate în motoarele de căutare Google și Nigma. De exemplu, dacă trebuie să găsiți cel mai mare factor întreg care poate fi scos din semnul cubicului rădăcină pentru numărul 250, apoi accesați site-ul Google și introduceți interogarea „6 ^ 3” pentru a verifica dacă este posibil să scoateți de sub semn rădăcinăşase. Motorul de căutare va afișa un rezultat egal cu 216. Din păcate, 250 nu poate fi împărțit fără un rest la aceasta număr. Apoi introduceți interogarea 5^3. Rezultatul va fi 125, iar acest lucru vă permite să împărțiți 250 în factori de 125 și 2, ceea ce înseamnă să-l scoateți din semn. rădăcină număr 5 plecând de acolo număr 2.

Surse:

• cum să-l scoți de sub rădăcină
• Rădăcina pătrată a produsului

Scoate de dedesubt rădăcină unul dintre factori este necesar în situațiile în care trebuie să simplificați o expresie matematică. Există cazuri când este imposibil să efectuați calculele necesare folosind un calculator. De exemplu, dacă sunt folosite litere ale variabilelor în loc de numere.

Instruire

Descompuneți expresia radicală în factori simpli. Vedeți care dintre factori se repetă de același număr de ori, indicat în indicatori rădăcină, sau mai mult. De exemplu, trebuie să luați rădăcina numărului a la a patra putere. În acest caz, numărul poate fi reprezentat ca a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indicator rădăcinăîn acest caz va corespunde factor a3. Trebuie scos din semn.

Extrageți separat rădăcina radicalilor rezultați, acolo unde este posibil. extracţie rădăcină este operația algebrică inversă exponențiației. extracţie rădăcină o putere arbitrară dintr-un număr, găsiți un număr care, atunci când este ridicat la această putere arbitrară, va avea ca rezultat un număr dat. Dacă extragerea rădăcină nu poate fi produs, lăsați expresia radicală sub semn rădăcină felul în care este. Ca urmare a acțiunilor de mai sus, veți face o eliminare de dedesubt semn rădăcină.

Videoclipuri similare

Notă

Aveți grijă când scrieți expresia radicală ca factori - o eroare în această etapă va duce la rezultate incorecte.

Sfat util

La extragerea rădăcinilor, este convenabil să folosiți tabele speciale sau tabele de rădăcini logaritmice - acest lucru va reduce semnificativ timpul de găsire a soluției corecte.

Surse:

• semn de extracție a rădăcinii în 2019

Simplificarea expresiilor algebrice este necesară în multe ramuri ale matematicii, inclusiv rezolvarea ecuațiilor de grade superioare, diferențierea și integrarea. Aceasta utilizează mai multe metode, inclusiv factorizarea. Pentru a aplica această metodă, trebuie să găsiți și să scoateți un comun factor pe parantezele.

Instruire

Scotând factorul comun pentru parantezele- una dintre cele mai comune metode de descompunere. Această tehnică este folosită pentru a simplifica structura expresiilor algebrice lungi, adică. polinomiale. Generalul poate fi un număr, monom sau binom, iar pentru a-l găsi se folosește proprietatea distributivă a înmulțirii.

Număr. Priviți cu atenție coeficienții fiecărui polinom pentru a vedea dacă pot fi împărțiți la același număr. De exemplu, în expresia 12 z³ + 16 z² - 4, evident este factor 4. După conversie, obțineți 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Cu alte cuvinte, acest număr este cel mai puțin comun divizor întreg al tuturor coeficienților.

Mononom.Să se determine dacă aceeași variabilă se află în fiecare dintre termenii polinomului. Să presupunem că acesta este cazul, acum uită-te la coeficienți, ca în cazul precedent. Exemplu: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Fiecare element al acestui polinom conține variabila z. În plus, toți coeficienții sunt multipli ai lui 3. Prin urmare, factorul comun va fi monomiul 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binom.Pentru parantezele general factor din doi , o variabilă și un număr, care este un polinom general. Prin urmare, dacă factor-binomul nu este evident, atunci trebuie să găsiți cel puțin o rădăcină. Evidențiați termenul liber al polinomului, acesta este coeficientul fără variabilă. Acum aplicați metoda substituției la expresia comună a tuturor divizorilor întregi ai termenului liber.

Luați în considerare: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Verificați dacă vreunul dintre divizorii întregi ai 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Aflați z1 prin substituție simplă = 1 și z2 = 2, deci parantezele binoamele (z - 1) și (z - 2) pot fi scoase. Pentru a găsi expresia rămasă, utilizați împărțirea secvențială într-o coloană.