كيفية استخدام صيغ الصب. معادلات التخفيض: برهان ، أمثلة ، حكم ذاكري

ومهمة أخرى B11 حول نفس الموضوع - من الاستخدام الحقيقي في الرياضيات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

في هذا الفيديو التعليمي القصير ، سوف نتعلم كيفية التقديم صيغ التخفيضلحل المشكلات الحقيقية B11 من امتحان الرياضيات. كما ترون ، لدينا تعبيرين مثلثيين أمامنا ، يحتوي كل منهما على الجيب وجيب التمام ، بالإضافة إلى الحجج العددية الوحشية إلى حد ما.

قبل حل هذه المشكلات ، لنتذكر معادلات التخفيض. لذلك ، إذا كان لدينا تعبيرات مثل:

ثم يمكننا التخلص من الحد الأول (بالصيغة k · π / 2) وفق قواعد خاصة. دعنا نرسم دائرة مثلثية ، ونضع علامة على النقاط الرئيسية عليها: 0 ، π / 2 ؛ π ؛ 3π / 2 و 2π. ثم ننظر إلى الحد الأول تحت علامة الدالة المثلثية. لدينا:

1. إذا كان المصطلح الذي يهمنا يقع على المحور الرأسي للدائرة المثلثية (على سبيل المثال: 3π / 2 ؛ π / 2 ، إلخ) ، فسيتم استبدال الوظيفة الأصلية بوظيفة مشتركة: يتم استبدال الجيب بـ a جيب التمام ، ويتم استبدال جيب التمام بجيب.
2. إذا كان الحد يقع على المحور الأفقي ، فلن تتغير الوظيفة الأصلية. ما عليك سوى إزالة المصطلح الأول من التعبير - وهذا كل شيء.

وبالتالي ، نحصل على دالة مثلثية لا تحتوي على مصطلحات من الشكل k · π / 2. ومع ذلك ، فإن العمل مع صيغ التخفيض لا ينتهي عند هذا الحد. الحقيقة هي أنه قبل وظيفتنا الجديدة ، التي تم الحصول عليها بعد "رفض" المصطلح الأول ، قد تكون هناك علامة زائد أو ناقص. كيف تتعرف على هذه العلامة؟ الآن سنكتشف.

تخيل أن الزاوية α ، التي تظل داخل الدالة المثلثية بعد التحولات ، لها مقياس درجة صغير جدًا. ولكن ماذا يعني "مقياس صغير"؟ افترض α ∈ (0 ؛ 30 درجة) - هذا يكفي تمامًا. لنأخذ الدالة كمثال:

بعد ذلك ، باتباع افتراضاتنا بأن α ∈ (0 ؛ 30 درجة) ، نستنتج أن الزاوية 3π / 2 - α تقع في ربع الإحداثيات الثالث ، أي ، 3π / 2 - α ∈ (π ؛ 3π / 2). نتذكر علامة الوظيفة الأصلية ، أي y = sin x في هذه الفترة. من الواضح أن الجيب في ربع الإحداثيات الثالث سالب ، لأنه بحكم التعريف ، فإن الجيب هو إحداثيات نهاية نصف القطر المتحرك (باختصار ، الجيب هو الإحداثي y). حسنًا ، دائمًا ما يأخذ إحداثي y في نصف المستوى السفلي القيم السالبة. ومن ثم ، فإن y في الربع الثالث تكون سالبة أيضًا.

بناءً على هذه الاعتبارات ، يمكننا كتابة التعبير النهائي:

المشكلة B11 - خيار واحد

هذه التقنيات نفسها مناسبة تمامًا لحل المشكلة B11 من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات. الاختلاف الوحيد هو أنه في العديد من مشاكل B11 الواقعية ، بدلاً من قياس راديان (أي الأرقام π ، π / 2 ، 2π ، إلخ) ، يتم استخدام مقياس درجة (أي 90 درجة ، 180 درجة ، 270 درجة و إلخ.). لنلقِ نظرة على المهمة الأولى:

لنتعامل مع البسط أولًا. cos 41 ° قيمة غير جدولية ، لذا لا يمكننا فعل أي شيء بها. في الوقت الحالي ، دعنا نترك الأمر على هذا النحو.

انظر الآن إلى المقام:

sin 131 ° = sin (90 ° + 41 °) = cos 41 °

من الواضح أن لدينا صيغة اختزال أمامنا ، لذلك تم استبدال الجيب بجيب التمام. بالإضافة إلى ذلك ، تقع الزاوية 41 درجة على المقطع (0 درجة ؛ 90 درجة) ، أي في ربع الإحداثيات الأول - بالضبط كما هو مطلوب لتطبيق معادلات التخفيض. ولكن بعد ذلك 90 درجة + 41 درجة هو ربع الإحداثيات الثاني. الدالة الأصلية y = sin x موجبة هناك ، ولهذا السبب وضعنا علامة الجمع أمام جيب التمام في الخطوة الأخيرة (بمعنى آخر ، لم نضع أي شيء).

يبقى التعامل مع العنصر الأخير:

cos 240 ° = cos (180 ° + 60 °) = -cos 60 ° = -0.5

هنا نرى أن 180 درجة هي المحور الأفقي. وبالتالي ، لن تتغير الوظيفة نفسها: كان هناك جيب التمام - وسيظل جيب التمام أيضًا. لكن السؤال الذي يطرح نفسه مرة أخرى: هل سيكون موجب أم ناقص أمام التعبير الناتج cos 60 °؟ لاحظ أن 180 درجة هي ربع الإحداثيات الثالث. جيب التمام هناك سالب ، لذلك سينتهي جيب التمام بعلامة ناقص. في المجموع ، نحصل على البناء -cos 60 ° = -0.5 - هذه قيمة جدولية ، لذلك من السهل حساب كل شيء.

الآن نستبدل الأرقام التي تم الحصول عليها في الصيغة الأصلية ونحصل على:

كما ترى ، العدد cos 41 ° في بسط الكسر ومقامه يتم اختزاله بسهولة ، ويظل التعبير المعتاد ، وهو ما يساوي 10. في هذه الحالة ، يمكن إما إخراج الناقص ووضعه أمام علامة الكسر ، أو "الاحتفاظ" بجوار المضاعف الثاني حتى الخطوة الأخيرة من الحسابات. في كلتا الحالتين ، الإجابة هي -10. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة B11!

المشكلة B14 - الخيار الثاني

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية. أمامنا كسر مرة أخرى:

حسنًا ، لدينا 27 ° في ربع الإحداثي الأول ، لذا لن نغير أي شيء هنا. لكن يجب رسم الخطيئة 117 درجة (حتى الآن بدون أي مربع):

sin 117 ° = sin (90 ° + 27 °) = cos 27 °

من الواضح أمامنا مرة أخرى صيغة التخفيض: 90 درجة هي المحور الرأسي ، لذلك سيتغير الجيب إلى جيب التمام. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الزاوية α = 117 ° = 90 ° + 27 ° تقع في ربع الإحداثيات الثاني. الدالة الأصلية y = sin x موجبة هناك ، لذلك ، قبل جيب التمام بعد كل التحويلات ، تظل علامة الجمع باقية. بعبارة أخرى ، لا يتم إضافة أي شيء هناك - نتركه على هذا النحو: cos 27 °.

نعود إلى التعبير الأصلي الذي يحتاج إلى تقييم:

كما ترى ، بعد التحويلات ، ظهر المتطابق المثلثي الرئيسي في المقام: sin 2 27 ° + cos 2 27 ° = 1. المجموع -4: 1 = -4 - لذلك وجدنا إجابة المسألة الثانية B11.

كما ترون ، بمساعدة معادلات التخفيض ، يتم حل مثل هذه المهام من اختبار الدولة الموحد في الرياضيات في سطرين فقط. لا توجد حدود لمجموع وجيب التمام للفرق. كل ما نحتاج إلى تذكره هو مجرد دائرة مثلثية.

هذه المقالة مخصصة لدراسة مفصلة الصيغ المثلثيةيلقي. دان القائمة الكاملةمعادلات التخفيض ، يتم عرض أمثلة على استخدامها ، وإثبات صحة الصيغ. تقدم المقالة أيضًا قاعدة ذاكريّة تسمح لك باشتقاق صيغ الاختزال دون تذكر كل صيغة.

Yandex.RTB R-A-339285-1

الصيغ الصب. قائمة

تسمح لك معادلات التخفيض بتقليل الوظائف المثلثية الأساسية للزوايا ذات الحجم التعسفي إلى وظائف الزوايا الواقعة في النطاق من 0 إلى 90 درجة (من 0 إلى π 2 راديان). يعد العمل بزوايا من 0 إلى 90 درجة أكثر ملاءمة من العمل بقيم كبيرة بشكل عشوائي ، لذلك تستخدم صيغ الاختزال على نطاق واسع في حل مشاكل حساب المثلثات.

قبل أن نكتب الصيغ نفسها ، سنقوم بتوضيح بعض النقاط المهمة للفهم.

• حجج الدوال المثلثية في معادلات الاختزال هي زوايا الشكل ± α + 2 π · z، π 2 ± α + 2 π · z، 3 2 ± α + 2 · z. هنا z هو أي عدد صحيح و α هي زاوية دوران عشوائية.
• ليس من الضروري معرفة كل صيغ التخفيض ، وعددها مثير للإعجاب. هناك قاعدة للذاكرة تجعل من السهل اشتقاق الصيغة المرغوبة. ستتم مناقشة حكم ذاكري لاحقًا.

الآن دعنا ننتقل مباشرة إلى صيغ التخفيض.

تسمح لك صيغ الصب بالانتقال من العمل بزوايا تعسفية وكبيرة بشكل تعسفي إلى العمل بزوايا تتراوح من 0 إلى 90 درجة. لنكتب كل الصيغ في شكل جدول.

صيغ الصب

sin α + 2 π z = sin α ، cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α، c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α ، كوس - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α، c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 z = cos α، cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α، c t g π 2 + α + 2 z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α، cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α، c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α، cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α، c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α، cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α، c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 z = - cos α، cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α، c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 z = - cos α، cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α، c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

في هذه الحالة ، تتم كتابة الصيغ بالتقدير الدائري. ومع ذلك ، يمكنك أيضًا كتابتها باستخدام الدرجات. يكفي تحويل الراديان إلى درجات باستبدال بـ 180 درجة.

أمثلة على استخدام الصيغ المصبوب

سنوضح كيفية استخدام صيغ الاختزال وكيف يتم استخدام هذه الصيغ في حل الأمثلة العملية.

لا يمكن تمثيل الزاوية الواقعة تحت علامة الدالة المثلثية بطريقة واحدة ، ولكن بعدة طرق. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل وسيطة الدالة المثلثية على أنها ± α + 2 π z ، π 2 ± α + 2 π z ، π ± α + 2 π z ، 3 π 2 ± α + 2 z. دعونا نوضح هذا.

لنأخذ الزاوية α = 16 π 3. يمكن كتابة هذه الزاوية على النحو التالي:

α = 16 π 3 = π + 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - 6 + 2

اعتمادًا على تمثيل الزاوية ، يتم استخدام صيغة التخفيض المقابلة.

لنأخذ نفس الزاوية α = 16 π 3 ونحسب ظلها

مثال 1: استخدام صيغ الصب

α \ u003d 16 π 3 ، t g α \ u003d؟

دعونا نمثل الزاوية α = 16 π 3 على أنها α = π + π 3 + 2 2

هذا التمثيل للزاوية سوف يتوافق مع معادلة التخفيض

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + 3 + 2 π 2 = t g π 3

باستخدام الجدول ، نشير إلى قيمة الظل

نستخدم الآن تمثيلًا آخر للزاوية α = 16 π 3.

مثال 2: استخدام صيغ الصب

α \ u003d 16 π 3 ، t g α \ u003d؟ α \ u003d - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 \ u003d t g - 2 π 3 + 2 π 3 \ u003d - t g 2 π 3 \ u003d - (- 3) \ u003d 3

أخيرًا ، نكتب للتمثيل الثالث للزاوية

مثال 3: استخدام صيغ الصب

α = 16 π 3 = 3 π 2 - 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2) = c t g π 6 = 3

لنقدم الآن مثالاً على استخدام صيغ اختزال أكثر تعقيدًا

مثال 4: استخدام صيغ الصب

لنمثل sin 197 ° بدلالة الجيب وجيب التمام لزاوية حادة.

لكي تتمكن من تطبيق معادلات التخفيض ، من الضروري تمثيل الزاوية α = 197 درجة في أحد النماذج

± α + 360 ° z ، 90 ° ± α + 360 ° z ، 180 ° ± α + 360 ° z ، 270 ° ± α + 360 ° z. حسب حالة المشكلة ، يجب أن تكون الزاوية حادة. وفقًا لذلك ، لدينا طريقتان لتمثيله:

197 درجة = 180 درجة + 17 درجة 197 درجة = 270 درجة - 73 درجة

نحن نحصل

sin 197 ° = sin (180 ° + 17 °) sin 197 ° = sin (270 ° - 73 °)

الآن دعونا نلقي نظرة على صيغ التخفيض للجيب واختيار المعادلات المناسبة.

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = الخطيئة (270 درجة - 73 درجة + 360 درجة ع) = - جا 73 درجة

القاعدة ذاكري

هناك العديد من صيغ الاختزال ، ولحسن الحظ ، ليست هناك حاجة لحفظها. هناك أنماط يمكنك من خلالها اشتقاق معادلات تصغير للزوايا المختلفة والوظائف المثلثية. تسمى هذه الأنماط قواعد الذاكرة. فن الإستذكار هو فن الحفظ. تتكون قاعدة ذاكري من ثلاثة أجزاء ، أو تحتوي على ثلاث مراحل.

القاعدة ذاكري

1. يتم تمثيل وسيطة الوظيفة الأصلية في أحد الأشكال

± α + 2 z π 2 ± α + 2 z π ± α + 2 z 3 2 ± α + 2 z

يجب أن تكون الزاوية α بين 0 و 90 درجة.

2. يتم تحديد علامة الدالة المثلثية الأصلية. سيكون للدالة المكتوبة على الجانب الأيمن من الصيغة نفس العلامة.

3. بالنسبة للزوايا ± α + 2 z و π ± α + 2 z ، يظل اسم الوظيفة الأصلية دون تغيير ، وبالنسبة للزوايا π 2 ± α + 2 πz و 3 2 ± α + 2 z ، على التوالي ، يتغير إلى "وظيفة مشتركة". الجيب لجيب التمام. الظل إلى ظل التمام.

لاستخدام قاعدة الذاكرة لصيغ الاختزال ، يجب أن تكون قادرًا على تحديد علامات الدوال المثلثية على طول أرباع دائرة الوحدة. لنلقِ نظرة على أمثلة لتطبيق قاعدة ذاكري.

مثال 1: استخدام قاعدة ذاكري

دعونا نكتب معادلات الاختزال لـ cos π 2 - α + 2 πz و t g π - α + 2 z. α - زاوية الربع الأول.

1. نظرًا لأن الشرط α هو سجل الربع الأول ، فإننا نتخطى الفقرة الأولى من القاعدة.

2. لنحدد إشارات الدوالين cos π 2 - α + 2 πz و t g π - α + 2 πz. الزاوية π 2 - α + 2 z هي أيضًا زاوية الربع الأول ، والزاوية π - α + 2 z في الربع الثاني. في الربع الأول ، تكون دالة جيب التمام موجبة ، والماس في الربع الثاني له علامة ناقص. دعنا نكتب كيف ستبدو الصيغ المرغوبة في هذه المرحلة.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. وفقًا للنقطة الثالثة ، للزاوية π 2 - α + 2 يتغير اسم الوظيفة إلى Confucius ، وبالنسبة للزاوية π - α + 2 z يظل كما هو. دعنا نكتب:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

الآن دعنا نلقي نظرة على الصيغ أعلاه ونتأكد من أن قاعدة ذاكري تعمل.

لنأخذ مثالاً بزاوية محددة α = 777 °. نحضر الجيب ألفا إلى الدالة المثلثية للزاوية الحادة.

مثال 2: استخدام قاعدة ذاكري

1. تخيل زاوية α = 777 درجة في النموذج المطلوب

777 درجة = 57 درجة + 360 درجة 2777 درجة = 90 درجة - 33 درجة + 360 درجة 2

2. الزاوية الأولية - زاوية الربع الأول. إذن ، فإن جيب الزاوية له علامة موجبة. نتيجة لذلك ، لدينا:

3. sin 777 ° = sin (57 ° + 360 ° 2) = sin 57 ° sin 777 ° = sin (90 ° - 33 ° + 360 ° 2) = cos 33 °

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح مدى أهمية تحديد علامة الدالة المثلثية بشكل صحيح وتمثيل الزاوية بشكل صحيح عند استخدام قاعدة ذاكري. دعنا نكررها مرة أخرى.

مهم!

يجب أن تكون الزاوية α حادة!

لنحسب ظل الزاوية 5 π 3. من جدول قيم الدوال المثلثية الرئيسية ، يمكنك أن تأخذ على الفور القيمة t g 5 π 3 = - 3 ، لكننا سنطبق قاعدة ذاكري.

مثال 3: استخدام قاعدة ذاكري

نمثل الزاوية α = 5 π 3 بالصيغة المطلوبة ونستخدم القاعدة

t g 5 π 3 = t g 3 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

إذا قمنا بتمثيل الزاوية ألفا بالصيغة 5 π 3 = π + 2 π 3 ، فإن نتيجة تطبيق قاعدة الذاكرة ستكون غير صحيحة.

t g 5 π 3 \ u003d t g π + 2 π 3 \ u003d - t g 2 π 3 \ u003d - (- 3) \ u003d 3

ترجع النتيجة غير الصحيحة إلى حقيقة أن الزاوية 2 π 3 ليست حادة.

يعتمد إثبات معادلات الاختزال على خصائص دورية وتناظر الدوال المثلثية ، وكذلك على خاصية التحول بواسطة الزاويتين 2 و 3 2. يمكن إجراء إثبات صحة جميع صيغ التخفيض دون مراعاة المصطلح 2 πz ، لأنه يشير إلى تغيير في الزاوية بعدد صحيح من الثورات الكاملة ويعكس فقط خاصية الدورية.

أول 16 صيغة تتبع مباشرة من خصائص الدوال المثلثية الأساسية: الجيب وجيب التمام والظل والظل.

نقدم الدليل على معادلات التخفيض للجيب وجيب التمام

الخطيئة π 2 + α = cos α و cos π 2 + α = - sin α

لنلقِ نظرة على دائرة الوحدة ، التي مرت نقطتها الأولية ، بعد الالتفاف عبر الزاوية α ، إلى النقطة A 1 x ، و y ، وبعد الالتفاف عبر الزاوية π 2 + α - إلى النقطة A 2. من كلا النقطتين نرسم عموديًا على المحور x.

اثنين مثلث قائم O A 1 H 1 و O A 2 H 2 متساويان بدلالة الوتر والزوايا المجاورة له. من موقع النقاط على الدائرة والمساواة بين المثلثات ، يمكننا استنتاج أن إحداثيات النقطة A 2 لها إحداثيات A 2 - y ، x. باستخدام تعريف الجيب وجيب التمام ، نكتب:

الخطيئة α \ u003d y ، cos α \ u003d x ، sin π 2 + α \ u003d x ، cos π 2 + α \ u003d y

الخطيئة π 2 + α \ u003d cos α ، cos π 2 + α \ u003d - sin α

مع الأخذ في الاعتبار الهويات الأساسية لعلم المثلثات وما تم إثباته للتو ، يمكننا الكتابة

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - tgα

لإثبات صيغ الاختزال باستخدام الوسيطة π 2 - α ، يجب تمثيلها على أنها π 2 + (- α). على سبيل المثال:

cos π 2 - α \ u003d cos π 2 + (- α) \ u003d - sin (- α) \ u003d sin α

يستخدم البرهان خصائص الدوال المثلثية مع وجود وسيطات معاكسة في الإشارة.

يمكن إثبات جميع صيغ التخفيض الأخرى على أساس تلك المذكورة أعلاه.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

هناك قاعدتان لاستخدام الصيغ المصبوب.

1. إذا كان من الممكن تمثيل الزاوية كـ (/ 2 ± a) أو (3 * π / 2 ± a) ، إذن يتغير اسم الوظيفةالخطيئة إلى جيب التمام ، من جيب التمام إلى الخطيئة ، من tg إلى ctg ، من ctg إلى tg. إذا كان من الممكن تمثيل الزاوية كـ (π ± a) أو (2 * π ± a) ، إذن يبقى اسم الوظيفة دون تغيير.

انظر إلى الشكل أدناه ، فهو يوضح بشكل تخطيطي متى يجب تغيير العلامة ومتى لا.

2. حكم "كما كنت فتبقى".

تظل علامة الوظيفة المختصرة كما هي. إذا كانت الوظيفة الأصلية تحتوي على علامة زائد ، فإن الوظيفة المصغرة لها أيضًا علامة زائد. إذا كانت الوظيفة الأصلية تحتوي على علامة الطرح ، فإن الدالة المصغرة لها أيضًا علامة الطرح.

يوضح الشكل أدناه علامات الدوال المثلثية الرئيسية حسب الربع.

احسب الخطيئة (150˚)

دعنا نستخدم صيغ التخفيض:

تقع Sin (150˚) في الربع الثاني ، ويمكننا أن نرى من الشكل أن علامة الخطيئة في هذا الربع هي +. هذا يعني أن الوظيفة المذكورة أعلاه ستحتوي أيضًا على علامة زائد. لقد طبقنا القاعدة الثانية.

الآن 150˚ = 90˚ + 60˚. 90˚ تساوي / 2. أي أننا نتعامل مع الحالة π / 2 + 60 ، لذلك ، وفقًا للقاعدة الأولى ، نغير الدالة من sin إلى cos. نتيجة لذلك ، نحصل على Sin (150˚) = cos (60˚) =.

إذا رغبت في ذلك ، يمكن تلخيص جميع صيغ التخفيض في جدول واحد. لكن لا يزال من الأسهل تذكر هاتين القاعدتين واستخدامهما.

بحاجة الى مساعدة في دراستك؟