كيفية استخدام صيغ التخفيض. صيغ التخفيض: البرهان، الأمثلة، القاعدة التذكيرية

ومشكلة أخرى B11 حول نفس الموضوع - من امتحان الدولة الموحدة الحقيقي في الرياضيات.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

في هذا الفيديو التعليمي القصير سوف نتعلم كيفية التقديم صيغ التخفيضلحل المشكلات الحقيقية B11 من امتحان الدولة الموحد في الرياضيات. كما ترون، لدينا تعبيران مثلثيان، يحتوي كل منهما على جيب التمام وجيب التمام، بالإضافة إلى بعض الحجج الرقمية القاسية جدًا.

قبل حل هذه المسائل، دعونا نتذكر ما هي صيغ التخفيض. لذلك، إذا كان لدينا تعبيرات مثل:

ومن ثم يمكننا التخلص من الحد الأول (من الصيغة k · π/2) وفق قواعد خاصة. لنرسم دائرة مثلثية ونحدد النقاط الرئيسية عليها: 0, π/2; π؛ 3π/2 و2π. ثم ننظر إلى الحد الأول تحت إشارة الدالة المثلثية. لدينا:

1. إذا كان المصطلح الذي يهمنا يقع على المحور الرأسي للدائرة المثلثية (على سبيل المثال: 3π/2; π/2، وما إلى ذلك)، فسيتم استبدال الوظيفة الأصلية بوظيفة مشتركة: يتم استبدال جيب التمام بجيب التمام، وجيب التمام، على العكس من ذلك، عن طريق الجيب.
2. إذا كان الحد يقع على المحور الأفقي، فإن الدالة الأصلية لا تتغير. كل ما علينا فعله هو حذف الحد الأول من المقدار، وهذا كل شيء.

وبالتالي، نحصل على دالة مثلثية لا تحتوي على شروط من الشكل k · π/2. ومع ذلك، فإن العمل مع صيغ التخفيض لا ينتهي عند هذا الحد. الحقيقة هي أن الدالة الجديدة، التي تم الحصول عليها بعد "التخلص" من الحد الأول، قد تكون أمامها علامة زائد أو ناقص. كيفية التعرف على هذه العلامة؟ الآن سنكتشف ذلك.

لنتخيل أن الزاوية α المتبقية داخل الدالة المثلثية بعد التحويلات لها قياس درجة صغير جدًا. ولكن ماذا يعني "التدبير الصغير"؟ لنفترض أن α ∈ (0; 30°) يكفي. لنأخذ مثالاً على الدالة:

بعد ذلك، باتباع افتراضاتنا بأن α ∈ (0; 30°)، نستنتج أن الزاوية 3π/2 − α تقع في الربع الإحداثي الثالث، أي. 3π/2 - α ∈ (π; 3π/2). ولنتذكر إشارة الدالة الأصلية، أي. y = sin x في هذه الفترة. من الواضح أن الجيب في الربع الإحداثي الثالث سالب، لأنه حسب التعريف، الجيب هو إحداثي نهاية نصف القطر المتحرك (باختصار، الجيب هو الإحداثي y). حسنًا، الإحداثي y في النصف السفلي من المستوى دائمًا ما يكون القيم السلبية. وهذا يعني أن y في الربع الثالث سلبي أيضًا.

وبناء على هذه التأملات يمكننا كتابة التعبير النهائي:

المشكلة B11 - الخيار 1

هذه التقنيات نفسها مناسبة تمامًا لحل المشكلة B11 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. والفرق الوحيد هو أنه في العديد من مسائل B11 الحقيقية، بدلاً من قياس الراديان (أي الأرقام π، π/2، 2π، وما إلى ذلك) يتم استخدام مقياس الدرجة (أي 90°، 180°، 270° وما إلى ذلك). لننظر إلى المهمة الأولى:

دعونا ننظر إلى البسط أولا. cos 41° هي قيمة غير جدولية، لذا لا يمكننا فعل أي شيء بها. دعونا نترك الأمر هكذا في الوقت الحالي.

الآن دعونا نلقي نظرة على المقام:

جا ١٣١° = جا (٩٠° + ٤١°) = جتا ٤١°

من الواضح أن هذه صيغة اختزال، لذا يتم استبدال جيب التمام بجيب التمام. بالإضافة إلى ذلك، تقع الزاوية 41° على القطعة (0°؛ 90°)، أي. في الربع الإحداثي الأول - تمامًا كما هو مطلوب لتطبيق صيغ التخفيض. لكن 90° + 41° هو الربع الإحداثي الثاني. الدالة الأصلية y = sin x موجبة هناك، لذلك وضعنا علامة زائد أمام جيب التمام في الخطوة الأخيرة (وبعبارة أخرى، لم نضع أي شيء).

يبقى أن نتعامل مع العنصر الأخير:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0.5

هنا نرى أن 180 درجة هي المحور الأفقي. وبالتالي، فإن الوظيفة نفسها لن تتغير: كان هناك جيب التمام - وسيبقى جيب التمام أيضا. لكن السؤال الذي يطرح نفسه مرة أخرى: هل سيظهر الموجب أو الناقص قبل التعبير الناتج cos 60°؟ لاحظ أن 180 درجة هي الربع الإحداثي الثالث. جيب التمام هناك سلبي، وبالتالي، سيكون لجيب التمام في النهاية علامة ناقص أمامه. في المجمل، نحصل على البناء −cos 60° = −0.5 - وهذه قيمة جدولية، لذا يسهل حساب كل شيء.

الآن نستبدل الأرقام الناتجة في الصيغة الأصلية ونحصل على:

كما ترون، يتم تقليل الرقم cos 41° في بسط ومقام الكسر بسهولة، ويظل التعبير المعتاد، وهو −10. في هذه الحالة، يمكن إخراج الطرح ووضعه أمام علامة الكسر، أو "الاحتفاظ به" بجوار العامل الثاني حتى الخطوة الأخيرة من العمليات الحسابية. على أية حال، الجواب سيكون -10. هذا كل شيء، تم حل المشكلة B11!

المشكلة B14 - الخيار 2

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية. أمامنا جزء صغير مرة أخرى:

حسنًا، تقع 27° في الربع الإحداثي الأول، لذا لن نغير أي شيء هنا. لكن يجب كتابة sin 117° (بدون أي مربع في الوقت الحالي):

جا ١١٧° = جا (٩٠° + ٢٧°) = جتا ٢٧°

ومن الواضح أن أمامنا مرة أخرى صيغة التخفيض: 90° هو المحور الرأسي، وبالتالي سيتغير جيب الجيب إلى جيب التمام. بالإضافة إلى ذلك، فإن الزاوية α = 117° = 90° + 27° تقع في الربع الإحداثي الثاني. الوظيفة الأصلية y = sin x موجبة هناك، لذلك، بعد كل التحويلات، لا تزال هناك علامة زائد أمام جيب التمام. بمعنى آخر، لا تتم إضافة أي شيء هناك - نترك الأمر هكذا: cos 27°.

نعود إلى التعبير الأصلي الذي يجب حسابه:

كما نرى، بعد التحولات، نشأت الهوية المثلثية الرئيسية في المقام: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. المجموع −4: 1 = −4 - لذلك وجدنا إجابة المشكلة الثانية B11.

كما ترون، بمساعدة صيغ التخفيض، يتم حل هذه المشكلات من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات حرفيا في سطرين. لا جيب للمجموع وجيب التمام للفرق. كل ما علينا أن نتذكره هو الدائرة المثلثية فقط.

هذه المقالة مخصصة لدراسة مفصلة الصيغ المثلثيةأشباح دان القائمة الكاملةصيغ التخفيض، وتظهر أمثلة على استخدامها، ويتم تقديم دليل على صحة الصيغ. توفر المقالة أيضًا قاعدة تذكيرية تسمح لك باستخلاص صيغ الاختزال دون حفظ كل صيغة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

صيغ التخفيض. قائمة

تسمح لك صيغ التخفيض بتقليل الوظائف المثلثية الأساسية للزوايا ذات الحجم التعسفي إلى وظائف الزوايا الواقعة في النطاق من 0 إلى 90 درجة (من 0 إلى π 2 راديان). يعد العمل بزوايا من 0 إلى 90 درجة أكثر ملاءمة من العمل بقيم كبيرة بشكل تعسفي، ولهذا السبب تستخدم صيغ الاختزال على نطاق واسع في حل مشاكل علم المثلثات.

قبل أن نكتب الصيغ نفسها، دعونا نوضح عدة نقاط مهمة لفهمها.

• حجج الدوال المثلثية في صيغ التخفيض هي زوايا الشكل ± α + 2 π · z، π 2 ± α + 2 π · z، 3 π 2 ± α + 2 π · z. هنا z هو أي عدد صحيح، و α هي زاوية دوران عشوائية.
• ليس من الضروري معرفة جميع صيغ التخفيض، وعددها مثير للإعجاب للغاية. هناك قاعدة تذكيرية تجعل من السهل استخلاص الصيغة المطلوبة. سنتحدث عن القاعدة ذاكري في وقت لاحق.

الآن دعنا ننتقل مباشرة إلى صيغ التخفيض.

تسمح لك صيغ التخفيض بالانتقال من العمل بزوايا كبيرة تعسفية وتعسفية إلى العمل بزوايا تتراوح من 0 إلى 90 درجة. دعونا نكتب جميع الصيغ في شكل جدول.

صيغ التخفيض

الخطيئة α + 2 π ض = الخطيئة α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α الخطيئة - α + 2 π z = - الخطيئة α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

في هذه الحالة، تتم كتابة الصيغ بالراديان. ومع ذلك، يمكنك أيضًا كتابتها باستخدام الدرجات. يكفي فقط تحويل الراديان إلى درجات، واستبدال π بـ 180 درجة.

أمثلة على استخدام صيغ التخفيض

سنوضح كيفية استخدام صيغ التخفيض وكيفية استخدام هذه الصيغ لحل الأمثلة العملية.

لا يمكن تمثيل الزاوية الموجودة تحت علامة الدالة المثلثية بطريقة واحدة، بل بعدة طرق. على سبيل المثال، يمكن تمثيل وسيطة الدالة المثلثية بالشكل ± α + 2 π z، π 2 ± α + 2 π z، π ± α + 2 π z، 3 π 2 ± α + 2 π z. دعونا نظهر هذا.

لنأخذ الزاوية α = 16 π 3. ويمكن كتابة هذه الزاوية بالشكل التالي:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

اعتمادا على تمثيل الزاوية، يتم استخدام صيغة التخفيض المناسبة.

لنأخذ نفس الزاوية α = 16 π 3 ونحسب ظلها

مثال 1: استخدام صيغ التخفيض

α = 16 π 3 , t g α = ?

دعونا نمثل الزاوية α = 16 π 3 بالشكل α = π + π 3 + 2 π 2

هذا التمثيل للزاوية سوف يتوافق مع صيغة التخفيض

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

باستخدام الجدول، نشير إلى قيمة الظل

الآن نستخدم تمثيلاً آخر للزاوية α = 16 π 3.

مثال 2: استخدام صيغ التخفيض

α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

وأخيرا، بالنسبة للتمثيل الثالث للزاوية نكتب

مثال 3. استخدام صيغ التخفيض

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

الآن دعونا نعطي مثالا على استخدام صيغ التخفيض الأكثر تعقيدا

مثال 4: استخدام صيغ التخفيض

دعونا نتخيل جيب 197 درجة من خلال جيب وجيب التمام لزاوية حادة.

لتتمكن من تطبيق صيغ التخفيض، عليك تمثيل الزاوية α = 197 درجة في أحد النماذج

± α + 360 درجة ض، 90 درجة ± α + 360 درجة ض، 180 درجة ± α + 360 درجة ض، 270 درجة ± α + 360 درجة ض. وحسب ظروف المشكلة يجب أن تكون الزاوية حادة. وبناءً على ذلك، لدينا طريقتان لتمثيلها:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

نحن نحصل

خطيئة 197° = خطيئة (180° + 17°) خطيئة 197° = خطيئة (270° - 73°)

الآن دعونا نلقي نظرة على صيغ الاختزال للجيب واختيار الصيغ المناسبة

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = الخطيئة (270 درجة - 73 درجة + 360 درجة ض) = - جتا 73 درجة

قاعدة ذاكري

هناك العديد من صيغ الاختزال، ولحسن الحظ، ليست هناك حاجة لحفظها. هناك انتظامات يمكن من خلالها استخلاص صيغ الاختزال لزوايا مختلفة ووظائف مثلثية. تسمى هذه الأنماط قواعد ذاكري. فن الإستذكار هو فن الحفظ. تتكون قاعدة التذكر من ثلاثة أجزاء، أو تحتوي على ثلاث مراحل.

قاعدة ذاكري

1. يتم تمثيل وسيطة الدالة الأصلية بأحد الأشكال التالية:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

يجب أن تقع الزاوية α بين 0 و90 درجة.

2. يتم تحديد إشارة الدالة المثلثية الأصلية. الدالة المكتوبة على الجانب الأيمن من الصيغة سيكون لها نفس الإشارة.

3. بالنسبة للزوايا ± α + 2 πz و π ± α + 2 πz، يظل اسم الدالة الأصلية دون تغيير، وبالنسبة للزوايا π 2 ± α + 2 πz و3 π 2 ± α + 2 πz، على التوالي، يتغير إلى "الوظيفة المشتركة". جيب التمام - جيب التمام. الظل - ظل التمام.

لاستخدام دليل التذكير لصيغ الاختزال، يجب أن تكون قادرًا على تحديد علامات الدوال المثلثية استنادًا إلى أرباع دائرة الوحدة. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام قاعدة ذاكري.

مثال 1: استخدام قاعدة ذاكري

دعونا نكتب صيغ الاختزال لـ cos π 2 - α + 2 πz وt g π - α + 2 πz. α هو سجل الربع الأول.

1. بما أن α هو سجل الربع الأول، فإننا نتخطى النقطة الأولى من القاعدة.

2. تحديد علامات الوظائف cos π 2 - α + 2 πz و t g π - α + 2 πz. الزاوية π 2 - α + 2 πz هي أيضًا زاوية الربع الأول، والزاوية π - α + 2 πz تقع في الربع الثاني. في الربع الأول، تكون دالة جيب التمام موجبة، والظل في الربع الثاني له علامة ناقص. دعنا نكتب كيف ستبدو الصيغ المطلوبة في هذه المرحلة.

كوس π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. وفقًا للنقطة الثالثة، بالنسبة للزاوية π 2 - α + 2 π يتغير اسم الدالة إلى كونفوشيوس، وبالنسبة للزاوية π - α + 2 πz تبقى كما هي. دعنا نكتب:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ المذكورة أعلاه ونتأكد من أن قاعدة التذكر تعمل.

دعونا نلقي نظرة على مثال بزاوية محددة α = 777°. دعونا نختصر جيب ألفا إلى الدالة المثلثية للزاوية الحادة.

مثال 2: استخدام قاعدة ذاكري

1. تخيل الزاوية α = 777 درجة بوصة النموذج المطلوب

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. الزاوية الأصلية هي زاوية الربع الأول. وهذا يعني أن جيب الزاوية له إشارة موجبة. ونتيجة لذلك لدينا:

3. جا 777° = جا (57° + 360° 2) = جا 57° جا 777° = جا (90° - 33° + 360° 2) = جتا 33°

الآن دعونا نلقي نظرة على مثال يوضح مدى أهمية تحديد إشارة الدالة المثلثية بشكل صحيح وتمثيل الزاوية بشكل صحيح عند استخدام قاعدة التذكر. دعونا نكرر ذلك مرة أخرى.

مهم!

يجب أن تكون الزاوية α حادة!

دعونا نحسب ظل الزاوية 5 π 3. من جدول قيم الدوال المثلثية الرئيسية، يمكنك أن تأخذ على الفور القيمة t g 5 π 3 = - 3، لكننا سنطبق القاعدة ذاكري.

مثال 3: استخدام قاعدة ذاكري

لنتخيل الزاوية α = 5 π 3 بالشكل المطلوب ونستخدم القاعدة

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

إذا قمنا بتمثيل زاوية ألفا بالشكل 5 π 3 = π + 2 π 3، فإن نتيجة تطبيق قاعدة التذكر ستكون غير صحيحة.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

النتيجة غير الصحيحة ترجع إلى حقيقة أن الزاوية 2 π 3 ليست حادة.

يعتمد إثبات صيغ التخفيض على خصائص الدورية والتماثل للدوال المثلثية، وكذلك على خاصية التحول بالزوايا π 2 و 3 π 2. يمكن إجراء إثبات صحة جميع صيغ التخفيض دون مراعاة المصطلح 2 πz، لأنه يشير إلى تغيير في الزاوية بعدد صحيح من الثورات الكاملة ويعكس بدقة خاصية الدورية.

تتبع الصيغ الـ 16 الأولى مباشرة من خصائص الدوال المثلثية الأساسية: الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

فيما يلي دليل على صيغ التخفيض للجيب وجيب التمام

الخطيئة π 2 + α = cos α و cos π 2 + α = - الخطيئة α

دعونا نلقي نظرة على دائرة الوحدة، التي تبدأ نقطة البداية منها، بعد الدوران بزاوية α، إلى النقطة A 1 x، y، وبعد الدوران بزاوية π 2 + α - إلى النقطة A 2. من كلا النقطتين نرسم خطوطًا متعامدة على محور الإحداثي السيني.

اثنين مثلث قائم O A 1 H 1 و O A 2 H 2 متساويان في الوتر والزوايا المجاورة. ومن موقع النقاط على الدائرة وتساوي المثلثات نستنتج أن النقطة A 2 لها إحداثيات A 2 - y, x. باستخدام تعريفات الجيب وجيب التمام، نكتب:

خطيئة α = ذ، جتا α = س، خطيئة π 2 + α = س، جتا π 2 + α = ص

خطيئة π 2 + α = جتا α، جتا π 2 + α = - خطيئة α

مع الأخذ في الاعتبار الهويات الأساسية لعلم المثلثات وما تم إثباته للتو، يمكننا الكتابة

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - ر ز α

لإثبات صيغ الاختزال ذات الوسيطة π 2 - α، يجب تقديمها بالصيغة π 2 + (- α). على سبيل المثال:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - الخطيئة (- α) = الخطيئة α

يستخدم الدليل خصائص الدوال المثلثية مع وسيطات ذات علامات متضادة.

يمكن إثبات جميع صيغ التخفيض الأخرى بناءً على تلك المكتوبة أعلاه.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

هناك قاعدتان لاستخدام صيغ التخفيض.

1. إذا كان من الممكن تمثيل الزاوية بـ (π/2 ±a) أو (3*π/2 ±a)، إذن تغييرات اسم الوظيفةالخطيئة إلى كوس، كوس إلى الخطيئة، tg إلى ctg، ctg إلى tg. إذا كان من الممكن تمثيل الزاوية بالشكل (π ±a) أو (2*π ±a)، إذن يبقى اسم الوظيفة دون تغيير.

انظر إلى الصورة أدناه، فهي توضح بشكل تخطيطي متى يجب عليك تغيير العلامة ومتى لا.

2. قاعدة "كما كنتم ستبقون".

تظل علامة الدالة المخفضة كما هي. إذا كانت الدالة الأصلية تحتوي على علامة زائد، فإن الدالة المصغرة تحتوي أيضًا على علامة زائد. إذا كانت الدالة الأصلية تحتوي على علامة ناقص، فإن الدالة المخفضة لها أيضًا علامة ناقص.

ويوضح الشكل أدناه علامات الدوال المثلثية الأساسية حسب الربع.

حساب الخطيئة (150˚)

دعونا نستخدم صيغ التخفيض:

Sin(150˚) تقع في الربع الثاني، ومن الشكل نرى أن إشارة sin(150˚) في هذا الربع تساوي +. هذا يعني أن الوظيفة المحددة سيكون لها أيضًا علامة زائد. طبقنا القاعدة الثانية.

الآن 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ هي π/2. أي أننا نتعامل مع الحالة π/2+60، وبالتالي، وفقًا للقاعدة الأولى، نقوم بتغيير الدالة من sin إلى cos. ونتيجة لذلك، نحصل على Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

إذا رغبت في ذلك، يمكن تلخيص جميع صيغ التخفيض في جدول واحد. ولكن لا يزال من الأسهل تذكر هاتين القاعدتين واستخدامهما.

هل تحتاج إلى مساعدة في دراستك؟