مجموع الجيب وجيب التمام بمعاملات مختلفة. الصيغ المثلثية الأكثر ضرورة

البيانات المرجعية للظل (tg x) وظل التمام (ctg x). التعريف الهندسي، الخصائص، الرسوم البيانية، الصيغ. جدول الظلال وظل التمام، المشتقات، التكاملات، توسعات المتسلسلة. التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة. الاتصال مع الوظائف الزائدية.

تعريف هندسي

|دينار بحريني| - طول قوس الدائرة التي مركزها النقطة أ .
α هي الزاوية المعبر عنها بالراديان.

الظل ( tgα) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر والساق مثلث قائم, تساوي نسبة طول الساق المقابلة |BC| إلى طول الساق المجاورة |AB| .

ظل التمام ( ctgα) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| لطول الساق المقابلة |BC| .

الظل

أين ن- جميع.

في الأدب الغربي، يُشار إلى الظل على النحو التالي:
.
;
;
.

رسم بياني لدالة الظل، y = tg x

ظل التمام

أين ن- جميع.

في الأدب الغربي، يُشار إلى ظل التمام على النحو التالي:
.
كما تم اعتماد التدوين التالي:
;
;
.

رسم بياني لدالة ظل التمام، y = ctg x

خصائص الظل وظل التمام

الدورية

وظائف ص = تيراغرام سو ص= سي تي جي اكستكون دورية مع الفترة π.

التكافؤ

وظائف الظل وظل التمام غريبة.

مجالات التعريف والقيم، تصاعديا، تنازليا

إن دوال الظل وظل التمام متصلة في مجال تعريفها (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للظل وظل التمام في الجدول ( ن- عدد صحيح).

الصيغ

التعبيرات من حيث الجيب وجيب التمام

; ;
; ;
;

صيغ الظل وظل التمام للمجموع والفرق

ومن السهل الحصول على بقية الصيغ، على سبيل المثال

منتج الظلال

صيغة مجموع وفرق الظلال

يوضح هذا الجدول قيم الظل وظل التمام لبعض قيم الوسيطة.

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

التعبيرات من حيث الوظائف الزائدية

;
;

المشتقات

; .

.
مشتق من الترتيب n بالنسبة للمتغير x للدالة :
.
اشتقاق الصيغ للظل > > > ; لظل التمام > > >

التكاملات

التوسعات في السلسلة

للحصول على توسيع الظل في قوى x، عليك أن تأخذ عدة حدود للتوسع سلسلة الطاقةللوظائف الخطيئة سو كوس سوتقسيم هذه كثيرات الحدود إلى بعضها البعض , . وينتج عن هذا الصيغ التالية.

في .

في .
أين ب ن- أرقام برنولي. يتم تحديدها إما من علاقة التكرار:
;
;
أين .
أو حسب صيغة لابلاس:

وظائف عكسية

إن الدوال العكسية للظل وظل التمام هي ظل قوسي وظل ظل قوسي، على التوالي.

قوس قطبي، قوس قطبي

، أين ن- جميع.

قوس الظل، arcctg

، أين ن- جميع.

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي، لان، 2009.
ج. كورن، دليل الرياضيات للباحثين والمهندسين، 2012.

الهويات المثلثيةهي المعادلات التي تنشئ علاقة بين جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة، مما يسمح لك بالعثور على أي من هذه الوظائف، بشرط معرفة أي وظيفة أخرى.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

تيراغرام ألفا cdot ctg ألفا = 1

تقول هذه الهوية أن مجموع مربع جيب التمام لزاوية واحدة ومربع جيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا، وهو ما يجعل من الممكن عمليًا حساب جيب التمام لزاوية واحدة عندما يكون جيب تمامها معروفًا والعكس صحيح .

عند تحويل التعبيرات المثلثية، يتم استخدام هذه الهوية في كثير من الأحيان، مما يسمح لك باستبدال مجموع مربعات جيب التمام وجيب زاوية واحدة بواحد وكذلك إجراء عملية الاستبدال في ترتيب عكسي.

إيجاد الظل وظل التمام من خلال جيب التمام وجيب التمام

تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

تتشكل هذه الهويات من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. بعد كل شيء، إذا نظرت، فإن إحداثي y، بحكم التعريف، هو جيب الجيب، وإحداثي x هو جيب التمام. ثم الظل سيكون مساويا للنسبة \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، والنسبة \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- سيكون ظل التمام.

نضيف أنه فقط بالنسبة لمثل هذه الزوايا \alpha التي تكون الدوال المثلثية المتضمنة فيها منطقية، فإن المتطابقات ستحدث، ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

على سبيل المثال: تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)صالح لزوايا \alpha التي تختلف عن \frac(\pi)(2)+\pi ض، أ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- بالنسبة للزاوية \alpha بخلاف \pi z، فإن z عدد صحيح.

العلاقة بين الظل وظل التمام

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

هذه الهوية صالحة فقط للزوايا \alpha التي تختلف عنها \frac(\pi)(2) ض. وبخلاف ذلك، لن يتم تحديد ظل التمام أو الظل.

وبناء على النقاط المذكورة أعلاه، نحصل على ذلك tg \alpha = \frac(y)(x)، أ ctg\alpha=\frac(x)(y). ومن هنا يترتب على ذلك tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. وبالتالي، فإن الظل وظل التمام لزاوية واحدة التي يكونان عندها منطقيين هما أرقام متبادلة.

العلاقات بين الظل وجيب التمام، ظل التمام والجيب

تيراغرام^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مربع ظل الزاوية \alpha و 1 يساوي المربع العكسي لجيب تمام هذه الزاوية. هذه الهوية صالحة لجميع \alpha بخلاف \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 ومربع ظل التمام للزاوية \alpha يساوي المربع العكسي لجيب الزاوية المعطاة. هذه الهوية صالحة لأي \alpha بخلاف \pi z .

أمثلة مع حلول للمشاكل باستخدام الهويات المثلثية

مثال 1

ابحث عن \sin \alpha وtg \alpha if \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

عرض الحل

حل

ترتبط الدالتان \sin \alpha و \cos \alpha بالصيغة \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. استبدال في هذه الصيغة \cos \alpha = -\frac12، نحن نحصل:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

هذه المعادلة لها حلين:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

بالشرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني، جيب الجيب موجب، إذن \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

للعثور على tg \alpha، نستخدم الصيغة تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

مثال 2

ابحث عن \cos \alpha وctg \alpha إذا و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

عرض الحل

حل

استبدال في الصيغة \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1رقم مشروط \الخطيئة \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، نحن نحصل \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. هذه المعادلة لها حلان \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

بالشرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني، جيب التمام هو سلبي، لذلك \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

من أجل العثور على ctg \alpha، نستخدم الصيغة ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). نحن نعرف القيم المقابلة.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

في هذه المقالة سوف نلقي نظرة شاملة على. الهويات المثلثية الأساسية هي المعادلات التي تنشئ علاقة بين جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة، وتسمح لك بالعثور على أي من هذه الدوال المثلثية من خلال أخرى معروفة.

ندرج على الفور الهويات المثلثية الرئيسية، والتي سنقوم بتحليلها في هذه المقالة. نكتبها في جدول، ونقدم أدناه اشتقاق هذه الصيغ ونقدم التوضيحات اللازمة.

التنقل في الصفحة.

العلاقة بين جيب التمام وجيب التمام لزاوية واحدة

في بعض الأحيان لا يتحدثون عن الهويات المثلثية الرئيسية المدرجة في الجدول أعلاه، ولكن عن واحد الهوية المثلثية الأساسيةعطوف . تفسير هذه الحقيقة بسيط للغاية: يتم الحصول على التساويات من المتطابقة المثلثية الأساسية بعد قسمة جزأيها على و على التوالي، والمساواة و اتبع من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. وسنناقش هذا بمزيد من التفصيل في الفقرات التالية.

وهذا يعني أن المساواة ذات أهمية خاصة، والتي أعطيت اسم الهوية المثلثية الرئيسية.

قبل إثبات الهوية المثلثية الأساسية، نعطي صياغتها: مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا تمامًا. الآن دعونا نثبت ذلك.

يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية في كثير من الأحيان تحويل التعبيرات المثلثية. يسمح باستبدال مجموع مربعات الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة بواحدة. في كثير من الأحيان، يتم استخدام الهوية المثلثية الأساسية بترتيب عكسي: يتم استبدال الوحدة بمجموع مربعات الجيب وجيب التمام لأي زاوية.

الظل وظل التمام من خلال الجيب وجيب التمام

الهويات التي تربط الظل وظل التمام مع الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة من النموذج و اتبع مباشرة من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. في الواقع، بحكم التعريف، الجيب هو الإحداثي y، وجيب التمام هو الإحداثي x، والظل هو نسبة الإحداثي إلى الإحداثي الإحداثي، وهذا هو، ، وظل التمام هو نسبة الإحداثي الإحداثي إلى الإحداثي، أي، .

بسبب وضوح الهويات و في كثير من الأحيان يتم إعطاء تعريفات الظل وظل التمام ليس من خلال نسبة الإحداثي والإحداثي، ولكن من خلال نسبة الجيب وجيب التمام. إذن ظل الزاوية هو نسبة جيب التمام إلى جيب تمام هذه الزاوية، وظل التمام هو نسبة جيب التمام إلى جيب التمام.

وفي ختام هذا القسم، تجدر الإشارة إلى أن الهويات و احتفظ بجميع الزوايا التي تكون الدوال المثلثية الموجودة فيها منطقية. إذن الصيغة صالحة لأي غير (وإلا سيكون المقام صفراً، ولم نحدد القسمة على صفر)، وتكون الصيغة - للجميع، يختلف عن، حيث يوجد z أي.

العلاقة بين الظل وظل التمام

الهوية المثلثية الأكثر وضوحًا من الاثنين السابقتين هي الهوية التي تربط المماس وظل التمام لزاوية واحدة من النموذج . ومن الواضح أنه يتم لأي زوايا غير ، وإلا لم يتم تعريف المماس أو ظل التمام.

إثبات الصيغة بسيط جدا. بالتعريف ومن أين . كان من الممكن إجراء الإثبات بطريقة مختلفة قليلاً. منذ و ، الذي - التي .

إذن، ظل وظل التمام لزاوية واحدة، حيث يكونان منطقيين.

هذا هو الأخير والأكثر الدرس الرئيسياللازمة لحل المشاكل B11. نحن نعرف بالفعل كيفية تحويل الزوايا من قياس الراديان إلى قياس الدرجة (راجع الدرس "الراديان وقياس الزاوية بالدرجة")، ونعرف أيضًا كيفية تحديد إشارة الدالة المثلثية، مع التركيز على الأرباع الإحداثية (انظر الدرس " علامات الدوال المثلثية").

يبقى الأمر صغيرًا: حساب قيمة الوظيفة نفسها - الرقم نفسه المكتوب في الإجابة. هنا تأتي الهوية المثلثية الأساسية للإنقاذ.

الهوية المثلثية الأساسية. لأي زاوية α، العبارة صحيحة:

جا 2 α + جتا 2 α = 1.

تربط هذه الصيغة جيب التمام وجيب التمام لزاوية واحدة. الآن، بمعرفة جيب التمام، يمكننا بسهولة العثور على جيب التمام - والعكس صحيح. يكفي أن تأخذ الجذر التربيعي:

لاحظ علامة "±" أمام الجذور. الحقيقة هي أنه من الهوية المثلثية الأساسية ليس من الواضح ما هو الجيب وجيب التمام الأصليان: موجب أم سالب. بعد كل شيء، التربيع هو دالة زوجية "تحرق" جميع السلبيات (إن وجدت).

لهذا السبب في جميع مهام B11 الموجودة في الاستخدام في الرياضيات، يجب أن يكون هناك شروط إضافيةمما يساعد على التخلص من الشك بالعلامات. عادةً ما يكون هذا مؤشرًا على الربع الإحداثي الذي يمكن من خلاله تحديد الإشارة.

من المؤكد أن القارئ اليقظ سوف يتساءل: "وماذا عن الظل وظل التمام؟" من المستحيل حساب هذه الوظائف مباشرة من الصيغ المذكورة أعلاه. ومع ذلك، هناك نتائج طبيعية مهمة من الهوية المثلثية الأساسية التي تحتوي بالفعل على مماسات وظل التمام. يسمى:

نتيجة طبيعية مهمة: لأي زاوية α، يمكن إعادة كتابة الهوية المثلثية الأساسية على النحو التالي:

يمكن استنتاج هذه المعادلات بسهولة من الهوية الأساسية - يكفي تقسيم كلا الطرفين على cos 2 α (للحصول على المماس) أو على sin 2 α (للحصول على ظل التمام).

دعونا نلقي نظرة على كل هذا أمثلة ملموسة. فيما يلي مشاكل B11 الحقيقية المأخوذة من التجربة خيارات الاستخدامفي الرياضيات 2012

نحن نعرف جيب التمام، لكننا لا نعرف جيب التمام. الهوية المثلثية الرئيسية (في شكلها "الخالص") تربط هذه الوظائف فقط، لذلك سنعمل معها. لدينا:

خطيئة 2 α + جتا 2 α = 1 ⇒ خطيئة 2 α + 99/100 = 1 ⇒ خطيئة 2 α = 1/100 ⇒ خطيئة α = ±1/10 = ±0.1.

لحل المشكلة، يبقى العثور على علامة الجيب. بما أن الزاوية α ∈ (π /2; π )، فيتم قياسها بالدرجة كما يلي: α ∈ (90°; 180°).

لذلك، فإن الزاوية α تقع في الربع الإحداثي II - جميع جيبات الجيب هناك موجبة. لذلك الخطيئة α = 0.1.

إذن، نحن نعرف جيب التمام، لكن علينا إيجاد جيب التمام. كلتا الوظيفتين موجودتان في الهوية المثلثية الأساسية. نحن نستبدل:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0.5.

يبقى التعامل مع العلامة الموجودة أمام الكسر. ماذا تختار: زائد أم ناقص؟ بشرط أن الزاوية α تنتمي إلى المجال (π 3π /2). دعونا نحول الزوايا من قياس الراديان إلى قياس الدرجة - نحصل على: α ∈ (180°; 270°).

من الواضح أن هذا هو الربع الإحداثي الثالث، حيث تكون جميع جيب التمام سالبة. لذلك cosα = −0.5.

مهمة. ابحث عن tg α إذا كنت تعرف ما يلي:

يرتبط الظل وجيب التمام بمعادلة تالية من الهوية المثلثية الأساسية:

نحصل على: tg α = ±3. يتم تحديد علامة الظل بواسطة الزاوية α. ومن المعروف أن α ∈ (3π /2; 2π ). دعونا نحول الزوايا من قياس الراديان إلى قياس الدرجة - نحصل على α ∈ (270°; 360°).

من الواضح أن هذا هو الربع الإحداثي الرابع، حيث تكون جميع الظلال سالبة. ولذلك، tgα = −3.

مهمة. أوجد cos α إذا كنت تعرف ما يلي:

مرة أخرى، جيب التمام معروف وجيب التمام غير معروف. نكتب الهوية المثلثية الرئيسية:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0.64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0.36 ⇒ cos α = ±0.6.

يتم تحديد العلامة بالزاوية. لدينا: α ∈ (3π /2; 2π ). دعونا نحول الزوايا من الدرجات إلى الراديان: α ∈ (270°; 360°) هو الربع الإحداثي الرابع، وجيب التمام موجب هناك. ولذلك، جتا α = 0.6.

مهمة. أوجد sin α إذا كنت تعرف ما يلي:

لنكتب صيغة تتبع الهوية المثلثية الأساسية وتربط الجيب وظل التمام مباشرة:

من هنا نحصل على أن الخطيئة 2 α = 1/25، أي. الخطيئة α = ±1/5 = ±0.2. ومن المعروف أن الزاوية α ∈ (0; π /2). بالدرجات، يتم كتابتها على النحو التالي: α ∈ (0°; 90°) - أقوم بتنسيق الربع.

لذا، فإن الزاوية موجودة في ربع الإحداثيات I - جميع الدوال المثلثية موجبة هناك، وبالتالي sin α \u003d 0.2.

يتم إعطاء النسب بين الدوال المثلثية الرئيسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر أيضًا وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - تسمح لك بخفض الدرجة، والرابعة - للتعبير عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف الزاوية، وما إلى ذلك.

في هذه المقالة، ندرج بالترتيب جميع الصيغ المثلثية الأساسية، والتي تكفي لحل الغالبية العظمى من مسائل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض منها، وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

الهويات المثلثية الأساسيةضبط العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة من خلال أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة تطبيقية، راجع المقالة.

صيغ الزهر

صيغ الزهرتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تتيح لك هذه الصيغ المثلثية الانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

مبررات هذه الصيغ قاعدة ذاكريلحفظها ويمكن دراسة أمثلة على تطبيقها في المقال.

صيغ الإضافة

صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لهذه الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. يعتمد اشتقاقها على صيغ الجمع.

أكثر معلومات مفصلةتم جمعها في صيغ المقالة للمضاعفة والثلاثية وما إلى ذلك. زاوية .

صيغ نصف الزاوية

صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الصحيحة. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ التخفيض

الصيغ المثلثية لتناقص الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام في الدرجة الأولى ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح للمرء بتقليص قوى الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية

الغرض الرئيسي صيغ الجمع والفرق للدوال المثلثيةيتكون من الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. وتستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حلها المعادلات المثلثية، لأنها تسمح بتحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام

يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق من خلال صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.

حقوق الطبع والنشر من قبل الطلاب الأذكياء

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يوجد أي جزء من موقع www.website، بما في ذلك المواد الداخليةو التصميم الخارجي، لا يجوز إعادة إنتاجها بأي شكل من الأشكال أو استخدامها دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.