البحث الوظيفي على الإنترنت ص. دراسة دالة بواسطة طرق حساب التفاضل

قم بإجراء دراسة كاملة ورسم رسم بياني للوظائف

y (x) = x2 + 81 x.y (x) = x2 + 81 x.

1) نطاق الوظيفة. بما أن الدالة كسر ، فعليك إيجاد أصفار المقام.

1 − س = 0 ، ⇒x = 1.1 − س = 0 ، ⇒x = 1.

نستبعد النقطة الوحيدة x = 1x = 1 من منطقة تعريف الوظيفة ونحصل على:

د (ص) = (- ∞ ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞). د (ص) = (- ∞ ؛ 1) ∪ (1 ؛ + ∞).

2) دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع. ابحث عن حدود من جانب واحد:

بما أن النهايتين تساويان اللانهاية ، فإن النقطة x = 1x = 1 هي انقطاع من النوع الثاني ، فالخط x = 1x = 1 خط مقارب رأسي.

3) دعنا نحدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OyOy ، والذي نساوي فيه x = 0 x = 0:

وبالتالي ، فإن نقطة التقاطع مع المحور OyOy لها إحداثيات (0 ؛ 8) (0 ؛ 8).

لنجد نقاط التقاطع مع محور الإحداثيات OxOx ، والتي حددنا لها y = 0y = 0:

المعادلة ليس لها جذور ، لذلك لا توجد نقاط تقاطع مع محور OxOx.

لاحظ أن x2 + 8> 0x2 + 8> 0 لأي xx. لذلك ، بالنسبة إلى x∈ (−∞ ؛ 1) x∈ (−∞ ؛ 1) الوظيفة y> 0y> 0 (تأخذ قيمًا موجبة ، يكون الرسم البياني أعلى من المحور x) ، بالنسبة إلى x∈ (1 ؛ + ∞) x∈ (1 ؛ +) الدالة y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) الوظيفة ليست زوجية ولا فردية للأسباب التالية:

5) نحن نحقق في وظيفة الدورية. الوظيفة ليست دورية ، لأنها دالة كسرية.

6) نحن نبحث في وظيفة النهايات والرتابة. للقيام بذلك ، نجد أول مشتق للدالة:

دعونا نساوي المشتق الأول بالصفر ونجد النقاط الثابتة (التي عندها y ′ = 0y ′ = 0):

لقد حصلنا على ثلاث نقاط حرجة: x = −2 ، x = 1 ، x = 4x = −2 ، x = 1 ، x = 4. نقسم المجال الكامل للدالة إلى فترات زمنية بنقاط معينة ونحدد علامات المشتق في كل فترة:

بالنسبة إلى x∈ (−∞ ؛ −2) ، (4 ؛ + ∞) x∈ (−∞ ؛ −2) ، (4 ؛ + ∞) المشتق y ′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

بالنسبة إلى x∈ (−2 ؛ 1) ، (1 ؛ 4) x∈ (−2 ؛ 1) ، (1 ؛ 4) المشتق y ′> 0y ′> 0 ، تزداد الدالة في هذه الفترات.

في هذه الحالة ، x = −2x = −2 هي نقطة دنيا محلية (تتناقص الوظيفة ثم تزيد) ، x = 4x = 4 هي نقطة قصوى محلية (تزيد الدالة ثم تنقص).

لنجد قيم الدالة في هذه النقاط:

وبالتالي ، فإن النقطة الدنيا هي (2 ؛ 4) (- 2 ؛ 4) ، والنقطة القصوى هي (4 ؛ −8) (4 ؛ −8).

7) ندرس وظيفة مكامن الخلل والتحدب. لنجد المشتق الثاني للدالة:

يساوي المشتق الثاني بصفر:

المعادلة الناتجة ليس لها جذور ، لذلك لا توجد نقاط انعطاف. علاوة على ذلك ، عندما تكون x∈ (−∞ ؛ 1) x∈ (−∞ ؛ 1) y ′ ′> 0y ″> 0 راضية ، أي أن الوظيفة مقعرة ، عندما تكون x∈ (1 ؛ + ∞) x∈ (1 ؛ +) y ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) نحن نحقق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، أي في.

نظرًا لأن الحدود غير محدودة ، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

دعنا نحاول تحديد الخطوط المقاربة المائلة بالشكل y = kx + by = kx + b. نحسب قيم k و bk و b وفقًا للصيغ المعروفة:

وجدنا أن للدالة خطًا مقاربًا مائلًا واحدًا y = −x − 1y = −x − 1.

9) نقاط إضافية. دعنا نحسب قيمة الوظيفة في بعض النقاط الأخرى من أجل بناء رسم بياني أكثر دقة.

ص (−5) = 5.5 ؛ ص (2) = - 12 ؛ ص (7) = - 9.5. ص (−5) = 5.5 ؛ ص (2) = - 12 ؛ ص (7) = - 9.5.

10) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، سننشئ رسمًا بيانيًا ، ونكمله بالخطوط المقاربة x = 1x = 1 (أزرق) ، y = −x − 1y = −x − 1 (أخضر) ونضع علامة على النقاط المميزة (التقاطع مع المحور y أرجواني ، والقيمة القصوى برتقالية ، والنقاط الإضافية سوداء):

المهمة 4: مشاكل هندسية واقتصادية (ليس لدي أي فكرة عن ذلك ، إليك اختيار تقريبي للمشكلات مع حل وصيغ)

المثال 3.23. أ

حل. xو ذ ذ
ص \ u003d أ - 2 × أ / 4 \ u003d أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. بالنسبة إلى xa / 4 S "> 0 ، وللحالة x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.

حل.
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

المثال 3.22.أوجد القيمة القصوى للدالة f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

حل.بما أن f "(x) \ u003d 6x 2 - 30x +36 \ u003d 6 (x -2) (x - 3) ، فإن النقاط الحرجة للوظيفة x 1 \ u003d 2 و x 2 \ u003d 3. يمكن أن تكون الأطراف الخارجية فقط عند هذه النقاط. بما أنه عند المرور عبر النقطة x 1 \ u003d 2 ، فإن المشتق يتغير عند نقطة x2 زائد إلى ناقص ، عندئذٍ يتغير المشتق من النقطة القصوى إلى النقطة 2. علامة التغييرات ivative من سالب إلى زائد ، لذلك عند النقطة x 2 = 3 للوظيفة على الأقل حساب قيم الوظيفة بالنقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3 ، نجد الحد الأقصى للدالة: الحد الأقصى f (2) = 14 والحد الأدنى f (3) = 13.

المثال 3.23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث يتم تسييجها بشبكة سلكية من ثلاث جهات ، وتجاور الجدار من الجانب الرابع. لهذا هناك أمتر خطي للشبكة. ما هي نسبة العرض إلى الارتفاع التي سيشغل بها الموقع أكبر مساحة؟

حل.دلالة على جوانب الموقع من خلال xو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذهو طول الضلع المجاور للجدار. بعد ذلك ، بشرط ، يجب أن تثبت المساواة 2x + y = a. لذلك ص = أ - 2 س و س = س (أ - 2 س) ، أين
0 ≤ x ≤ a / 2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض المنطقة سالبين). S "= a - 4x ، a - 4x = 0 لـ x = a / 4 ، من أين
ص \ u003d أ - 2 × أ / 4 \ u003d أ / 2. نظرًا لأن x = a / 4 هي النقطة الحرجة الوحيدة ، فلنتحقق مما إذا كانت علامة المشتق تتغير عند المرور عبر هذه النقطة. بالنسبة إلى xa / 4 S "> 0 ، وللحالة x> a / 4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

المثال 3.24.مطلوب عمل خزان اسطواني مغلق بسعة V = 16p ≈ 50 m 3. ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) من أجل استخدام أقل كمية من المواد لتصنيعها؟

حل.إجمالي مساحة الأسطوانة هي S = 2pR (R + H). نحن نعلم حجم الأسطوانة V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. ومن ثم ، S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). نجد مشتق هذه الوظيفة:
S "(R) \ u003d 2p (2R- 16 / R 2) \ u003d 4p (R- 8 / R 2). S" (R) \ u003d 0 لـ R 3 \ u003d 8 ، لذلك ،
R = 2 ، H = 16/4 = 4.

معلومات مماثلة.

في هذه المقالة ، سننظر في مخطط لدراسة دالة ، ونقدم أيضًا أمثلة على دراسة القيم القصوى ، والرتابة ، والخطوط المقاربة لوظيفة معينة.

مخطط

1. مجال وجود الوظيفة (ODZ).
2. تقاطع الوظيفة (إن وجد) مع محاور الإحداثيات وعلامات الوظيفة والتكافؤ والتواتر.
3. نقاط التوقف (من نوعها). استمرارية. الخطوط المقاربة عمودية.
4. الرتابة والنقاط القصوى.
5. نقاط الانقلاب. محدب.
6. استقصاء دالة عند اللانهاية للخطوط المقاربة: أفقية ومائلة.
7. بناء الرسم البياني.

دراسة عن الرتابة

نظرية.إذا كانت الوظيفة زمستمر على ، متمايزة بواسطة (أ ؛ ب)و ز '(س) ≥ 0 (ز' (س) ≤0), xє (а ؛ ب)، الذي - التي ززيادة (تناقص) .

مثال:

ص = 1: 3 س 3 - 6: 2 س 2 + 5 س.

ODZ: хєR

ص '= س 2 + 6 س + 5.

أوجد فترات من العلامات الثابتة ذ. بسبب ال ذهي وظيفة أولية ، ثم يمكنها تغيير الإشارات فقط عند النقاط التي تصبح فيها صفراً أو غير موجودة. لها ODZ: хєR.

لنجد النقاط التي يكون فيها المشتق 0 (صفر):

ص '= 0 ؛

س = -1 ؛ -5.

لذا، ذتنمو (-∞; -5] و على [-1 ؛ + ∞) ، ذ ينزل على .

البحث عن التطرف

ت. × 0يسمى الحد الأقصى للنقطة (الحد الأقصى) في المجموعة أالمهام زعندما يتم أخذ القيمة القصوى في هذه المرحلة بواسطة الوظيفة ز (س 0) ≥ ز (س) ، سє أ.

ت. × 0تسمى النقطة الدنيا (min) للوظيفة زعلى المجموعة أعندما يتم أخذ أصغر قيمة بواسطة الوظيفة في هذه المرحلة ز (س 0) ≤ ز (س) ، xєА.

على المجموعة أتسمى النقاط القصوى (القصوى) والصغرى (min) بالنقاط القصوى ز. وتسمى هذه القيم القصوى أيضًا القيم القصوى المطلقة في المجموعة .

لو × 0- النقطة القصوى للوظيفة زفي بعض المناطق ، إذن × 0تسمى نقطة الطرف المحلي أو المحلي (الحد الأقصى أو الأدنى) للوظيفة ز.

نظرية (شرط ضروري).لو × 0- النقطة القصوى للدالة (المحلية) ز، فإن المشتق غير موجود أو يساوي 0 (صفر) في هذه المرحلة.

تعريف.النقاط ذات المشتق غير الموجود أو التي تساوي 0 (صفر) تسمى حرجة. هذه هي النقاط المشبوهة بالنسبة للأطراف المتطرفة.

نظرية (شرط كاف رقم 1).إذا كانت الوظيفة زمستمر في بعض المناطق. × 0وتتغير العلامة خلال هذه النقطة عندما يمر المشتق ، فهذه النقطة هي النقطة القصوى ز.

نظرية (شرط كاف رقم 2).دع الوظيفة تكون قابلة للتفاضل مرتين في بعض المناطق المجاورة للنقطة و g '= 0 و g'> 0 (g ''< 0) ، ثم هذه النقطة هي نقطة الحد الأقصى (الحد الأقصى) أو الحد الأدنى (الحد الأدنى) للوظيفة.

اختبار التحدب

تسمى الوظيفة محدبة لأسفل (أو مقعرة) في الفترة الزمنية (أ ، ب)عندما لا يكون الرسم البياني للوظيفة أعلى من القاطع في الفاصل الزمني لأي x مع (أ ، ب)الذي يمر عبر هذه النقاط .

ستكون الوظيفة محدبة بدقة (أ ، ب)، إذا - الرسم البياني يقع أسفل القاطع في الفترة.

تسمى الوظيفة محدبة لأعلى (محدبة) في الفترة الزمنية (أ ، ب)، إذا كان لأي ر نقاط مع (أ ، ب)لا يكمن الرسم البياني للوظيفة في الفترة الزمنية أقل من القاطع الذي يمر عبر الأحجام عند هذه النقاط .

ستكون الوظيفة محدبة بدقة لأعلى (أ ، ب) ، إذا - يقع الرسم البياني على الفاصل فوق القاطع.

إذا كانت الوظيفة في منطقة مجاورة للنقطة مستمر وعبر ر. × 0أثناء الانتقال ، تغير الوظيفة تحدبها ، ثم تسمى هذه النقطة نقطة انعطاف الوظيفة.

دراسة الخطوط المقاربة

تعريف.يسمى الخط المستقيم الخط المقارب ز (س)، إذا كانت نقطة الرسم البياني للوظيفة على مسافة لا نهائية من الأصل تقترب منه: د (م ، ل).

يمكن أن تكون الخطوط المقاربة عمودية أو أفقية أو مائلة.

خط عمودي مع المعادلة س = س 0 سيكون خط التقارب للرسم البياني العمودي للدالة g ، إذا كانت النقطة x 0 بها فجوة لا نهائية ، فهناك على الأقل حد يسار أو يمين عند هذه النقطة - اللانهاية.

استقصاء دالة في مقطع ما لقيمة الأصغر والأكبر

إذا كانت الوظيفة مستمرة في ، ثم وفقًا لنظرية Weierstrass ، توجد أكبر قيمة وأصغر قيمة في هذا الجزء ، أي أن هناك t النظارات التي تنتمي مثل ذلك ز (× 1) ≤ ز (خ)< g(x 2), x 2 є . من النظريات حول الرتابة والقيم القصوى ، نحصل على المخطط التالي لدراسة دالة على مقطع للقيم الأصغر والأكبر.

يخطط

1. أوجد المشتق ز '(x).
2. ابحث عن قيمة دالة زفي هذه النقاط وفي نهايات المقطع.
3. قارن القيم التي تم العثور عليها واختر الأصغر والأكبر.

تعليق.إذا كنت بحاجة إلى دراسة وظيفة في فترة زمنية محدودة (أ ، ب)، أو على ما لا نهاية (-؛ ب) ؛ (-∞؛ + ∞)في القيم القصوى والدقيقة ، ثم في الخطة ، بدلاً من قيم الوظيفة في نهايات الفاصل الزمني ، يبحثون عن الحدود المقابلة من جانب واحد: بدلاً من و (أ)البحث عن و (أ +) = ليمف (خ)، بدلاً من و (ب)البحث عن و (-ب). لذا يمكنك إيجاد دالة ODZ في الفترة الزمنية ، لأن القيم القصوى المطلقة لا توجد بالضرورة في هذه الحالة.

تطبيق المشتق على حل المسائل التطبيقية لأقصى بعض الكميات

1. عبر عن هذه القيمة من حيث الكميات الأخرى من حالة المشكلة بحيث تكون دالة لمتغير واحد فقط (إن أمكن).
2. يتم تحديد الفاصل الزمني لتغيير هذا المتغير.
3. قم بإجراء دراسة للوظيفة على الفاصل الزمني للقيم القصوى والدقيقة.

مهمة.من الضروري بناء منصة مستطيلة ، باستخدام عدادات الشبكة ، بالقرب من الجدار بحيث تكون على جانب واحد مجاورة للجدار ، وعلى الجانب الثالث تكون مسيجة بشبكة. في أي نسبة أبعاد ستكون مساحة هذا الموقع هي الأكبر؟

S = س صهي دالة من متغيرين.

S = س (أ - 2 س)- وظيفة المتغير الأول ؛ س є.

S = فأس - 2 × 2 ؛ S "= a - 4x = 0 ، xєR ، x = a: 4.

ق (أ: 4) = أ 2: 8- أعلى قيمة ؛

ق (0) = 0.

ابحث عن الجانب الآخر من المستطيل: في = أ: 2.

ابعاد متزنة: ص: س = 2.

إجابة.أكبر مساحة ستكون أ 2/8إذا كان الجانب الموازي للجدار ضعف الجانب الآخر.

البحث الوظيفي. أمثلة

مثال 1

متاح ص = س 3: (1-س) 2. قم ببحث.

1. ODZ: хє (-؛ 1) يو (1 ؛ ∞).
2. الوظيفة العامة (ليست زوجية ولا فردية) ليست متناظرة بالنسبة للنقطة 0 (صفر).
3. علامات الوظيفة. الوظيفة أساسية ، لذا لا يمكن تغيير الإشارة إلا عند النقاط التي تساوي فيها 0 (صفر) ، أو غير موجودة.
4. الوظيفة أولية ، وبالتالي فهي مستمرة على ODZ: (-∞ ؛ 1) يو (1 ؛ ∞).

فجوة: س = 1 ؛

limx 3: (1- x) 2 =- الانقطاع من النوع الثاني (لانهائي) ، لذلك يوجد خط مقارب عمودي عند النقطة 1 ؛

س = 1- معادلة الخط المقارب العمودي.

5. ص '= س 2 (3 - س): (1 - س) 3 ؛

ODZ (ذ '): س ≠ 1 ؛

س = 1هي نقطة حرجة.

ص '= 0 ؛

0; 3 هي نقاط حرجة.

6. ص '= 6 س: (1 - س) 4 ؛

ر الحرجة: 1, 0;

س = 0 - نقطة انعطاف ، ص (0) = 0.

7. ليمكس 3: (1 - 2 س + س 2) = ∞- لا يوجد خط مقارب أفقي ، ولكن يمكن أن يكون مائلاً.

ك = 1- رقم؛

ب = 2- رقم.

لذلك ، هناك خط مقارب مائل ص = س + 2إلى + ∞ وإلى -.

مثال 2

منح ص = (س 2 + 1): (س - 1). إنتاج وتحقيق. أنشئ رسمًا بيانيًا.

1. منطقة الوجود هي خط الأعداد بالكامل ، باستثناء ما يسمى. س = 1.

2. ذتقاطعات OY (إن أمكن) بما في ذلك. (0 ؛ ز (0)). نجد ص (0) = -1 - نقطة التقاطع OY .

نقاط تقاطع الرسم البياني مع ثورأوجد بحل المعادلة ص = 0. ليس للمعادلة جذور حقيقية ، لذلك لا تتقاطع هذه الوظيفة ثور.

3. الوظيفة غير دورية. ضع في اعتبارك التعبير

g (-x) ≠ g (x) و g (-x) ≠ -g (x). هذا يعني أنه نظرة عامةوظيفة (ليست زوجية ولا فردية).

4. T. س = 1الانقطاع من النوع الثاني. في جميع النقاط الأخرى ، تكون الوظيفة مستمرة.

5. دراسة وظيفة الطرف الأقصى:

(x 2 - 2x - 1): (x - 1)2 = ص "

وحل المعادلة ص "= 0.

لذا، 1 - √2, 1 + √2, 1 - النقاط الحرجة أو النقاط القصوى المحتملة. تقسم هذه النقاط خط الأعداد إلى أربع فترات .

في كل فترة ، يكون للمشتق علامة معينة ، والتي يمكن تعيينها بطريقة الفواصل الزمنية أو عن طريق حساب قيم المشتق عند نقاط فردية. على فترات (-∞; 1 - √2 ) يو (1 + √2 ; ∞) ، مشتق موجب ، مما يعني أن الوظيفة تنمو ؛ لو xє(1 - √2 ؛ 1) يو(1; 1 + √2 ) ، إذن الدالة تتناقص ، لأن المشتق سالب في هذه الفترات. من خلال t. × 1أثناء الانتقال (تتبع الحركة من اليسار إلى اليمين) ، يتغير المشتق إشارة من "+" إلى "-" ، لذلك ، في هذه المرحلة ، يوجد حد أقصى محلي ، نجد

ذالحد الأقصى = 2 - 2 √2 .

عند المرور x2يغير علامة المشتق من "-" إلى "+" ، لذلك يوجد حد أدنى محلي في هذه المرحلة ، و

ص مزيج = 2 + 2√2.

ت. س = 1ليس الحد الأقصى.

6.4: (س - 1) 3 = ص "".

على (-∞; 1 ) 0 > ذ "" وبالتالي ، يكون المنحنى محدبًا في هذه الفترة ؛ إذا كان xє (1 ; ∞) - المنحنى مقعر. في تي النقطة 1لم يتم تحديد أي دالة ، لذا فإن هذه النقطة ليست نقطة انعطاف.

7. ويترتب على نتائج الفقرة 4 أن س = 1هو الخط المقارب العمودي للمنحنى.

لا توجد خطوط مقاربة أفقية.

س + 1 = ذ الخط المقارب لمنحدر هذا المنحنى. لا توجد خطوط مقاربة أخرى.

8. مع الأخذ في الاعتبار الدراسات التي تم إجراؤها ، نقوم ببناء رسم بياني (انظر الشكل أعلاه).

إذا كان من الضروري في المهمة إجراء دراسة كاملة للوظيفة f (x) \ u003d x 2 4 x 2-1 مع إنشاء الرسم البياني الخاص بها ، فسننظر في هذا المبدأ بالتفصيل.

لحل مشكلة من هذا النوع ، يجب على المرء أن يستخدم خصائص الرسوم البيانية الرئيسية وظائف الابتدائية. تتضمن خوارزمية البحث الخطوات التالية:

Yandex.RTB R-A-339285-1

البحث عن مجال التعريف

بما أن البحث يتم في مجال الوظيفة ، فمن الضروري البدء بهذه الخطوة.

مثال 1

خلف مثال معينيتضمن إيجاد أصفار المقام لاستبعادهم من DPV.

4 × 2-1 = 0 س = ± 1 2 × - ∞ ؛ - 1 2 ∪ - 1 2 ؛ 1 2 ∪ 1 2 ؛ + ∞

نتيجة لذلك ، يمكنك الحصول على الجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك. ثم يمكن البحث عن جذر درجة متساوية من النوع g (x) 4 بواسطة المتباينة g (x) ≥ 0 ، للوغاريتم log a g (x) بواسطة المتباينة g (x)> 0.

التحقيق في حدود المنطقة المفتوحة وإيجاد الخطوط المقاربة العمودية

توجد خطوط مقاربة عمودية على حدود الوظيفة ، عندما تكون الحدود أحادية الجانب في مثل هذه النقاط لانهائية.

مثال 2

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النقاط الحدودية التي تساوي x = ± 1 2.

ثم من الضروري دراسة الوظيفة لإيجاد الحد من جانب واحد. ثم نحصل على ذلك: lim x → - 1 2-0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2-1 = = lim x → - 1 2-0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 x 2 → (1) x 1 4 (- 2) (+ 0) = - ليم x → 1 2-0 f (x) = lim x → 1 2-0 x 2 4 x 2-1 = = lim x → 1 2-0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 2 - 1 2 = 0 x ) = 1 4 (+ 0) 2 = +

يوضح هذا أن الحدود أحادية الجانب لانهائية ، مما يعني أن الخطوط x = ± 1 2 هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.

التحقيق في الوظيفة الزوجية أو الفردية

عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = y (x) ، تعتبر الوظيفة زوجية. يشير هذا إلى أن الرسم البياني يقع بشكل متماثل بالنسبة إلى O y. عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = - y (x) ، تعتبر الوظيفة فردية. هذا يعني أن التناظر ينطبق على أصل الإحداثيات. إذا فشلت متباينة واحدة على الأقل ، نحصل على دالة ذات شكل عام.

يشير تحقيق المساواة y (- x) = y (x) إلى أن الوظيفة زوجية. عند البناء ، من الضروري مراعاة أنه سيكون هناك تناظر فيما يتعلق بـ O y.

لحل المتباينة ، يتم استخدام فترات الزيادة والنقصان مع الشرطين f "(x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 على التوالي.

التعريف 1

نقاط ثابتةهي النقاط التي تحول المشتق إلى الصفر.

نقاط حرجةهي نقاط داخلية من المجال حيث يكون مشتق الوظيفة مساويًا للصفر أو غير موجود.

عند اتخاذ القرار ، يجب مراعاة النقاط التالية:

• بالنسبة للفترات الحالية للزيادة والنقصان في المتباينة بالشكل f "(x)> 0 ، لا يتم تضمين النقاط الحرجة في الحل ؛
• يجب تضمين النقاط التي يتم فيها تحديد الوظيفة بدون مشتق محدد في فترات الزيادة والنقصان (على سبيل المثال ، y \ u003d x 3 ، حيث تجعل النقطة x \ u003d 0 الوظيفة محددة ، والمشتق له قيمة لا نهائية عند هذه النقطة ، y "= 1 3 x 2 3 ، y" (0) \ u003d 1 0 \ u003d الزيادة ∞، 0
• من أجل تجنب الخلافات ، يوصى باستخدام الأدبيات الرياضية ، والتي أوصت بها وزارة التربية والتعليم.

إدراج النقاط الحرجة في فترات الزيادة والنقصان في حالة تلبية مجال الوظيفة.

التعريف 2

ل تحديد فترات الزيادة والنقصان للوظيفة ، من الضروري إيجادها:

• المشتق؛
• نقاط حرجة؛
• تقسيم مجال التعريف بمساعدة النقاط الحرجة إلى فترات ؛
• حدد علامة المشتق في كل فترة من الفترات ، حيث + هي زيادة و - انخفاض.

مثال 3

أوجد المشتق في المجال f "(x) = x 2" (4 x 2-1) - x 2 4 x 2-1 "(4 x 2-1) 2 = - 2 x (4 x 2-1) 2.

حل

لحل تحتاج:

• ابحث عن نقاط ثابتة ، هذا المثال يحتوي على x = 0 ؛
• أوجد أصفار المقام ، يأخذ المثال القيمة صفر عند x = ± 1 2.

نعرض النقاط على المحور العددي لتحديد المشتق في كل فترة. للقيام بذلك ، يكفي أخذ أي نقطة من الفاصل الزمني وإجراء عملية حسابية. إذا كانت النتيجة موجبة ، فإننا نرسم + على الرسم البياني ، مما يعني زيادة في الدالة ، و- يعني انخفاضها.

على سبيل المثال ، f "(- 1) \ u003d - 2 (- 1) 4-1 2-1 2 \ u003d 2 9 \ u003e 0 ، مما يعني أن الفاصل الزمني الأول على اليسار به علامة +. ضع في اعتبارك خط الأرقام.

إجابة:

• هناك زيادة في الوظيفة في الفترة - ∞ ؛ - 1 2 و (- 1 2 ؛ 0] ؛
• يوجد انخفاض في الفترة الزمنية [0؛ 1 2) و 1 2 ؛ + ∞.

في الرسم التخطيطي ، باستخدام + و - ، يتم تصوير الإيجابية والسلبية للوظيفة ، وتشير الأسهم إلى تناقص وتزايد.

النقاط القصوى للدالة هي النقاط التي يتم فيها تعريف الوظيفة والتي من خلالها علامة تغير المشتق.

مثال 4

إذا أخذنا في الاعتبار مثالًا حيث x \ u003d 0 ، فإن قيمة الوظيفة فيه هي f (0) \ u003d 0 2 4 0 2-1 \ u003d 0. عندما تتغير علامة المشتق من + إلى - وتمر عبر النقطة س \ u003d 0 ، فإن النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 0) تعتبر النقطة القصوى. عندما يتم تغيير العلامة من - إلى + ، نحصل على الحد الأدنى للنقطة.

يتم تحديد التحدب والتقعر من خلال حل عدم المساواة في الشكل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0. في كثير من الأحيان ، يستخدمون الاسم المنتفخ لأسفل بدلاً من التقعر ، وينتفخ لأعلى بدلاً من الانتفاخ.

التعريف 3

ل تحديد فجوات التقعر والتحدبضروري:

• أوجد المشتق الثاني
• أوجد أصفار دالة المشتق الثاني ؛
• كسر مجال التعريف بالنقاط التي تظهر في فترات ؛
• تحديد علامة الفجوة.

مثال 5

أوجد المشتق الثاني من مجال التعريف.

حل

f "(x) = - 2 x (4 x 2-1) 2" = (- 2 x) "(4 x 2-1) 2 - - 2 x 4 x 2-1 2" (4 x 2-1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2-1) 3

نجد أصفار البسط والمقام ، حيث ، باستخدام مثالنا ، لدينا أصفار المقام x = ± 1 2

أنت الآن بحاجة إلى وضع النقاط على خط الأعداد وتحديد علامة المشتق الثاني من كل فترة. لقد حصلنا على ذلك

إجابة:

• الوظيفة محدبة من الفاصل الزمني - 1 2 ؛ 12 ؛
• الوظيفة مقعرة من الفجوات - ∞ ؛ - 1 2 و 1 2 ؛ + ∞.

التعريف 4

نقطة الأنحرافهي نقطة على شكل x 0 ؛ و (x0). عندما يكون هناك مماس للرسم البياني للدالة ، فعندما يمر عبر x 0 ، تتغير الدالة إشارة إلى العكس.

بعبارة أخرى ، هذه هي النقطة التي يمر من خلالها المشتق الثاني ويغير علامة ، وعند النقاط نفسها تساوي الصفر أو لا وجود لها. تعتبر جميع النقاط مجال الوظيفة.

في المثال ، لوحظ أنه لا توجد نقاط انعطاف ، حيث أن المشتق الثاني يغير إشارة أثناء المرور عبر النقاط x = ± 1 2. هم ، بدورهم ، غير مدرجين في مجال التعريف.

إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

عند تحديد دالة عند اللانهاية ، يجب على المرء أن يبحث عن خطوط مقاربة أفقية ومائلة.

التعريف 5

الخطوط المقاربة المائلةيتم رسمها باستخدام الخطوط المعطاة بالمعادلة y = k x + b ، حيث k = lim x → ∞ f (x) x and b = lim x → ∞ f (x) - k x.

بالنسبة إلى k = 0 و b لا تساوي اللانهاية ، نجد أن الخط المقارب المائل يصبح أفقي.

بمعنى آخر ، الخطوط المقاربة هي الخطوط التي يقترب منها الرسم البياني للوظيفة عند اللانهاية. هذا يساهم في البناء السريع للرسم البياني للوظيفة.

إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة ، ولكن تم تحديد الوظيفة عند كلا النهايتين ، فمن الضروري حساب حد الوظيفة عند هذه اللانهايات من أجل فهم كيفية تصرف الرسم البياني للوظيفة.

مثال 6

كمثال ، اعتبر ذلك

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2-1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2-1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

هو خط مقارب أفقي. بعد البحث عن الوظيفة ، يمكنك البدء في بنائها.

حساب قيمة دالة عند نقاط وسيطة

لجعل الرسم أكثر دقة ، يوصى بالعثور على عدة قيم للوظيفة عند نقاط وسيطة.

مثال 7

من المثال الذي درسناه ، من الضروري إيجاد قيم الوظيفة عند النقاط x \ u003d - 2 ، x \ u003d - 1 ، x \ u003d - 3 4 ، x \ u003d - 1 4. نظرًا لأن الوظيفة زوجية ، نحصل على أن القيم تتطابق مع القيم الموجودة في هذه النقاط ، أي نحصل على x \ u003d 2 ، x \ u003d 1 ، x \ u003d 3 4 ، x \ u003d 1 4.

لنكتب ونحل:

و (- 2) \ u003d و (2) \ u003d 2 2 4 2 2 - 1 \ u003d 4 15 ≈ 0 ، 27 0.45 و - 1 4 = و 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

لتحديد الحدود القصوى والدنيا للوظيفة ، ونقاط الانعطاف ، والنقاط الوسيطة ، من الضروري بناء خطوط مقاربة. للتعيين المريح ، يتم إصلاح فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر. النظر في الشكل أدناه.

من الضروري رسم خطوط الرسم البياني من خلال النقاط المحددة ، والتي ستتيح لك الاقتراب من الخطوط المقاربة ، باتباع الأسهم.

هذا يختتم الدراسة الكاملة للوظيفة. هناك حالات لبناء بعض الوظائف الأولية التي تستخدم فيها التحولات الهندسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

للحصول على دراسة كاملة للوظيفة والتخطيط للرسم البياني لها ، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1) ابحث عن نطاق الوظيفة ؛

2) ابحث عن نقاط عدم الاستمرارية للوظيفة والخطوط المقاربة العمودية (إن وجدت) ؛

3) التحقيق في سلوك الوظيفة عند اللانهاية ، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة ؛

4) التحقيق في وظيفة التكافؤ (الغرابة) والدورية (للوظائف المثلثية) ؛

5) البحث عن القيم القصوى وفترات رتابة الوظيفة ؛

6) تحديد فترات التحدب والانعطاف ؛

7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات ، إن أمكن ، وبعض النقاط الإضافية التي تعمل على تحسين الرسم البياني.

تتم دراسة الوظيفة بالتزامن مع بناء الرسم البياني الخاص بها.

المثال 9استكشف الوظيفة وقم ببناء رسم بياني.

1. مجال التعريف: ؛

2. وظيفة تنكسر عند النقاط
,
;

نحن نبحث في وظيفة وجود الخطوط المقاربة العمودية.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

;
,
─ خط مقارب عمودي.

3. نتحرى عن وظيفة وجود خطوط مقاربة مائلة وأفقية.

مستقيم
─ خط مقارب مائل ، إذا
,
.

,
.

مستقيم
─ خط مقارب أفقي.

4. الوظيفة حتى لأن
. يشير تكافؤ الوظيفة إلى تناظر الرسم البياني فيما يتعلق بالمحور y.

5. أوجد فترات الرتابة والنهايات القصوى للوظيفة.

لنجد النقاط الحرجة ، أي النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود:
;
. لدينا ثلاث نقاط
;

. تقسم هذه النقاط المحور الحقيقي بأكمله إلى أربع فترات. دعونا نحدد العلامات على كل منهم.

على الفواصل الزمنية (-؛ -1) و (-1 ؛ 0) تزداد الوظيفة ، على الفواصل الزمنية (0 ؛ 1) و (1 ؛ + ∞) تتناقص. عند المرور عبر نقطة
يتغير المشتق من موجب إلى ناقص ، وبالتالي ، في هذه المرحلة ، يكون للدالة قيمة قصوى
.

6. دعونا نجد فترات التحدب ونقاط الانعطاف.

دعونا نجد النقاط حيث هو 0 ، أو غير موجود.

ليس له جذور حقيقية.
,
,

نقاط
و
قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة في كل فترة.

وهكذا ، فإن المنحنى على فترات
و
محدب لأسفل ، على الفاصل الزمني (-1 ؛ 1) محدب لأعلى ؛ لا توجد نقاط انعطاف ، لأن الوظيفة عند النقاط
و
لم يحدد.

7. إيجاد نقاط التقاطع مع المحاور.

مع المحور
يتقاطع الرسم البياني للوظيفة عند النقطة (0 ؛ -1) ومع المحور
الرسم البياني لا يتقاطع لأن ليس لبسط هذه الدالة جذور حقيقية.

يظهر الرسم البياني لوظيفة معينة في الشكل 1.

الشكل 1 ، رسم بياني للوظيفة

تطبيق مفهوم المشتق في الاقتصاد. مرونة الوظيفة

لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى ، غالبًا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.

تعريف.مرونة الوظيفة
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة للزيادة النسبية للمتغير في
و. (السابع)

تُظهر مرونة الدالة تقريبًا عدد النسبة المئوية التي ستتغير فيها الوظيفة
عند تغيير المتغير المستقل بنسبة 1٪.

يتم استخدام مرونة الوظيفة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة)
، فإن الطلب يعتبر مرنًا إذا
─ محايد إذا
─ غير مرن فيما يتعلق بالسعر (أو الدخل).

المثال 10احسب مرونة دالة
وإيجاد قيمة مؤشر المرونة ل = 3.

الحل: حسب الصيغة (VII) مرونة الوظيفة:

دع x = 3 ثم
هذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1٪ ، فإن قيمة المتغير التابع ستزيد بنسبة 1.42٪.

المثال 11دع وظيفة الطلب بخصوص السعر لديه الشكل
، أين ─ معامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر مرونة دالة الطلب بالسعر x = 3 den. الوحدات

الحل: احسب مرونة دالة الطلب باستخدام الصيغة (VII)

بافتراض
الوحدات النقدية ، نحصل عليها
. هذا يعني أن السعر
الوحدة النقدية ستؤدي زيادة السعر بنسبة 1 ٪ إلى انخفاض في الطلب بنسبة 6 ٪ ، أي الطلب مرن.