البحث الوظيفي عبر الإنترنت ص. دراسة الدالة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل

إجراء دراسة كاملة ورسم بياني للوظيفة

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) نطاق الوظيفة. بما أن الدالة عبارة عن كسر، علينا إيجاد أصفار المقام.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

نستبعد النقطة الوحيدة x=1x=1 من مجال تعريف الدالة ونحصل على:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع. دعونا نجد الحدود من جانب واحد:

بما أن النهايات تساوي ما لا نهاية، فإن النقطة x=1x=1 هي انقطاع من النوع الثاني، والخط المستقيم x=1x=1 هو خط مقارب رأسي.

3) دعونا نحدد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OyOy، والتي نساوي لها x=0x=0:

وبالتالي، فإن نقطة التقاطع مع محور OyOy لها الإحداثيات (0;8)(0;8).

لنجد نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي OxOx، والتي قمنا بتعيين y=0y=0 عليها:

المعادلة ليس لها جذور، لذلك لا توجد نقاط تقاطع مع محور OxOx.

لاحظ أن x2+8>0x2+8>0 لأي xx. لذلك، بالنسبة إلى x∈(−∞;1)x∈(−∞;1)، الدالة y>0y>0 (تأخذ قيمًا موجبة، يكون الرسم البياني أعلى المحور x)، بالنسبة إلى x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) الدالة y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) الدالة ليست زوجية ولا فردية للأسباب التالية:

5) دعونا نفحص وظيفة الدورية. الدالة ليست دورية، لأنها دالة كسرية.

6) دعونا نفحص وظيفة النغمات القصوى والرتابة. للقيام بذلك، نجد المشتقة الأولى للدالة:

دعونا نساوي المشتقة الأولى بالصفر ونجد النقاط الثابتة (عندها y′=0y′=0):

حصلنا على ثلاث نقاط حرجة: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. دعونا نقسم مجال تعريف الدالة بالكامل إلى فترات بهذه النقاط ونحدد علامات المشتق في كل فترة:

من أجل x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) المشتق y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

بالنسبة إلى x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) المشتق y′>0y′>0، تزيد الدالة على هذه الفواصل الزمنية.

في هذه الحالة، x=−2x=−2 هي نقطة صغرى محلية (تقل الدالة ثم تزيد)، وx=4x=4 هي نقطة عظمى محلية (تزيد الدالة ثم تقل).

لنجد قيم الوظيفة عند هذه النقاط:

وبالتالي، فإن النقطة الدنيا هي (−2;4)(−2;4)، والنقطة القصوى هي (4;−8)(4;−8).

7) دعونا نتفحص وظيفة مكامن الخلل والتحدب. لنجد المشتقة الثانية للدالة:

دعونا نساوي المشتقة الثانية بالصفر:

المعادلة الناتجة ليس لها جذور، لذلك لا توجد نقاط انعطاف. علاوة على ذلك، عندما تكون x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 راضية، أي أن الدالة مقعرة، عندما x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) راضٍ بـ y''<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) دعونا نتفحص سلوك الدالة عند اللانهاية، أي عند .

وبما أن النهايات لا نهائية، فلا توجد خطوط مقاربة أفقية.

دعونا نحاول تحديد الخطوط المقاربة المائلة للشكل y=kx+by=kx+b. نحسب قيم k,bk,b باستخدام الصيغ المعروفة:

لقد وجدنا أن الدالة لها خط تقارب مائل واحد y=−x−1y=−x−1.

9) نقاط إضافية. دعونا نحسب قيمة الدالة في بعض النقاط الأخرى من أجل إنشاء الرسم البياني بشكل أكثر دقة.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها، سنقوم بإنشاء رسم بياني، ونكمله بالخطوط المقاربة x=1x=1 (أزرق)، y=−x−1y=−x−1 (أخضر) ونضع علامة على النقاط المميزة (تقاطع أرجواني مع الإحداثي المحور، الحدود القصوى البرتقالية، النقاط الإضافية السوداء):

المهمة 4: المشكلات الهندسية والاقتصادية (ليس لدي أي فكرة عن ذلك، إليك مجموعة تقريبية من المشكلات مع الحلول والصيغ)

مثال 3.23. أ

حل. سو ذ ذ
ص = أ - 2×أ/4 =أ/2. بما أن x = a/4 هي النقطة الحرجة الوحيدة، فلنتحقق مما إذا كانت إشارة المشتقة تتغير عند المرور بهذه النقطة. بالنسبة إلى xa/4 S " > 0، وبالنسبة إلى x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

مثال 3.24.

حل.
ص = 2، ح = 16/4 = 4.

مثال 3.22.أوجد الحدود القصوى للدالة f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

حل.بما أن f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3)، فإن النقاط الحرجة للدالة x 1 = 2 وx 2 = 3. يمكن أن تكون الحدود القصوى عند فقط هذه النقاط. لذا، عند المرور بالنقطة x 1 = 2 تغير المشتقة إشارتها من موجب إلى ناقص، عند هذه النقطة يكون للدالة قيمة عظمى. عند المرور بالنقطة x 2 = 3 تغير المشتقة إشارتها من ناقص إلى علامة الجمع، وبالتالي عند النقطة x 2 = 3 يكون للدالة حد أدنى، وبعد حساب قيم الدالة عند النقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، نجد الحدود القصوى للدالة: الحد الأقصى f(2) = 14 والحد الأدنى f(3) = 13.

مثال 3.23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث تكون مسيجة من ثلاث جهات بشبكة سلكية، والجانب الرابع مجاور للجدار. لهذا هناك أمتر خطي من الشبكة. في أي نسبة عرض إلى ارتفاع سيكون للموقع أكبر مساحة؟

حل.دعونا نشير إلى جوانب المنصة بواسطة سو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذ- هذا هو طول الضلع المجاور للجدار. ثم، بشرط، يجب أن تكون المساواة 2x + y = a. وبالتالي y = a - 2x وS = x(a - 2x)، حيث
0 ≥ x ≥ a/2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض اللوحة سالبًا). S " = أ - 4س، أ - 4س = 0 عند س = أ/4، من أين
ص = أ - 2×أ/4 =أ/2. بما أن x = a/4 هي النقطة الحرجة الوحيدة، فلنتحقق مما إذا كانت إشارة المشتقة تتغير عند المرور بهذه النقطة. بالنسبة إلى xa/4 S " > 0، وبالنسبة إلى x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

مثال 3.24.يشترط تصنيع خزان أسطواني مغلق بسعة V=16p ≈ 50 m3 . ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) بحيث يتم استخدام أقل كمية من المواد في تصنيعه؟

حل.المساحة الإجمالية للأسطوانة هي S = 2pR(R+H). نحن نعرف حجم الاسطوانة V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . وهذا يعني S(R) = 2p(R 2 +16/R). نجد مشتقة هذه الدالة:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 لـ R 3 = 8، وبالتالي،
ص = 2، ح = 16/4 = 4.

معلومات ذات صله.

في هذه المقالة، سننظر في مخطط لدراسة دالة، وسنقدم أيضًا أمثلة لدراسة النهايات والرتابة والخطوط المقاربة لدالة معينة.

مخطط

1. مجال الوجود (DOA) للدالة.
2. تقاطع الدالة (إن وجدت) مع محاور الإحداثيات، علامات الدالة، التكافؤ، الدورية.
3. نقاط الانهيار (نوعها). استمرارية. الخطوط المقاربة عمودية.
4. الرتابة والنقاط المتطرفة.
5. نقاط الانقلاب. محدب.
6. دراسة الدالة عند اللانهاية للخطوط المقاربة: الأفقية والمائلة.
7. بناء الرسم البياني.

اختبار الرتابة

نظرية.إذا كانت الوظيفة زمستمر على ، متباينة (أ، ب)و ز'(س) ≥ 0 (ز'(س)≥0), xє(أ;ب)، الذي - التي ززيادة (تناقص) بمقدار .

مثال:

ص = 1: 3س 3 - 6: 2س 2 + 5س.

أودز: xєR

ص’ = س 2 + 6س + 5.

دعونا نجد فترات الإشارات الثابتة ذ'. بسبب ال ذ'هي دالة أولية، فلا يمكنها تغيير الإشارات إلا في النقاط التي تصبح فيها صفرًا أو غير موجودة. ODZ لها: xєR.

لنجد النقاط التي يساوي عندها المشتق 0 (صفر):

ص' = 0؛

س = -1; -5.

لذا، ذتنمو (-∞; -5] و على [-1؛ +∞)، ص تنازلي على .

البحوث على التطرف

ت. × 0تسمى النقطة القصوى (الحد الأقصى) في المجموعة أالمهام زعندما تأخذ الدالة القيمة الأكبر عند هذه النقطة ز(x 0) ≥ ز(x)، xєA.

ت. × 0تسمى النقطة الدنيا (دقيقة) للدالة زعلى مجموعة أعندما تأخذ الدالة أصغر قيمة عند هذه النقطة ز(x 0) ≥ ز(x)، xєА.

على مجموعة أتسمى النقاط القصوى (الحد الأقصى) والحد الأدنى (الحد الأدنى) بالنقاط القصوى ز. وتسمى هذه القيم القصوى أيضًا بالنقاط القصوى المطلقة في المجموعة .

لو × 0- النقطة القصوى للوظيفة زفي بعض مناطقها إذن × 0تسمى نقطة الحد الأقصى المحلي أو المحلي (الحد الأقصى أو الأدنى) للدالة ز.

نظرية (شرط ضروري).لو × 0- النقطة القصوى (المحلية) للدالة زفإن المشتقة غير موجودة أو تساوي 0 (صفر) في هذه المنطقة.

تعريف.تسمى النقاط ذات مشتق غير موجود أو يساوي 0 (صفر) حرجة. هذه النقاط مشبوهة للتطرف.

نظرية (الشرط الكافي رقم 1).إذا كانت الوظيفة زمستمر في بعض المناطق أي × 0وتتغير الإشارة من خلال هذه النقطة أثناء انتقال المشتقة، فهذه النقطة هي نقطة الحد الأقصى ز.

نظرية (الشرط الكافي رقم 2).دع الوظيفة في بعض مناطق النقطة تكون قابلة للتمييز مرتين و ز' = 0، و ز'' > 0 (ز''< 0) ، ثم هذه النقطة هي نقطة الحد الأقصى (الحد الأقصى) أو الحد الأدنى (الدقيقة) للدالة.

اختبار الانتفاخ

تسمى الوظيفة محدبة لأسفل (أو مقعرة) على الفاصل الزمني (أ، ب)عندما لا يكون الرسم البياني للدالة أعلى من القاطع على الفاصل الزمني لأي x مع (أ، ب)، الذي يمر عبر هذه النقاط .

ستكون الوظيفة محدبة بشكل صارم للأسفل عند (أ، ب)، إذا - يقع الرسم البياني أسفل القاطع في الفاصل الزمني.

يقال أن الدالة محدبة لأعلى (محدبة) على الفاصل الزمني (أ، ب)، إذا كان لأي ر نقاط مع (أ، ب)الرسم البياني للدالة على الفاصل الزمني لا يقع أقل من الخط القاطع الذي يمر عبر الإحداثي السيني عند هذه النقاط .

ستكون الوظيفة محدبة بشكل صارم للأعلى (أ، ب)، إذا - يقع الرسم البياني على الفاصل الزمني أعلى الخط القاطع.

إذا كانت وظيفة في منطقة ما المستمر وعبر ر × 0عند الانتقال، تغير الدالة تحدبها، وتسمى هذه النقطة بنقطة انعطاف الدالة.

دراسة عن الخطوط المقاربة

تعريف.الخط المستقيم يسمى الخط المقارب ز (خ)، إذا كانت نقطة في الرسم البياني للدالة تقترب منها على مسافة لا نهائية من أصل الإحداثيات: د (م، ل).

يمكن أن تكون الخطوط المقاربة رأسية وأفقية ومائلة.

خط عمودي مع المعادلة س = س 0 سيكون الخط المقارب للرسم البياني الرأسي للدالة g ، إذا كانت هناك فجوة لا نهائية عند النقطة x 0، فهناك حد يسار أو يمين واحد على الأقل عند هذه النقطة - اللانهاية.

دراسة دالة على قطعة للقيم الصغرى والأكبر

إذا كانت الدالة مستمرة ل ، وفقًا لنظرية Weierstrass هناك قيمة قصوى وقيمة دنيا في هذا المقطع، أي أن هناك t النظارات التي تنتمي مثل ذلك ز(× 1) ≥ ز(خ)< g(x 2), x 2 є . من نظريات الرتابة والنقاط القصوى، حصلنا على المخطط التالي لدراسة دالة على فترة لأصغر وأكبر القيم.

يخطط

1. أوجد المشتقة ز '(خ).
2. قيمة وظيفة البحث زفي هذه النقاط وفي نهايات المقطع.
3. قارن القيم الموجودة وحدد الأصغر والأكبر.

تعليق.إذا كنت بحاجة إلى دراسة وظيفة على فترة محدودة (أ، ب)، أو على ما لا نهاية (-∞؛ ب)؛ (-∞؛ +∞)على القيم القصوى والدنيا، ثم في الخطة، بدلاً من قيم الوظائف في نهايات الفاصل الزمني، نبحث عن الحدود المقابلة من جانب واحد: بدلاً من ذلك و (أ)البحث عن و(أ+) = الطرف(خ)، بدلاً من و (ب)البحث عن و(-ب). بهذه الطريقة يمكنك العثور على ODZ لدالة على فترة زمنية، لأن القيم القصوى المطلقة لا توجد بالضرورة في هذه الحالة.

تطبيق المشتق على حل المسائل التطبيقية على أقصى كميات معينة

1. عبر عن هذه الكمية بدلالة الكميات الأخرى من بيان المشكلة بحيث تكون دالة لمتغير واحد فقط (إن أمكن).
2. تحديد فترة التغيير لهذا المتغير.
3. قم بإجراء دراسة للدالة على الفاصل الزمني عند القيم القصوى والدنيا.

مهمة.من الضروري بناء منصة مستطيلة على الحائط باستخدام متر من الشبكة بحيث تكون مجاورة للجدار من جانب واحد ومسيجة بشبكة من الجوانب الثلاثة الأخرى. في أي نسبة عرض إلى ارتفاع ستكون مساحة هذه المنصة أكبر؟

س = س ص- وظيفة 2 المتغيرات.

ق = س(أ - 2س)- وظيفة المتغير الأول ; س .

S = الفأس - 2x2 ; S" = a - 4x = 0، xєR، x = a: 4.

ق(أ: 4) = أ2: 8- أعظم قيمة؛

ق(0) =0.

لنجد الجانب الآخر من المستطيل: في = أ: 2.

ابعاد متزنة: ص: س = 2.

إجابة.أكبر مساحة ستكون مساوية ل أ2/8إذا كان الجانب الموازي للجدار أكبر مرتين من الجانب الآخر.

دراسة الوظيفة. أمثلة

مثال 1

متاح ص=س 3: (1-س) 2 . قم ببحث.

1. أودز: xє(-∞; 1) U (1; ∞).
2. الدالة ذات الشكل العام (ليست زوجية ولا فردية) ليست متناظرة بالنسبة إلى النقطة 0 (صفر).
3. علامات وظيفية. الدالة أولية، لذا يمكنها تغيير الإشارة فقط عند النقاط التي تساوي 0 (صفر) أو غير موجودة.
4. الوظيفة أولية، وبالتالي مستمرة على ODZ: (-∞؛ 1) ش (1؛ ∞).

فجوة: س = 1؛

ليمكس 3: (1- س) 2 = ∞- انقطاع من النوع الثاني (لانهائي)، وبالتالي يوجد خط مقارب رأسي عند النقطة 1؛

س = 1- معادلة الخط المقارب العمودي.

5. ص' = س 2 (3 - س) : (1 - س) 3 ;

ODZ (ص): س ≠ 1؛

س = 1- نقطة حرجة.

ص' = 0؛

0; 3 - نقاط حرجة.

6. ص '' = 6س: (1 - س) 4 ;

العناصر الحرجة: 1, 0;

س = 0 - نقطة الانحناء، ص(0) = 0.

7. لمكس 3: (1 - 2س + س 2) = ∞- لا يوجد خط تقارب أفقي، ولكن قد يكون هناك خط مقارب مائل.

ك = 1- رقم؛

ب = 2- رقم.

ولذلك، هناك خط مقارب مائل ص = س + 2عند + ∞ وفي - ∞.

مثال 2

منح ص = (س 2 + 1) : (س - 1). إنتاج وبحث. قم ببناء رسم بياني.

1. مجال الوجود هو خط الأعداد بأكمله، باستثناء ما يسمى س = 1.

2. ذيعبر OY (إن أمكن) بما في ذلك. (0;ز(0)). نجد ص(0) = -1 - ر تقاطع OY .

نقاط تقاطع الرسم البياني مع ثورنجد من خلال حل المعادلة ص = 0. المعادلة ليس لها جذور حقيقية، وبالتالي فإن هذه الدالة لا تتقاطع ثور.

3. الوظيفة غير دورية. النظر في التعبير

ز(-x) ≠ ز(x)، و ز(-x) ≠ -ز(x). وهذا يعني أن هذا منظر عامدالة (لا زوجية ولا فردية).

4. ت. س = 1والانقطاع هو من النوع الثاني. وفي جميع النقاط الأخرى تكون الوظيفة مستمرة.

5. دراسة دالة الحد الأقصى:

(x 2 - 2س - 1) : (س - 1)2 = ص"

وحل المعادلة ص" = 0.

لذا، 1 - √2, 1 + √2, 1 - النقاط الحرجة أو النقاط القصوى المحتملة. تقسم هذه النقاط خط الأعداد إلى أربع فترات .

في كل فترة، يكون للمشتق علامة معينة، والتي يمكن تحديدها بطريقة الفترات أو عن طريق حساب قيم المشتق عند نقاط فردية. على فترات (-∞; 1 - √2 ) ش (1 + √2 ; ∞) ، مشتق موجب، مما يعني أن الدالة تنمو؛ لو xє(1 - √2 ; 1) ش(1; 1 + √2 ) ، فإن الدالة تتناقص، لأن المشتقة في هذه الفترات تكون سالبة. من خلال ر. × 1أثناء الانتقال (الحركة تتبع من اليسار إلى اليمين)، تتغير علامة المشتقة من "+" إلى "-"، وبالتالي، عند هذه النقطة يوجد حد أقصى محلي، سنجد

ذالحد الأقصى = 2 - 2 √2 .

عند المرور × 2تشير التغييرات المشتقة من "-" إلى "+"، وبالتالي، عند هذه النقطة يوجد حد أدنى محلي، و

مزيج ص = 2 + 2√2.

ت. س = 1ليس المتطرفة.

6. 4: (س - 1) 3 = ص"".

على (-∞; 1 ) 0 > ذ"" وبالتالي، في هذه الفترة يكون المنحنى محدبًا؛ إذا xє (1 ; ∞) - المنحنى مقعر . في ر النقطة 1لم يتم تعريف الدالة، وبالتالي فإن هذه النقطة ليست نقطة انعطاف.

7. من نتائج الفقرة 4 يترتب على ذلك س = 1- الخط المقارب الرأسي للمنحنى.

لا توجد الخطوط المقاربة الأفقية.

س + 1 = ذ - الخط المقارب المائل لهذا المنحنى. لا توجد الخطوط المقاربة الأخرى.

8. مع الأخذ بعين الاعتبار الأبحاث التي تم إجراؤها، قمنا ببناء رسم بياني (انظر الشكل أعلاه).

إذا كانت المشكلة تتطلب دراسة كاملة للدالة f (x) = x 2 4 x 2 - 1 مع بناء الرسم البياني الخاص بها، فسننظر في هذا المبدأ بالتفصيل.

لحل مشكلة من هذا النوع، يجب عليك استخدام الخصائص والرسوم البيانية الرئيسية وظائف أولية. تتضمن خوارزمية البحث الخطوات التالية:

Yandex.RTB RA-A-339285-1

العثور على مجال التعريف

وبما أن البحث يتم في مجال تعريف الوظيفة، فمن الضروري البدء بهذه الخطوة.

مثال 1

خلف هذا المثاليتضمن العثور على أصفار المقام لاستبعادها من ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ونتيجة لذلك، يمكنك الحصول على الجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك. ثم يمكن البحث في ODZ عن جذر درجة زوجية من النوع g (x) 4 بواسطة عدم المساواة g (x) ≥ 0، لسجل اللوغاريتم a g (x) بواسطة عدم المساواة g (x) > 0.

دراسة حدود ODZ وإيجاد الخطوط المقاربة الرأسية

توجد خطوط مقاربة رأسية عند حدود الدالة، عندما تكون الحدود أحادية الجانب عند هذه النقاط لا نهائية.

مثال 2

على سبيل المثال، اعتبر أن النقاط الحدودية تساوي x = ± 1 2.

ثم من الضروري دراسة الدالة للعثور على النهاية من جانب واحد. ثم نحصل على ما يلي: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ الحد x → 1 2 - 0 f (x) = الحد x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

يوضح هذا أن الحدود أحادية الجانب لا نهائية، مما يعني أن الخطوط المستقيمة x = ± 1 2 هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.

دراسة الدالة وهل هي زوجية أم فردية

عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = y (x)، تعتبر الدالة زوجية. يشير هذا إلى أن الرسم البياني يقع بشكل متماثل بالنسبة لـ Oy. عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = - y (x)، تعتبر الدالة فردية. وهذا يعني أن التماثل يتعلق بأصل الإحداثيات. إذا لم يتم تحقيق متباينة واحدة على الأقل، فسنحصل على دالة ذات صورة عامة.

تشير المساواة y (- x) = y (x) إلى أن الدالة زوجية. عند البناء، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه سيكون هناك تناظر فيما يتعلق بـ Oy.

لحل المتراجحة، يتم استخدام فترات التزايد والتناقص مع الشروط f " (x) ≥ 0 و f " (x) ≥ 0، على التوالي.

التعريف 1

نقاط ثابتة- هذه هي النقاط التي تحول المشتقة إلى الصفر.

نقاط حرجة- هذه نقاط داخلية من مجال التعريف حيث مشتقة الدالة تساوي صفراً أو غير موجودة.

وعند اتخاذ القرار يجب مراعاة الملاحظات التالية:

• بالنسبة للفواصل الزمنية الحالية لزيادة وتناقص عدم المساواة بالشكل f " (x) > 0، لا يتم تضمين النقاط الحرجة في الحل؛
• يجب تضمين النقاط التي يتم تعريف الدالة عندها بدون مشتق محدود في فترات الزيادة والتناقص (على سبيل المثال، y = x 3، حيث النقطة x = 0 تجعل الدالة محددة، ويكون للمشتق قيمة اللانهاية عند هذا النقطة، y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 متضمنة في الفترة المتزايدة);
• لتجنب الخلافات، يوصى باستخدام الأدبيات الرياضية الموصى بها من قبل وزارة التعليم.

إدراج النقاط الحرجة في فترات التزايد والتناقص إذا كانت تلبي مجال تعريف الدالة.

التعريف 2

ل تحديد فترات الزيادة والنقصان من وظيفة، فمن الضروري العثور عليها:

• المشتق؛
• نقاط حرجة؛
• تقسيم مجال التعريف إلى فترات باستخدام النقاط الحرجة؛
• حدد إشارة المشتقة في كل فترة حيث + زيادة و - نقصان.

مثال 3

أوجد المشتقة في مجال التعريف f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

حل

لحل تحتاج:

• ابحث عن نقاط ثابتة، هذا المثال لديه x = 0؛
• أوجد أصفار المقام، يأخذ المثال القيمة صفر عند x = ± 1 2.

نضع نقاطًا على خط الأعداد لتحديد المشتقة في كل فترة. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي نقطة من الفاصل الزمني وإجراء عملية حسابية. إذا كانت النتيجة إيجابية، فإننا نرسم + على الرسم البياني، مما يعني أن الدالة تتزايد، و - تعني أنها تتناقص.

على سبيل المثال، f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0، مما يعني أن الفترة الأولى على اليسار بها علامة +. فكر في ذلك على خط الأعداد.

إجابة:

• تزيد الدالة على الفاصل الزمني - ∞؛ - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
• هناك انخفاض في الفاصل الزمني [ 0 ; 1 2) و 1 2 ; + ∞ .

في الرسم التخطيطي، باستخدام + و-، يتم توضيح إيجابية وسلبية الوظيفة، وتشير الأسهم إلى النقصان والزيادة.

النقاط القصوى للدالة هي النقاط التي يتم فيها تعريف الدالة والتي من خلالها يتم تسجيل التغييرات المشتقة.

مثال 4

إذا أخذنا مثالاً حيث x = 0، فإن قيمة الدالة فيه تساوي f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. عندما تتغير إشارة المشتق من + إلى - ويمر بالنقطة x = 0، فإن النقطة ذات الإحداثيات (0؛ 0) تعتبر النقطة القصوى. عندما تتغير الإشارة من - إلى +، نحصل على نقطة الحد الأدنى.

يتم تحديد التحدب والتقعر عن طريق حل المتباينات بالشكل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0. والأقل استخدامًا هو اسم التحدب للأسفل بدلًا من التقعر، والتحدب للأعلى بدلًا من التحدب.

التعريف 3

ل تحديد فترات التقعر والتحدبضروري:

• أوجد المشتقة الثانية؛
• أوجد أصفار الدالة المشتقة الثانية؛
• تقسيم منطقة التعريف إلى فترات مع النقاط التي تظهر؛
• تحديد علامة الفاصل الزمني.

مثال 5

أوجد المشتقة الثانية من مجال التعريف.

حل

و "" (x) = - 2 × (4 × 2 - 1) 2 " = = (- 2 ×) " (4 × 2 - 1) 2 - - 2 × 4 × 2 - 1 2 " (4 × 2) - 1) 4 = 24 × 2 + 2 (4 × 2 - 1) 3

نجد أصفار البسط والمقام، حيث لدينا في مثالنا أن أصفار المقام x = ± 1 2

أنت الآن بحاجة إلى رسم النقاط على خط الأعداد وتحديد إشارة المشتقة الثانية من كل فترة. لقد حصلنا على ذلك

إجابة:

• الدالة محدبة من الفاصل - 1 2 ; 12 ؛
• الدالة مقعرة من الفترات - ∞ ; - 1 2 و 1 2؛ + ∞ .

التعريف 4

نقطة الأنحراف– هذه نقطة من النموذج x 0 ; و (× 0) . عندما يكون لها مماس للرسم البياني للدالة، فعندما تمر عبر x 0 تتغير إشارة الدالة إلى الاتجاه المعاكس.

بمعنى آخر، هذه نقطة يمر من خلالها المشتق الثاني وتتغير الإشارة، وعند النقاط نفسها تساوي صفرًا أو غير موجودة. تعتبر جميع النقاط هي مجال الوظيفة.

في المثال، كان من الواضح أنه لا توجد نقاط انعطاف، حيث أن المشتقة الثانية تتغير أثناء مرورها بالنقاط x = ± 1 2. وهم، بدورهم، لا يدخلون في نطاق التعريف.

إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

عند تحديد دالة عند اللانهاية، عليك البحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة.

التعريف 5

الخطوط المقاربة المائلةتم تصويرها باستخدام الخطوط المستقيمة المعطاة بالمعادلة y = k x + b، حيث k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x.

بالنسبة لـ k = 0 و b لا تساوي ما لا نهاية، نجد أن الخط المقارب المائل يصبح أفقي.

بمعنى آخر، تعتبر الخطوط المقاربة خطوطًا يقترب منها الرسم البياني للدالة عند اللانهاية. وهذا يسهل البناء السريع للرسم البياني للدالة.

إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة، ولكن تم تعريف الدالة عند كلا اللانهاية، فمن الضروري حساب حد الدالة عند هذه اللانهاية لفهم كيفية تصرف الرسم البياني للدالة.

مثال 6

دعونا نعتبر كمثال على ذلك

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 4 1 ⇒ ص = 4 1

هو الخط المقارب الأفقي. بعد فحص الوظيفة، يمكنك البدء في إنشائها.

حساب قيمة الدالة عند النقاط المتوسطة

لجعل الرسم البياني أكثر دقة، يوصى بالعثور على عدة قيم دالة عند نقاط متوسطة.

مثال 7

من المثال الذي تناولناه، من الضروري إيجاد قيم الدالة عند النقاط x = - 2، x = - 1، x = - 3 4، x = - 1 4. وبما أن الدالة زوجية، فإننا نحصل على أن القيم تتوافق مع القيم عند هذه النقاط، أي نحصل على x = 2، x = 1، x = 3 4، x = 1 4.

لنكتب ونحل:

و (- 2) = و (2) = 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 و (- 1) - و (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 و - 3 4 = و 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 و - 1 4 = و 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

لتحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، ونقاط الانعطاف، والنقاط المتوسطة، من الضروري إنشاء الخطوط المقاربة. للتعيين المناسب، يتم تسجيل فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر. دعونا ننظر إلى الصورة أدناه.

من الضروري رسم خطوط بيانية من خلال النقاط المحددة، مما سيسمح لك بالاقتراب من الخطوط المقاربة باتباع الأسهم.

وبهذا ينتهي الاستكشاف الكامل للوظيفة. هناك حالات لبناء بعض الوظائف الأولية التي تستخدم فيها التحويلات الهندسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

لدراسة الدالة بشكل كامل ورسم الرسم البياني الخاص بها، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1) العثور على مجال تعريف الوظيفة؛

2) العثور على نقاط انقطاع الدالة والخطوط المقاربة الرأسية (إن وجدت)؛

3) التحقق من سلوك الدالة عند اللانهاية، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة؛

4) فحص الدالة من حيث التكافؤ (الغرابة) والدورية (للدوال المثلثية)؛

5) العثور على الحدود القصوى وفترات رتابة الوظيفة؛

6) تحديد فترات التحدب ونقاط انعطاف.

7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات، وإذا أمكن بعض النقاط الإضافية التي توضح الرسم البياني.

يتم إجراء دراسة الوظيفة في وقت واحد مع بناء الرسم البياني الخاص بها.

مثال 9استكشف الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

1. نطاق التعريف: ;

2. تعاني الوظيفة من انقطاع عند النقاط
,
;

نحن نفحص وظيفة وجود الخطوط المقاربة الرأسية.

;
,
─ الخط المقارب العمودي.

;
,
─ الخط المقارب العمودي.

3. نفحص الدالة لوجود الخطوط المقاربة المائلة والأفقية.

مستقيم
─ الخط المقارب المائل، إذا
,
.

,
.

مستقيم
─ الخط المقارب الأفقي.

4. الوظيفة متساوية لأن
. يشير تكافؤ الدالة إلى تماثل الرسم البياني بالنسبة إلى المحور الإحداثي.

5. أوجد فترات الرتابة والنقاط القصوى للدالة.

دعونا نجد النقاط الحرجة، أي. النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود:
;
. لدينا ثلاث نقاط
;

. تقسم هذه النقاط المحور الحقيقي بأكمله إلى أربع فترات. دعونا نحدد العلامات على كل واحد منهم.

على الفترات (-∞; -1) و (-1; 0) تزيد الدالة، على الفترات (0; 1) و (1; +∞) ─ تتناقص. عند المرور عبر نقطة ما
تشير التغييرات المشتقة من الموجب إلى الناقص، وبالتالي، عند هذه النقطة، يكون للدالة قيمة عظمى
.

6. أوجد فترات التحدب ونقاط الانقلاب.

دعونا نجد النقاط التي هو 0، أو غير موجود.

ليس له جذور حقيقية.
,
,

نقاط
و
قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة في كل فاصل.

وهكذا، المنحنى على فترات
و
محدبة للأسفل، على الفاصل الزمني (-1؛1) محدبة للأعلى؛ لا توجد نقاط انعطاف، لأن الدالة موجودة في نقاط
و
لم يحدد.

7. أوجد نقاط التقاطع مع المحاور.

مع المحور
يتقاطع الرسم البياني للدالة عند النقطة (0; -1) ومع المحور
الرسم البياني لا يتقاطع، لأن بسط هذه الدالة ليس له جذور حقيقية.

يظهر الرسم البياني للوظيفة المحددة في الشكل 1.

الشكل 1 ─ الرسم البياني للوظيفة

تطبيق مفهوم المشتقات في الاقتصاد. وظيفة المرونة

لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى، غالبا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.

تعريف.وظيفة المرونة
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة إلى الزيادة النسبية للمتغير في
، . (السابع)

تُظهر مرونة الدالة تقريبًا النسبة المئوية التي ستتغير بها الدالة
عندما يتغير المتغير المستقل بنسبة 1%.

يتم استخدام دالة المرونة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة)
، فإن الطلب يعتبر مرنًا إذا
- محايد إذا
─ غير مرن بالنسبة للسعر (أو الدخل).

مثال 10احسب مرونة الوظيفة
وأوجد قيمة مؤشر المرونة لـ = 3.

الحل: حسب الصيغة (VII) فإن مرونة الدالة هي:

دع x = 3 إذن
وهذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1% فإن قيمة المتغير التابع سترتفع بنسبة 1.42%.

مثال 11دع وظيفة الطلب فيما يتعلق بالسعر يشبه
، أين ─ معامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر المرونة لدالة الطلب عند السعر x = 3 den. وحدات

الحل: حساب مرونة دالة الطلب باستخدام الصيغة (VII)

الاعتقاد
الوحدات النقدية، نحصل عليها
. وهذا يعني أنه بسعر
الوحدات النقدية زيادة السعر بنسبة 1% ستؤدي إلى انخفاض الطلب بنسبة 6%، أي. الطلب مرن.