Движение на тялото по крива пътека от мотоциклетист. Криволинейно движение - наука и образование

Добре знаете, че в зависимост от формата на траекторията движението се дели на праволинейнаИ криволинейна. Научихме как да работим с праволинейно движение в предишните уроци, а именно да решим основната задача на механиката за този тип движение.

Ясно е обаче, че в реалния свят най-често имаме работа с криволинейно движение, когато траекторията е крива линия. Примери за такова движение са траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, движението на Земята около Слънцето и дори траекторията на движението на вашите очи, които сега следват тази бележка.

Този урок ще бъде посветен на въпроса как се решава основният проблем на механиката в случай на криволинейно движение.

Първо, нека решим какво фундаментални различияима ли криволинейното движение (фиг. 1) спрямо праволинейното и до какво водят тези разлики.

Ориз. 1. Траектория на криволинейно движение

Нека да поговорим за това как е удобно да се опише движението на тялото по време на криволинейно движение.

Движението може да бъде разделено на отделни участъци, във всеки от които движението може да се счита за праволинейно (фиг. 2).

Ориз. 2. Разделяне на криволинейното движение на участъци от праволинейно движение

Следният подход обаче е по-удобен. Ще си представим това движение като комбинация от няколко движения по кръгови дъги (фиг. 3). Моля, имайте предвид, че има по-малко такива дялове, отколкото в предишния случай, освен това движението по кръга е криволинейно. Освен това в природата много често се срещат примери за движение в кръг. От това можем да заключим:

За да се опише криволинейно движение, трябва да се научите да описвате движение в кръг и след това да представяте произволно движение под формата на набори от движения по кръгови дъги.

Ориз. 3. Разделяне на криволинейното движение на движение по кръгови дъги

И така, нека започнем изучаването на криволинейното движение, като изучаваме равномерното движение в кръг. Нека да разберем какви са основните разлики между криволинейното и праволинейното движение. Като начало нека си припомним, че в девети клас изучавахме факта, че скоростта на тялото при движение в кръг е насочена по допирателна към траекторията (фиг. 4). Между другото, можете да наблюдавате този факт експериментално, ако наблюдавате как се движат искри, когато използвате камък за заточване.

Да разгледаме движението на тяло по дъга от окръжност (фиг. 5).

Ориз. 5. Скорост на тялото при движение в кръг

Моля, обърнете внимание, че в този случай модулът на скоростта на тялото в точка е равен на модула на скоростта на тялото в точката:

Обаче векторът не е равен на вектор. И така, имаме вектор на разликата в скоростта (фиг. 6):

Ориз. 6. Вектор на разликата в скоростите

Освен това промяната в скоростта настъпи след известно време. Така получаваме познатата комбинация:

Това не е нищо повече от промяна в скоростта за определен период от време или ускорение на тялото. Може да се направи един много важен извод:

Движението по крива пътека се ускорява. Природата на това ускорение е непрекъсната промяна в посоката на вектора на скоростта.

Нека отбележим още веднъж, че дори да се каже, че тялото се движи равномерно в кръг, това означава, че модулът на скоростта на тялото не се променя. Такова движение обаче винаги се ускорява, тъй като посоката на скоростта се променя.

В девети клас сте учили на какво е равно това ускорение и как е насочено (фиг. 7). Центростремителното ускорение винаги е насочено към центъра на окръжността, по която се движи тялото.

Ориз. 7. Центростремително ускорение

Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:

Нека преминем към описанието на равномерното движение на тяло в окръжност. Нека се съгласим, че сега ще се нарича скоростта, която сте използвали по време на описанието на транслационното движение линейна скорост. А под линейна скорост ще разбираме моментната скорост в точката на траекторията на въртящо се тяло.

Ориз. 8. Движение на дискови точки

Помислете за диск, който се върти по часовниковата стрелка за определеност. На радиуса му отбелязваме две точки и (фиг. 8). Нека разгледаме тяхното движение. След известно време тези точки ще се преместят по дъгите на окръжността и ще станат точки и. Очевидно е, че точката се е преместила повече от точката. От това можем да заключим, че колкото по-далеч е една точка от оста на въртене, толкова по-голяма е линейната скорост, която се движи

Въпреки това, ако се вгледате внимателно в точките и , можем да кажем, че ъгълът, под който те се обърнаха спрямо оста на въртене, остана непроменен. Именно ъгловите характеристики ще използваме, за да опишем движението в кръг. Обърнете внимание, че за да опишем кръгово движение, можем да използваме ъгълхарактеристики.

Нека започнем да разглеждаме движението в кръг с най-простия случай - равномерно движение в кръг. Нека припомним, че равномерното постъпателно движение е движение, при което тялото извършва равни движения за всякакви равни периоди от време. По аналогия можем да дадем определението за равномерно движение в окръжност.

Равномерното кръгово движение е движение, при което тялото се върти на равни ъгли за всякакви равни интервали от време.

Подобно на понятието линейна скорост се въвежда понятието ъглова скорост.

Ъглова скорост на равномерно движение (е физическа величина, равна на съотношението на ъгъла, на който тялото се е завъртяло, към времето, през което е извършено това завъртане.

Във физиката най-често се използва мярката за ъгъл в радиан. Например ъгъл b е равен на радиани. Ъгловата скорост се измерва в радиани в секунда:

Нека намерим връзката между ъгловата скорост на въртене на точка и линейната скорост на тази точка.

Ориз. 9. Връзка между ъглова и линейна скорост

При въртене точката преминава през дъга с дължина , завъртайки се под ъгъл . От дефиницията на радианова мярка на ъгъл можем да запишем:

Нека разделим лявата и дясната страна на равенството на периода от време, през който е извършено движението, след което използваме определението за ъглови и линейни скорости:

Моля, обърнете внимание, че колкото по-далеч е дадена точка от оста на въртене, толкова по-висока е нейната линейна скорост. А точките, разположени на самата ос на въртене, са неподвижни. Пример за това е въртележката: колкото по-близо сте до центъра на въртележката, толкова по-лесно ви е да останете върху нея.

Тази зависимост на линейните и ъгловите скорости се използва в геостационарни сателити (сателити, които винаги са над една и съща точка земната повърхност). Благодарение на такива сателити ние можем да приемаме телевизионни сигнали.

Нека си припомним, че по-рано въведохме понятията период и честота на въртене.

Периодът на въртене е времето на един пълен оборот.Периодът на въртене се обозначава с буква и се измерва в SI секунди:

Честотата на въртене е физическа величина, равна на броя обороти, които тялото прави за единица време.

Честотата се обозначава с буква и се измерва в реципрочни секунди:

Те са свързани с отношението:

Съществува връзка между ъгловата скорост и честотата на въртене на тялото. Ако си спомним, че пълен оборот е равен на , лесно е да се види, че ъгловата скорост е:

Замествайки тези изрази във връзката между ъгловата и линейната скорост, можем да получим зависимостта на линейната скорост от периода или честотата:

Нека запишем също връзката между центростремителното ускорение и тези величини:

Така ние знаем връзката между всички характеристики на равномерното кръгово движение.

Нека да обобщим. В този урок започнахме да описваме криволинейно движение. Разбрахме как можем да свържем криволинейното движение с кръговото движение. Кръговото движение винаги е ускорено, а наличието на ускорение определя факта, че скоростта винаги променя посоката си. Това ускорение се нарича центростремително. Накрая си спомнихме някои характеристики на кръговото движение (линейна скорост, ъглова скорост, период и честота на въртене) и намерихме връзките между тях.

Библиография

1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Соцки. Физика 10. - М.: Образование, 2008.
2. А.П. Римкевич. Физика. Проблемник 10-11. - М.: Дропла, 2006.
3. О.Я. Савченко. Проблеми по физика. - М.: Наука, 1988.
4. А.В. Перишкин, В.В. Крауклис. Курс по физика. Т. 1. - М.: Държава. учител изд. мин. образование на РСФСР, 1957г.

1. Аyp.ru ().
2. Уикипедия ().

Домашна работа

След като решите задачите за този урок, ще можете да се подготвите за въпроси 1 от държавния изпит и въпроси A1, A2 от Единния държавен изпит.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 - сб. проблеми A.P. Римкевич, изд. 10
2. Изчислете ъгловата скорост на минутната, секундната и часовата стрелка на часовника. Изчислете центростремителното ускорение, действащо върху върховете на тези стрелки, ако радиусът на всяка от тях е един метър.

При криволинейно движение посоката на вектора на скоростта се променя. В същото време неговият модул, т.е. дължината, също може да се промени. В този случай векторът на ускорението се разлага на две компоненти: допирателна към траекторията и перпендикулярна на траекторията (фиг. 10). Компонентът се нарича тангенциален(тангенциално) ускорение, компонент – нормално(центростремително) ускорение.

Ускорение по време на извито движение

Тангенциалното ускорение характеризира скоростта на промяна на линейната скорост, а нормалното ускорение характеризира скоростта на промяна в посоката на движение.

Общото ускорение е равно на векторната сума на тангенциалните и нормално ускорение:

(15)

Общият модул на ускорение е равен на:

.

Нека разгледаме равномерното движение на точка около окръжност. При което И . Нека в разглеждания момент t точката е в позиция 1 (фиг. 11). След време Δt точката ще бъде в позиция 2, след като е изминала пътя Δs, равно на дъга 1-2. В този случай скоростта на точка v се увеличава Δv, в резултат на което векторът на скоростта, оставайки непроменен по големина, се завърта на ъгъл Δφ , съвпадащ по размер с централния ъгъл, основан на дъга с дължина Δs:

(16)

където R е радиусът на окръжността, по която се движи точката. Нека намерим увеличението на вектора на скоростта. За да направим това, нека преместим вектора така че началото му да съвпада с началото на вектора. Тогава векторът ще бъде представен от сегмент, начертан от края на вектора до края на вектора . Този сегмент служи като основа равнобедрен триъгълниксъс страните и и ъгъл Δφ при върха. Ако ъгълът Δφ е малък (което е вярно за малки Δt), за страните на този триъгълник можем приблизително да напишем:

.

Замествайки Δφ от (16) тук, получаваме израз за модула на вектора:

.

Разделяйки двете страни на уравнението на Δt и преминавайки към границата, получаваме стойността на центростремителното ускорение:

Ето и количествата vИ Рса постоянни, така че могат да бъдат взети отвъд граничния знак. Границата на съотношението е модулът на скоростта Нарича се още линейна скорост.

Радиус на кривина

Радиусът на окръжността R се нарича радиус на кривинатраектории. Обратното на R се нарича кривина на траекторията:

.

където R е радиусът на въпросната окръжност. Ако α е централният ъгъл, съответстващ на дъгата на окръжност s, тогава, както е известно, връзката между R, α и s е валидна:

s = Rα. (18)

Концепцията за радиус на кривина се прилага не само за кръг, но и за всяка крива линия. Радиусът на кривина (или неговата обратна стойност - кривина) характеризира степента на кривина на линията. Колкото по-малък е радиусът на кривина (съответно по-голяма кривина), толкова по-силно се извива линията. Нека разгледаме по-отблизо тази концепция.

Окръжността на кривата на равна линия в определена точка А е граничната позиция на окръжност, минаваща през точка А и две други точки B 1 и B 2, тъй като те безкрайно се приближават до точка A (на фиг. 12 кривата е начертана от плътна линия и кръгът на кривината с пунктирана линия). Радиусът на кръга на кривината дава радиуса на кривината на въпросната крива в точка А, а центърът на тази окръжност дава центъра на кривината на кривата за същата точка А.

В точки B 1 и B 2 начертайте допирателни B 1 D и B 2 E към окръжност, минаваща през точки B 1, A и B 2. Нормалите към тези допирателни B 1 C и B 2 C ще представляват радиусите R на окръжността и ще се пресичат в нейния център C. Нека въведем ъгъла Δα между нормалите B1 C и B 2 C; очевидно той равен на ъгълмежду допирателните B 1 D и B 2 E. Нека означим участъка от кривата между точките B 1 и B 2 като Δs. Тогава съгласно формула (18):

.

Кръг на кривина на плоска крива линия

Определяне на кривината на равнинна крива в различни точки

На фиг. Фигура 13 показва кръгове на кривина на плоска линия в различни точки. В точка A 1, където кривата е по-плоска, радиусът на кривината е по-голям, отколкото в точка A 2, съответно кривината на линията в точка A 1 ще бъде по-малка, отколкото в точка A 2. В точка A 3 кривата е още по-плоска, отколкото в точки A 1 и A 2, така че радиусът на кривината в тази точка ще бъде по-голям, а кривината по-малка. В допълнение, кръгът на кривина в точка A 3 лежи от другата страна на кривата. Следователно на стойността на кривината в тази точка се приписва знак, противоположен на знака на кривината в точки A 1 и A 2: ако кривината в точки A 1 и A 2 се счита за положителна, тогава кривината в точка A 3 ще бъде отрицателен.

В зависимост от формата на траекторията движението се разделя на праволинейно и криволинейно. В реалния свят най-често имаме работа с криволинейно движение, когато траекторията е крива линия. Примери за такова движение са траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, движението на Земята около Слънцето, движението на планетите, края на стрелката на часовника върху циферблата и др.

Фигура 1. Траектория и преместване по време на движение по извивка

Определение

Криволинейното движение е движение, чиято траектория е крива линия (например кръг, елипса, хипербола, парабола). При движение по крива траектория векторът на изместване $\overrightarrow(s)$ е насочен по протежение на хордата (фиг. 1), а l е дължината на траекторията. Моментната скорост на тялото (т.е. скоростта на тялото в дадена точка от траекторията) е насочена тангенциално към точката от траекторията, където в момента се намира движещото се тяло (фиг. 2).

Фигура 2. Моментна скорост по време на криволичещо движение

Следният подход обаче е по-удобен. Това движение може да се представи като комбинация от няколко движения по кръгови дъги (виж фиг. 4.). Ще има по-малко такива прегради, отколкото в предишния случай, освен това движението по кръга е криволинейно.

Фигура 4. Разбивка на криволинейното движение на движение по кръгови дъги

Заключение

За да опишете криволинейно движение, трябва да се научите да описвате движение в кръг и след това да представите произволно движение под формата на набори от движения по кръгови дъги.

Задачата за изследване на криволинейното движение на материална точка е да се състави кинематично уравнение, което описва това движение и позволява, въз основа на дадени начални условия, да се определят всички характеристики на това движение.

Кинематика на точка. Пътека. Движещ се. Скорост и ускорение. Техните проекции върху координатните оси. Изчисляване на изминатото разстояние. Средни стойности.

Кинематика на точка- клон на кинематиката, който изучава математическото описание на движението на материални точки. Основната задача на кинематиката е да опише движението с помощта на математически апарат, без да идентифицира причините, причиняващи това движение.

Път и движение.Линията, по която се движи точка от тялото, се нарича траектория на движение. Дължината на пътя се нарича изминатия път. Нарича се векторът, свързващ началната и крайната точка на траекторията движещ се. Скорост- векторно физическо количество, характеризиращо скоростта на движение на тялото, числено равно на съотношението на движението за кратък период от време към стойността на този интервал. Периодът от време се счита за достатъчно малък, ако скоростта по време на неравномерно движение не се променя през този период. Определящата формула за скоростта е v = s/t. Единицата за скорост е m/s. На практика използваната единица за скорост е km/h (36 km/h = 10 m/s). Скоростта се измерва със скоростомер.

Ускорение- векторна физическа величина, характеризираща скоростта на промяна на скоростта, числено равна на отношението на промяната на скоростта към периода от време, през който е настъпила тази промяна. Ако скоростта се променя еднакво през цялото време на движение, тогава ускорението може да се изчисли по формулата a=Δv/Δt. Единица за ускорение – m/s 2

Скорост и ускорение по време на извито движение. Тангенциални и нормални ускорения.

Криволинейни движения– движения, чиито траектории не са прави, а криви линии.

Криволинейно движение– това винаги е движение с ускорение, дори ако абсолютната скорост е постоянна. Криволинейното движение с постоянно ускорение винаги се извършва в равнината, в която се намират векторите на ускорението и началните скорости на точката. При криволинейно движение с постоянно ускорение в равнината xOyпроекции v xИ v yскоростта му по оста волИ Ойи координати хИ гточки по всяко време Tопределени по формули

v x =v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y =v 0 y +a y t, y=y 0 +v 0 y t+a y t 2 /2

Специален случай на криволинейно движение е кръговото движение. Кръговото движение, дори равномерно, винаги е ускорено движение: модулът на скоростта винаги е насочен тангенциално към траекторията, като постоянно променя посоката, следователно кръговото движение винаги се извършва с центростремително ускорение |a|=v 2 /r където r– радиус на окръжността.

Векторът на ускорението при движение в кръг е насочен към центъра на кръга и перпендикулярен на вектора на скоростта.

При криволинейно движение ускорението може да бъде представено като сбор от нормални и тангенциални компоненти: ,

Нормалното (центростремително) ускорение е насочено към центъра на кривината на траекторията и характеризира промяната в скоростта в посока:

v –моментна стойност на скоростта, r– радиус на кривина на траекторията в дадена точка.

Тангенциалното (тангенциалното) ускорение е насочено тангенциално към траекторията и характеризира изменението на скоростта по модул.

Общото ускорение, с което се движи материална точка, равно на:

Тангенциално ускорениехарактеризира скоростта на промяна на скоростта на движение с числена стойност и е насочена тангенциално към траекторията.

Следователно

Нормално ускорениехарактеризира скоростта на промяна на скоростта в посока. Нека изчислим вектора:

4.Кинематика твърдо. Въртя се фиксирана ос. Ъглова скорост и ускорение. Връзка между ъглови и линейни скорости и ускорения.

Кинематика на въртеливото движение.

Движението на тялото може да бъде постъпателно или ротационно. В този случай тялото е представено като система от материални точки, твърдо свързани помежду си.

По време на транслационно движение всяка права линия, начертана в тялото, се движи успоредно на себе си. Според формата на траекторията постъпателното движение може да бъде праволинейно и криволинейно. По време на транслационното движение всички точки на твърдо тяло за един и същ период от време извършват движения, еднакви по големина и посока. Следователно скоростите и ускоренията на всички точки на тялото във всеки момент от времето също са еднакви. За да се опише транслационното движение, е достатъчно да се определи движението на една точка.

Ротационно движениетвърдо тяло около фиксирана оссе нарича такова движение, при което всички точки на тялото се движат в кръгове, центровете на които лежат на една и съща права линия (ос на въртене).

Оста на въртене може да минава през тялото или да лежи извън него. Ако оста на въртене минава през тялото, тогава точките, лежащи на оста, остават в покой, когато тялото се върти. Точки на твърдо тяло, разположени на различни разстояния от оста на въртене, за еднакви периоди от време изминават различни разстояния и следователно имат различни линейни скорости.

Когато едно тяло се върти около фиксирана ос, точките на тялото претърпяват едно и също ъглово движение за същия период от време. Модулът е равен на ъгъла на въртене на тялото около оста във времето, посоката на вектора на ъгловото изместване с посоката на въртене на тялото е свързана с правилото на винта: ако комбинирате посоките на въртене на винта с посоката на въртене на тялото, тогава векторът ще съвпадне с транслационното движение на винта. Векторът е насочен по оста на въртене.

Скоростта на изменение на ъгловото преместване се определя от ъгловата скорост – ω. По аналогия с линейната скорост понятията средна и моментна ъглова скорост:

Ъглова скорост- векторно количество.

Скоростта на изменение на ъгловата скорост се характеризира с средно и мигновено

ъглово ускорение.

Векторът и може да съвпадне с вектора и да бъде противоположен на него

Знаем, че кога право движениепосоката на вектора на скоростта винаги съвпада с посоката на движение. Какво може да се каже за посоката на скоростта и преместването по време на криволинейно движение? За да отговорим на този въпрос, ще използваме същата техника, която използвахме в предишната глава, когато изучавахме моментната скорост на праволинейно движение.

Фигура 56 показва определена извита траектория. Да приемем, че по нея се движи тяло от точка А до точка Б.

В този случай пътят, изминат от тялото, е дъга A B, а неговото изместване е вектор. Разбира се, не може да се приеме, че скоростта на тялото по време на движение е насочена по вектора на изместване. Нека начертаем поредица от хорди между точките А и В (фиг. 57) и си представим, че движението на тялото се извършва точно по тези хорди. На всяка от тях тялото се движи праволинейно и векторът на скоростта е насочен по протежение на хордата.

Нека сега направим нашите прави участъци (хорди) по-къси (фиг. 58). Както и преди, на всеки от тях векторът на скоростта е насочен по протежение на хордата. Но е ясно, че прекъснатата линия на фигура 58 вече прилича повече на гладка крива.

Следователно е ясно, че като продължим да намаляваме дължината на правите участъци, ние като че ли ще ги изтеглим в точки и начупената линия ще се превърне в гладка крива. Скоростта във всяка точка на тази крива ще бъде насочена тангенциално към кривата в тази точка (фиг. 59).

Скоростта на движение на тялото във всяка точка на криволинейна траектория е насочена тангенциално към траекторията в тази точка.

Фактът, че скоростта на точка по време на криволинейно движение наистина е насочена по допирателна, се убеждава, например, от наблюдение на работата на gochnla (фиг. 60). Ако натиснете краищата на стоманен прът срещу въртящ се точилен камък, горещите частици, отделящи се от камъка, ще се виждат под формата на искри. Тези частици летят със скоростта, с която

притежаваха в момента на отделяне от камъка. Ясно се вижда, че посоката на искрите винаги съвпада с допирателната към окръжността в точката, където прътът докосва камъка. Пръските от колелата на буксуваща кола също се движат тангенциално към кръга (фиг. 61).

По този начин моментната скорост на тялото в различни точки на криволинейна траектория има различни посоки, както е показано на фигура 62. Големината на скоростта може да бъде еднаква във всички точки на траекторията (вижте фигура 62) или да варира от точка до точка, от един момент във времето до друг (фиг. 63).