Нека определим кинетичната енергия на твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Нека разделим това тяло на n материални точки. Всяка точка се движи с линейна скорост υ i =ωr i , тогава кинетичната енергия на точката

или

Общата кинетична енергия на въртящия се твърдоравна на сумата от кинетичните енергии на всички нейни материални точки:

(3.22)

(J е инерционният момент на тялото спрямо оста на въртене)

Ако траекториите на всички точки лежат в успоредни равнини (като цилиндър, който се търкаля надолу по наклонена равнина, всяка точка се движи в собствената си равнина Фиг.), това плоско движение.

Според принципа на Ойлер равнинното движение винаги може да се разложи на постъпателно и въртеливо движение по безброй начини. Ако топката падне или се плъзне по наклонена равнина, тя се движи само транслационно; когато топката се търкаля, тя също се върти.

(3.23)

Ако едно тяло извършва постъпателно и въртеливо движение едновременно, тогава неговата обща кинетична енергия е равна на

От сравнението на формулите за кинетична енергия за транслационни и въртеливи движения става ясно, че мярката за инерция при въртеливо движение е инерционният момент на тялото.

§ 3.6 Работа на външни сили по време на въртене на твърдо тяло

Когато твърдото тяло се върти, неговата потенциална енергия не се променя, следователно елементарната работа на външните сили е равна на нарастването на кинетичната енергия на тялото:

dA = dE или

(3.25)

Когато твърдо тяло се върти около фиксирана ос, работата на външните сили се определя от действието на момента на тези сили спрямо тази ос. Ако моментът на силите спрямо оста е нула, тогава тези сили не произвеждат работа.

Примери за решаване на проблеми

Пример 2.1. Маса на маховикам=5kg и радиусr= 0,2 m се върти около хоризонтална ос с честотаν 0 =720 мин -1 и при спиране спира отзадT=20 s. Намерете спирачния момент и броя на оборотите преди спиране.

За да определим спирачния момент, прилагаме основното уравнение на динамиката на въртеливото движение

където I=mr 2 – инерционен момент на диска; Δω =ω - ω 0, а ω =0 е крайната ъглова скорост, ω 0 =2πν 0 е началната. M е спирачният момент на силите, действащи върху диска.

Познавайки всички количества, можете да определите спирачния момент

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

От кинематиката на въртеливото движение ъгълът на въртене по време на въртене на диска преди спиране може да се определи по формулата

(3)

където β е ъгловото ускорение.

Съгласно условията на задачата: ω =ω 0 – βΔt, тъй като ω=0, ω 0 = βΔt

Тогава израз (2) може да се запише като:

Пример 2.2. Два маховика под формата на дискове с еднакви радиуси и маси бяха завъртяни до скорост на въртенен= 480 rpm и оставени на собствените ни средства. Под въздействието на силите на триене на валовете върху лагерите, първият спряT=80 s, а вторият го направин= 240 об/мин за спиране. Кой маховик има по-голям момент на триене между валовете и лагерите и колко пъти?

Ще намерим момента на силите на шипа M 1 на първия маховик, използвайки основното уравнение на динамиката на въртеливото движение

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

където Δt е времето на действие на момента на силите на триене, I=mr 2 е инерционният момент на маховика, ω 1 = 2πν и ω 2 = 0 – началната и крайната ъглови скорости на маховика.

Тогава

Моментът на силите на триене M 2 на втория маховик ще бъде изразен чрез връзката между работата A на силите на триене и промяната в неговата кинетична енергия ΔE k:

където Δφ = 2πN е ъгълът на въртене, N е броят на оборотите на маховика.

Тогава откъде

ОТНОСНО съотношението ще бъде равно

Моментът на триене на втория маховик е 1,33 пъти по-голям.

Пример 2.3. Маса на хомогенен твърд диск m, маса на товара m 1 и м 2 (фиг. 15). Няма приплъзване или триене на резбата в оста на цилиндъра. Намерете ускорението на товарите и съотношението на напрежението на нишкатав процеса на движение.

Няма приплъзване на нишката, следователно, когато m 1 и m 2 извършват транслационно движение, цилиндърът ще се върти около оста, минаваща през точка O. Да приемем за определеност, че m 2 > m 1.

След това товарът m 2 се спуска и цилиндърът се върти по посока на часовниковата стрелка. Нека запишем уравненията на движението на телата, включени в системата

Първите две уравнения са написани за тела с маси m 1 и m 2, извършващи постъпателно движение, а третото уравнение е написано за въртящ се цилиндър. В третото уравнение отляво е общият момент на силите, действащи върху цилиндъра (моментът на силата T 1 се приема със знак минус, тъй като силата T 1 се стреми да завърти цилиндъра обратно на часовниковата стрелка). Вдясно I е инерционният момент на цилиндъра спрямо оста O, който е равен на

където R е радиусът на цилиндъра; β е ъгловото ускорение на цилиндъра.

Тъй като няма приплъзване на нишка, тогава
. Като вземем предвид изразите за I и β, получаваме:

Събирайки уравненията на системата, стигаме до уравнението

От тук намираме ускорението атовари

От полученото уравнение става ясно, че напреженията на нишката ще бъдат еднакви, т.е. =1, ако масата на цилиндъра е много по-малка от масата на товарите.

Пример 2.4. Куха топка с маса m = 0,5 kg има външен радиус R = 0,08 m и вътрешен радиус r = 0,06 m. Топката се върти около ос, минаваща през нейния център. В определен момент върху топката започва да действа сила, в резултат на което ъгълът на въртене на топката се променя по закона
. Определете момента на приложената сила.

Решаваме задачата с помощта на основното уравнение на динамиката на въртеливото движение
. Основната трудност е да се определи моментът на инерция на куха топка и намираме ъгловото ускорение β като
. Инерционният момент I на куха топка е равен на разликата между инерционните моменти на топка с радиус R и топка с радиус r:

където ρ е плътността на материала на топката. Намиране на плътността чрез познаване на масата на куха топка

Оттук определяме плътността на материала на топката

За момента на сила M получаваме следния израз:

Пример 2.5. Тънък прът с маса 300 g и дължина 50 cm се върти с ъглова скорост 10 s -1 в хоризонтална равнина около вертикална ос, минаваща през средата на пръта. Намерете ъгловата скорост, ако по време на въртене в същата равнина прътът се движи така, че оста на въртене минава през края на пръта.

Използваме закона за запазване на ъгловия момент

(1)

(J i е инерционният момент на пръта спрямо оста на въртене).

За изолирана система от тела векторната сума на ъгловия момент остава постоянна. Поради факта, че разпределението на масата на пръта спрямо оста на въртене се променя, инерционният момент на пръта също се променя в съответствие с (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 .

(2)

Известно е, че инерционният момент на пръта спрямо оста, минаваща през центъра на масата и перпендикулярна на пръта, е равен на

J 0 = ml 2 /12.

(3) Според теоремата на Щайнер 2

J =J 0 +m Според теоремата на Щайнер- разстояние от центъра на масата до избраната ос на въртене).

Нека намерим инерционния момент около оста, минаваща през нейния край и перпендикулярна на пръта:

J2=J0+m Според теоремата на Щайнер 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3.

(4)

Нека заместим формули (3) и (4) в (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2,5s -1 Пример 2.6м. Човек с маса 1 =60kg, стоящ на ръба на платформа с маса M=120kg, въртяща се по инерция около фиксирана вертикална ос с честота ν -1 =12 мин 2 , се премества в центъра му. Като се има предвид, че платформата е кръгъл хомогенен диск, а лицето е точкова маса, определете с каква честота ν

след това платформата ще се завърти.дадени: .

m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0.2s -1Намирам:

ν 1Решение:

Според условията на задачата платформата с човека се върти по инерция, т.е. резултантният момент на всички сили, приложени към въртящата се система, е нула. Следователно за системата „платформа-човек“ законът за запазване на ъгловия момент е изпълнен

I 1 ω 1 = I 2 ω 2
Където - инерционен момент на системата, когато човек стои на ръба на платформата (имайте предвид, че инерционният момент на платформата е равен на
(R – радиус n

платформа), инерционният момент на човек на ръба на платформата е mR 2).

- момент на инерция на системата, когато човек стои в центъра на платформата (имайте предвид, че моментът на човек, стоящ в центъра на платформата, е нула). Ъглова скорост ω 1 = 2π ν 1 и ω 1 = 2π ν 2.

Замествайки написаните изрази във формула (1), получаваме

откъде идва желаната скорост на въртене?Отговор

: ν 2 =24min -1. ω Нека първо разгледаме твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос OZ с ъглова скорост (фиг. 5.6). Нека разделим тялото на елементарни маси. Линейната скорост на елементарната маса е равна на , където е разстоянието й от оста на въртене. Кинетична енергия i

.

- тази елементарна маса ще бъде равна на

.

Следователно кинетичната енергия на цялото тяло се състои от кинетичните енергии на неговите части

. (5.30)

Като се има предвид, че сумата от дясната страна на тази връзка представлява инерционния момент на тялото спрямо оста на въртене, накрая получаваме .

Формулите за кинетичната енергия на въртящо се тяло (5.30) са подобни на съответните формули за кинетичната енергия на транслационното движение на тялото. Те се получават от последния чрез формална замяна Най-общо движението на твърдо тяло може да се представи като сбор от движения - постъпателно със скорост,еднаква скорост

.

Нека сега намерим работата, извършена от момента на външните сили по време на въртенето на твърдо тяло. Елементарна работа на външните сили във времето дтще бъде равно на изменението на кинетичната енергия на тялото

Като вземем диференциала от кинетичната енергия на въртеливото движение, намираме нейното нарастване

.

В съответствие с основното уравнение на динамиката за въртеливо движение

Отчитайки тези отношения, ние свеждаме израза на елементарната работа до формата

където е проекцията на резултантния момент на външни сили върху посоката на оста на въртене OZ, е ъгълът на въртене на тялото през разглеждания период от време.

Интегрирайки (5.31), получаваме формула за работата на външните сили, действащи върху въртящо се тяло

Ако , тогава формулата се опростява

По този начин работата на външните сили по време на въртене на твърдо тяло спрямо фиксирана ос се определя от действието на проекцията на момента на тези сили върху тази ос.

Жироскоп

Жироскопът е бързо въртящо се симетрично тяло, чиято ос на въртене може да променя посоката си в пространството. За да може оста на жироскопа да се върти свободно в пространството, жироскопът е поставен в така нареченото карданно окачване (фиг. 5.13). Маховикът на жироскопа се върти във вътрешния пръстен около оста C1C2, минаваща през неговия център на тежестта. Вътрешният пръстен от своя страна може да се върти във външния пръстен около оста B 1 B 2, перпендикулярна на C 1 C 2. И накрая, външният пръстен може да се върти свободно в лагерите на подпората около оста A 1 A 2, перпендикулярна на осите C 1 C 2 и B 1 B 2. И трите оси се пресичат в някаква фиксирана точка O, наречена център на окачването или опорна точка на жироскопа. Жироскопът в карданния подвес има три степени на свобода и следователно може да направи всякакво завъртане около центъра на карданния подвес. Ако центърът на окачването на жироскопа съвпада с неговия център на тежестта, тогава резултантният момент на тежестта на всички части на жироскопа спрямо центъра на окачването е нула. Такъв жироскоп се нарича балансиран.

Нека сега разгледаме най-важните свойства на жироскопа, които са намерили широко приложение в различни области.

1) Стабилност.

При всяко завъртане на стойката на балансиран жироскоп, неговата ос на въртене остава непроменена по отношение на лабораторна системаобратно броене. Това се дължи на факта, че моментът на всички външни сили, равен на моментасилите на триене са много малки и практически не предизвикват промяна в ъгловия момент на жироскопа, т.е.

Тъй като ъгловият момент е насочен по оста на въртене на жироскопа, неговата ориентация трябва да остане непроменена.

Ако външната сила действа за кратко време, тогава интегралът, който определя нарастването на ъгловия импулс, ще бъде малък

. (5.34)

Това означава, че при краткотрайни въздействия на дори големи сили, движението на балансиран жироскоп се променя малко. Жироскопът изглежда устоява на всякакви опити за промяна на големината и посоката на неговия ъглов момент. Това се дължи на забележителната стабилност, която движението на жироскопа придобива, след като се приведе в бързо въртене. Това свойство на жироскопа се използва широко за автоматично управлениедвижение на самолети, кораби, ракети и други превозни средства.

Ако действате на жироскопа дълго времеАко моментът на външните сили е постоянен по посока, тогава оста на жироскопа в крайна сметка се настройва в посоката на момента на външните сили. Това явление се използва в жирокомпас. Това устройство е жироскоп, чиято ос може свободно да се върти в хоризонтална равнина. Поради ежедневното въртене на Земята и действието на момента на центробежните сили, оста на жироскопа се завърта така, че ъгълът между и става минимален (фиг. 5.14). Това съответства на позицията на оста на жироскопа в равнината на меридиана.

2). Жироскопичен ефект.

Ако към въртящ се жироскоп се приложи двойка сили и се стреми да го завърти около ос, перпендикулярна на оста на въртене, тогава той ще започне да се върти около трета ос, перпендикулярна на първите две (фиг. 5.15). Това необичайно поведение на жироскопа се нарича жироскопичен ефект. Това се обяснява с факта, че моментът на двойката сили е насочен по оста O 1 O 1 и промяната на вектора по величина във времето ще има същата посока. В резултат новият вектор ще се върти спрямо оста O 2 O 2 . По този начин поведението на жироскопа, неестествено на пръв поглед, напълно съответства на законите на динамиката на въртеливото движение

3). Прецесия на жироскопа.

Прецесията на жироскопа е конусовидно движение на неговата ос. Това се случва, когато моментът на външните сили, оставайки постоянен по големина, се върти едновременно с оста на жироскопа, образувайки прав ъгъл с него през цялото време. За да се демонстрира прецесия, може да се използва велосипедно колело с удължена ос, настроена на бързо въртене (фиг. 5.16).

Ако колелото е окачено от удължения край на оста, оста му ще започне да се върти около вертикалната ос под въздействието на собственото си тегло. Бързо въртящ се връх също може да служи като демонстрация на прецесия.

Нека да разберем причините за прецесията на жироскопа. Нека разгледаме небалансиран жироскоп, чиято ос може свободно да се върти около определена точка O (фиг. 5.16). Моментът на тежестта, приложен към жироскопа, е равен по големина

където е масата на жироскопа, е разстоянието от точка O до центъра на масата на жироскопа, е ъгълът, образуван от оста на жироскопа с вертикалата. Векторът е насочен перпендикулярно на вертикалната равнина, минаваща през оста на жироскопа.

Под въздействието на този момент ъгловият импулс на жироскопа (началото му е поставено в точка O) ще получи увеличение във времето и вертикалната равнина, минаваща през оста на жироскопа, ще се завърти на ъгъл. Векторът винаги е перпендикулярен на , следователно, без да се променя по големина, векторът се променя само по посока. Въпреки това, след известно време взаимно споразумениевектори и ще бъде същото като в началния момент. В резултат на това оста на жироскопа непрекъснато ще се върти около вертикалата, описвайки конус. Това движение се нарича прецесия.

Нека определим ъгловата скорост на прецесията. Съгласно фиг. 5.16 ъгълът на въртене на равнината, минаваща през оста на конуса и оста на жироскопа, е равен на

където е ъгловият импулс на жироскопа и е неговото увеличение във времето.

Разделяйки на , като вземем предвид отбелязаните отношения и трансформации, получаваме ъгловата скорост на прецесия

. (5.35)

За жироскопите, използвани в технологиите, ъгловата скорост на прецесията е милиони пъти по-малка от скоростта на въртене на жироскопа.

В заключение отбелязваме, че явлението прецесия се наблюдава и в атомите поради орбиталното движение на електроните.

Примери за прилагане на законите на динамиката

При въртеливо движение

1. Нека разгледаме някои примери за закона за запазване на ъгловия импулс, който може да се приложи с помощта на пейка Жуковски. В най-простия случай пейката на Жуковски е дисковидна платформа (стол), която може да се върти свободно около вертикална ос върху сачмени лагери (фиг. 5.17). Демонстраторът сяда или стои на пейката, след което се привежда в ротация. Поради факта, че силите на триене, дължащи се на използването на лагери, са много малки, ъгловият импулс на системата, състояща се от стенд и демонстратор спрямо оста на въртене, не може да се промени с течение на времето, ако системата е оставена на собствените си устройства . Ако демонстраторът държи тежки дъмбели в ръцете си и разпери ръцете си настрани, тогава той ще увеличи инерционния момент на системата и следователно ъгловата скорост на въртене трябва да намалее, така че ъгловият момент да остане непроменен.

Съгласно закона за запазване на ъгловия импулс създаваме уравнение за този случай

където е инерционният момент на човека и лежанката, и е инерционният момент на дъмбелите в първа и втора позиция, и е ъгловите скорости на системата.

Ъгловата скорост на въртене на системата при повдигане на гири отстрани ще бъде равна на

.

Работата, извършена от човек при движение на дъмбели, може да се определи чрез промяната в кинетичната енергия на системата

2. Нека дадем още един експеримент с пейката Жуковски. Демонстраторът седи или стои на пейка и му се подава бързо въртящо се колело с вертикално насочена ос (фиг. 5.18). След това демонстраторът завърта колелото на 180 0 . В този случай промяната в ъгловия момент на колелото се прехвърля изцяло върху стенда и демонстратора. В резултат на това стендът заедно с демонстратора започва да се върти с ъглова скорост, определена въз основа на закона за запазване на ъгловия момент.

Ъгловият момент на системата в начално състояние се определя само от ъгловия момент на колелото и е равен на

където е инерционният момент на колелото и е ъгловата скорост на неговото въртене.

След завъртане на колелото на ъгъл от 180 0, ъгловият импулс на системата ще се определя от сумата на ъгловия момент на пейката с човека и ъгловия момент на колелото. Като вземем предвид факта, че векторът на ъгловия импулс на колелото е променил посоката си на противоположната и проекцията му върху вертикалната ос е станала отрицателна, получаваме

,

където е инерционният момент на системата "човек-платформа", а е ъгловата скорост на въртене на пейката с човека.

Според закона за запазване на ъгловия момент

И .

В резултат на това намираме скоростта на въртене на пейката

3. Тънък прът от маса ми дължина лсе върти с ъглова скорост ω=10 s -1 в хоризонталната равнина около вертикална ос, минаваща през средата на пръта. Продължавайки да се върти в същата равнина, прътът се движи така, че оста на въртене сега минава през края на пръта. Намерете ъгловата скорост във втория случай.

В тази задача, поради факта, че разпределението на масата на пръта спрямо оста на въртене се променя, инерционният момент на пръта също се променя. В съответствие със закона за запазване на ъгловия момент на изолирана система имаме

Тук е инерционният момент на пръта спрямо оста, минаваща през средата на пръта; е инерционният момент на пръта спрямо оста, минаваща през неговия край и определен от теоремата на Щайнер.

Замествайки тези изрази в закона за запазване на ъгловия момент, получаваме

,

.

4. Дължина на пръта Л=1,5 m и маса m 1=10 кг шарнирно окачени от горния край. Куршум с маса от м 2=10 g, летящ хоризонтално със скорост =500 m/s, и се забива в пръта. Под какъв ъгъл ще се отклони пръчката след удара?

Нека си представим на фиг. 5.19. система от взаимодействащи тела "пръчка-куршум". Моментите на външните сили (гравитация, реакция на оста) в момента на удара са равни на нула, така че можем да използваме закона за запазване на ъгловия момент

Ъгловият импулс на системата преди удара е равен на ъгловия импулс на куршума спрямо точката на окачване

Ъгловият момент на системата след нееластичен удар се определя по формулата

,

където е инерционният момент на пръта спрямо точката на окачване, е инерционният момент на куршума, е ъгловата скорост на пръта с куршума непосредствено след удара.

Решавайки полученото уравнение след заместване, намираме

.

Нека сега използваме закона за запазване на механичната енергия. Нека приравним кинетичната енергия на пръта, след като куршум го удари, с неговата потенциална енергия в най-високата точка на издигане:

,

където е височината на издигане на центъра на масата на тази система.

След като извършихме необходимите трансформации, получаваме

Ъгълът на отклонение на пръта е свързан със съотношението

.

След извършване на изчисленията получаваме =0.1p=18 0 .

5. Определете ускорението на телата и напрежението на конеца на машината на Atwood, като приемете, че (фиг. 5.20). Инерционният момент на блока спрямо оста на въртене е равен на аз, радиус на блока r. Пренебрегнете масата на нишката.

Нека подредим всички сили, действащи върху товарите и блока, и съставим динамични уравнения за тях

Ако няма приплъзване на нишката по блока, тогава линейното и ъгловото ускорение са свързани помежду си чрез отношението

Решавайки тези уравнения, получаваме

След това намираме T 1 и T 2.

6. Към макарата на кръста на Обербек (фиг. 5.21) е прикрепена резба, от която се изважда товар с тегло М= 0,5 кг. Определете колко време е необходимо, за да падне товар от високо ч=1 m до долна позиция. Радиус на макарата r=3 см. Теглилки м=250 g всяка на разстояние Р= 30 cm от оста си. Инерционният момент на напречната шайба и самата шайба се пренебрегва в сравнение с инерционния момент на товарите.

Кинетична енергия на въртене

Лекция 3. Динамика на твърдото тяло

Конспект на лекцията

3.1. Момент на сила.

3.2. Основни уравнения на въртеливото движение. Момент на инерция.

3.3. Кинетична енергия на въртене.

3.4. Момент на импулс. Закон за запазване на ъгловия момент.

3.5. Аналогия между постъпателно и въртеливо движение.

Момент на сила

Нека разгледаме движението на твърдо тяло около фиксирана ос. Нека твърдото тяло има фиксирана ос на въртене OO ( Фиг.3.1) и към него се прилага произволна сила.

Ориз. 3.1

Нека разделим силата на две компоненти на силата, силата лежи в равнината на въртене и силата е успоредна на оста на въртене. След това ще разложим силата на две компоненти: – действаща по радиус вектора и – перпендикулярна на него.

Не всяка сила, приложена към тялото, ще го завърти. Силите създават натиск върху лагерите, но не го въртят.

Една сила може или не може да извади тяло от равновесие в зависимост от това къде в радиус вектора е приложена. Следователно се въвежда понятието момент на сила около ос. Момент на силаспрямо оста на въртене се нарича векторно произведение на радиус вектора и силата.

Векторът е насочен по протежение на оста на въртене и се определя от правилото за кръстосано произведение или правилото за десния винт, или правилото за гимлет.

Модул на момент на сила

където α е ъгълът между векторите и .

От фиг. 3.1. това е ясно .

r 0– най-късото разстояние от оста на въртене до линията на действие на силата се нарича рамо на силата. Тогава моментът на сила може да бъде написан

M = F r 0 . (3.3)

От фиг. 3.1.

Където Е– проекция на вектора върху направлението, перпендикулярно на радиус вектора. В този случай моментът на сила е равен на

. (3.4)

Ако върху едно тяло действат няколко сили, тогава резултантният момент на сила е равен на векторната сума на моментите на отделните сили, но тъй като всички моменти са насочени по оста, те могат да бъдат заменени алгебрична сума. Моментът ще се счита за положителен, ако върти тялото по посока на часовниковата стрелка и отрицателен, ако се върти обратно на часовниковата стрелка. Ако всички моменти на сили () са равни на нула, тялото ще бъде в равновесие.

Концепцията за въртящия момент може да се демонстрира с помощта на "капризна намотка". Макарата с конец се издърпва от свободния край на конеца ( ориз. 3.2).

Ориз. 3.2

В зависимост от посоката на опън на конеца, макарата се търкаля в една или друга посока. Ако се дърпа под ъгъл α , тогава моментът на силата около оста ОТНОСНО(перпендикулярно на фигурата) завърта намотката обратно на часовниковата стрелка и тя се търкаля назад. При напрежение под ъгъл β въртящият момент е насочен обратно на часовниковата стрелка и макарата се търкаля напред.

Използвайки условието за равновесие (), е възможно да се конструират прости механизми, които са „трансформатори“ на сила, т.е. С по-малко сила можете да повдигнете и да се движите различни килограмитовари. На този принцип се основават лостове, колички и блокове. различни видове, които намират широко приложение в строителството. За да се поддържа състоянието на равновесие в строителните кранове, за да се компенсира моментът на сила, причинен от теглото на товара, винаги има система от противотежести, която създава момент на сила с противоположен знак.

3.2. Основно уравнение на въртене
движения. Момент на инерция

Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос ОО(Фиг.3.3). Нека мислено разделим това тяло на елементи с маси Δ m 1, Δ м 2, …, Δ m n. При завъртане тези елементи ще описват кръгове с радиуси r 1,r 2 , …,r n. Силите действат съответно на всеки елемент F 1,Е 2 , …,Fn. Въртене на тяло около ос ООвъзниква под въздействието на пълния въртящ момент М.

M = M 1 + M 2 + … + M n (3.4)

Където M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Според закона на Нютон II всяка сила Е, действащ върху елемент с маса D м, причинява ускоряване на този елемент а, т.е.

F i =д m i a i (3.5)

Замествайки съответните стойности в (3.4), получаваме

Ориз. 3.3

Познаване на връзката между линейното ъглово ускорение ε () и че ъгловото ускорение е еднакво за всички елементи, формулата (3.6) ще има формата

М = (3.7)

=аз (3.8)

аз– инерционен момент на тялото спрямо неподвижната ос.

Тогава ще получим

M = I ε (3.9)

Или във векторна форма

(3.10)

Това уравнение е основното уравнение за динамиката на въртеливото движение. То е подобно по форма на уравнение II на закона на Нютон. От (3.10) инерционният момент е равен на

По този начин инерционният момент на дадено тяло е съотношението на момента на силата към ъгловото ускорение, което причинява. От (3.11) става ясно, че инерционният момент е мярка за инерцията на тялото по отношение на въртеливото движение. Инерционният момент играе същата роля като масата при транслационно движение. SI единица [ аз] = kg m 2. От формула (3.7) следва, че инерционният момент характеризира разпределението на масите на частиците на тялото спрямо оста на въртене.

И така, инерционният момент на елемент с маса ∆m, движещ се в окръжност с радиус r, е равен на

I = r 2д м (3.12)

аз= (3.13)

В случай на непрекъснато разпределение на масата сумата може да бъде заменена с интеграла

I= ∫ r 2 dm (3.14)

където интегрирането се извършва върху цялата телесна маса.

Това показва, че инерционният момент на тялото зависи от масата и нейното разпределение спрямо оста на въртене. Това може да се демонстрира експериментално ( Фиг.3.4).

Ориз. 3.4

Два кръгли цилиндъра, единият кух (например метален), другият плътен (дървен) с еднакви дължини, радиуси и маси започват да се търкалят едновременно. Кух цилиндър, който има голям инерционен момент, ще изостане от плътния.

Инерционният момент може да се изчисли, ако масата е известна ми разпределението му спрямо оста на въртене. Най-простият случай е пръстен, когато всички елементи на масата са разположени еднакво от оста на въртене ( ориз. 3.5):

аз = (3.15)

Ориз. 3.5

Нека представим изрази за инерционните моменти на различни симетрични тела с маса м.

1. Момент на инерция пръстени, кух тънкостенен цилиндърспрямо оста на въртене, съвпадаща с оста на симетрия.

, (3.16)

r– радиус на пръстена или цилиндъра

2. За твърд цилиндър и диск инерционният момент спрямо оста на симетрия

(3.17)

3. Инерционният момент на топката около ос, минаваща през центъра

(3.18)

r– радиус на топката

4. Инерционен момент на тънък прът с голяма дължина лспрямо ос, перпендикулярна на пръта и минаваща през средата му

(3.19)

л– дължина на пръта.

Ако оста на въртене не минава през центъра на масата, тогава инерционният момент на тялото спрямо тази ос се определя от теоремата на Щайнер.

(3.20)

Съгласно тази теорема инерционният момент около произволна ос O’O’ ( ) е равен на инерционния момент около успоредна ос, минаваща през центъра на масата на тялото ( ) плюс произведението на телесната маса по квадрата на разстоянието Според теоремата на Щайнермежду осите ( ориз. 3.6).

Ориз. 3.6

Кинетична енергия на въртене

Нека разгледаме въртенето на абсолютно твърдо тяло около фиксирана ос OO с ъглова скорост ω (ориз. 3.7). Нека разбием твърдото тяло нелементарни маси ∆ m i. Всеки елемент от масата се върти по окръжност с радиус r iс линейна скорост (). Кинетичната енергия се състои от кинетичните енергии на отделните елементи.

(3.21)

Ориз. 3.7

Нека си припомним от (3.13), че – инерционен момент спрямо оста OO.

По този начин кинетичната енергия на въртящо се тяло

E k = (3.22)

Разгледахме кинетичната енергия на въртене около фиксирана ос. Ако едно тяло участва в две движения: постъпателно и въртеливо движение, тогава кинетичната енергия на тялото се състои от кинетичната енергия на постъпателното движение и кинетичната енергия на въртене.

Например топка с маса мролки; центърът на масата на топката се движи транслационно със скорост u (ориз. 3.8).

Ориз. 3.8

Общата кинетична енергия на топката ще бъде равна на

(3.23)

3.4. Момент на импулс. Закон за опазване
ъглов момент

Физическа величина, равна на произведението на инерционния момент аздо ъглова скорост ω , се нарича ъглов момент (ъглов импулс) Лспрямо оста на въртене.

– ъгловият момент е векторна величина и посоката му съвпада с посоката на ъгловата скорост.

Диференцирайки уравнението (3.24) по време, получаваме

Където, М– общ момент на външните сили. В изолирана система няма въртящ момент на външни сили ( М=0) и

Нека разгледаме абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Нека мислено разбием това тяло на безкрайно малки парчета с безкрайно малки размери и маса m v t., t 3,... разположени на разстояния R v R 0, R 3,... от оста. Кинетична енергия на въртящо се тялоние го намираме като сбор от кинетичните енергии на неговите малки части:

- момент на инерцияна твърдо тяло спрямо дадена ос 00,. От сравнението на формулите за кинетичната енергия на транслационни и въртеливи движения е очевидно, че инерционният момент при въртеливо движение е аналогичен на масата при постъпателно движение.Формулата (4.14) е удобна за изчисляване на инерционния момент на системи, състоящи се от отделни материални точки. За да изчислите инерционния момент на твърди тела, като използвате дефиницията на интеграла, можете да го трансформирате във формата

Лесно се вижда, че инерционният момент зависи от избора на оста и се променя с нейното паралелно преместване и въртене. Нека намерим стойностите на инерционните моменти за някои хомогенни тела.

От формула (4.14) е очевидно, че момент на инерция материална точка равно на

Където T -точкова маса; Р-разстояние до оста на въртене.

Лесно е да се изчисли инерционният момент за кух тънкостенен цилиндър(или специалният случай на цилиндър с ниска височина - тънък пръстен)радиус Рспрямо оста на симетрия. Разстоянието до оста на въртене на всички точки за такова тяло е еднакво, равно на радиуса и може да бъде извадено от знака за сумата (4.14):

Ориз. 4.5

Плътен цилиндър(или специален случай на цилиндър с ниска височина - диск)радиус Рза изчисляване на инерционния момент спрямо оста на симетрия изисква изчисляване на интеграла (4.15). Можете да разберете предварително, че масата в този случай средно е концентрирана малко по-близо до оста, отколкото в случая на кух цилиндър, и формулата ще бъде подобна на (4.17), но ще съдържа коефициент, по-малък от единство. Нека намерим този коефициент. Нека плътен цилиндър има плътност p и височина A. Нека го разделим на кухи цилиндри (тънки цилиндрични повърхности) с дебелина д-р(Фигура 4.5 показва проекция, перпендикулярна на оста на симетрия). Обемът на такъв кух цилиндър с радиус r равна на площповърхност, умножена по дебелина: dV = 2nrhdr,тегло: dm = 2nphrdr,и инерционният момент в съответствие с формула (4.17): dj =

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Общият инерционен момент на плътен цилиндър се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на кухи цилиндри:

Търсете по същия начин инерционен момент на тънък прътдължина Ли маси T,ако оста на въртене е перпендикулярна на пръта и минава през средата му. Нека разбием това

Като се вземе предвид факта, че масата на твърд цилиндър е свързана с плътността по формулата t = nR 2 к.с.,най-накрая имаме инерционен момент на твърд цилиндър:

Ориз. 4.6

прът в съответствие с фиг. Дебелина 4,6 бр дл.Масата на такова парче е равна на dm = mdl/L,и инерционният момент в съответствие с формула (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L.Общият инерционен момент на тънък прът се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на парчетата:

Вземането на елементарния интеграл дава инерционния момент на тънък прът с дължина Ли маси T

Ориз. 4.7

Малко по-трудно е да се вземе интеграл при търсене инерционен момент на хомогенна топкарадиус Ри маса /77 спрямо оста на симетрия. Нека плътна топка има плътност p. Нека го разбием в съответствие с фиг. 4.7 за кухи тънки цилиндри с дебелина д-р,чиято ос на симетрия съвпада с оста на въртене на топката. Обемът на такъв кух цилиндър от радиус Жравна на площта на повърхността, умножена по дебелината:

където е височината на цилиндъра чнамерено с помощта на Питагоровата теорема:

Тогава е лесно да се намери масата на кухия цилиндър:

както и инерционният момент в съответствие с формула (4.15):

Общият инерционен момент на плътна топка се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на кухи цилиндри:

Като се има предвид факта, че масата на твърда топка е свързана с плътността на формата-4.

лой T = -npR A yнакрая имаме инерционния момент спрямо оста

симетрия на хомогенна топка с радиус Рмаси T:

Израз за кинетичната енергия на въртящо се тяло, като се вземе предвид това линейна скоростна произволна материална точка, съставляваща тялото, спрямо оста на въртене е равно на

където е инерционният момент на тялото спрямо избраната ос на въртене, неговата ъглова скорост спрямо тази ос и ъгловият момент на тялото спрямо оста на въртене.

Ако тялото претърпява транслационно въртеливо движение, тогава изчисляването на кинетичната енергия зависи от избора на полюса, по отношение на който се описва движението на тялото. Крайният резултат ще бъде същият. Така че, ако за кръгло тяло, търкалящо се със скорост v без приплъзване с радиус R и коефициент на инерция k, полюсът се вземе в неговия CM, в точка C, тогава неговият инерционен момент е , а ъгловата скорост на въртене около оста C е . Тогава кинетичната енергия на тялото е .

Ако полюсът се вземе в точката O на контакт между тялото и повърхността, през която минава моментната ос на въртене на тялото, тогава неговият инерционен момент спрямо оста O ще стане равен . Тогава кинетичната енергия на тялото, като се има предвид, че ъгловите скорости на въртене на тялото са еднакви спрямо успоредни оси и тялото извършва чисто въртене около оста O, ще бъде равна на . Резултатът е същият.

Теоремата за кинетичната енергия на тяло, извършващо сложно движение, ще има същата форма като за неговото транслационно движение: .

Пример 1.Тяло с маса m е завързано за края на нишка, навита около цилиндричен блок с радиус R и маса M. Тялото се повдига на височина h и се отпуска (фиг. 65). След нееластичен удар на нишката тялото и блокът веднага започват да се движат заедно. Колко топлина ще се отдели по време на дръпването? Какво ще бъде ускорението на тялото и напрежението на нишката след ритването? Каква ще бъде скоростта на тялото и изминатото от него разстояние след дръпване на нишката след време t?

дадени: M, R, m, h, g, t. намирам: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Решение: Скорост на тялото преди резбата да изтръпне. След рязко движение на нишката блокът и тялото ще преминат във въртеливо движение спрямо оста на блока O и ще се държат като тела с инерционни моменти спрямо тази ос, равни на и . Техен общ моментинерция около оста на въртене.

Изтърсването на резбата е бърз процес и по време на рязък се изпълнява законът за запазване на ъгловия импулс на системата блок-тяло, който поради факта, че тялото и блокът веднага след дръпването започват да се движат заедно, има формата : . Откъде идва началната ъглова скорост на въртене на блока? , и началната линейна скорост на тялото .

Кинетичната енергия на системата, дължаща се на запазването на нейния ъглов импулс, непосредствено след свиване на нишката, е равна на . Топлината, освободена по време на дръпване, съгласно закона за запазване на енергията

Динамичните уравнения на движение на телата на системата след дръпване на нишката не зависят от началната им скорост. За блок има формата или, и за тялото. Събирайки тези две уравнения, получаваме . Откъде идва ускорението на движението на тялото? Напрежение на конеца

Кинематичните уравнения на движението на тялото след удар ще имат формата , където всички параметри са известни.

Отговор: . .

Пример 2. Две кръгли тела с коефициенти на инерция (кух цилиндър) и (топка), разположени в основата на наклонена равнина с ъгъл на наклон α съобщават еднакви начални скорости, насочени нагоре по наклонената равнина. До каква височина и за колко време ще се издигнат телата до тази височина? Какви са ускоренията на издигащите се тела? Колко пъти се различават височините, времената и ускоренията на издигане на телата? Телата се движат по наклонена равнина без приплъзване.

дадени: . намирам:

Решение: Върху тялото действат: гравитация m ж, реакция на наклонена равнина н, и силата на триене на съединителя (фиг. 67). Работата на нормалната реакция и силата на триене на сцеплението (няма приплъзване и не се отделя топлина в точката на сцепление на тялото с равнината.) са равни на нула: , следователно, за да се опише движението на телата, е възможно да се използва законът за запазване на енергията: . Където .

Ще намерим времената и ускоренията на движение на телата от кинематични уравнения . Където , . Съотношението на височини, времена и ускорения на издигащите се тела:

откъде идва желаната скорост на въртене?: , , , .

Пример 3. Куршум с маса , летящ със скорост, удря центъра на топка с маса M и радиус R, прикрепена към края на прът с маса m и дължина l, окачен в точка O на втория си край, и излита от нея със скорост (фиг. 68). Намерете ъгловата скорост на въртене на системата прът-топка непосредствено след удара и ъгъла на отклонение на пръта след удара с куршум.

дадени: . намирам:

ν 1Инерционните моменти на пръта и топката спрямо точката на окачване О на пръта съгласно теоремата на Щайнер: и . Общ инерционен момент на системата прът-топка . Ударът на куршума е бърз процес и се изпълнява законът за запазване на ъгловия момент на системата куршум-пръчка-топка (телата след сблъсък влизат във въртеливо движение): . Откъде идва ъгловата скорост на движение на системата пръчка-топка непосредствено след удара?

Позиция на CM на системата прът-топка спрямо точката на окачване O: . Законът за запазване на енергията за CM на система след удар, като се вземе предвид законът за запазване на ъгловия момент на системата при удар, има формата . Откъде се повишава височината на CM на системата след удар? . Ъгълът на отклонение на пръта след удара се определя от състоянието .

Отговор: , , .

Пример 4. Блок се притиска със сила N към кръгло тяло с маса m и радиус R, с коефициент на инерция k, въртящо се с ъглова скорост . Колко време ще отнеме на цилиндъра да спре и колко топлина ще се отдели, когато подложката се трие в цилиндъра през това време? Коефициентът на триене между блока и цилиндъра е равен на .

дадени: намирам:

Решение: Работата, извършена от силата на триене преди тялото да спре според теоремата за кинетичната енергия е равна на . Топлина, отделена по време на въртене .

Уравнението на въртеливото движение на тялото има вида. Откъде идва ъгловото ускорение на бавното му въртене? . Времето, необходимо на тялото да се завърти, докато спре.

откъде идва желаната скорост на въртене?: , .

Пример 5. Кръгло тяло с маса m и радиус R с коефициент на инерция k се завърта с ъглова скорост обратно на часовниковата стрелка и се поставя върху хоризонтална повърхност до вертикална стена (фиг. 70). Колко време ще отнеме на тялото да спре и колко оборота ще направи, преди да спре? Какво ще бъде количеството топлина, отделена при триене на тялото в повърхността през това време? Коефициентът на триене на тялото върху повърхността е равен на .

дадени: . намирам:

Решение: Топлината, отделена при въртенето на тялото до спирането му, е равна на работата на силите на триене, която може да се намери с помощта на теоремата за кинетичната енергия на тялото. Ние имаме.

Хоризонтална равнинна реакция. Силите на триене, действащи върху тялото от хоризонталата и вертикални повърхностиса равни: и .От системата от тези две уравнения получаваме и .

Като се вземат предвид тези отношения, уравнението на въртеливото движение на тялото има формата (. Откъдето ъгловото ускорение на въртене на тялото е равно на. Тогава времето на въртене на тялото, преди да спре, и броят на оборотите му прави.

откъде идва желаната скорост на въртене?: , , , .

Пример 6. Кръгло тяло с коефициент на инерция k се търкаля надолу, без да се плъзга от върха на полусфера с радиус R, стояща върху хоризонтална повърхност (фиг. 71). На каква височина и с каква скорост ще се откъсне от полусферата и с каква скорост ще падне върху хоризонтална повърхност?

дадени: k, g, R. намирам:

Решение: Върху тялото действат сили . Работа и 0, (няма приплъзване и не се отделя топлина в точката на сцепление на полусферата и топката), следователно, за да се опише движението на тялото, е възможно да се използва законът за запазване на енергията. Вторият закон на Нютон за CM на тяло в точката на отделянето му от полукълбото, като се има предвид, че в тази точка има формата , от където . Законът за запазване на енергията за началната точка и точката на разделяне на тялото има вида . Откъдето височината и скоростта на отделяне на тялото от полукълбото са равни, .

След като тялото се отдели от полукълбото, се променя само неговата транслационна кинетична енергия, поради което законът за запазване на енергията за точките на отделяне и падане на тялото на земята има вида . Къде, като вземем предвид, получаваме . За тяло, плъзгащо се по повърхността на полукълбо без триене, k=0 и , , .

Отговор: , , .