Графика x в 2. Онлайн графика. Нанасяне на точки върху координатната равнина

Функционалната графика е визуално представяне на поведението на функция в координатна равнина. Графиките ви помагат да разберете различни аспекти на функция, които не могат да бъдат определени от самата функция. Можете да изградите графики на много функции и на всяка от тях ще бъде дадена специфична формула. Графиката на всяка функция се изгражда с помощта на определен алгоритъм (в случай, че сте забравили точния процес на графиране на конкретна функция).

стъпки

Графика на линейна функция

Определете дали функцията е линейна.Линейната функция е дадена с формула на формата F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)или y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(например ), а графиката му е права линия. Така формулата включва една променлива и една константа (константа) без експоненти, знаци за корен или други подобни. Ако е дадена функция от подобен тип, е много лесно да се начертае графика на такава функция. Ето други примери за линейни функции:

Използвайте константа, за да маркирате точка на оста Y.Константата (b) е „y” координатата на точката, в която графиката пресича оста Y. Това е точка, чиято координата „x” е равна на 0. Следователно, ако x = 0 се замества във формулата. , тогава y = b (константа). В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е равна на 5, т.е. точката на пресичане с оста Y има координати (0,5). Начертайте тази точка върху координатната равнина.

Намерете наклона на линията.То е равно на множителя на променливата. В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)с променливата “x” има коефициент 2; по този начин коефициентът на наклона е равен на 2. Коефициентът на наклона определя ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста X, т.е. колкото по-голям е коефициентът на наклона, толкова по-бързо се увеличава или намалява функцията.

Запишете наклона като дроб.Ъгловият коефициент е равен на тангенса на ъгъла на наклон, т.е. съотношението на вертикалното разстояние (между две точки на права линия) към хоризонталното разстояние (между същите точки). В нашия пример наклонът е 2, така че можем да заявим, че вертикалното разстояние е 2, а хоризонталното разстояние е 1. Запишете това като дроб: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ако наклонът е отрицателен, функцията е намаляваща.

1. От точката, където правата линия пресича оста Y, начертайте втора точка, като използвате вертикални и хоризонтални разстояния.

   Една линейна функция може да бъде начертана като графика с помощта на две точки. В нашия пример пресечната точка с оста Y има координати (0,5); От тази точка преместете 2 интервала нагоре и след това 1 интервал надясно. Маркирайте точка; ще има координати (1,7). Сега можете да нарисувате права линия.С помощта на линийка начертайте права линия през две точки.

   За да избегнете грешки, намерете третата точка, но в повечето случаи графиката може да се начертае с помощта на две точки. Така сте начертали линейна функция.

   1. Нанасяне на точки върху координатната равнинаДефинирайте функция. Функцията се означава като f(x). всичковъзможни стойности

      Променливата "y" се нарича домейн на функцията, а всички възможни стойности на променливата "x" се наричат ​​домейн на функцията. Например, разгледайте функцията y = x+2, а именно f(x) = x+2.Начертайте две пресичащи се перпендикулярни линии.

      Хоризонталната линия е оста X, вертикалната линия е оста Y.Маркирайте координатните оси.

      Разделете всяка ос на равни сегменти и ги номерирайте. Пресечната точка на осите е 0. За оста X: положителните числа се нанасят отдясно (от 0), а отрицателните числа отляво. За оста Y: положителните числа се нанасят отгоре (от 0), а отрицателните числа отдолу.Намерете стойностите на "y" от стойностите на "x".

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. В нашия пример f(x) = x+2. Заменете конкретни стойности на x в тази формула, за да изчислите съответните стойности на y. Ако е дадена сложна функция, опростете я, като изолирате „y“ от едната страна на уравнението.За всяка двойка координати направете следното: намерете съответната стойност по оста X и начертайте вертикална линия (пунктирана); намерете съответната стойност на оста Y и начертайте хоризонтална линия (пунктирана линия). Маркирайте пресечната точка на двете пунктирани линии; по този начин сте начертали точка на графиката.

      Изтрийте пунктираните линии.Направете това, след като нанесете всички точки на графиката върху координатната равнина. Забележка: графиката на функцията f(x) = x е права, минаваща през координатния център [точка с координати (0,0)]; графиката f(x) = x + 2 е права, успоредна на правата f(x) = x, но изместена нагоре с две единици и следователно минаваща през точката с координати (0,2) (тъй като константата е 2) .

   Графика на сложна функция

   Намерете нулите на функцията.Нулите на функцията са стойностите на променливата x, където y = 0, т.е. това са точките, в които графиката пресича оста X. Имайте предвид, че не всички функции имат нули, но те са първите стъпка в процеса на изобразяване на графики на всяка функция. За да намерите нулите на функция, приравнете я на нула. Например:

   Намерете и маркирайте хоризонталните асимптоти.Асимптотата е линия, която графиката на функцията се доближава, но никога не пресича (т.е. в тази област функцията не е дефинирана, например при деление на 0). Маркирайте асимптотата с пунктирана линия. Ако променливата "x" е в знаменателя на дроб (напр. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), задайте знаменателя на нула и намерете „x“. В получените стойности на променливата "x" функцията не е дефинирана (в нашия пример начертайте пунктирани линии през x = 2 и x = -2), тъй като не можете да разделите на 0. Но асимптоти съществуват не само в случаите, когато функцията съдържа дробен израз. Затова се препоръчва да използвате здрав разум:

Изграждането на графики на функции, съдържащи модули, обикновено създава значителни трудности за учениците. Всичко обаче не е толкова лошо. Достатъчно е да запомните няколко алгоритма за решаване на такива проблеми и лесно можете да изградите графика дори на най-привидно сложната функция. Нека да разберем какъв вид алгоритми са тези.

1. Построяване на графика на функцията y = |f(x)|

Обърнете внимание, че наборът от стойности на функцията y = |f(x)| : y ≥ 0. Така графиките на такива функции винаги се намират изцяло в горната полуравнина.

Построяване на графика на функцията y = |f(x)| се състои от следните прости четири стъпки.

1) Внимателно и внимателно построете графика на функцията y = f(x).

2) Оставете непроменени всички точки на графиката, които са над или на оста 0x.

3) Покажете частта от графиката, която се намира под оста 0x симетрично спрямо оста 0x.

Пример 1. Начертайте графика на функцията y = |x 2 – 4x + 3|

1) Построяваме графика на функцията y = x 2 – 4x + 3. Очевидно е, че графиката на тази функция е парабола. Нека намерим координатите на всички точки на пресичане на параболата с координатните оси и координатите на върха на параболата.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следователно параболата пресича оста 0x в точки (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Следователно параболата пресича оста 0y в точката (0, 3).

Координати на върха на парабола:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Следователно точка (2, -1) е върхът на тази парабола.

Начертайте парабола, като използвате получените данни (Фиг. 1)

2) Частта от графиката, лежаща под оста 0x, се показва симетрично спрямо оста 0x.

3) Получаваме графика на оригиналната функция ( ориз. 2, показано с пунктирана линия).

2. График на функцията y = f(|x|)

Обърнете внимание, че функциите от формата y = f(|x|) са четни:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Това означава, че графиките на такива функции са симетрични спрямо оста 0y.

Построяването на графика на функцията y = f(|x|) се състои от следната проста верига от действия.

1) Начертайте графика на функцията y = f(x).

2) Оставете тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете частта от графиката, посочена в точка (2), симетрично спрямо оста 0y.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в точки (2) и (3).

Пример 2. Начертайте графика на функцията y = x 2 – 4 · |x| + 3

Тъй като x 2 = |x| 2, тогава оригиналната функция може да бъде пренаписана в следната форма: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Сега можем да приложим алгоритъма, предложен по-горе.

1) Ние внимателно и внимателно изграждаме графика на функцията y = x 2 – 4 x + 3 (вижте също ориз. 1).

2) Оставяме тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете дясната страна на графиката симетрично спрямо оста 0y.

(фиг. 3).

Пример 3. Начертайте графика на функцията y = log 2 |x|

Прилагаме схемата, дадена по-горе.

1) Постройте графика на функцията y = log 2 x (фиг. 4).

3. Начертаване на функцията y = |f(|x|)|

Обърнете внимание, че функции от вида y = |f(|x|)| също са четни. Наистина, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) и следователно техните графики са симетрични спрямо оста 0y. Наборът от стойности на такива функции: y ≥ 0. Това означава, че графиките на такива функции са разположени изцяло в горната полуравнина.

За да начертаете функцията y = |f(|x|)|, трябва да:

1) Внимателно постройте графика на функцията y = f(|x|).

2) Оставете непроменена частта от графиката, която е над или върху оста 0x.

3) Покажете частта от графиката, разположена под оста 0x, симетрично спрямо оста 0x.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в точки (2) и (3).

Пример 4. Начертайте графика на функцията y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Забележете, че x 2 = |x| 2. Това означава, че вместо оригиналната функция y = -x 2 + 2|x| - 1

можете да използвате функцията y = -|x| 2 + 2|x| – 1, тъй като графиките им съвпадат.

Изграждаме графика y = -|x| 2 + 2|x| – 1. За целта използваме алгоритъм 2.

а) Начертайте графика на функцията y = -x 2 + 2x – 1 (фиг. 6).

б) Оставяме тази част от графиката, която се намира в дясната полуравнина.

в) Показваме получената част от графиката симетрично спрямо оста 0y.

d) Получената графика е показана с пунктирана линия на фигурата (фиг. 7).

2) Няма точки над оста 0x; оставете точките на оста 0x непроменени.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, се показва симетрично спрямо 0x.

4) Получената графика е показана на фигурата с пунктирана линия (фиг. 8).

Пример 5. Начертайте графика на функцията y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Първо трябва да начертаете функцията y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). За да направим това, се връщаме към Алгоритъм 2.

а) Начертайте внимателно функцията y = (2x – 4) / (x + 3) (фиг. 9).

Имайте предвид, че тази функция е дробно линейна и нейната графика е хипербола. За да начертаете крива, първо трябва да намерите асимптотите на графиката. Хоризонтално – y = 2/1 (отношението на коефициентите на x в числителя и знаменателя на дробта), вертикално – x = -3.

2) Ще оставим непроменена тази част от графиката, която е над оста 0x или върху нея.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, ще бъде показана симетрично спрямо 0x.

4) Крайната графика е показана на фигурата (фиг. 11).

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

“Трансформация на функции” - Клатушка. Преместете оста y нагоре. Увеличете силата на звука до максимум – ще увеличите а (амплитудата) на въздушните вибрации. Преместете оста x наляво. Цели на урока. 3 точки. Музика. Начертайте функцията и определете D(f), E(f) и T: Компресия по оста x. Преместете оста y надолу. Добавете червено към палитрата и намалете k (честотата) на електромагнитните трептения.

“Функции на няколко променливи” - Производни от по-висок порядък. Функция на две променливи може да бъде представена графично. Диференциално и интегрално смятане. Вътрешни и гранични точки. Определяне на границата на функция на 2 променливи. Курс по математически анализ. Берман. Граница на функция от 2 променливи. Функционална графика. Теорема. Ограничена площ.

„Концепцията за функция“ - Методи за начертаване на графики квадратична функция. Изучаване различни начиниопределянето на функция е важен методологичен похват. Характеристики на изучаване на квадратични функции. Генетична интерпретация на понятието “функция”. Функции и графики в училищен курс по математика. Идеята за линейна функция се подчертава при начертаване на графика на някаква линейна функция.

"Функция на темата" - анализ. Необходимо е да се установи не какво ученикът не знае, а какво знае. Полагане на основите за успех полагане на Единния държавен изпити прием в университети. Синтез. Ако учениците работят по различен начин, то учителят трябва да работи с тях по различен начин. Аналогия. Обобщение. Разпределение на задачите за единен държавен изпит по основни блокове на съдържанието училищен курсматематика.

„Трансформация на графики на функции“ - Повторете видовете трансформации на графики. Свържете всяка графика с функция. Симетрия. Цел на урока: Построяване на графики на сложни функции. Нека да разгледаме примери за трансформации и да обясним всеки вид трансформация. Трансформация на графики на функции. Разтягане. Затвърдете изграждането на графики на функции, като използвате трансформации на графики на елементарни функции.

„Графики на функции“ - Тип функция. Диапазонът от стойности на функцията е всички стойности на зависимата променлива y. Графиката на функция е парабола. Графиката на функция е кубична парабола. Графиката на функция е хипербола. Домейнът на дефиниция и диапазонът от стойности на функция. Свържете всеки ред с неговото уравнение: Областта на дефиниране на функцията е всички стойности на независимата променлива x.

План за построяване на квадратна функция.

1. Функционална област (д(г)).

2. Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре (надолу), т.к. a = __ > 0 (a = __< 0).

3. Координати на върха на параболата.

4. Уравнение на оста на симетрия.

5. Пресечна точка на графиката с остаой.

6. Функционални нули.

7. Таблица със стойностите на функцията.

8. График.

Пример за чертане на функция г = х 2 – 4 х + 3

1. д(г) = (- ∞; + ∞).

2. Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, тъй като a = 1 > 0.

3. Координати на върха на параболата:

х 0 = - , г 0 = 2 2 - 4 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1.

4. Уравнение на оста на симетриях = 2.

5. Пресечна точка с остаой (0; 3).

6. Функционални нули:

х 2 – 4 х + 3 = 0 д = (- 4) 2 – 4 1 3 = 16 -12 = 4 = 2 2

х 1 = = 1 х 2 = = 3

7. Нека създадем таблица с функционални стойности:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. Да построим графика

Свойства на функцията:

1. Набор от функционални стойности (д (г)).

2. Интервали с постоянен знак на функцията (г>0, г<0).

3. Интервали на монотонност на функция (увеличава се, намалява).

4. Точки на максимум и минимум на функцията.

Функционални свойства г = х 2 – 4 х + 3.

1. д (г) = [-1; + ∞).

2. г < 0, при х (1; 3).

Функция за изграждане

Предлагаме на вашето внимание услуга за конструиране на функционални графики онлайн, всички права върху която принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.

Предимства на онлайн графики

• Визуално показване на въведените функции
• Изграждане на много сложни графики
• Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
• Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
• Контролиране на мащаба и цвета на линията
• Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
• Изграждане на графики на няколко функции едновременно
• График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))

С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с графики на страницата на този уебсайт е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.