В този урок ще разгледаме как да използваме детерминантата за съставяне уравнение на равнината. Ако не знаете какво е детерминанта, преминете към първата част на урока - „ Матрици и детерминанти». В противен случай рискувате да не разберете нищо от днешния материал.

Уравнение на равнина с три точки

Защо изобщо се нуждаем от уравнението на равнината? Просто е: знаейки го, можем лесно да изчисляваме ъгли, разстояния и други глупости в задача C2. Като цяло това уравнение е незаменимо. Затова формулираме проблема:

Задача. В пространството има три точки, които не лежат на една права линия. Техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през тези три точки. И уравнението трябва да изглежда така:

Ax + By + Cz + D = 0

където числата A, B, C и D са коефициентите, които всъщност искате да намерите.

Е, как да получа уравнението на равнината, ако са известни само координатите на точките? Най-лесният начин е да замените координатите в уравнението Ax + By + Cz + D = 0. Получавате система от три уравнения, която лесно се решава.

Много студенти намират това решение за изключително досадно и ненадеждно. Миналогодишният изпит по математика показа, че вероятността от изчислителна грешка е наистина голяма.

Ето защо най-напредналите учители започнаха да търсят по-прости и по-елегантни решения. И го намериха! Вярно е, че получената техника е по-вероятно да бъде свързана с висшата математика. Лично аз трябваше да се ровя из целия федерален списък с учебници, за да се уверя, че имаме право да използваме тази техника без никаква обосновка и доказателства.

Уравнение на равнината чрез детерминанта

Стига дрънкане, да се заемем с работата. Като начало, теорема за това как са свързани матричната детерминанта и уравнението на равнината.

Теорема. Нека са дадени координатите на три точки, през които трябва да се прекара равнината: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Тогава уравнението на тази равнина може да бъде написано по отношение на детерминантата:

Например, нека се опитаме да намерим двойка равнини, които действително се срещат в задачи C2. Вижте колко бързо се брои всичко:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Съставяме детерминантата и я приравняваме към нула:

Отваряне на определителя:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Както можете да видите, когато пресмятах числото d, аз "изчетках" уравнението малко, така че променливите x, y и z влязоха в правилна последователност. Това е всичко! Уравнението на самолета е готово!

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Незабавно заменете координатите на точките в детерминанта:

Отново разширяване на детерминантата:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

И така, отново се получава уравнението на равнината! Отново, на последната стъпка, трябваше да променя знаците в него, за да получа по-„красива“ формула. Не е необходимо да правите това в това решение, но все пак се препоръчва - за да се опрости по-нататъшното решение на проблема.

Както можете да видите, сега е много по-лесно да напишете уравнението на равнината. Заместваме точките в матрицата, изчисляваме детерминантата - и това е всичко, уравнението е готово.

Това може да е краят на урока. Много ученици обаче постоянно забравят какво има вътре в детерминантата. Например кой ред съдържа x 2 или x 3 и кой ред само x . За да се справим най-накрая с това, нека проследим откъде идва всяко число.

Откъде идва формулата с определителя?

И така, нека разберем откъде идва такова грубо уравнение с детерминанта. Това ще ви помогне да го запомните и да го приложите успешно.

Всички равнини, които се срещат в задача C2, се определят от три точки. Тези точки винаги са отбелязани на чертежа или дори са посочени директно в текста на проблема. Във всеки случай, за да съставим уравнението, трябва да напишем техните координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Помислете за още една точка от нашата равнина с произволни координати:

T = (x, y, z)

Взимаме всяка точка от първите три (например точка M ) и начертаваме вектори от нея към всяка от останалите три точки. Получаваме три вектора:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Сега ще съставим от тези вектори квадратна матрицаи приравнете неговия детерминант на нула. Координатите на векторите ще станат редовете на матрицата - и ще получим същата детерминанта, която е посочена в теоремата:

Тази формула означава, че обемът на кутията, изградена върху векторите MN , MK и MT е равен на нула. Следователно и трите вектора лежат в една и съща равнина. По-специално, произволна точка T = (x, y, z) е точно това, което търсихме.

Замяна на точки и редове от детерминантата

Детерминантите имат някои прекрасни свойства, които го правят още по-лесно решение на задача C2. Например, за нас няма значение от коя точка да начертаем вектори. Следователно следните детерминанти дават същото уравнение на равнината като горното:

Можете също така да размените редовете на определителя. Уравнението ще остане непроменено. Например, много хора обичат да пишат линия с координатите на точката T = (x; y; z) в самия връх. Моля, ако Ви е удобно:

Някои обърква, че един от редовете съдържа променливи x, y и z, които не изчезват при заместване на точки. Но те не трябва да изчезват! Чрез заместване на числата в определителя трябва да получите следната конструкция:

След това детерминантата се разширява по схемата, дадена в началото на урока, и се получава стандартното уравнение на равнината:

Ax + By + Cz + D = 0

Разгледайте един пример. Той е последният в днешния урок. Съзнателно ще разменя редовете, за да съм сигурен, че отговорът ще бъде същото уравнение на равнината.

Задача. Напишете уравнение за равнина, минаваща през точките:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

И така, ние разглеждаме 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Първо, нека направим стандартна детерминанта и да я приравним към нула:

Отваряне на определителя:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Това е всичко, получихме отговора: x + y + z − 2 = 0 .

Сега нека пренаредим няколко реда в определителя и да видим какво ще се случи. Например, нека напишем ред с променливи x, y, z не отдолу, а отгоре:

Нека отново разширим получения детерминант:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Получихме абсолютно същото уравнение на равнината: x + y + z − 2 = 0. Така че, то наистина не зависи от реда на редовете. Остава да напиша отговора.

И така, видяхме, че уравнението на равнината не зависи от последователността на правите. Възможно е да се направят подобни изчисления и да се докаже, че уравнението на равнината не зависи от точката, чиито координати изваждаме от другите точки.

В проблема, разгледан по-горе, използвахме точката B 1 = (1, 0, 1), но беше напълно възможно да вземем C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). Като цяло всяка точка с известни координати, лежаща на желаната равнина.

Уравнение на равнината. Как да напиша уравнение за равнина?
Взаимна договореностсамолети. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от "плоската" геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да се разбере темата, човек трябва да разбира добре вектори, освен това е желателно да сте запознати с геометрията на равнината - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци 2D светът започва със статия Уравнение на права на равнина. Но сега Батман слезе от телевизора с плосък екран и се изстрелва от космодрума Байконур.

Да започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана като успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само парче от него. На практика освен успоредника се рисува и овал или дори облак. По технически причини ми е по-удобно да изобразя самолета по този начин и в това положение. Истински самолети, които ще разгледаме в практически примери, могат да бъдат подредени както желаете - мислено вземете рисунката в ръцете си и я завъртете в пространството, давайки на равнината всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Нотация: обичайно е самолетите да се обозначават с малки гръцки букви, очевидно за да не се бъркат с направо в самолетаили със право в космоса. Свикнал съм да използвам писмото. На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка. Въпреки че, дупчен самолет, той със сигурност е много забавен.

В някои случаи е удобно да се използват едни и същи гръцки букви с индекси за обозначаване на равнини, например .

Очевидно е, че равнината се определя еднозначно от три различни точки, които не лежат на една и съща права линия. Затова доста популярни са трибуквените обозначения на равнините – според принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са оградени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам меню за бърз достъп:

• Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и нормален вектор?

и няма да изнемогваме дълги чакания:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има формата , където коефициентите са едновременно различни от нула.

Редица теоретични изчисления и практически задачиса валидни както за обичайната ортонормална база, така и за афинна основапространство (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основа). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормална основа и декартова правоъгълна координатна система.

А сега нека тренираме малко пространствено въображение. Всичко е наред, ако ви е лошо, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква практика.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например така:

Още веднъж повтарям, че равнината продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от нея.

Помислете за най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем това уравнение? Помислете за това: „Z“ ВИНАГИ, за всякакви стойности на „X“ и „Y“ е равно на нула. Това уравнение е "родно" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето ясно се вижда, че не ни интересува какви стойности приемат “x” и “y”, важно е “z” да е равно на нула.

По същия начин:
е уравнението на координатната равнина ;
е уравнението на координатната равнина.

Нека усложним малко задачата, помислете за равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека пренапишем уравнението във формата: . Как да го разбираме? "X" е ВИНАГИ, тъй като всяка стойност на "y" и "z" е равна на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например една равнина е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната равнина;
- уравнението на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Добавете членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест "Z" може да бъде всичко. Какво означава? „X“ и „Y“ са свързани чрез съотношение, което чертае определена права линия в равнината (ще разпознаете уравнение на права линия в равнина?). Тъй като Z може да бъде всичко, тази линия се "копира" на всяка височина. По този начин уравнението определя равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната ос;
- уравнението на равнината, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще минават директно през съответните оси. Например класическата "пряка пропорционалност":. Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като „z“ е всяко). Извод: равнината, дадена от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през произхода. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява даденото уравнение.

И накрая, случаят, който е показан на чертежа: - самолетът е приятел с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да се разбере информацията, е необходимо да се изучава добре линейни неравенства в равнинатазащото много неща ще си приличат. Параграфът ще бъде кратък преглед с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението определя равнина, тогава неравенствата
питам полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Съвсем ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намеря единичния вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекивекторна координата, разделена на дължина на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Проверка: , което трябваше да се провери.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно насочващите косинуси на вектора:

Нека се отклоним от разглобения проблем: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а по условието се изисква да се намерят насочващите му косинуси (вижте последните задачи от урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност също намирате единичен вектор, колинеарен на дадения. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта да се намери единичен нормален вектор възниква при някои проблеми на математическия анализ.

Разбрахме риболова на нормалния вектор, сега ще отговорим на обратния въпрос:

Как да напиша уравнение за равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция от нормален вектор и точка е добре позната от дартс мишена. Моля, протегнете ръка напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно през тази точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката ви.

Уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата:

В рамките на този материал ще анализираме как да намерим уравнението на равнина, ако знаем координатите на трите й различни точки, които не лежат на една права линия. За да направим това, трябва да си спомним какво е правоъгълна координатна система в триизмерното пространство. Първо, представяме основния принцип на това уравнение и показваме как да го използваме при решаването на конкретни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Като начало трябва да запомним една аксиома, която звучи така:

Определение 1

Ако три точки не съвпадат една с друга и не лежат на една права линия, тогава в триизмерното пространство през тях минава само една равнина.

С други думи, ако имаме три различни точки, чиито координати не съвпадат и които не могат да бъдат свързани с права линия, тогава можем да определим равнината, минаваща през тях.

Да кажем, че имаме правоъгълна координатна система. Нека го обозначим с O x y z. Съдържа три точки M с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M 3 (x 3, y 3, z 3), които не могат да бъдат свързани направо линия. Въз основа на тези условия можем да напишем уравнението на равнината, от която се нуждаем. Има два подхода за решаване на този проблем.

1. Първият подход използва общото уравнение на равнината. В буквална форма се записва като A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. С него можете да зададете в правоъгълна координатна система определена равнина алфа, която минава през първата дадена точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Оказва се, че векторът на нормалната равнина α ще има координати A , B , C .

Дефиниция на Н

Познавайки координатите на нормалния вектор и координатите на точката, през която минава равнината, можем да напишем общото уравнение на тази равнина.

От това ще продължим по-нататък.

Така според условията на задачата имаме координатите на желаната точка (дори три), през която минава самолета. За да намерите уравнението, трябва да изчислите координатите на нормалния му вектор. Означаваме го n → .

Спомнете си правилото: всеки ненулев вектор на дадена равнина е перпендикулярен на нормалния вектор на същата равнина. Тогава имаме, че n → ще бъде перпендикулярен на векторите, съставени от началните точки M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогава можем да означим n → като векторно произведение от формата M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Тъй като M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) и M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (доказателствата за тези равенства са дадени в статията, посветена на изчисляването на координатите на вектор от координатите на точки), тогава се оказва, че:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z един

Ако изчислим детерминантата, ще получим координатите на нормалния вектор n → от който се нуждаем. Сега можем да напишем необходимото ни уравнение за равнина, минаваща през три дадени точки.

2. Вторият подход за намиране на уравнение, минаващо през M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) е въз основа на такава концепция като компланарността на векторите.

Ако имаме набор от точки M (x, y, z) , тогава в правоъгълна координатна система те определят равнина за дадените точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) само ако векторите M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) и M 1 M 3   → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) ще бъдат копланарни.

На диаграмата ще изглежда така:

Това ще означава, че смесеното произведение на векторите M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → ще бъде равно на нула: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , тъй като това е основното условие за компланарност: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) , z 2 - z 1 ) и M 1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Записваме полученото уравнение в координатна форма:

След като изчислим детерминантата, можем да получим уравнението на равнината, което ни е необходимо за три точки, които не лежат на една права линия M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) .

От полученото уравнение можете да преминете към уравнението на равнината в сегменти или към нормалното уравнение на равнината, ако това се изисква от условията на проблема.

В следващия параграф ще дадем примери как се прилагат на практика посочените от нас подходи.

Примерни задачи за съставяне на уравнение на равнина, минаваща през 3 точки

Преди това идентифицирахме два подхода, които могат да се използват за намиране на желаното уравнение. Нека видим как се използват при решаване на проблеми и кога да изберете всеки от тях.

Пример 1

Има три точки, които не лежат на една права линия, с координати M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Напишете уравнение за равнина, минаваща през тях.

Решение

Ние използваме двата метода на свой ред.

1. Намерете координатите на двата вектора, от които се нуждаем M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Сега изчисляваме тяхното векторно произведение. В този случай няма да описваме изчисленията на детерминантата:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Имаме нормален вектор на равнината, който минава през трите търсени точки: n → = (- 5 , 30 , 2) . След това трябва да вземем една от точките, например M 1 (- 3 , 2 , - 1) и да напишем уравнението за равнината с вектора n → = (- 5 , 30 , 2) . Получаваме, че: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Това е уравнението на равнината, от която се нуждаем, която минава през три точки.

2. Ние използваме различен подход. Записваме уравнението за равнина с три точки M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в следната форма:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Тук можете да замените данни от условието на задачата. Тъй като x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, като резултат ще получим:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Получихме уравнението, от което се нуждаем.

Отговор:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Но какво ще стане, ако дадените точки все още лежат на една и съща права линия и трябва да съставим уравнение на равнината за тях? Тук трябва веднага да се каже, че това условие няма да е напълно правилно. Безкрайно много равнини могат да преминат през такива точки, така че е невъзможно да се изчисли един отговор. Нека разгледаме такъв проблем, за да докажем неправилността на такава формулировка на въпроса.

Пример 2

Имаме правоъгълна координатна система в 3D пространство, съдържаща три точки с координати M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Необходимо е да се напише уравнение за равнина, минаваща през него.

Решение

Използваме първия метод и започваме с изчисляване на координатите на два вектора M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Нека изчислим техните координати: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Векторният продукт ще бъде равен на:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Тъй като M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , тогава нашите вектори ще бъдат колинеарни (прочетете отново статията за тях, ако сте забравили определението на това понятие). Така началните точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) са на една и съща права линия и нашият проблем има безкрайно много опции за отговор.

Ако използваме втория метод, получаваме:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

От полученото равенство също следва, че дадените точки M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) са на една права.

Ако искате да намерите поне един отговор на този проблем от безкраен брой от неговите възможности, тогава трябва да следвате следните стъпки:

1. Напишете уравнението на правата линия M 1 M 2, M 1 M 3 или M 2 M 3 (ако е необходимо, вижте материала за това действие).

2. Вземете точка M 4 (x 4 , y 4 , z 4), която не лежи на правата M 1 M 2 .

3. Напишете уравнението на равнина, която минава през три различни точки M 1 , M 2 и M 4 , които не лежат на една права линия.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Може да се задава различни начини(една точка и вектор, две точки и вектор, три точки и т.н.). Имайки предвид това, уравнението на равнината може да има различни видове. Също така при определени условия равнините могат да бъдат успоредни, перпендикулярни, пресичащи се и т.н. Ще говорим за това в тази статия. Ще се научим да пишем общото уравнение на равнината и не само.

Нормална форма на уравнението

Да кажем, че има пространство R 3, което има правоъгълна координатна система XYZ. Задаваме вектора α, който ще бъде освободен от началната точка O. През края на вектора α начертаваме равнината P, която ще бъде перпендикулярна на него.

Означаваме с P произволна точка Q=(x, y, z). Ще подпишем радиус вектора на точката Q с буквата p. Дължината на вектора α е p=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Това е единичен вектор, който сочи настрани, точно като вектора α. α, β и γ са ъглите, образувани съответно между вектора Ʋ и положителните посоки на пространствените оси x, y, z. Проекцията на някаква точка QϵП върху вектора Ʋ е постоянна стойност, равна на р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Това уравнение има смисъл, когато p=0. Единственото нещо е, че равнината P в този случай ще пресича точката O (α=0), която е началото, а единичният вектор Ʋ, освободен от точката O, ще бъде перпендикулярен на P, независимо от посоката си, което означава че векторът Ʋ се определя от с точност до знак. Предишното уравнение е уравнението на нашата P равнина, изразено във векторна форма. Но в координати ще изглежда така:

P тук е по-голямо или равно на 0. Намерихме уравнението на равнина в пространството в нейната нормална форма.

Общо уравнение

Ако умножим уравнението в координати по всяко число, което не е равно на нула, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото, което определя същата тази равнина. Ще изглежда така:

Тук A, B, C са числа, които едновременно са различни от нула. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината.

Равнинни уравнения. Особени случаи

Уравнение в общ изгледможе да се промени, ако е налично допълнителни условия. Нека разгледаме някои от тях.

Да приемем, че коефициентът A е 0. Това означава, че дадената равнина е успоредна на дадената ос Ox. В този случай формата на уравнението ще се промени: Ву+Cz+D=0.

По същия начин формата на уравнението ще се промени при следните условия:

• Първо, ако B = 0, тогава уравнението ще се промени на Ax + Cz + D = 0, което ще покаже успоредност на оста Oy.
• Второ, ако С=0, то уравнението се трансформира в Ах+Ву+D=0, което ще покаже паралелност на дадената ос Oz.
• Трето, ако D=0, уравнението ще изглежда като Ax+By+Cz=0, което ще означава, че равнината пресича O (началото).
• Четвърто, ако A=B=0, тогава уравнението ще се промени на Cz+D=0, което ще се окаже успоредно на Oxy.
• Пето, ако B=C=0, тогава уравнението става Ax+D=0, което означава, че равнината на Oyz е успоредна.
• Шесто, ако A=C=0, тогава уравнението ще приеме формата Ву+D=0, тоест ще отчете паралелност на Oxz.

Вид уравнение в сегменти

В случай, че числата A, B, C, D са различни от нула, формата на уравнение (0) може да бъде както следва:

x/a + y/b + z/c = 1,

в който a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Получаваме като резултат Струва си да се отбележи, че тази равнина ще пресича оста Ox в точка с координати (a,0,0), Oy - (0,b,0) и Oz - (0,0,c) .

Като се вземе предвид уравнението x/a + y/b + z/c = 1, е лесно да се представи визуално разположението на равнината спрямо дадена координатна система.

Нормални векторни координати

Нормалният вектор n към равнината P има координати, които са коефициентите общо уравнениедадена равнина, тоест n (A, B, C).

За да се определят координатите на нормалата n, е достатъчно да се знае общото уравнение на дадена равнина.

Когато се използва уравнението в сегменти, което има формата x/a + y/b + z/c = 1, както и когато се използва общото уравнение, могат да се запишат координатите на всеки нормален вектор на дадена равнина: (1 /a + 1/b + 1/ С).

Трябва да се отбележи, че нормалният вектор помага за решаването на различни проблеми. Най-често срещаните са задачи, които се състоят в доказване на перпендикулярност или успоредност на равнини, задачи за намиране на ъгли между равнини или ъгли между равнини и прави.

Изглед на уравнението на равнината според координатите на точката и нормалния вектор

Ненулев вектор n, перпендикулярен на дадена равнина, се нарича нормален (нормален) за дадена равнина.

Да предположим, че в координатното пространство (правоъгълна координатна система) са дадени Oxyz:

• точка Mₒ с координати (xₒ,yₒ,zₒ);
• нулев вектор n=A*i+B*j+C*k.

Необходимо е да се състави уравнение за равнина, която ще минава през точката Mₒ перпендикулярно на нормалата n.

В пространството избираме произволна точка и я обозначаваме с M (x y, z). Нека радиус векторът на всяка точка M (x, y, z) е r=x*i+y*j+z*k, а радиус векторът на точката Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Точката M ще принадлежи на дадената равнина, ако векторът MₒM е перпендикулярен на вектора n. Записваме условието за ортогоналност, като използваме скаларния продукт:

[MₒM, n] = 0.

Тъй като MₒM \u003d r-rₒ, векторното уравнение на равнината ще изглежда така:

Това уравнение може да приеме друга форма. За това се използват свойствата на скаларното произведение и лявата странауравнения. = - . Ако се означи като c, тогава ще се получи следното уравнение: - c \u003d 0 или \u003d c, което изразява постоянството на проекциите върху нормалния вектор на радиус векторите на дадените точки, които принадлежат на равнината.

Сега можете да получите координатната форма на запис на векторното уравнение на нашата равнина = 0. Тъй като r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, и n = A*i+B *j+C*k, имаме:

Оказва се, че имаме уравнение за равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на нормалата n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Изглед на уравнението на равнината според координатите на две точки и вектор, колинеарен на равнината

Дефинираме две произволни точки M′ (x′,y′,z′) и M″ (x″,y″,z″), както и вектора a (a′,a″,a‴).

Сега можем да съставим уравнение за дадена равнина, която ще минава през наличните точки M′ и M″, както и всяка точка M с координати (x, y, z), успоредни на дадения вектор a.

В този случай векторите M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) и M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) трябва да са копланарни с вектора a=(a′,a″,a‴), което означава, че (M′M, M″M, a)=0.

И така, нашето уравнение на равнина в пространството ще изглежда така:

Вид на уравнението на равнина, пресичаща три точки

Да предположим, че имаме три точки: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), които не принадлежат на една и съща права линия. Необходимо е да се напише уравнението на равнината, минаваща през дадените три точки. Теорията на геометрията твърди, че този вид равнина наистина съществува, само че е единствената и неподражаема. Тъй като тази равнина пресича точката (x′, y′, z′), формата на нейното уравнение ще бъде както следва:

Тук A, B, C са различни от нула едновременно. Освен това дадената равнина пресича още две точки: (x″,y″,z″) и (x‴,y‴,z‴). В тази връзка трябва да бъдат изпълнени следните условия:

Сега можем да композираме хомогенна системас неизвестни u, v, w:

В нашата случай x,yили z е произволна точка, която удовлетворява уравнение (1). Като се вземат предвид уравнението (1) и системата от уравнения (2) и (3), системата от уравнения, посочена на фигурата по-горе, удовлетворява вектора N (A, B, C), който е нетривиален. Ето защо детерминантата на тази система е равна на нула.

Уравнение (1), което получихме, е уравнението на равнината. Минава точно през 3 точки и това лесно се проверява. За да направим това, трябва да разширим нашата детерминанта върху елементите в първия ред. От съществуващите свойства на детерминантата следва, че нашата равнина пресича едновременно три първоначално дадени точки (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Тоест, ние сме решили поставената пред нас задача.

Двустенен ъгъл между равнините

Двустенният ъгъл е пространствен геометрична фигура, образувана от две полуравнини, които излизат от една права линия. С други думи, това е частта от пространството, която е ограничена от тези полуравнини.

Да кажем, че имаме две равнини със следните уравнения:

Знаем, че векторите N=(A,B¹,C) и N¹=(A¹,B¹,C¹) са перпендикулярни спрямо дадените равнини. В тази връзка ъгълът φ между векторите N и N¹ е равен на ъгъла (двустен), който е между тези равнини. Скаларното произведение има формата:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно защото

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Достатъчно е да се вземе предвид, че 0≤φ≤π.

Всъщност две равнини, които се пресичат, образуват два (двустенни) ъгъла: φ 1 и φ 2 . Тяхната сума е равна на π (φ 1 + φ 2 = π). Що се отнася до техните косинуси, техните абсолютни стойности са равни, но се различават по знаци, т.е. cos φ 1 =-cos φ 2. Ако в уравнение (0) заместим A, B и C съответно с числата -A, -B и -C, тогава уравнението, което получаваме, ще определи същата равнина, единственият ъгъл φ в уравнението cos φ= NN 1 /| N||N 1 | ще бъде заменен с π-φ.

Уравнение на перпендикулярна равнина

Равнините се наричат ​​перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90 градуса. Използвайки описания по-горе материал, можем да намерим уравнението на равнина, перпендикулярна на друга. Да кажем, че имаме две равнини: Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Можем да твърдим, че те ще бъдат перпендикулярни, ако cosφ=0. Това означава, че NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Уравнение на паралелна равнина

Успоредни са две равнини, които нямат общи точки.

Условието (техните уравнения са същите като в предходния параграф) е векторите N и N¹, които са перпендикулярни на тях, да са колинеарни. А това означава, че следните условияпропорционалност:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ако условията за пропорционалност са разширени - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

това показва, че тези равнини съвпадат. Това означава, че уравненията Ax+By+Cz+D=0 и A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 описват една равнина.

Разстояние до равнина от точка

Да кажем, че имаме равнина P, която е дадена от уравнение (0). Необходимо е да се намери разстоянието до него от точката с координати (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. За да направите това, трябва да приведете уравнението на равнината P в нормална форма:

(ρ,v)=p (p≥0).

В този случай ρ(x,y,z) е радиус векторът на нашата точка Q, разположена върху P, p е дължината на перпендикуляра към P, който е бил освободен от нулевата точка, v е единичният вектор, който се намира в посоката a.

Разликата ρ-ρº на радиус вектора на някаква точка Q=(x,y,z), принадлежаща на P, както и радиус вектора на дадена точка Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) е такъв вектор, абсолютна стойностчиято проекция върху v е равна на разстоянието d, което трябва да се намери от Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) до P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Така се оказва

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Така ще намерим абсолютна стойностполученият израз, тоест изискваното d.

Използвайки езика на параметрите, получаваме очевидното:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ако дадената точка Q 0 е от другата страна на равнината P, както и началото, тогава между вектора ρ-ρ 0 и v следователно е:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

В случай, че точката Q 0, заедно с началото, се намира от една и съща страна на P, тогава образуваният ъгъл е остър, т.е.

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

В резултат на това се оказва, че в първия случай (ρ 0 ,v)> р, във втория (ρ 0 ,v)<р.

Допирателна равнина и нейното уравнение

Допирателната равнина към повърхността в точката на контакт Mº е равнината, съдържаща всички възможни допирателни към кривите, начертани през тази точка на повърхността.

С тази форма на повърхностното уравнение F (x, y, z) \u003d 0, уравнението на допирателната равнина в допирателната точка Mº (xº, yº, zº) ще изглежда така:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ако посочите повърхността в ясна форма z=f (x, y), тогава допирателната равнина ще бъде описана от уравнението:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Пресечна точка на две равнини

В координатната система (правоъгълна) се намира Oxyz, дадени са две равнини П′ и П″, които се пресичат и не съвпадат. Тъй като всяка равнина, разположена в правоъгълна координатна система, се определя от общото уравнение, ще приемем, че P′ и P″ са дадени от уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x +B″y+ С″z+D″=0. В този случай имаме нормалното n′ (A′, B′, C′) на равнината P′ и нормалното n″ (A″, B″, C″) на равнината P″. Тъй като нашите равнини не са успоредни и не съвпадат, тези вектори не са колинеарни. Използвайки езика на математиката, можем да запишем това условие по следния начин: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Нека правата, която лежи в пресечната точка на P′ и P″, бъде означена с буквата a, в този случай a = P′ ∩ P″.

a е права линия, състояща се от набор от всички точки на (общи) равнини П′ и П″. Това означава, че координатите на всяка точка, принадлежаща на правата a, трябва едновременно да отговарят на уравненията A′x+B′y+C′z+D′=0 и A″x+B″y+C″z+D″= 0. Това означава, че координатите на точката ще бъдат конкретно решение на следната система от уравнения:

В резултат на това се оказва, че (общото) решение на тази система от уравнения ще определи координатите на всяка от точките на правата линия, която ще действа като пресечна точка на П′ и П″, и ще определи правата линия a в координатната система Oxyz (правоъгълна) в пространството.