Как изглежда графиката на равномерно ускорено движение? Равномерно линейно движение

Въпроси.

1. Запишете формулата, чрез която можете да изчислите проекцията на вектора на моментната скорост на праволинейно равномерно ускорено движение, ако знаете: а) проекцията на вектора на началната скорост и проекцията на вектора на ускорението; б) проекция на вектора на ускорението при положение, че началната скорост е нула.

2. Каква е проекционната графика на вектора на скоростта на равномерно ускорено движение при начална скорост: а) равна на нула; б) не е равно на нула?

3. По какво си приличат и по какво се различават движенията, чиито графики са представени на фигури 11 и 12?

И в двата случая движението става с ускорение, но в първия случай ускорението е положително, а във втория е отрицателно.

Упражнения.

1. Хокеист леко удари шайбата със стика, придавайки й скорост от 2 m/s. Каква ще бъде скоростта на шайбата 4 s след удара, ако в резултат на триене с лед тя се движи с ускорение 0,25 m/s 2?

2. Скиор се плъзга по планина от покой с ускорение 0,2 m/s 2 . След какъв период от време скоростта му ще се увеличи до 2 m/s?

3. В същите координатни оси постройте графики на проекцията на вектора на скоростта (върху оста X, съпосочена с вектора на началната скорост) за праволинейно равномерно ускорено движение за случаите: а) v ox = 1 m/s, a x = 0,5 m/s 2 ; b) v ox = 1 m/s, a x = 1 m/s 2; в) v ox = 2 m/s, a x = 1 m/s 2.
Мащабът е еднакъв във всички случаи: 1 cm - 1 m/s; 1 см - 1 сек.

4. В същите координатни оси постройте графики на проекцията на вектора на скоростта (върху оста X, съпосочена с вектора на началната скорост) за праволинейно равномерно ускорено движение за случаите: а) v ox = 4,5 m/s, a x = -1,5 m/s 2 ; б) v ox = 3 m/s, a x = -1 m/s 2
Изберете сами мащаба.

5. Фигура 13 показва графики на модула на вектора на скоростта спрямо времето за праволинейно движение на две тела. С какво абсолютно ускорение се движи тялото I? тяло II?

Инструкции

Да разгледаме функцията f(x) = |x|. Като начало, това е модул без знак, тоест графиката на функцията g(x) = x. Тази графика е права линия, минаваща през началото и ъгълът между тази права линия и положителната посока на оста x е 45 градуса.

Тъй като модулът е неотрицателна величина, частта, която е под абсцисната ос, трябва да бъде огледална спрямо нея. За функцията g(x) = x откриваме, че графиката след такова картографиране ще изглежда като V. Тази нова графика ще бъде графична интерпретация на функцията f(x) = |x|.

Видео по темата

Моля, обърнете внимание

Графиката на модула на функция никога няма да бъде в 3-та и 4-та четвъртина, тъй като модулът не може да приеме отрицателни стойности.

Полезни съвети

Ако една функция съдържа няколко модула, тогава те трябва да бъдат разширени последователно и след това подредени един върху друг. Резултатът ще бъде желаната графика.

източници:

• как да изобразите графика на функция с модули

Кинематични задачи, в които трябва да пресмятате скорост, времеили пътя на равномерно и праволинейно движещи се тела, които се срещат в училищен курсалгебра и физика. За да ги решите, намерете в условието величини, които могат да бъдат изравнени. Ако условието изисква дефиниране времес известна скорост, използвайте следните инструкции.

Ще ви трябва

• - писалка;
• - хартия за бележки.

Инструкции

Най-простият случай е движението на едно тяло с дадена униформа скоростЮ. Известно е разстоянието, което е изминало тялото. Намерете по пътя: t = S/v, час, където S е разстоянието, v е средната стойност скоросттела.

Втората е за насрещно движение на тела. Кола се движи от точка А до точка Б скорост 50 км/ч. Мотопед с а скорост 30 км/ч. Разстоянието между точки А и Б е 100 км. Трябва да се намери времечрез които ще се срещнат.

Обозначете точката на среща K. Нека разстоянието AK на автомобила е x km. Тогава пътят на мотоциклетиста ще бъде 100 км. От условията на проблема следва, че времеНа пътя колата и мотопедът имат едно и също преживяване. Съставете уравнението: x/v = (S-x)/v’, където v, v’ – и мотопеда. Замествайки данните, решете уравнението: x = 62,5 km. Сега време: t = 62,5/50 = 1,25 часа или 1 час и 15 минути.

Създайте уравнение, подобно на предишното. Но в този случай времепътуването на мотопед ще бъде с 20 минути по-дълго от това на лек автомобил. За да изравните частите, извадете една трета от час от дясната страна на израза: x/v = (S-x)/v’-1/3. Намерете x – 56,25. Изчислете време: t = 56,25/50 = 1,125 часа или 1 час 7 минути 30 секунди.

Четвъртият пример е задача, свързана с движението на тела в една посока. Автомобил и мотопед се движат от точка А с еднакви скорости. Известно е, че колата е тръгнала след половин час. След какво времеще настигне ли мотопеда?

В този случай изминатото разстояние ще бъде същото превозни средства. Нека времетогава колата ще пътува x часа времепътуването на мотопеда ще бъде x+0,5 часа. Имате уравнението: vx = v’(x+0,5). Решете уравнението, като заместите и намерете x – 0,75 часа или 45 минути.

Пети пример – автомобил и мотопед се движат с еднаква скорост в една и съща посока, но мотопедът е напуснал точка Б, намираща се на 10 км от точка А, половин час по-рано. Изчислете след какво времеСлед старта колата ще настигне мотопеда.

Изминатото от колата разстояние е с 10 км повече. Добавете тази разлика към пътя на мотоциклетиста и изравнете частите на израза: vx = v’(x+0.5)-10. Замествайки стойностите на скоростта и решавайки го, получавате: t = 1,25 часа или 1 час 15 минути.

източници:

• каква е скоростта на машината на времето

Инструкции

Изчислете средната стойност на тяло, което се движи равномерно по участък от пътя. Такива скоросте най-лесният за изчисляване, тъй като не се променя в целия сегмент движениеи се равнява на средното. Това може да се изрази във формата: Vрд = Vср, където Vрд – скоростуниформа движение, а Vav – средно скорост.

Изчислете средната стойност скоростравномерно бавно (равномерно ускорено) движениена тази област, за което трябва да добавите началния и крайния скорост. Разделете резултата на две, което е средната стойност скоростЮ. Това може да се напише по-ясно като формула: Vср = (Vн + Vк)/2, където Vн представлява

Униформа праволинейно движение - Това е частен случай на неравномерно движение.

Неравномерно движение- това е движение, при което тяло (материална точка) извършва неравномерни движения за еднакви периоди от време. Например, градски автобус се движи неравномерно, тъй като движението му се състои главно от ускорение и забавяне.

Еднакво променливо движение- това е движение, при което скоростта на едно тяло (материална точка) се променя еднакво за всякакви равни периоди от време.

Ускорение на тялото при равномерно движениеостава постоянен по големина и посока (a = const).

Равномерното движение може да бъде равномерно ускорено или равномерно забавено.

Равноускорено движение- това е движението на тяло (материална точка) с положително ускорение, тоест при такова движение тялото се ускорява с постоянно ускорение. При равномерно ускорено движение модулът на скоростта на тялото нараства с течение на времето и посоката на ускорението съвпада с посоката на скоростта на движение.

Еднакво забавено движение- това е движението на тяло (материална точка) с отрицателно ускорение, тоест при такова движение тялото равномерно се забавя. При равномерно забавено движение векторите на скоростта и ускорението са противоположни и модулът на скоростта намалява с времето.

В механиката всяко праволинейно движение се ускорява, следователно бавното движение се различава от ускореното само в знака на проекцията на вектора на ускорението върху избраната ос на координатната система.

Средна променлива скоростсе определя като движението на тялото се раздели на времето, през което това движение е извършено. Единицата за средна скорост е m/s.

V cp = s/t

е скоростта на тялото (материална точка) в даден момент от време или в дадена точка от траекторията, т.е. границата, към която се стреми средната скорост с безкрайно намаляване на интервала от време Δt:

Вектор на моментната скоростравномерно променливото движение може да се намери като първа производна на вектора на изместване по отношение на времето:

Векторна проекция на скоросттапо оста OX:

V x = x’

това е производната на координатата по отношение на времето (проекциите на вектора на скоростта върху други координатни оси се получават по подобен начин).

е количество, което определя скоростта на промяна на скоростта на тялото, т.е. границата, към която клони промяната на скоростта с безкрайно намаляване на периода от време Δt:

Вектор на ускорение на равномерно редуващо се движениеможе да се намери като първа производна на вектора на скоростта по отношение на времето или като втора производна на вектора на изместване по отношение на времето:

Ако тялото се движи праволинейно по оста OX на праволинейна декартова координатна система, съвпадаща по посока с траекторията на тялото, тогава проекцията на вектора на скоростта върху тази ос се определя по формулата:

V x = v 0x ± a x t

Знакът “-” (минус) пред проекцията на вектора на ускорението се отнася за равномерно забавено движение. Уравненията за проекции на вектора на скоростта върху други координатни оси се записват по подобен начин.

Тъй като при равномерно движение ускорението е постоянно (a = const), графиката на ускорението е права линия, успоредна на оста 0t (времева ос, фиг. 1.15).

ориз. 1.15. Зависимост на ускорението на тялото от времето.

Зависимост на скоростта от времетое линейна функция, чиято графика е права линия (фиг. 1.16).

ориз. 1.16. Зависимост на скоростта на тялото от времето.

Графика скорост спрямо време(фиг. 1.16) показва това

В този случай преместването е числено равно на площта на фигурата 0abc (фиг. 1.16).

Площта на трапец е равна на произведението на половината от сумата от дължините на основите му и височината му. Основите на трапеца 0abc са числено равни:

0a = v 0 bc = v

Височината на трапеца е t. По този начин площта на трапеца и следователно проекцията на изместване върху оста OX е равна на:

При равномерно забавено движение проекцията на ускорението е отрицателна и във формулата за проекцията на преместването пред ускорението се поставя знак „–” (минус).

Графика на скоростта на тялото спрямо времето при различни ускорения е показана на фиг. 1.17. Графиката на изместването спрямо времето за v0 = 0 е показана на фиг. 1.18.

ориз. 1.17. Зависимост на скоростта на тялото от времето за различни стойности на ускорението.

ориз. 1.18. Зависимост на движението на тялото от времето.

Скоростта на тялото в даден момент t 1 е равна на тангенса на ъгъла на наклон между допирателната към графиката и времевата ос v = tg α, а преместването се определя по формулата:

Ако времето на движение на тялото е неизвестно, можете да използвате друга формула за изместване, като решите система от две уравнения:

Това ще ни помогне да изведем формулата за проекция на изместване:

Тъй като координатата на тялото във всеки един момент се определя от сумата на началната координата и проекцията на изместване, тя ще изглежда така:

Графиката на координатата x(t) също е парабола (като графиката на преместване), но върхът на параболата в общия случай не съвпада с началото. Когато x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Урок по темата: „Скоростта на една права линия е равномерно ускорена

движения. Графики на скоростта."

Учебна цел : въведете формула за определяне на моментната скорост на тялото по всяко време, продължете да развивате способността за изграждане на графики на зависимостта на проекцията на скоростта от времето, изчислете моментната скорост на тялото по всяко време, подобрете способността на учениците за решаване на проблеми с помощта на аналитични и графични методи.

Цел за развитие : развитие на теоретични, творческо мислене, формиране на оперативно мислене, насочено към избор на оптимални решения

Мотивационна цел : събуждане на интерес към изучаването на физика и информатика

Прогрес на урока.

1.Организационен момент .

Учител: - Здравейте, момчета. Днес в урока ще изучаваме темата „Скорост“, ще повторим темата „Ускорение“, в урока ще научим формулата за определяне на моментната скорост на тялото във всеки един момент от време. , ще продължим да развиваме способността да изграждаме графики на зависимостта на проекцията на скоростта от времето, да изчисляваме моментната скорост на тялото във всеки момент от времето, ще подобрим способността за решаване на задачи с помощта на аналитични и графични методи I радвам се да те видя здрав в клас. Не се изненадвайте, че започнах нашия урок с това: здравето на всеки от вас е най-важното нещо за мен и другите учители. Какво мислите, че може да бъде общото между нашето здраве и темата „Скорост”?( слайд)

Студентите изразяват мнението си по този въпрос.

Учител: - Знанията по тази тема могат да помогнат да се предвиди появата на ситуации, които са опасни за човешкия живот, например тези, които възникват, когато трафики т.н.

2. Актуализиране на знанията.

Темата „Ускорение“ се повтаря под формата на отговори на учениците на следните въпроси:

1.какво е ускорение (слайд);

2.формула и единици за ускорение (слайд);

3. равномерно редуващо се движение (пързалка);

4.графики на ускорението (слайд);

5. Съставете задача, като използвате материала, който сте изучавали.

6. Дадените по-долу закони или определения съдържат редица неточности. Дайте правилната формулировка.

Движението на тялото се наричасегмент , свързващ началното и крайното положение на тялото.

Скорост на равномерно праволинейно движение -това е начинът изминати от тялото за единица време.

Механично движениена тялото се нарича промяна в положението му в пространството.

Праволинейното равномерно движение е движение, при което тялото изминава равни разстояния за равни интервали от време.

Ускорението е величина, числено равна на отношението на скоростта към времето.

Тяло с малки размери се нарича материална точка.

Основната задача на механиката е да знае положението на тялото

Краткосрочно самостоятелна работана карти - 7 минути.

Червен картон – резултат „5”; син картон – резултат „4”;

.ДО 1

1.какъв вид движение се нарича равномерно ускорено?

2. Запишете формулата за определяне на проекцията на вектора на ускорението.

3. Ускорението на тялото е 5 m/s 2, какво означава това?

4. Скоростта на спускане на парашутиста след отваряне на парашута намалява от 60 m/s на 5 m/s за 1,1 s. Намерете ускорението на парашутиста.

1.Какво се нарича ускорение?

3. Ускорението на тялото е 3 m/s 2. какво значи това

4. С какво ускорение се движи колата, ако за 10 s скоростта й се е увеличила от 5 m/s на 10 m/s

1.Какво се нарича ускорение?

2. Какви са мерните единици за ускорение?

3. Запишете формулата за определяне на проекцията на вектора на ускорението.

4. 3. Ускорението на тялото е 2 m/s 2, какво означава това?

3.Учене на нов материал .

1. Извеждане на формулата за скорост от формулата за ускорение. На дъската, под ръководството на учителя, ученикът записва извода на формулата

2.Графично представяне на движение.

Слайдът на презентацията разглежда графики на скоростта

.

4. Решаване на задачи по тази тема с помощта на GI материали А

Презентационни слайдове.

1. Използвайки графика на скоростта на движение на тялото спрямо времето, определете скоростта на тялото в края на 5-та секунда, като приемете, че характерът на движението на тялото не се променя.

9 m/s

10 m/s

12 m/s

14 m/s

2.По графика на зависимостта на скоростта на движение на тялото от времето. Намерете скоростта на тялото в моментаt = 4 s.

3. Фигурата показва графика на скоростта на движение на материална точка спрямо времето. Определете скоростта на тялото в моментаt = 12 s, като приемем, че характерът на движението на тялото не се променя.

4. Фигурата показва графика на скоростта на определено тяло. Определете скоростта на тялото в моментаt = 2 s.

5. Фигурата показва графика на проекцията на скоростта на камиона върху остаXот времетомехнито едно от двете. Проекцията на ускорението на камиона върху тази ос в моментаt =3 sравно на

6. Тялото започва линейно движение от състояние на покой и неговото ускорение се променя с времето, както е показано на графиката. 6 s след началото на движението модулът на скоростта на тялото ще бъде равен на

7. Мотоциклетистът и велосипедистът започват едновременно равномерно ускорено движение. Ускорението на мотоциклетист е 3 пъти по-голямо от това на велосипедист. В същия момент скоростта на мотоциклетиста е по-голяма от скоростта на велосипедиста

1) 1,5 пъти

2) √3 пъти

3) 3 пъти

5. Обобщение на урока (Размисъл по тази тема.)

Това, което беше особено запомнящо се и поразително учебен материал.

6.Домашна работа.

7. Оценки за урока.

Еднообразно движение– това е движение с постоянна скорост, тоест когато скоростта не се променя (v = const) и не се получава ускорение или забавяне (a = 0).

Движение по права линия- това е движение по права линия, т.е. траекторията на праволинейното движение е права линия.

Равномерно линейно движение- това е движение, при което тялото прави равни движения за всякакви равни периоди от време. Например, ако разделим определен интервал от време на интервали от една секунда, тогава при равномерно движение тялото ще се движи на едно и също разстояние за всеки от тези интервали от време.

Скоростта на равномерното праволинейно движение не зависи от времето и във всяка точка от траекторията е насочена по същия начин като движението на тялото. Тоест векторът на преместване съвпада по посока с вектора на скоростта. В този случай средната скорост за всеки период от време е равна на моментната скорост:

Скорост на равномерно праволинейно движениее физическо векторно количество, равно на съотношението на движението на тяло за всеки период от време към стойността на този интервал t:

По този начин скоростта на равномерното праволинейно движение показва колко движение извършва материална точка за единица време.

Преместванес равномерно линейно движение се определя по формулата:

Изминато разстояниепри линейно движение е равен на модула на преместване. Ако положителната посока на оста OX съвпада с посоката на движение, тогава проекцията на скоростта върху оста OX е равна на големината на скоростта и е положителна:

v x = v, което е v > 0

Проекцията на преместването върху оста OX е равна на:

s = vt = x – x 0

където x 0 е началната координата на тялото, x е крайната координата на тялото (или координатата на тялото по всяко време)

Уравнение на движението, тоест зависимостта на координатите на тялото от времето x = x(t), приема формата:

Ако положителната посока на оста OX е противоположна на посоката на движение на тялото, тогава проекцията на скоростта на тялото върху оста OX е отрицателна, скоростта е по-малка от нула (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Зависимост на скоростта, координатите и пътя от времето

Зависимостта на проекцията на скоростта на тялото от времето е показана на фиг. 1.11. Тъй като скоростта е постоянна (v = const), графиката на скоростта е права линия, успоредна на времевата ос Ot.

ориз. 1.11. Зависимост на проекцията на скоростта на тялото от времето при равномерно праволинейно движение.

Проекцията на движението върху координатната ос е числено равна на площта на правоъгълника OABC (фиг. 1.12), тъй като големината на вектора на движение е равна на произведението на вектора на скоростта и времето, през което движението е било направени.

ориз. 1.12. Зависимост на проекцията на преместването на тялото от времето за равномерно праволинейно движение.

Графика на изместване спрямо времето е показана на фиг. 1.13. Графиката показва, че проекцията на скоростта е равна на

v = s 1 / t 1 = tan α

където α е ъгълът на наклона на графиката спрямо времевата ос.

Колкото по-голям е ъгълът α, толкова по-бързо се движи тялото, тоест толкова по-голяма е скоростта му (колкото по-дълго се движи тялото за по-малко време). Тангенсът на допирателната към графиката на координатата спрямо времето е равен на скоростта:

ориз. 1.13. Зависимост на проекцията на преместването на тялото от времето за равномерно праволинейно движение.

Зависимостта на координатата от времето е показана на фиг. 1.14. От фигурата става ясно, че

tan α 1 > tan α 2

следователно скоростта на тяло 1 е по-висока от скоростта на тяло 2 (v 1 > v 2).

tan α 3 = v 3< 0

Ако тялото е в покой, тогава координатната графика е права линия, успоредна на времевата ос, т.е.

ориз. 1.14. Зависимост на координатите на тялото от времето за равномерно праволинейно движение.

Връзка между ъглови и линейни величини

Отделните точки на въртящо се тяло имат различни линейни скорости. Скоростта на всяка точка, насочена тангенциално към съответната окръжност, непрекъснато променя посоката си. Големината на скоростта се определя от скоростта на въртене на тялото и разстоянието R на въпросната точка от оста на въртене. Оставете тялото да се завърти под ъгъл за кратък период от време (Фигура 2.4). Точка, разположена на разстояние R от оста, изминава път, равен на

Линейна скорост на точка по дефиниция.

Тангенциално ускорение

Използвайки същото съотношение (2.6), получаваме

По този начин както нормалното, така и тангенциалното ускорение нарастват линейно с разстоянието на точката от оста на въртене.

Основни понятия.

Периодично трептенее процес, при който система (например механична) се връща в същото състояние след определен период от време. Този период от време се нарича период на трептене.

възстановяваща сила- силата, под въздействието на която възниква колебателният процес. Тази сила се стреми към тялото или материална точкасе отклони от позицията на покой, върнете се в първоначалното си положение.

В зависимост от естеството на въздействието върху трептящото тяло се разграничават свободни (или естествени) вибрации и принудени вибрации.

Безплатни вибрациивъзникват, когато върху трептящото тяло действа само възстановяваща сила. В случай, че няма разсейване на енергия, свободните трептения са незатихващи. Реалните осцилаторни процеси обаче са затихнали, т.к трептящото тяло е обект на сили на съпротивление на движението (главно сили на триене).

Принудителни вибрациисе извършват под въздействието на външна периодично изменяща се сила, която се нарича форсираща. В много случаи системите претърпяват трептения, които могат да се считат за хармонични.

Хармонични вибрациисе наричат ​​осцилаторни движения, при които изместването на тялото от равновесното положение се извършва съгласно закона на синуса или косинуса:

За да илюстрирате физическия смисъл, помислете за кръг и завъртете радиуса OK с ъглова скорост ω обратно на часовниковата стрелка (7.1) обратно на часовниковата стрелка. Ако в началния момент от време ОК лежи в хоризонталната равнина, то след време t ще се измести под ъгъл. Ако началният ъгъл е различен от нула и е равен на φ 0 , тогава ъгълът на завъртане ще бъде равен на Проекцията върху оста XO 1 е равна на . Тъй като радиусът OK се върти, големината на проекцията се променя и точката ще осцилира спрямо точката - нагоре, надолу и т.н. В този случай максималната стойност на x е равна на A и се нарича амплитуда на трептенията; ω - кръгова или циклична фаза на трептене; За едно завъртане на точка K около окръжността нейната проекция ще направи едно пълно трептене и ще се върне в началната точка.

Период Тсе нарича време на едно пълно трептене. След време T се повтарят стойностите на всички физични величини, характеризиращи трептенията. За един период осцилиращата точка изминава път, числено равен на четири амплитуди.

Ъглова скоростсе определя от условието, че за периода T радиусът OK ще направи един оборот, т.е. ще се завърти на ъгъл от 2π радиана:

Честота на трептене- броят на трептенията на точка за секунда, т.е. честотата на трептене се определя като реципрочна стойност на периода на трептене:

Еластични сили на пружинното махало.

Пружинното махало се състои от пружина и масивна топка, монтирана върху хоризонтален прът, по който може да се плъзга. Нека топка с дупка е прикрепена към пружина и се плъзга по водеща ос (пръчка). На фиг. 7.2a показва положението на топката в покой; на фиг. 7.2, b - максимална компресия и на фиг. 7.2,c - произволна позиция на топката.

Под въздействието на възстановяваща сила, равна на силата на натиск, топката ще се колебае. Сила на натиск F = -kx, където k е коефициентът на твърдост на пружината. Знакът минус показва, че посоката на силата F и преместването x са противоположни. Потенциална енергия на компресирана пружина

кинетичен

За да се изведе уравнението на движение на топката, е необходимо да се свържат x и t. Изводът се основава на закона за запазване на енергията. Общата механична енергия е равна на сумата от кинетичната и потенциалната енергия на системата. В този случай:

. В позиция b): .

Тъй като законът за запазване на механичната енергия е изпълнен в разглежданото движение, можем да напишем:

. Нека да определим скоростта от тук:

Но на свой ред и следователно . Нека разделим променливите . Интегрирайки този израз, получаваме: ,

където е константата на интегриране. От последното следва, че

Така под действието на еластичната сила тялото извършва хармонични трептения. Сили с различен характер от еластичните, но при които е изпълнено условието F = -kx, се наричат ​​квазиеластични. Под въздействието на тези сили телата извършват и хармонични трептения. В този случай:

пристрастие:
скорост:
ускорение:

Математическо махало.

Математическото махало е материална точка, окачена на неразтеглива безтегловна нишка, извършваща колебателно движение в една вертикална равнина под въздействието на гравитацията.

Такова махало може да се счита за тежка топка с маса m, окачена на тънка нишка, чиято дължина l е много по-голяма от размера на топката. Ако тя се отклони под ъгъл α (фиг. 7.3.) от вертикалната линия, то под въздействието на силата F, една от компонентите на тежестта P, тя ще се колебае. Другият компонент, насочен по нишката, не се взема предвид, т.к се балансира от напрежението на конеца. При малки ъгли на изместване координатата x може да бъде измерена в хоризонтална посока. От фиг. 7.3 става ясно, че тегловният компонент, перпендикулярен на нишката, е равен на

Знакът минус от дясната страна означава, че силата F е насочена към намаляващ ъгъл α. Като се има предвид малкостта на ъгъла α

За да изведем закона за движение на математическите и физическите махала, ние използваме основното уравнение на динамиката на въртеливото движение

Силов момент спрямо точка O: и инерционен момент: M=FL. Инерционен момент Джв този случай ъглово ускорение:

Като вземем предвид тези стойности, имаме:

Неговото решение ,

Както виждаме, периодът на трептене на математическото махало зависи от неговата дължина и ускорението на гравитацията и не зависи от амплитудата на трептенията.

Затихващи трептения.

Всички реални трептящи системи са дисипативни. Енергията на механичните вибрации на такава система постепенно се изразходва за работа срещу силите на триене, поради което свободните вибрации винаги изчезват - тяхната амплитуда постепенно намалява. В много случаи, когато няма сухо триене, като първо приближение можем да приемем, че при ниски скорости на движение силите, причиняващи затихване на механичните вибрации, са пропорционални на скоростта. Тези сили, независимо от техния произход, се наричат ​​съпротивителни сили.

Нека пренапишем това уравнение, както следва:

и обозначават:

където представлява честотата, с която биха възникнали свободни трептения на системата при липса на съпротивление на околната среда, т.е. при r = 0. Тази честота се нарича собствена честота на трептене на системата; β е коефициентът на затихване. Тогава

Ще търсим решение на уравнение (7.19) във формата където U е някаква функция на t.

Нека диференцираме този израз два пъти по отношение на времето t и, замествайки стойностите на първата и втората производни в уравнение (7.19), получаваме

Решението на това уравнение значително зависи от знака на коефициента при U. Нека разгледаме случая, когато този коефициент е положителен. Нека въведем обозначението тогава С реално ω, решението на това уравнение, както знаем, е функцията

Така, в случай на ниско съпротивление на средата, решението на уравнение (7.19) ще бъде функцията

Графиката на тази функция е показана на фиг. 7.8. Пунктираните линии показват границите, в които се намира преместването на осцилиращата точка. Величина се нарича естествена циклична честота на трептенията на дисипативната система. Затихващите трептения са непериодични трептения, тъй като те никога не повтарят, например, максималните стойности на изместване, скорост и ускорение. Количеството обикновено се нарича период на затихнали трептения, или по-правилно, условен период на затихнали трептения,

Натуралният логаритъм на съотношението на амплитудите на изместване, следващи една след друга през интервал от време, равен на периода T, се нарича логаритмичен декремент на затихване.

Нека означим с τ периода от време, през който амплитудата на трептенията намалява с e пъти. Тогава

Следователно коефициентът на затихване е физическа величина, обратна на периода от време τ, през който амплитудата намалява с фактор e. Величината τ се нарича време на релаксация.

Нека N е броят на трептенията, след които амплитудата намалява с фактор e, тогава

Следователно логаритмичният декремент на затихване δ е физическа величина, реципрочна на броя на трептенията N, след което амплитудата намалява с фактор e

Принудителни вибрации.

При принудените трептения системата се колебае под въздействието на външна (принуждаваща) сила, като поради работата на тази сила енергийните загуби на системата периодично се компенсират. Честотата на принудените трептения (честотата на принудителното движение) зависи от честотата на промяна на външната сила. Нека определим амплитудата на принудените трептения на тяло с маса m, считайки трептенията незатихващи поради постоянно действаща сила.

Нека тази сила се променя с времето по закона, където е амплитудата на движещата сила. Възстановяваща сила и съпротивителна сила Тогава вторият закон на Нютон може да се запише в следната форма.