Степенни функции с естествен показател на техните графики. Силова функция

В областта на дефиниране на степенната функция y = x p са валидни следните формули:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства на степенните функции и техните графики

Степенна функция с показател, равен на нула, p = 0

Ако показателят на степенната функция y = x p е равен на нула, p = 0, тогава степенната функция е дефинирана за всички x ≠ 0 и е константа, равна на единица:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Степенна функция с естествен нечетен показател, p = n = 1, 3, 5, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен нечетен показател n = 1, 3, 5, ... .

Този показател може да се запише и във формата: n = 2k + 1, където k = 0, 1, 2, 3, ... е цяло неотрицателно число. По-долу са свойствата и графиките на такива функции.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Обхват: -∞ < y < ∞
Множество значения:Паритет:
нечетно, y(-x) = - y(x)Монотонен:
монотонно нарастваКрайности:
не
Изпъкнал:< x < 0 выпукла вверх
при -∞< x < ∞ выпукла вниз
на 0Точки на инфлексия:
Точки на инфлексия:
x = 0, y = 0
;
Ограничения:
Частни стойности:
при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 1 функцията е нейната обратна: x = y

за n ≠ 1, обратната функция е корен от степен n:

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен четен показател n = 2, 4, 6, ... .

Този показател може да се запише и във формата: n = 2k, където k = 1, 2, 3, ... - естествено. Свойствата и графиките на такива функции са дадени по-долу.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Обхват:Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на показателя n = 2, 4, 6, ....< ∞
Множество значения: 0 ≤ y
нечетно, y(-x) = - y(x)
четен, y(-x) = y(x)
за x ≤ 0 монотонно намалява
монотонно нарастваза x ≥ 0 нараства монотонно
неминимум, x = 0, y = 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
x = 0, y = 0
;
Ограничения:
Пресечни точки с координатни оси: при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1 за n = 2,:
корен квадратен

за n ≠ 2, корен от степен n:

Степенна функция с отрицателно цяло число, p = n = -1, -2, -3, ...

Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с отрицателен цяло число n = -1, -2, -3, ... .

Ако поставим n = -k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число, то може да бъде представено като:

Графика на степенна функция y = x n с отрицателно цяло число за различни стойности на степента n = -1, -2, -3, ... .

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ....Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...
Обхват:По-долу са свойствата на функцията y = x n с нечетен отрицателен показател n = -1, -3, -5, ....
Множество значения:Паритет:
нечетно, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
монотонно нарастваКрайности:
не
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
монотонно намалява
на 0Крайности:
изпъкнал надолуКрайности:
при х
y ≠ 0< 0, y < 0
за x > 0: изпъкнал надолу
x = 0, y = 0
; ; ;
Ограничения:
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
знак:
за x > 0, y > 0< -2 ,

когато n = -1,

при n

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ....Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...
Обхват:Четен показател, n = -2, -4, -6, ...
Множество значения: 0 ≤ y
нечетно, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
По-долу са свойствата на функцията y = x n с четен отрицателен показател n = -2, -4, -6, ....
монотонно нарастваКрайности:
неминимум, x = 0, y = 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуКрайности:
при хЧетен показател, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Ограничения:
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
y > 0
за x > 0, y > 0< -2 ,

за x > 0: монотонно намалява

при n = -2, Степенна функция с рационален (дробен) показател.

Да разгледаме степенна функция y = x p с рационален (дробен) показател, където n е цяло число, m > 1 е естествено число. Освен това n, m нямат

общи делители Знаменателят на дробния показател е нечетенНека знаменателят на дробния показател е нечетен: m = 3, 5, 7, ... . В този случай степенната функция x p е дефинирана както за положителни, така и за

отрицателни стойности< 0

аргумент x.

Нека разгледаме свойствата на такива степенни функции, когато показателят p е в определени граници.

p-стойността е отрицателна, p

Представяме свойствата на степенната функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -1, -3, -5, ... е нечетно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено цяло число.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ....Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...
Обхват:По-долу са свойствата на функцията y = x n с нечетен отрицателен показател n = -1, -3, -5, ....
Множество значения:Паритет:
нечетно, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
монотонно нарастваКрайности:
не
y ≠ 0< 0 : выпукла вверх
монотонно намалява
на 0Крайности:
изпъкнал надолуКрайности:
при х
y ≠ 0< 0, y < 0
за x > 0: изпъкнал надолу
x = 0, y = 0
; ; ;
Ограничения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1

Четен числител, n = -2, -4, -6, ...

Свойства на степенната функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -2, -4, -6, ... е четно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено цяло число .

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ....Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...
Обхват:Четен показател, n = -2, -4, -6, ...
Множество значения: 0 ≤ y
нечетно, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
По-долу са свойствата на функцията y = x n с четен отрицателен показател n = -2, -4, -6, ....
монотонно нарастваКрайности:
неминимум, x = 0, y = 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуКрайности:
при хЧетен показател, n = -2, -4, -6, ...
x = 0, y = 0
; ; ;
Ограничения:
при x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1

P-стойността е положителна, по-малка от едно, 0< p < 1

Графика на степенна функция с рационален показател (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Нечетен числител, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Обхват: -∞ < y < +∞
Множество значения:Паритет:
нечетно, y(-x) = - y(x)Монотонен:
монотонно нарастваКрайности:
не
y ≠ 0< 0 : выпукла вниз
за x > 0: изпъкнал нагоре
на 0Точки на инфлексия:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
при х
y ≠ 0< 0, y < 0
за x > 0: изпъкнал надолу
x = 0, y = 0
;
Ограничения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1

Четен числител, n = 2, 4, 6, ...

Представени са свойствата на степенната функция y = x p с рационален показател в рамките на 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Обхват:Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на показателя n = 2, 4, 6, ....< +∞
Множество значения: 0 ≤ y
нечетно, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 : монотонно убывает
за x > 0: нараства монотонно
монотонно нарастваминимум при x = 0, y = 0
неизпъкнал нагоре за x ≠ 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
при хза x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Ограничения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1

Индексът p е по-голям от едно, p > 1

Графика на степенна функция с рационален показател (p > 1) за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е нечетно.

Нечетен числител, n = 5, 7, 9, ...

Свойства на степенната функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: .

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Обхват: -∞ < y < ∞
Множество значения:Паритет:
нечетно, y(-x) = - y(x)Монотонен:
монотонно нарастваКрайности:
не
Изпъкнал:< x < 0 выпукла вверх
при -∞< x < ∞ выпукла вниз
на 0Точки на инфлексия:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
x = 0, y = 0
;
Ограничения:
при x = -1, y(-1) = -1
при x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1

Където n = 5, 7, 9, ... - нечетно естествено, m = 3, 5, 7 ... - нечетно естествено.

Четен числител, n = 4, 6, 8, ...

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Обхват:Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на показателя n = 2, 4, 6, ....< ∞
Множество значения: 0 ≤ y
нечетно, y(-x) = - y(x)
y ≠ 0< 0 монотонно убывает
Свойства на степенната функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: .
монотонно нарастваминимум при x = 0, y = 0
неминимум, x = 0, y = 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
x = 0, y = 0
;
Ограничения:
при x = -1, y(-1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1

Където n = 4, 6, 8, ... - четно естествено, m = 3, 5, 7 ... - нечетно естествено.

за x > 0 монотонно нараства

Знаменателят на дробния показател е четен

Нека знаменателят на дробния показател е четен: m = 2, 4, 6, ... . В този случай степенната функция x p не е дефинирана за отрицателни стойности на аргумента. Неговите свойства съвпадат със свойствата на степенна функция с ирационален показател (вижте следващия раздел).

Степенна функция с ирационален показател

Да разгледаме степенна функция y = x p с ирационален показател p.< 0

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ....Свойствата на такива функции се различават от тези, обсъдени по-горе, тъй като те не са дефинирани за отрицателни стойности на аргумента x.
Обхват:Четен показател, n = -2, -4, -6, ...
нечетно, y(-x) = - y(x) x ≠ 0
неминимум, x = 0, y = 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуКрайности:
x = 0, y = 0 ;
За положителни стойности на аргумента свойствата зависят само от стойността на експонента p и не зависят от това дали p е цяло число, рационално или ирационално. y = x p за различни стойности на експонента p.

Степенна функция с положителен показател p > 0

Индикатор по-малък от една 0< p < 1

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... x ≥ 0
Обхват: y ≥ 0
нечетно, y(-x) = - y(x)Монотонен:
неизпъкнал нагоре
на 0Крайности:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
x = 0, y = 0
Ограничения:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p за различни стойности на експонента p.

Индикаторът е по-голям от едно p > 1

Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, .... x ≥ 0
Обхват: y ≥ 0
нечетно, y(-x) = - y(x)Монотонен:
неминимум, x = 0, y = 0
на 0Крайности:
изпъкнал надолуТочки на инфлексия:
x = 0, y = 0
Ограничения:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
y = x p за различни стойности на експонента p.

Използвана литература:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Нека си припомним свойствата и графиките на степенните функции с цяло отрицателно число.

За четно n, :

Примерна функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;1). Особеността на функциите от този тип е тяхната четност; графиките са симетрични спрямо оста на операционния усилвател.

ориз. 1. Графика на функция

За нечетно n, :

Примерна функция:

Всички графики на такива функции преминават през две фиксирани точки: (1;1), (-1;-1). Особеността на функциите от този тип е, че те са нечетни по отношение на началото.

ориз. 2. Графика на функция

Нека си припомним основното определение.

Степента на неотрицателно число a с рационален положителен показател се нарича число.

Степента на положително число a с рационален отрицателен показател се нарича число.

За равенството:

Например: ; - изразът не съществува по дефиниция на степен с отрицателен рационален показател; съществува, защото експонентата е цяло число,

Нека преминем към разглеждане на степенни функции с рационален отрицателен показател.

Например:

За да начертаете графика на тази функция, можете да създадете таблица. Ще го направим по различен начин: първо ще изградим и изучим графиката на знаменателя - тя ни е известна (Фигура 3).

ориз. 3. Графика на функция

Графиката на функцията знаменател минава през фиксирана точка (1;1). При начертаване на графиката на оригиналната функция тази точка остава, докато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 4).

ориз. 4. Функционална графика

Нека разгледаме друга функция от семейството на изучаваните функции.

Важно е, че по дефиниция

Нека разгледаме графиката на функцията в знаменателя: , графиката на тази функция ни е известна, тя нараства в своята област на дефиниране и преминава през точката (1;1) (Фигура 5).

ориз. 5. Графика на функция

При начертаване на графиката на оригиналната функция точката (1;1) остава, докато коренът също клони към нула, функцията клони към безкрайност. И обратно, когато x клони към безкрайност, функцията клони към нула (Фигура 6).

ориз. 6. Графика на функция

Разгледаните примери помагат да се разбере как протича графиката и какви са свойствата на изучаваната функция - функция с отрицателен рационален показател.

Графиките на функциите на това семейство преминават през точката (1;1), функцията намалява по цялата област на дефиниция.

Обхват на функцията:

Функцията не е ограничена отгоре, но е ограничена отдолу. Функцията няма нито най-голяма, нито най-малка стойност.

Функцията е непрекъсната и приема всички положителни стойности от нула до плюс безкрайност.

Функцията е изпъкнала надолу (Фигура 15.7)

Точките A и B са взети на кривата, през тях е начертан сегмент, цялата крива е под сегмента, това състояниее изпълнено за произволни две точки на кривата, следователно функцията е изпъкнала надолу. ориз. 7.

ориз. 7. Изпъкналост на функцията

Важно е да се разбере, че функциите на това семейство са ограничени отдолу с нула, но нямат най-малката стойност.

Пример 1 - намерете максимума и минимума на функция на интервала)