Нека определим кинетичната енергия на твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Нека разделим това тяло на n материални точки. Всяка точка се движи с линейна скорост υ i =ωr i , тогава кинетичната енергия на точката

или

Общата кинетична енергия на въртящия се твърдо тялое равна на сумата от кинетичните енергии на всички нейни материални точки:

(3.22)

(J - инерционен момент на тялото около оста на въртене)

Ако траекториите на всички точки лежат в успоредни равнини (като цилиндър, който се търкаля надолу по наклонена равнина, всяка точка се движи в собствена равнина, фиг.), това е плоско движение. Според принципа на Ойлер равнинното движение винаги може да бъде разложено по безкраен брой начини на транслационно и ротационно движение. Ако топката падне или се плъзне по наклонена равнина, тя се движи само напред; когато топката се търкаля, тя също се върти.

Ако едно тяло извършва транслационни и въртеливи движения едновременно, тогава неговата обща кинетична енергия е равна на

(3.23)

От сравнението на формулите на кинетичната енергия за транслационни и въртеливи движения може да се види, че мярката за инерция по време на въртеливо движение е инерционният момент на тялото.

§ 3.6 Работата на външните сили по време на въртене на твърдо тяло

Когато твърдото тяло се върти, неговата потенциална енергия не се променя, следователно елементарната работа на външните сили е равна на увеличението на кинетичната енергия на тялото:

dA = dE или

Като се има предвид, че Jβ = M, ωdr = dφ, имаме α на тялото при краен ъгъл φ е равно на

(3.25)

Когато твърдо тяло се върти около фиксирана ос, работата на външните сили се определя от действието на момента на тези сили около дадена ос. Ако моментът на силите около оста е равен на нула, тогава тези сили не произвеждат работа.

Примери за решаване на проблеми

Пример 2.1. маса на маховикам=5kg и радиусr= 0,2 m се върти около хоризонталната ос с честотаν 0 =720 мин -1 и спира при спиранеT=20 s. Намерете спирачния момент и броя на оборотите преди спиране.

За определяне на спирачния момент прилагаме основното уравнение за динамиката на въртеливото движение

където I=mr 2 е инерционният момент на диска; Δω \u003d ω - ω 0, а ω = 0 е крайната ъглова скорост, ω 0 \u003d 2πν 0 е началната. M е спирачният момент на силите, действащи върху диска.

Познавайки всички количества, е възможно да се определи спирачният момент

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

От кинематиката на въртеливото движение ъгълът на въртене по време на въртенето на диска до спиране може да се определи по формулата

(3)

където β е ъгловото ускорение.

Според условието на задачата: ω = ω 0 - βΔt, тъй като ω=0, ω 0 = βΔt

Тогава израз (2) може да се запише като:

Пример 2.2. Два маховика под формата на дискове с еднакви радиуси и маси бяха завъртяни до скоростта на въртенен= 480 об/мин и оставени на себе си. Под действието на силите на триене на валовете върху лагерите, първият спря след товаT\u003d 80 s, а вторият го направин= 240 оборота за спиране. В кой маховик моментът на силите на триене на валовете върху лагерите е бил по-голям и колко пъти.

Ще намерим момента на силите на шипове M 1 на първия маховик, използвайки основното уравнение на динамиката на въртеливото движение

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

където Δt е времето на действие на момента на силите на триене, I \u003d mr 2 - инерционният момент на маховика, ω 1 \u003d 2πν и ω 2 \u003d 0 са началната и крайната ъглова скорост на маховика

Тогава

Моментът на силите на триене M 2 на втория маховик се изразява чрез връзката между работата A на силите на триене и промяната в неговата кинетична енергия ΔE k:

където Δφ = 2πN е ъгълът на въртене, N е броят на оборотите на маховика.

Тогава къде

О съотношението ще бъде

Моментът на триене на втория маховик е 1,33 пъти по-голям.

Пример 2.3. Маса на хомогенен твърд диск m, маси на товари m 1 и м 2 (фиг.15). Няма приплъзване и триене на резбата в оста на цилиндъра. Намерете ускорението на масите и отношението на напрежението на нишкатав процеса на движение.

Няма приплъзване на нишката, следователно, когато m 1 и m 2 ще направят транслационно движение, цилиндърът ще се върти около оста, минаваща през точката O. Да приемем за определеност, че m 2 > m 1.

След това товарът m 2 се спуска и цилиндърът се върти по посока на часовниковата стрелка. Нека напишем уравненията на движението на телата, включени в системата

Първите две уравнения са написани за тела с маси m 1 и m 2, извършващи постъпателно движение, а третото уравнение е за въртящ се цилиндър. В третото уравнение отляво е общият момент на силите, действащи върху цилиндъра (моментът на силата T 1 се приема със знак минус, тъй като силата T 1 се стреми да завърти цилиндъра обратно на часовниковата стрелка). Вдясно I е инерционният момент на цилиндъра около оста O, който е равен на

където R е радиусът на цилиндъра; β е ъгловото ускорение на цилиндъра.

Тъй като няма приплъзване на конеца,
. Като вземем предвид изразите за I и β, получаваме:

Събирайки уравненията на системата, стигаме до уравнението

От тук намираме ускорението атовари

От полученото уравнение се вижда, че напреженията на нишката ще бъдат еднакви, т.е. =1, ако масата на цилиндъра е много по-малка от масата на тежестите.

Пример 2.4. Куха топка с маса m = 0,5 kg има външен радиус R = 0,08 m и вътрешен радиус r = 0,06 m. Топката се върти около ос, минаваща през нейния център. В определен момент върху топката започва да действа сила, в резултат на което ъгълът на въртене на топката се променя по закона
. Определете момента на приложената сила.

Решаваме задачата с помощта на основното уравнение на динамиката на въртеливото движение
. Основната трудност е да се определи инерционният момент на кухата топка, а ъгловото ускорение β се намира като
. Инерционният момент I на куха топка е равен на разликата между инерционните моменти на топка с радиус R и топка с радиус r:

където ρ е плътността на материала на топката. Намираме плътността, като знаем масата на куха топка

От тук определяме плътността на материала на топката

За момента на сила M получаваме следния израз:

Пример 2.5. Тънък прът с маса 300 g и дължина 50 cm се върти с ъглова скорост 10 s -1 в хоризонтална равнина около вертикална ос, минаваща през средата на пръта. Намерете ъгловата скорост, ако по време на въртене в същата равнина прътът се движи така, че оста на въртене минава през края на пръта.

Използваме закона за запазване на ъгловия момент

(1)

(J i - инерционен момент на пръта спрямо оста на въртене).

За изолирана система от тела векторната сума на ъгловия момент остава постоянна. Поради факта, че разпределението на масата на пръта спрямо оста на въртене се променя, инерционният момент на пръта също се променя в съответствие с (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Известно е, че инерционният момент на пръта около оста, минаваща през центъра на масата и перпендикулярна на пръта, е равен на

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Според теоремата на Щайнер

J = J 0 +m а 2

(J е инерционният момент на пръта около произволна ос на въртене; J 0 е инерционният момент около успоредна ос, минаваща през центъра на масата; а- разстояние от центъра на масата до избраната ос на въртене).

Нека намерим инерционния момент около оста, минаваща през нейния край и перпендикулярна на пръта:

J 2 \u003d J 0 +m а 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (четири)

Нека заместим формули (3) и (4) в (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5s -1

Пример 2.6 . масов човекм= 60 kg, стояща на ръба на платформата с маса M = 120 kg, въртяща се по инерция около фиксирана вертикална ос с честота ν 1 =12 мин -1 , отива в центъра му. Разглеждайки платформата като кръгъл хомогенен диск, а лицето като точкова маса, определете с каква честота ν 2 след това платформата ще се завърти.

дадени: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0.2s -1 .

Намирам: v 1

Решение:Според условието на задачата платформата с човека се върти по инерция, т.е. резултантният момент на всички сили, приложени към въртящата се система, е нула. Следователно за системата "платформа-човек" законът за запазване на импулса е изпълнен

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

където
- инерционният момент на системата, когато човек стои на ръба на платформата (ние взехме предвид, че инерционният момент на платформата е равен на (R е радиусът p
платформа), инерционният момент на човек на ръба на платформата е mR 2).

- инерционният момент на системата, когато човек стои в центъра на платформата (ние взехме предвид, че моментът на човек, стоящ в центъра на платформата, е равен на нула). Ъглова скорост ω 1 = 2π ν 1 и ω 1 = 2π ν 2 .

Замествайки написаните изрази във формула (1), получаваме

откъдето желаната скорост на въртене

Отговор: v 2 =24 min-1.

Помислете първо за твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос OZ с ъглова скорост ω (фиг.5.6). Нека разделим тялото на елементарни маси. Линейната скорост на елементарна маса е , където е нейното разстояние от оста на въртене. Кинетична енергия аз- тази елементарна маса ще бъде равна на

.

Следователно кинетичната енергия на цялото тяло се състои от кинетичните енергии на неговите части

.

Като се има предвид, че сумата от дясната страна на тази връзка представлява инерционния момент на тялото около оста на въртене, накрая получаваме

. (5.30)

Формулите за кинетичната енергия на въртящо се тяло (5.30) са подобни на съответните формули за кинетичната енергия на постъпателното движение на тялото. Те се получават от последния чрез формалното заместване .

В общия случай движението на твърдо тяло може да се представи като сбор от движения - постъпателно със скорост, еднаква скоростцентъра на масата на тялото и въртене с ъглова скорост около моментна ос, минаваща през центъра на масата. В този случай изразът за кинетичната енергия на тялото приема формата

.

Нека сега намерим работата, извършена от момента на външните сили по време на въртенето на твърдо тяло. Елементарна работа на външните сили във времето дтще бъде равно на изменението на кинетичната енергия на тялото

Като вземем диференциала от кинетичната енергия на въртеливото движение, намираме нейното нарастване

.

В съответствие с основното уравнение на динамиката за въртеливо движение

Отчитайки тези отношения, свеждаме израза за елементарна работа до формата

където е проекцията на резултантния момент на външните сили върху посоката на оста на въртене OZ, е ъгълът на въртене на тялото за разглеждания период от време.

Интегрирайки (5.31), получаваме формула за работата на външните сили, действащи върху въртящо се тяло

Ако , тогава формулата е опростена

По този начин работата на външните сили по време на въртенето на твърдо тяло около фиксирана ос се определя от действието на проекцията на момента на тези сили върху дадена ос.

Жироскоп

Жироскопът е бързо въртящо се симетрично тяло, чиято ос на въртене може да променя посоката си в пространството. За да може оста на жироскопа да се върти свободно в пространството, жироскопът е поставен в така нареченото карданно окачване (фиг. 5.13). Маховикът на жироскопа се върти във вътрешната пръстеновидна клетка около оста C 1 C 2, минаваща през неговия център на тежестта. Вътрешната клетка от своя страна може да се върти във външната клетка около оста B1B2, перпендикулярна на C1C2. И накрая, външният пръстен може свободно да се върти в опорните лагери около оста A 1 A 2, перпендикулярна на осите C 1 C 2 и B 1 B 2 . И трите оси се пресичат в някаква фиксирана точка O, наречена център на окачване или опорна точка на жироскопа. Жироскопът в кардана има три степени на свобода и следователно може да направи всякакво завъртане около центъра на кардана. Ако центърът на окачването на жироскопа съвпада с неговия център на тежестта, тогава резултантният момент на тежестта на всички части на жироскопа спрямо центъра на окачването е равен на нула. Такъв жироскоп се нарича балансиран.

Нека сега разгледаме най-важните свойства на жироскопа, които са намерили широко приложение за него в различни области.

1) Устойчивост.

При всяко завъртане на стойката на балансиран жироскоп, неговата ос на въртене запазва същата посока по отношение на лабораторна системасправка. Това се дължи на факта, че моментът на всички външни сили, равен на моментасили на триене, е много малък и практически не предизвиква промяна в ъгловия момент на жироскопа, т.е.

Тъй като ъгловият момент е насочен по оста на въртене на жироскопа, неговата ориентация трябва да остане непроменена.

Ако външна сила действа за кратко време, тогава интегралът, който определя нарастването на ъгловия импулс, ще бъде малък

. (5.34)

Това означава, че при краткотрайни въздействия на дори големи сили, движението на балансиран жироскоп се променя малко. Жироскопът, така да се каже, се съпротивлява на всички опити за промяна на величината и посоката на неговия ъглов момент. Свързана с това е забележителната стабилност, която движението на жироскопа придобива след привеждането му в бързо въртене. Това свойство на жироскопа се използва широко за автоматично управлениедвижение на самолети, кораби, ракети и други превозни средства.

Ако въздействаме на жироскопа дълго времепостоянна по посока на момента на външните сили, тогава оста на жироскопа се установява в крайна сметка по посока на момента на външните сили. Това явление се използва в жирокомпас. Това устройство е жироскоп, чиято ос може свободно да се върти в хоризонтална равнина. Поради ежедневното въртене на Земята и действието на момента на центробежните сили, оста на жироскопа се завърта така, че ъгълът между и става минимален (фиг. 5.14). Това съответства на позицията на оста на жироскопа в равнината на меридиана.

2). Жироскопичен ефект.

Ако към въртящ се жироскоп се приложи двойка сили и се стреми да го завърти около ос, перпендикулярна на оста на въртене, тогава той ще се върти около третата ос, перпендикулярна на първите две (фиг. 5.15). Това необичайно поведение на жироскопа се нарича жироскопичен ефект. Това се обяснява с факта, че моментът на двойка сили е насочен по оста O 1 O 1 и промяната на вектора със стойност във времето ще има същата посока. В резултат новият вектор ще се върти около оста O 2 O 2 . По този начин привидно неестественото поведение на жироскопа напълно съответства на законите на динамиката на въртеливото движение

3). Жироскоп прецесия.

Прецесията на жироскопа е коничното движение на неговата ос. Получава се, когато моментът на външните сили, оставайки постоянен по големина, се върти едновременно с оста на жироскопа, като през цялото време образува с нея прав ъгъл. За демонстриране на прецесия може да служи велосипедно колело с удължена ос, приведено в бързо въртене (фиг. 5.16).

Ако колелото е окачено от удължения край на оста, тогава оста му ще започне да прецесира около вертикалната ос под действието на собственото си тегло. Бързо въртящ се връх също може да служи като демонстрация на прецесия.

Открийте причините за прецесията на жироскопа. Помислете за небалансиран жироскоп, чиято ос може свободно да се върти около определена точка O (фиг. 5.16). Моментът на тежестта, приложен към жироскопа, е равен по големина

където е масата на жироскопа, е разстоянието от точка O до центъра на масата на жироскопа, е ъгълът, образуван от оста на жироскопа с вертикалата. Векторът е насочен перпендикулярно на вертикалната равнина, минаваща през оста на жироскопа.

Под действието на този момент ъгловият момент на жироскопа (началото му е поставено в точка O) ще получи увеличение във времето и вертикалната равнина, минаваща през оста на жироскопа, ще се завърти на ъгъл. Векторът винаги е перпендикулярен на , следователно, без промяна на големината, векторът променя само посоката. Въпреки това, след известно време взаимно споразумениевектори и ще бъде същото като в началния момент. В резултат на това оста на жироскопа непрекъснато ще се върти около вертикалата, описвайки конус. Това движение се нарича прецесия.

Нека определим ъгловата скорост на прецесията. Съгласно фиг.5.16 ъгълът на въртене на равнината, минаваща през оста на конуса и оста на жироскопа, е равен на

където е ъгловият импулс на жироскопа и е неговото увеличение във времето.

Разделяйки на , като вземем предвид горните отношения и трансформации, получаваме ъгловата скорост на прецесия

. (5.35)

За жироскопите, използвани в технологиите, ъгловата скорост на прецесията е милиони пъти по-малка от скоростта на въртене на жироскопа.

В заключение отбелязваме, че явлението прецесия се наблюдава и в атомите поради орбиталното движение на електроните.

Примери за прилагане на законите на динамиката

При въртеливо движение

1. Разгледайте някои примери за закона за запазване на ъгловия момент, който може да се приложи с помощта на пейката на Жуковски. В най-простия случай пейката Жуковски е дисковидна платформа (стол), която може свободно да се върти около вертикална ос на сачмени лагери (фиг. 5.17). Демонстраторът сяда или стои на пейката, след което тя се привежда във въртеливо движение. Поради факта, че силите на триене поради използването на лагери са много малки, ъгловият импулс на системата, състояща се от пейката и демонстратора, спрямо оста на въртене, не може да се промени във времето, ако системата е оставена сама на себе си . Ако демонстраторът държи тежки дъмбели в ръцете си и разпери ръцете си настрани, тогава той ще увеличи инерционния момент на системата и следователно ъгловата скорост на въртене трябва да намалее, така че ъгловият момент да остане непроменен.

Съгласно закона за запазване на ъгловия момент съставяме уравнение за този случай

където е инерционният момент на човека и лежанката, и е инерционният момент на дъмбелите в първа и втора позиция, и са ъгловите скорости на системата.

Ъгловата скорост на въртене на системата при отглеждане на дъмбели настрани ще бъде равна на

.

Работата, извършена от човек при движение на дъмбели, може да се определи чрез промяна в кинетичната енергия на системата

2. Нека дадем още един експеримент с пейката на Жуковски. Демонстраторът седи или стои на пейка и му се дава бързо въртящо се колело с вертикално насочена ос (фиг. 5.18). След това демонстраторът завърта колелото на 180 0 . В този случай промяната в ъгловия момент на колелото се прехвърля изцяло върху стенда и демонстратора. В резултат на това стендът заедно с демонстратора се въртят с ъглова скорост, определена въз основа на закона за запазване на ъгловия момент.

Ъгловият момент на системата в начално състояние се определя само от ъгловия момент на колелото и е равен на

където е инерционният момент на колелото, е ъгловата скорост на неговото въртене.

След завъртане на колелото на ъгъл от 180 0 моментът на импулса на системата вече ще се определя от сумата на момента на импулса на пейката с човека и момента на импулса на колелото. Като вземем предвид факта, че векторът на импулса на колелото е променил посоката си на противоположната и проекцията му върху вертикалната ос е станала отрицателна, получаваме

,

където е инерционният момент на системата "човек-платформа", е ъгловата скорост на въртене на пейката с човека.

Според закона за запазване на ъгловия момент

и .

В резултат на това намираме скоростта на въртене на пейката

3. Тънка прътова маса ми дължина лсе върти с ъглова скорост ω=10 s -1 в хоризонтална равнина около вертикална ос, минаваща през средата на пръта. Продължавайки да се върти в същата равнина, прътът се движи така, че оста на въртене сега минава през края на пръта. Намерете ъгловата скорост във втория случай.

В тази задача, поради факта, че разпределението на масата на пръта спрямо оста на въртене се променя, инерционният момент на пръта също се променя. В съответствие със закона за запазване на ъгловия момент на изолирана система имаме

Тук - инерционният момент на пръта около оста, минаваща през средата на пръта; - инерционният момент на пръта около оста, минаваща през края му и определен от теоремата на Щайнер.

Замествайки тези изрази в закона за запазване на ъгловия момент, получаваме

,

.

4. Дължина на пръта Л=1,5 м и тегло m 1=10 кг е закачен на панти в горния край. Куршумът удря центъра на пръта с маса м2=10 g, летящ хоризонтално със скорост =500 m/s, и се забива в пръта. Под какъв ъгъл ще се отклони прътът след удара?

Нека си представим на фиг. 5.19. система от взаимодействащи тела "пръчка-куршум". Моментите на външните сили (гравитация, реакция на оста) в момента на удара са равни на нула, така че можем да използваме закона за запазване на ъгловия момент

Ъгловият импулс на системата преди удара е равен на ъгловия импулс на куршума спрямо точката на окачване

Ъгловият момент на системата след нееластичен удар се определя по формулата

,

където е инерционният момент на пръта спрямо точката на окачване, е инерционният момент на куршума, е ъгловата скорост на пръта с куршума непосредствено след удара.

Решавайки полученото уравнение след заместване, намираме

.

Нека сега използваме закона за запазване на механичната енергия. Нека приравним кинетичната енергия на пръта, след като куршумът го удари, с неговата потенциална енергия в най-високата точка на изкачване:

,

където е височината на центъра на масата на дадената система.

След като извършихме необходимите трансформации, получаваме

Ъгълът на отклонение на пръта е свързан със стойността чрез съотношението

.

След извършване на изчисленията получаваме =0,1p=18 0 .

5. Определете ускорението на телата и напрежението на конеца на машината на Atwood, като приемете, че (фиг. 5.20). Инерционният момент на блока около оста на въртене е аз, радиус на блока r. Игнорирайте масата на нишката.

Нека подредим всички сили, действащи върху товарите и блока, и съставете уравненията на динамиката за тях

Ако няма приплъзване на резбата по протежение на блока, тогава линейното и ъгловото ускорение са свързани със съотношението

Решавайки тези уравнения, получаваме

След това намираме T 1 и T 2 .

6. Към макарата на кръста на Обербек (фиг. 5.21) е прикрепена резба, към която е приложен товар от маса М= 0,5 кг. Определете колко време е необходимо, за да падне товар от високо ч=1 m до долната позиция. Радиус на макарата r\u003d 3 см. Четири тежести на маса м=250g всеки на разстояние Р= 30 см от оста си. Пренебрегвайте инерционния момент на самия кръст и макарата в сравнение с инерционния момент на тежестите.

Кинетична енергия на въртене

Лекция 3. Динамика на твърдо тяло

План на лекцията

3.1. Момент на сила.

3.2. Основни уравнения на въртеливото движение. Момент на инерция.

3.3. Кинетична енергия на въртене.

3.4. момент на импулс. Закон за запазване на ъгловия момент.

3.5. Аналогия между постъпателно и въртеливо движение.

Момент на сила

Разгледайте движението на твърдо тяло около фиксирана ос. Нека твърдото тяло има фиксирана ос на въртене ОО ( фиг.3.1) и към него се прилага произволна сила.

Ориз. 3.1

Разлагаме силата на две компоненти на силата, силата лежи в равнината на въртене и силата е успоредна на оста на въртене. След това разлагаме силата на две компоненти: – действаща по радиус вектора и – перпендикулярна на него.

Никаква сила, приложена към тялото, няма да го завърти. Силите и създават натиск върху лагерите, но не го въртят.

Силата може или не може да изведе тялото от баланс, в зависимост от това къде в радиус вектора е приложена. Следователно се въвежда концепцията за момента на силата около оста. Силов моментспрямо оста на въртене се нарича векторно произведение на радиус вектора и силата.

Векторът е насочен по протежение на оста на въртене и се определя от правилото за кръстосано произведение или правилото за десния винт, или правилото за гимлет.

Модул на момент на сила

където α е ъгълът между векторите и .

От фиг.3.1. това е ясно .

r0- най-късото разстояние от оста на въртене до линията на действие на силата и се нарича рамо на силата. Тогава моментът на сила може да бъде написан

M = F r 0 . (3.3)

От фиг. 3.1.

където Ее проекцията на вектора върху посоката, перпендикулярна на вектора радиус вектор. В този случай моментът на сила е

. (3.4)

Ако върху тялото действат няколко сили, тогава резултантният момент на сила е равен на векторната сума на моментите на отделните сили, но тъй като всички моменти са насочени по оста, те могат да бъдат заменени алгебрична сума. Моментът ще се счита за положителен, ако върти тялото по посока на часовниковата стрелка и отрицателен, ако обратно на часовниковата стрелка. Ако всички моменти на силите са равни на нула (), тялото ще бъде в равновесие.

Концепцията за момент на сила може да бъде демонстрирана с помощта на "причудлива намотка". Макарата с конец се издърпва от свободния край на конеца ( ориз. 3.2).

Ориз. 3.2

В зависимост от посоката на опън на конеца, намотката се търкаля в една или друга посока. Ако дърпате под ъгъл α , тогава моментът на силата около оста О(перпендикулярно на фигурата) завърта намотката обратно на часовниковата стрелка и тя се търкаля назад. При напрежение под ъгъл β въртящият момент е обратен на часовниковата стрелка и намотката се търкаля напред.

Използвайки условието за равновесие (), можете да проектирате прости механизми, които са "преобразуватели" на сила, т.е. с по-малко сила могат да бъдат повдигнати и преместени различно теглотовари. На този принцип се основават ливъридж, колички, блокове. различен видкоито намират широко приложение в строителството. За да се спазва условието за равновесие в строителните кранове, за да се компенсира моментът на сила, причинен от теглото на товара, винаги има система от противотежести, която създава момент на сила с противоположен знак.

3.2. Основно ротационно уравнение
движение. Момент на инерция

Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос ОО(фиг.3.3). Нека мислено разделим това тяло на елементи с маси Δ m 1, Δ м2, …, Δ m n. По време на въртене тези елементи ще описват кръгове с радиуси r1,r2 , …,rn. Върху всеки елемент действат сили F1,F2 , …,F n. Въртене на тяло около ос ООвъзниква под въздействието на общия момент на силите М.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

където M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Според втория закон на Нютон всяка сила Е, действащ върху елемент с маса D м, предизвиква ускорение на дадения елемент а, т.е.

F i =д m i a i (3.5)

Замествайки съответните стойности в (3.4), получаваме

Ориз. 3.3

Познаване на връзката между линейното ъглово ускорение ε () и че ъгловото ускорение е еднакво за всички елементи, формулата (3.6) ще изглежда така

М = (3.7)

=аз (3.8)

азе инерционният момент на тялото спрямо неподвижната ос.

Тогава ще получим

M = I ε (3.9)

Или във векторна форма

(3.10)

Това уравнение е основното уравнение за динамиката на въртеливото движение. То е подобно по форма на уравнение II на закона на Нютон. От (3.10) инерционният момент е

По този начин инерционният момент на дадено тяло е съотношението на момента на силата към причиненото от него ъглово ускорение. От (3.11) се вижда, че инерционният момент е мярка за инерцията на тялото по отношение на въртеливото движение. Инерционният момент играе същата роля като масата при транслационно движение. SI единица [ аз] = kg m 2. От формула (3.7) следва, че инерционният момент характеризира разпределението на масите на частиците на тялото спрямо оста на въртене.

И така, инерционният момент на елемент с маса ∆m, движещ се по окръжност с радиус r, е равен на

I = r2д м (3.12)

аз= (3.13)

В случай на непрекъснато разпределение на масата сумата може да бъде заменена с интеграла

I= ∫ r 2 dm (3.14)

където интегрирането се извършва върху цялата телесна маса.

Това показва, че инерционният момент на тялото зависи от масата и нейното разпределение спрямо оста на въртене. Това може да се докаже експериментално фиг.3.4).

Ориз. 3.4

Два кръгли цилиндъра, единият кух (например метален), другият плътен (дървен) с еднакви дължини, радиуси и маси, започват да се търкалят надолу едновременно. Кух цилиндър с голям инерционен момент ще изостане от плътен.

Можете да изчислите инерционния момент, ако знаете масата ми разпределението му спрямо оста на въртене. Най-простият случай е пръстен, когато всички елементи на масата са разположени еднакво от оста на въртене ( ориз. 3.5):

аз= (3.15)

Ориз. 3.5

Нека дадем изрази за инерционните моменти на различни симетрични тела с маса м.

1. Момент на инерция пръстени, кух тънкостенен цилиндъроколо оста на въртене, съвпадаща с оста на симетрия.

, (3.16)

rе радиусът на пръстена или цилиндъра

2. За твърд цилиндър и диск инерционният момент спрямо оста на симетрия

(3.17)

3. Инерционният момент на топката около оста, минаваща през центъра

(3.18)

r- радиус на топката

4. Инерционният момент на тънък прът с дължина лспрямо ос, перпендикулярна на пръта и минаваща през средата му

(3.19)

л- дължината на пръта.

Ако оста на въртене не минава през центъра на масата, тогава инерционният момент на тялото около тази ос се определя от теоремата на Щайнер.

(3.20)

Съгласно тази теорема инерционният момент около произволна ос О'O' ( ) е равен на инерционния момент около успоредна ос, минаваща през центъра на масата на тялото ( ) плюс произведението на телесната маса по квадрата на разстоянието амежду осите ( ориз. 3.6).

Ориз. 3.6

Кинетична енергия на въртене

Разгледайте въртенето на абсолютно твърдо тяло около фиксирана ос OO с ъглова скорост ω (ориз. 3.7). Нека разделим твърдото тяло на нелементарни маси ∆ m i. Всеки елемент от масата се върти в кръг с радиус r iс линейна скорост (). Кинетичната енергия е сумата от кинетичните енергии на отделните елементи.

(3.21)

Ориз. 3.7

Спомнете си от (3.13), че е инерционният момент спрямо оста OO.

По този начин кинетичната енергия на въртящо се тяло

E k \u003d (3.22)

Разгледахме кинетичната енергия на въртене около фиксирана ос. Ако тялото участва в две движения: в транслационни и ротационни движения, тогава кинетичната енергия на тялото е сумата от кинетичната енергия на транслационното движение и кинетичната енергия на въртене.

Например топка с маса мвалцуване; центърът на масата на топката се движи напред със скорост u (ориз. 3.8).

Ориз. 3.8

Общата кинетична енергия на топката ще бъде равна на

(3.23)

3.4. момент на импулс. закон за опазване
ъглов момент

Физическа величина, равна на произведението на инерционния момент аздо ъглова скорост ω , се нарича ъглов импулс (момент на импулса) Локоло оста на въртене.

– ъгловият момент е векторна величина и съвпада по посока с посоката на ъгловата скорост.

Диференцирайки уравнението (3.24) по време, получаваме

където, Ме общият момент на външните сили. В изолирана система няма момент на външни сили ( М=0) и

Помислете за абсолютно твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Нека мислено разбием това тяло на безкрайно малки парчета с безкрайно малки размери и маса. m v t., t 3 ,... на разстояния R v R 0, R 3 ,... от оста. Кинетична енергия на въртящо се тялонамираме като сума от кинетичните енергии на неговите малки части:

- момент на инерциятвърдо тяло спрямо дадената ос 00,. От сравнението на формулите за кинетичната енергия на транслационни и въртеливи движения е очевидно, че инерционният момент при въртеливо движение е аналогичен на масата при транслационно движение.Формулата (4.14) е удобна за изчисляване на инерционния момент на системи, състоящи се от отделни материални точки. За да изчислите инерционния момент на твърди тела, като използвате дефиницията на интеграла, можете да го преобразувате във формата

Лесно се вижда, че инерционният момент зависи от избора на ос и се променя с нейното паралелно преместване и въртене. Нека намерим стойностите на инерционните моменти за някои еднородни тела.

От формула (4.14) е очевидно, че момент на инерция материална точка се равнява

където T -точкова маса; Р-разстояние до оста на въртене.

Лесно е да се изчисли инерционният момент за кух тънкостенен цилиндър(или специален случай на цилиндър с малка височина - тънък пръстен)радиус Ротносно оста на симетрия. Разстоянието до оста на въртене на всички точки за такова тяло е еднакво, равно на радиуса и може да бъде извадено от знака на сумата (4.14):

Ориз. 4.5

плътен цилиндър(или специален случай на цилиндър с малка височина - диск)радиус Рза изчисляване на инерционния момент спрямо оста на симетрия изисква изчисляване на интеграла (4.15). Предварително може да се разбере, че масата в този случай средно е концентрирана малко по-близо до оста, отколкото в случая на кух цилиндър, и формулата ще бъде подобна на (4.17), но коефициентът, по-малък от единица, ще се появяват в него. Нека намерим този коефициент. Нека плътен цилиндър има плътност p и височина A. Нека го разделим на кухи цилиндри (тънки цилиндрични повърхности) с дебелина д-р(Фиг. 4.5 показва проекция, перпендикулярна на оста на симетрия). Обемът на такъв кух цилиндър с радиус r равна на площповърхност по дебелина: dV = 2nrhdr,тегло: dm=2nphrdr,и инерционният момент в съответствие с формула (4.17): dj=

= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Общият инерционен момент на плътен цилиндър се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на кухи цилиндри:

По подобен начин се търси инерционен момент на тънък прътдължина Ли масите T,ако оста на въртене е перпендикулярна на пръта и минава през средата му. Нека прекъснем това

Като се вземе предвид фактът, че масата на твърд цилиндър е свързана с плътността по формулата t = nR 2 к.с.,най-накрая имаме инерционен момент на твърд цилиндър:

Ориз. 4.6

прът в съответствие с фиг. Дебелина 4,6 бр дл.Масата на такова парче е dm = mdl/L,и инерционният момент в съответствие с формула (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L.Общият инерционен момент на тънък прът се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на парчетата:

Вземането на елементарния интеграл дава инерционния момент на тънък прът с дължина Ли масите T

Ориз. 4.7

Интегралът се приема малко по-сложен при търсене инерционен момент на хомогенна топкарадиус Ри маса /77 спрямо оста на симетрия. Нека плътна топка има плътност p. Нека го разбием, както е показано на фиг. 4.7 за дебелина на кухи тънки цилиндри д-р,чиято ос на симетрия съвпада с оста на въртене на топката. Обемът на такъв кух цилиндър от радиус Же равна на площта на повърхността, умножена по дебелината:

където е височината на цилиндъра чнамерено с помощта на Питагоровата теорема:

Тогава е лесно да се намери масата на кухия цилиндър:

както и инерционният момент в съответствие с формулата (4.15):

Общият инерционен момент на плътна топка се получава чрез интегриране (сумиране) на инерционните моменти на кухи цилиндри:

Като се вземе предвид факта, че масата на плътна топка е свързана с плътността на формата - 4 .

лой T = -npR A yнакрая имаме инерционния момент спрямо оста

симетрия на хомогенна топка с радиус Рмаси T:

Изразът за кинетичната енергия на въртящо се тяло, като се вземе предвид това скорост на линиятапроизволна материална точка, която изгражда тялото, спрямо оста на въртене е равна на има формата

където е инерционният момент на тялото около избраната ос на въртене, неговата ъглова скорост около тази ос, моментът на импулса на тялото около оста на въртене.

Ако тялото извършва постъпателно въртеливо движение, тогава изчисляването на кинетичната енергия зависи от избора на полюса, спрямо който се описва движението на тялото. Крайният резултат ще бъде същият. Така че, ако за кръгло тяло, търкалящо се със скорост v без приплъзване с радиус R и коефициент на инерция k, полюсът се взема в неговия CM, в точка C, тогава неговият инерционен момент и ъгловата скорост на въртене около оста С. След това кинетичната енергия на тялото

Ако полюсът се вземе в точката O на контакт между тялото и повърхността, през която минава моментната ос на въртене на тялото, тогава неговият инерционен момент около оста O става равен на . Тогава кинетичната енергия на тялото, като се има предвид, че ъгловите скорости на въртене на тялото спрямо успоредни оси са еднакви и тялото извършва чисто въртене около оста O, ще бъде равна на . Резултатът е същият.

Теоремата за кинетичната енергия на тяло, извършващо сложно движение, ще има същата форма като за неговото транслационно движение: .

Пример 1Тяло с маса m е завързано за края на нишка, навита върху цилиндричен блок с радиус R и маса M. Тялото се повдига на височина h и се отпуска (фиг. 65). След нееластичен удар на нишката тялото и блокът веднага започват да се движат заедно. Каква топлина ще се отдели по време на дръпване? Какво ще бъде ускорението на движението на тялото и напрежението на нишката след ритването? Каква ще бъде скоростта на тялото и изминатото от него разстояние след рязък удар на нишката след време t?

дадени: M, R, m, h, g, t. намирам: Q -?, a -?, T -?, v -?, s -?

Решение: Скоростта на тялото преди издърпване на нишката. След като нишката се дръпне, блокът и тялото ще започнат да се въртят около оста на блока O и ще се държат като тела с инерционни моменти около тази ос, равни на и . тях общ моментинерция около оста на въртене.

Дърпането на нишката е бърз процес и по време на дръпването се изпълнява законът за запазване на ъгловия импулс на системата блок-тяло, което поради факта, че тялото и блокът веднага след дръпването започват да се движат заедно , има формата: . Откъде идва началната ъглова скорост на въртене на блока , и началната линейна скорост на тялото .

Кинетичната енергия на системата, дължаща се на запазването на нейния ъглов импулс непосредствено след рязък ход на резбата, е равна на . Топлината, освободена по време на дръпване, съгласно закона за запазване на енергията

Динамичните уравнения на движение на телата на системата след дръпване на нишката не зависят от началната им скорост. За блок изглежда или , и за тялото . Събирайки тези две уравнения, получаваме . Откъде идва ускорението на движението на тялото. Сила на опън на конеца

Кинематичните уравнения на движението на тялото след рязък ще имат формата където всички параметри са известни.

Отговор: . .

Пример 2. Две кръгли тела с коефициенти на инерция (кух цилиндър) и (топка), разположени в основата на наклонена равнина с ъгъл на наклон α отчитат същите начални скорости, насочени нагоре по наклонена равнина. До каква височина и за колко време ще се издигнат телата до тази височина? Какви са ускоренията на повдигането на тялото? Колко пъти се различават височините, времената и ускоренията на издигане на телата? Телата се движат по наклонена равнина без приплъзване.

дадени: . намирам:

Решение: Тялото се влияе от: гравитацията m ж, реакция на наклонената равнина н, и силата на адхезионното триене (фиг. 67). Работата на нормалната реакция и силата на триене на сцеплението (няма приплъзване и не се отделя топлина в точката на сцепление на тялото с равнината.) са равни на нула: , следователно, за да се опише движението на телата, е възможно да се приложи законът за запазване на енергията: . Където .

Намираме времената и ускоренията на движението на телата от кинематичните уравнения . Където , . Съотношението на височини, времена и ускорения на издигането на телата:

Отговор: , , , .

Пример 3. Куршум с маса , летящ със скорост , удря центъра на топка с маса M и радиус R, прикрепена към края на прът с маса m и дължина l, окачен в точка O на втория си край, и излита от нея със скорост (фиг. 68). Намерете ъгловата скорост на въртене на системата прът-топка непосредствено след удара и ъгъла на отклонение на пръта след удара на куршума.

дадени: . намирам:

Решение:Инерционните моменти на пръта и топката спрямо точката О на окачването на пръта съгласно теоремата на Щайнер: и . Общ инерционен момент на системата прът-топка . Ударът на куршума е бърз процес и се изпълнява законът за запазване на ъгловия момент на системата куршум-пръчка-топка (телата започват да се въртят след сблъсъка): . Откъде идва ъгловата скорост на системата прът-топка веднага след удара?

Позицията на CM на системата прът-топка спрямо точката на окачване O: . Законът за запазване на енергията за CM на системата след удар, като се вземе предвид законът за запазване на ъгловия момент на системата при удар, има формата . Къде е височината на СМ на системата след удара . Ъгълът на отклонение на пръта след удара се определя от състоянието .

Отговор: , , .

Пример 4. Към кръгло тяло с маса m и радиус R, с коефициент на инерция k, въртящо се с ъглова скорост , се притиска блок със сила N (фиг. 69). След колко време цилиндърът ще спре и колко топлина ще се отдели, когато обувката се трие в цилиндъра през това време? Коефициентът на триене между накладката и цилиндъра е .

дадени: намирам:

Решение: Работата на силата на триене до спиране на тялото според теоремата за кинетичната енергия е равна на . Топлина, отделена по време на въртене .

Уравнението на въртеливото движение на тялото има формата . Откъде идва ъгловото ускорение на бавното му въртене? . Време на въртене на тялото, преди да спре.

Отговор: , .

Пример 5. Кръгло тяло с маса m и радиус R с коефициент на инерция k се развива до ъглова скорост обратно на часовниковата стрелка и се поставя върху хоризонтална повърхност, която се свързва с вертикална стена (фиг. 70). След колко време тялото ще спре и колко оборота ще направи, преди да спре? Каква ще бъде топлината, отделена при триенето на тялото в повърхността за това време? Коефициентът на триене на тялото върху повърхността е .

дадени: . намирам:

Решение: Отделената топлина при въртенето на тялото до спирането му е равна на работата на силите на триене, която се намира от теоремата за кинетичната енергия на тялото. Ние имаме .

Реакция на хоризонталната равнина. Силите на триене, действащи върху тялото от хоризонталата и вертикални повърхностиса равни: и .От системата от тези две уравнения получаваме и .

Като се вземат предвид тези отношения, уравнението на въртеливото движение на тялото има формата

Отговор: , , , .

Пример 6. Кръгло тяло с коефициент на инерция k се търкаля надолу, без да се плъзга от върха на полусфера с радиус R, стояща върху хоризонтална повърхност (фиг. 71). На каква височина и с каква скорост ще се откъсне от полусферата и с каква скорост ще падне върху хоризонтална повърхност?

дадени: k, g, R. намирам:

Решение: сили, действащи върху тялото . Работа и 0, (няма приплъзване и не се отделя топлина в точката на свързване на полусферата и топката), следователно, за да се опише движението на тялото, е възможно да се приложи законът за запазване на енергията. Вторият закон на Нютон за CM на тяло в точката на отделянето му от полукълбото, като се има предвид, че в тази точка то има формата , откъдето . Законът за запазване на енергията за началната точка и точката на разделяне на тялото има вида . Откъдето височината и скоростта на отделяне на тялото от полукълбото са равни, .

След отделянето на тялото от полукълбото се променя само неговата транслационна кинетична енергия, поради което законът за запазване на енергията за точките на отделяне и падане на тялото на земята има вида . Къде, като вземем предвид, получаваме . За тяло, плъзгащо се по повърхността на полукълбо без триене, k=0 и , , .

Отговор: , , .